1.2.1等差數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式(2)課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

2.1等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式（第2課時(shí)）溫故知新變形為1234Onan1234Onana1-d1234Onana1d>0d<0d=0探究1等差數(shù)列的函數(shù)特性在首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列{an}中,對于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可將an記作f(n),它是定義在正整數(shù)集(或其子集)上的函數(shù).其圖象是直線y=dx+(a1-d)上的一些等間隔的點(diǎn),這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)是正整數(shù),其中公差d是該直線的斜率,即自變量每增加1,函數(shù)值增加d.當(dāng)d>0時(shí),數(shù)列{an}為遞增數(shù)列;當(dāng)d<0時(shí),數(shù)列{an}為遞減數(shù)列;當(dāng)d=0時(shí),數(shù)列{an}為常數(shù)列.（1）求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）畫出這個(gè)數(shù)列的圖像；（3）判斷這個(gè)數(shù)列的單調(diào)性.試一試

已知（1,1）,（3,5）是等差數(shù)列

圖像上的兩點(diǎn).解得于是解

（1）由于（1,1），（3,5）是等差數(shù)列

圖像上的兩點(diǎn)，所以（2）圖像是直線上一些等間隔的點(diǎn)，如右圖所示.1234Onan51234567（3）單調(diào)遞增.直線的圖像單調(diào)遞增探究2如果在a與b之間插入一個(gè)數(shù)A,使a,A,b成等差數(shù)列,那么

A叫作a與b的等差中項(xiàng).A=.思考

若-2,x,6成等差數(shù)列,則實(shí)數(shù)x的值是什么?提示:∵x-(-2)=6-x,∴x==2.思考

是否任何兩數(shù)都有等差中項(xiàng)?已知兩數(shù)m,n,它們的等差中項(xiàng)唯一嗎?提示:是;唯一.【例1】

在-1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a,b,c,使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,求此數(shù)列.

變式

一個(gè)木制梯形架的上、下兩底邊分別為33cm，75cm，把梯形的兩腰各6等分，用平行木條連接各對應(yīng)分點(diǎn)，構(gòu)成梯形架的各級.試計(jì)算梯形架中間各級的寬度.解記梯形架自上而下各級寬度所構(gòu)成的數(shù)列為{an}，則,由梯形中位線的性質(zhì)，易知每相鄰三項(xiàng)均成等差數(shù)列，從而{an}成等差數(shù)列,依題意有:答

梯形架中間各級的寬度自上而下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm.【例2】

(1)已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,其和為9,前兩項(xiàng)之積為后一項(xiàng)的6倍,求這三個(gè)數(shù);(2)四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列,中間兩數(shù)的和為2,首末兩項(xiàng)的積為-8,求這四個(gè)數(shù).(1)解:設(shè)這三個(gè)數(shù)依次為a-d,a,a+d,故這三個(gè)數(shù)為4,3,2.(2)解法一:設(shè)這四個(gè)數(shù)為a-3d,a-d,a+d,a+3d,依題意得,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,所以d2=1,所以d=1或d=-1.又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列,所以d>0,所以d=1,故所求的四個(gè)數(shù)為-2,0,2,4.解法二:設(shè)這四個(gè)數(shù)為a,a+d,a+2d,a+3d,依題意得,2a+3d=2,且a(a+3d)=-8,又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列,所以d>0,所以d=2,a=-2.故所求的四個(gè)數(shù)為-2,0,2,4.【變式訓(xùn)練2】

已知四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,它們的和為26,中間兩項(xiàng)的積為40,求這四個(gè)數(shù).解:設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為a-3d,a-d,a+d,a+3d,根據(jù)題意,得

探究3思考

對于等差數(shù)列{an},首項(xiàng)為a1,公差為d,回答下列問題:(1)a10+a20與a14+a16是什么關(guān)系?(2)a6,a10,a14成等差數(shù)列嗎?(3)2am=am-1+am+1(m∈N+,m>1)是否恒成立?提示:(1)相等.(2)成等差數(shù)列.(3)是.等差數(shù)列的項(xiàng)與序號的性質(zhì)①兩項(xiàng)關(guān)系通項(xiàng)公式的推廣:an=am+(n-m)d(m,n∈N+).②多項(xiàng)關(guān)系項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì):若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),則am+an=ap+aq.特別地,若m+n=2p(m,n,p∈N+),則am+an=2ap.試一試.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)若{an}為等差數(shù)列,且m+n=p,則am+an=ap.(

)(2)在等差數(shù)列{an}中,若am+an=ap+aq,則m+n=p+q.(

)(3)等差數(shù)列去掉前面連續(xù)的若干項(xiàng)后,剩下的項(xiàng)仍構(gòu)成等差數(shù)列.(

)(4)在等差數(shù)列{an}中,若m+n+p=3t,則am+an+ap=3at.(

)××√√【例3】

在等差數(shù)列{an}中,已知a2=5,a8=17,求數(shù)列的公差及通項(xiàng)公式.解

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)閍8=a2+(8-2)d,所以17=5+6d,解得d=2.又因?yàn)閍n=a2+(n-2)d,所以an=5+(n-2)×2=2n+1,n∈N+.變式訓(xùn)練3已知{bn}為等差數(shù)列,若b3=-2,b10=12,則b8=

.

答案

8

解析

∵{bn}為等差數(shù)列,∴可設(shè)其公差為d,則∴bn=b3+(n-3)d=2n-8.∴b8=2×8-8=8.【例4】

在公差為d的等差數(shù)列{an}中,(1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;(2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求d.解法一:(1)化成a1和d的方程如下:(a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48,即4(a1+12d)=48.∴4a13=48.∴a13=12.(2)化成a1和d的方程如下:∴d=3或-3.(2)由a2+a3+a4+a5=34,及a3+a4=a2+a5得2(a2+a5)=34,即a2+a5=17.解法二:(1)根據(jù)已知條件a2+a3+a23+a24=48,及a2+a24=a3+a23=2a13,得4a13=48,∴a13=12.【變式訓(xùn)練4】

(1)如果等差數(shù)列{an}中,a3+a4+a5=12,求a1+a2+…+a7的值.解:∵a3+a4+a5=12,∴3a4=12,則a4=4.又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4,故a1+a2+…+a7=7a4=28.(2)已知{an}為等差數(shù)列,a4+a7+a10=30,則a3-2a5的值為(

).A.10 B.-10 C.15 D.-15答案:B等差數(shù)列的其它性質(zhì)若{an}是公差為d的等差數(shù)列,則下列數(shù)列:①{c+an}(c為任一常數(shù))是什么數(shù)列？公差為

d

的等差數(shù)列;②{c·an}(c為任一常數(shù))是是什