2-2-2直線的方程-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期知識梳理考點精講精練(人教B版2019選擇性必修第一冊)(解析版)

第二章平面解析幾何2.2直線及其方程2.2.2直線的方程知識梳理1.直線與方程一般地，如果直線l上點的坐標都是方程F(x，y)=0的解，而且以方程F(x，y)=0的解為坐標的點都在直線l上，則稱F(x，y)=0為直線l的方程，而直線l稱為方程F(x，y)=0的直線.此時，為了簡單起見，“直線l”也可說成“直線F(x，y)=0”，并且記作l:F(x，y)=0.2.直線的點斜式方程點斜式已知條件點P(x0，y0)和斜率k圖示方程形式y(tǒng)-y0=k(x-x0)適用條件斜率存在3.直線的斜截式方程斜截式已知條件斜率k和直線在y軸上的截距b圖示方程式y(tǒng)=kx+b適用條件斜率存在點睛：（1）用斜截式求直線方程，只要確定直線的斜率和截距即可，同時要特別注意截距和距離的區(qū)別.（2）直線的斜截式方程y=kx+b不僅形式簡單，而且特點明顯，k是直線的斜率，b是直線在y軸上的截距，只要確定了k和b的值，直線的圖像就一目了然.因此，在解決直線的圖像問題時，常通過把直線方程化為斜截式方程，利用k，b的幾何意義進行判斷.4.直線的兩點式方程兩點式已知條件P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2圖示方程式適用條件斜率存在且不為0點睛：（1）若直線l過點A(0，b)，B(a，0)，且ab≠0，則直線l的方程可利用兩點式得出并化簡為=1的形式，這一方程形式可以稱之為直線的截距式方程，其中a是直線在x軸上的截距，b是直線在y軸上的截距.（2）若直線l的方程為=1，則①直線與坐標軸圍成的三角形的周長為|a|+|b|+；②直線與坐標軸圍成的三角形的面積為S=|ab|；③當直線在兩坐標軸上的截距相等時，直線l的斜率k=-1，故常設(shè)直線方程為x+y=a.5.直線的一般式方程所有的直線方程都可以寫成Ax+By+C=0的形式，其中A，B，C都是實常數(shù)，而且A與B不同時為零(即A2+B2≠0).Ax+By+C=0一般稱為直線的一般式方程.常見考點考點一直線的點斜式方程典例1．已知直線的傾斜角為，且經(jīng)過點，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先求出斜率，再由直線的點斜式方程求解即可.【詳解】由題意知：直線的斜率為，則直線的方程為.故選：C.變式1-1．經(jīng)過點（1，2），且傾斜角為45°的直線方程是（）A．y＝x﹣3 B．y＝x+1 C．y＝﹣x﹣3 D．y＝﹣x+3【答案】B【解析】【分析】計算，得到直線方程.【詳解】，直線方程為.故選：B.變式1-2．過點，斜率為2的直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由點斜式定義直接書寫即可.【詳解】由直線的點斜式方程得，即．故選：A.變式1-3．直線l的點斜式方程為，則（

）．A．直線l過點，斜率為 B．直線l過點，斜率為C．直線l過點，斜率為2 D．直線l過點，斜率為2【答案】C【解析】【分析】結(jié)合方程直接判斷，找出斜率和定點即可.【詳解】∵直線l的方程為，∴直線l的斜率為2，且經(jīng)過定點．故選：C考點二直線的斜截式方程典例2．已知直線的傾斜角為，且在軸上的截距為，則直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】首先求出直線的斜率，再根據(jù)斜截式計算可得；【詳解】解：因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率，又直線在軸上的截距為，所以直線的方程為；故選：C變式2-1．已知直線經(jīng)過第二、三、四象限，則有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線經(jīng)過的象限判斷出的符號，由此確定正確選項.【詳解】∵直線經(jīng)過二、三、四象限，∴直線的斜率，．故選：D變式2-2．若直線的斜率為k，在y軸上的截距為b，則（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線的斜截式方程的定義，結(jié)合直線方程，即可求解.【詳解】由直線，根據(jù)直線的斜截式方程的概念，可得直線的斜率為，在y軸上的截距為.故選：B.變式2-3．在同一直角坐標系中，表示直線l1：y＝k1x＋b1與l2：y＝k2x＋b2(k1>k2，b1<b2)的圖象可能正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】說明選項BCD不滿足題意，即得解.【詳解】解：在選項B、C中，b1>b2，不合題意；在選項D中，k1<k2，故D錯；只有選項A滿足題意.故選：A考點三直線的兩點式方程典例3．已知直線過點，，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩點的坐標和直線的兩點式方程計算化簡即可.【詳解】由直線的兩點式方程可得，直線l的方程為，即．故選：C．變式3-1．經(jīng)過點的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】直接利用直線方程的兩點式公式求解即可【詳解】由已知得直線的兩點式方程為，即．故選：D.變式3-2．經(jīng)過兩點A(－1，－5)和B(2，13)的直線在x軸上的截距為（

）A．－1 B．1C．－ D．【答案】C【解析】【分析】先由兩點式方程求出直線方程，即可求得在x軸上的截距.【詳解】解析：由直線的兩點式可得直線的方程為，即6x－y＋1＝0，將代入可得在x軸上的截距為.故選：C.變式3-3．一束光線經(jīng)過點由x軸反射后，經(jīng)過點射出，則反射光線所在直線方程是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，若要求反射光線，可求得點關(guān)于軸對稱的點，又過即可得解.【詳解】首先求點關(guān)于軸對稱的點，所以反射光線過和兩點，故直線方程為：，即，故答案為：.考點四直線的截距式方程典例4．過點且與兩坐標軸上的截距相等的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】B【解析】【分析】分直線的兩坐標軸上的截距為0，不為0時兩種情況求解即可【詳解】①當直線的兩坐標軸上的截距為0時，設(shè)直線方程為，由題意有，則，∴直線方程為滿足條件；②當直線的兩坐標軸上的截距不為0時，設(shè)的方程為．把點代入直線方程得．解得，從而直線方程為.故滿足條件的直線方程為和．故選：B．變式4-1．過點作直線l，與兩坐標軸相交所得三角形面積為4，則直線l有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，由直線過，得，再由三角形面積得，聯(lián)立求出方程組的解即可得．【詳解】由題意設(shè)直線的方程為，直線過，則，直線與坐標軸的交點為,又，，，，時，，由，得或，時，，由，得或，所以直線共有4條．故選：D．變式4-2．過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為(

)A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】【分析】分截距為零和不為零兩種情況討論即可﹒【詳解】當直線過原點時，滿足題意，方程為，即2x－y＝0；當直線不過原點時，設(shè)方程為，∵直線過(1，2)，∴，∴，∴方程為，故選：D﹒變式4-3．直線過點，且縱截距為橫截距的兩倍，則直線的方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】【分析】對直線是否過原點進行分類討論，設(shè)出直線方程，將點的坐標代入直線方程，求出參數(shù)的值，即可得出直線的方程.【詳解】若直線過原點，可設(shè)直線的方程為，則有，此時直線的方程為；當直線不過原點時，可設(shè)直線的方程為，即，則有，可得，此時直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.故選：C.考點五直線的一般式方程典例5．直線在軸上的截距是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)軸上的截距的定義，令，求解即可【詳解】由題意，令可得解得：故直線在軸上的截距是故選：A變式5-1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由直線得斜率，由斜率得傾斜角．【詳解】已知直線的斜率為，因此傾斜角為．故選：C．變式5-2．已知直線經(jīng)過點，且斜率為2，則直線的一般式方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用直線的點斜式方程寫出方程，再化成一般式即可.【詳解】因直線經(jīng)過點，且斜率為2，則直線方程為：，化簡得：，所以直線的一般式方程為.故選：C變式5-3．直線經(jīng)過一、三、四象限的充要條件是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】【分析】結(jié)合直線的知識確定正確選項.【詳解】直線經(jīng)過一、三、四象限，如圖所示，則，且，則.故選：B考點六直線恒過定點典例6．直線恒過定點（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】將直線變形為，則且，即可求出定點【詳解】將變形為：，令且，解得，故直線恒過定點故選：A變式6-1．不論為何實數(shù)，直線恒過一個定點，則這個定點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】將直線方程化為，令可得，，從而可得定點.【詳解】直線，即，令，得，，可得它恒過一個定點.故答案為：.變式6-2．不論k為何值，直線恒過定點（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】與參數(shù)無關(guān)，化簡后計算【詳解】，可化為，則過定點故選：B變式6-3．方程所表示的直線恒過（

）A．定點 B．定點C．點和點 D．點和點【答案】A【解析】【分析】把方程化為，列出方程組，即可求解.【詳解】由題意，方程，可化為，又由，解得，所以方程所表示的直線恒過點.故選：A.考點七直線的對稱問題典例7．已知點關(guān)于直線l的對稱點為，求直線l的方程．【答案】【解析】【分析】求出線段的中垂線方程即可．【詳解】，其中垂線的斜率為，又中點為，∴直線方程為，即．變式7-1．1.已知，直線：(1)直線關(guān)于點A的對稱直線的方程；(2)若光線沿直線照射到直線上后反射，求反射光線所在的直線的方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）設(shè)上任意一點坐標，利用對稱，求出點關(guān)于的對稱點，代入到直線中，即可求解出直線的方程；（2）先求出與直線的交點，則反射光線一定經(jīng)過交點，再在上任意找一點，求出該點關(guān)于直線的對稱點，則直線就是反射光線所在的直線(1)設(shè)點是直線上一點，則點關(guān)于的對稱點為，因為在直線上，代入得：所以直線的方程為：(2)如圖所示，聯(lián)立與，解得：，所以交點坐標為，在直線上任找一點，比如，求出關(guān)于直線：的對稱點，則直線BD即為反射光線所在的直線，則由題意得：，解得：則，直線BD為：變式7-2．已知直線l：x+2y-2=0．試求：（1）點P（-2，-1）關(guān)于直線l的對稱點坐標；（2）直線l關(guān)于點（1，1）對稱的直線方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【詳解】試題分析:(1)設(shè)出點關(guān)于直線的對稱點坐標,根據(jù)兩點間線段的中點在直線上與兩點所在直線與直線互相垂直,由中點坐標公式和兩直線垂直斜率乘積為可得關(guān)于對稱點坐標的方程組,解得點的坐標;(2)設(shè)出直線上任一點的坐標,利用此點關(guān)于的對稱點與直線的方程,可得所求的直線方程.試題解析：（1）設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則線段的中點在對稱軸上,且.∴即的坐標為.(2)設(shè)直線關(guān)于點的對稱直線為,則直線上任一點關(guān)于點的對稱點一定在直線上,反之也成立.由將的坐標代入直線的方程得.∴直線的方程為.點睛:點關(guān)于直線的對稱點,一般利用的中點在直線上且的連線與直線垂直建立方程組;直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決,直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決.變式7-3．分別求直線關(guān)于軸、軸對稱的直線的方程．【答案】關(guān)于軸對稱的直線方程為：；關(guān)于軸對稱的直線方程為：.【解析】【分析】根據(jù)兩點確定一條直線，結(jié)合直線的截距式方程進行求解即可.【詳解】在方程中，令，則，令，則，所以直線過點和，點關(guān)于軸對稱的點為，點關(guān)于縱軸對稱的點為，因此直線關(guān)于軸對稱的直線過和，所以直線關(guān)于軸對稱的直線方程為：；因此直線關(guān)于軸對稱的直線過和，所以直線關(guān)于軸對稱的直線方程為：.鞏固練習(xí)練習(xí)一直線的點斜式方程1．經(jīng)過點(－，2)，傾斜角是30°的直線的方程是（

）A．y＋(x－2) B．y＋2＝(x－)C．y－2(x＋) D．y－2＝(x＋)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)k=tan30°求出直線斜率，再利用點斜式即可求解.【詳解】直線的斜率k=tan30°=，由直線的點斜式方程可得y－2＝(x＋)，故選：C．2．過點且傾斜角為的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由傾斜角為求出直線的斜率，再利用點斜式可求出直線方程【詳解】解：因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，所以直線方程為，即，故選：D3．已知直線的斜率為3，且經(jīng)過點A(2，1)，則的點斜式方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由點斜式方程的定義直接寫出答案即可得出結(jié)果.【詳解】直線的斜率為3，且經(jīng)過點A(2，1)，的點斜式方程為：故選：B.4．經(jīng)過點且傾斜角為的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)傾斜角求出斜率，再利用點斜式即可求出.【詳解】直線傾斜角為，故斜率為，則直線方程為，即.故選：B.練習(xí)二直線的斜截式方程5．設(shè)直線y＝2x＋1的斜率為k，在y軸上的截距為b，則（

）A．k＝-，b＝1 B．k＝-，b＝- C．k＝-2，b＝ D．k＝2，b＝1【答案】D【解析】【分析】由直線方程的斜截式直接得出結(jié)論．【詳解】直線y＝2x＋1的斜率是2，縱截距是1.故選：D．【點睛】本題考查直線方程的斜截式方程，屬于簡單題．6．直線在軸上的截距為1，且斜率為，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，由直線的斜截式方程可得直線的方程，變形可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，直線在軸上的截距為1，且斜率為，則直線的方程為，即.故選：A．7．已知直線：，則直線經(jīng)過哪幾個象限（

）A．一、二、三象限 B．一、二、四象限C．二、三、四象限 D．一、三、四象限【答案】D【解析】分別求得直線的斜率和縱截距，可得直線經(jīng)過的象限．【詳解】直線的斜率為，在軸上的截距為，所以直線經(jīng)過第一、三和四象限，故選：．8．直線經(jīng)過第二、三、四象限，則斜率和在軸上的截距滿足的條件為（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】【分析】作出的圖象，由圖象可得結(jié)論.【詳解】在平面直角坐標系中作出圖象，如圖所示：由圖可知：，.故選：B.練習(xí)三直線的兩點式方程9．過兩點的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩點式方程直接求解即可.【詳解】解：∵直線過兩點和，∴直線的兩點式方程為＝，整理得.故選：C.10．經(jīng)過點的直線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線經(jīng)過兩點，利用直線的兩點式方程求解即可.【詳解】因為直線經(jīng)過點，利用兩點式得直線的方程為，整理得：.故選：D.11．已知直線的兩點式方程為，則的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】直線的兩點式方程為，得到直線過點，，然后由斜率公式求解.【詳解】因為直線的兩點式方程為，所以直線過點，，所以的斜率為．故選：A【點睛】本題主要考查直線的方程以及斜率公式，屬于基礎(chǔ)題.12．光線由點射到軸后，經(jīng)過反射過點，則反射光線方程是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】求出關(guān)于軸的對稱點，利用反射光線經(jīng)過該對稱點，結(jié)合直線的點斜式方程，即可求解.【詳解】由題意，點關(guān)于軸的對稱點為，所以反射光線經(jīng)過，又由反射過點，可得反射光線所在直線的斜率為，所以反射光線的方程為，即.故選：A.練習(xí)四直線的截距式方程13．過點作直線l，滿足在兩坐標軸上截距相等的直線l有（

）條．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】分截距都為零與截距都不為零兩種情況討論，分別求出直線方程，即可判斷；【詳解】解：若截距都為零，則直線過，則直線方程為；若截距都不為零，則設(shè)直線方程為，則，解得，所以直線方程為：，故滿足在兩坐標軸上截距相等的直線l有條；故選：B14．過點P（2，3），且與x軸的正半軸、y軸的正半軸圍成的三角形的面積等于12的直線的方程是（

）A．3x－2y＋12＝0 B．3x＋2y－12＝0 C．2x＋3y－13＝0 D．2x－3y＋13＝0【答案】B【解析】【分析】設(shè)直線的截距式方程，根據(jù)題中的條件求解方程中的參數(shù)即可得出答案.【詳解】設(shè)直線方程為，根據(jù)題意可得，，解得于是所求直線的方程為，即，選項B正確故選：B.15．過點，并且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是（

）A． B．或C． D．或【答案】D【解析】【分析】討論直線在坐標軸上的截距為0和不為0兩種情況進行求解即可.【詳解】若直線在坐標軸上的截距為0，設(shè)直線方程為，因為直線過點，所以，即，所以直線方程為，即；若直線在坐標軸上的截距不為0，設(shè)直線方程為，因為直線過點，所以，解得，所以直線方程為，即.故所求直線方程為或.故選：D.16．直線經(jīng)過點，且在兩坐標軸上的截距相等，則直線的方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【解析】【分析】分直線過原點、不過原點兩種情況討論，設(shè)出直線的方程，將點的坐標代入直線的方程，求出參數(shù)值，即可得出直線的方程.【詳解】若直線過原點，設(shè)直線的方程為，則，此時直線的方程為，即；若直線不過原點，設(shè)直線的方程為，則，解得，此時直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.故選：D.練習(xí)五直線的一般式方程17．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線的一般式方程，求得斜率，即可求得直線的傾斜角.【詳解】直線的斜率設(shè)其傾斜角為，故可得，又，故.故選：C.18．如果AB>0且BC<0，那么直線Ax＋By＋C＝0不經(jīng)過第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定直線的斜率和縱截距的取值即可判斷作答.【詳解】因AB>0且BC<0，則直線Ax＋By＋C＝0的斜率，縱截距，所以直線Ax＋By＋C＝0必過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限.故選：C19．過點斜率為－3的直線的一般式方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由點和斜率求出點斜式方程，化為一般式方程即可．【詳解】解：過點斜率為的直線方程為，化為一般式方程為；故選：．【點睛】本題考查了由點以及斜率求點斜式方程的問題，屬于基礎(chǔ)題．20．若直線l的一般式方程為2x－y＋1＝0，則直線l不經(jīng)過()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】【分析】把直線方程一般式化為斜截式，可求得直線的斜率與截距，可判斷直線不經(jīng)過的象限．【詳解】由題意可得y=2x+1,斜率k=2,截距b=1,所以直線不過第四象限，選D.【點睛】本題考查通過直線方程的斜率與截距判斷直線幾何特征，較易．練習(xí)六直線恒過定點21．直線所過定點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】直線化為點斜式，可以看出直線所過的定點坐標.【詳解】直線方程可以化為，則此直線恒過定點，故選：D.22．對任意的實數(shù)，直線恒過定點（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)含參直線的性質(zhì)化簡判斷即可.【詳解】根據(jù)題意，直線方程可寫為所以直線經(jīng)過定點（3，3），選項D正