5.3-5.4平行線的性質(zhì)平移2024年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期重點(diǎn)題型方法與技巧（人教版）

第五章相交線與平行線5.35.4平行線的性質(zhì)、平移1平行線的性質(zhì)①兩直線平行，同位角相等；即如果a//b，則∠1=∠2；②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；即如果a//b，則∠2=∠3；③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；即如果a//b，則∠2+∠4=180°.2命題（1）定義判斷一件事情的語(yǔ)句叫命題，命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成；【例】“對(duì)頂角相等”是命題，它可寫(xiě)成“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等”，其中“兩個(gè)角是對(duì)頂角”是題設(shè)，“這兩個(gè)角相等”是結(jié)論.（2）命題真假性如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題是真命題；如果題設(shè)成立，那么結(jié)論不一定成立的命題是假命題.【例】命題“如果a=b，那么a2=b2”是真命題；命題“如果（3）定理真命題的正確性是經(jīng)過(guò)推理證實(shí)的，這樣的真命題叫定理，它可以作為繼續(xù)推理的依據(jù).【例】平行線的判定和性質(zhì)都是定理.3平移（1）概念在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，圖形的這種移動(dòng)叫做平移變換，簡(jiǎn)稱平移。平移后，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；（2）性質(zhì)①對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或共線）且相等；②對(duì)應(yīng)相等相等；③對(duì)應(yīng)角相等.?ABC平移后得到?A1B1C1，則AA1=B【題型1】命題及其真假性【典題1】指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并判斷它們是真命題還是假命題，如果是假命題，舉出一個(gè)反例．(1)兩個(gè)角的和等于平角時(shí)，這兩個(gè)角互為補(bǔ)角；(2)內(nèi)錯(cuò)角相等；(3)兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．解析(1)題設(shè)：如果兩個(gè)角的和等于平角時(shí)，結(jié)論：那么這兩個(gè)角互為補(bǔ)角；是真命題；(2)題設(shè)：如果兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角，那么這兩個(gè)角相等；是假命題，如圖∠1與∠2是內(nèi)錯(cuò)角，∠2＞∠1；(3)題設(shè)：如果兩條平行線被第三條直線所截，結(jié)論：那么同旁內(nèi)角互補(bǔ)．是真命題．【典題2】命題“如果a2＞b2，那么a＞b”是命題(填“真”或“假”)．解析假設(shè)a＝﹣3，b＝2，則滿足a2＞b2，但a＜b，因此，這個(gè)命題是假命題．故答案為：假．【鞏固練習(xí)】1.命題：①對(duì)頂角相等；②經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行；③相等的角是對(duì)頂角④同位角相等．其中假命題的是()A．①② B．②③ C．③④ D．②③④答案C解析由對(duì)頂角的性質(zhì)可直接判斷①是正確的，是真命題；經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行，故②正確，是真命題；由反例“角平分線分成的兩個(gè)角相等”，但它們不是對(duì)頂角，故③錯(cuò)誤，是假命題；由“兩直線平行，同位角相等”，前提是兩直線平行，故④錯(cuò)誤，是假命題．故選：C．2.下列命題為假命題的是()A．對(duì)頂角相等 B．兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ) C．垂線段最短 D．同一平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行答案B解析A、對(duì)頂角相等，是真命題，不符合題意；B、兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，故本選項(xiàng)說(shuō)法是假命題，符合題意；C、垂線段最短，是真命題，不符合題意；D、同一平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，是真命題，不符合題意；故選：B．3.命題“同位角相等，兩直線平行”的題設(shè)是，結(jié)論是，此命題是命題．(填“真”或“假”)答案同位角相等，兩直線平行，真．解析命題“同位角相等，兩直線平行”的題設(shè)是同位角相等，結(jié)論是兩直線平行，此命題是真命題，故答案為：同位角相等，兩直線平行，真．4.把命題“互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為零”寫(xiě)成“如果…那么…”的形式：．答案如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的和為零解析命題“互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為零”寫(xiě)成“如果…那么…”的形式為：如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的和為零，故答案為：如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的和為零．5.證明“若|a|＞1，則a＞1”是假命題的反例可以是a＝．(寫(xiě)一個(gè)即可)答案﹣5(答案不唯一)解析證明命題“若|a|＞1，則a＞1”是假命題的反例可以是：a＝﹣5，∵|﹣5|＞1，但是a＝﹣5＜1，∴命題“若|a|＞1，則a＞1”是假命題．故答案為：﹣5(答案不唯一)．6.如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，射線CE在∠DCA的內(nèi)部．給出下列信息：①AB∥CE；②CE平分∠DCA；③∠A＝∠B．請(qǐng)選擇其中的兩條信息作為條件，余下的一條信息作為結(jié)論組成一個(gè)真命題，并說(shuō)明理由．解析選擇①②作為條件，③作為結(jié)論．理由如下：∵AB∥CE，∴∠A＝∠ECA，∠B＝∠ECD，∵∠A＝∠B，∴∠ECA＝∠ECD，∴CE平分∠DCA；選擇①③作為條件，②作為結(jié)論．理由如下：∵AB∥CE，∴∠A＝∠ECA，∠B＝∠ECD，∵CE平分∠DCA，∴∠ECA＝∠ECD，∴∠A＝∠B；選擇②③作為條件，①作為結(jié)論．理由如下：∵CE平分∠DCA，∴∠ECA＝∠ECD，∵∠A＝∠B，∠A+∠B＝∠ACD＝∠ECD+∠ECA，∴∠A＝∠ECA＝∠B＝∠ECD，∴AB∥CE.【題型2】平移的概念與性質(zhì)【典題1】如圖，在長(zhǎng)方形地塊內(nèi)修筑同樣寬的兩條“相交”的道路，余下部分作綠化，當(dāng)?shù)缆穼挒?米時(shí)，道路的總面積為平方米．解析平移后綠化地長(zhǎng)為(32﹣2)米，寬為(20﹣2)米，∴面積為(20﹣2)×(32﹣2)＝18×30＝540(平方米)，∴道路的總面積＝20×32﹣540＝100(平方米)．故答案為：100．【鞏固練習(xí)】1.一個(gè)圖形，經(jīng)過(guò)平移后，改變的是()A．顏色 B．形狀 C．大小 D．位置答案D解析一個(gè)圖形，經(jīng)過(guò)平移后，改變的是位置，不改變顏色，形狀和大小，故選：D．2.下列現(xiàn)象中，屬于平移的是()A．滾動(dòng)的足球 B．轉(zhuǎn)動(dòng)的電風(fēng)扇葉片 C．正在上升的電梯 D．正在行駛的汽車(chē)后輪答案C解析A．滾動(dòng)的足球是旋轉(zhuǎn)，故不符合題意；B．轉(zhuǎn)動(dòng)的電風(fēng)扇葉片是旋轉(zhuǎn)，故不符合題意；C．正在上升的電梯是平移，故符合題意；D．正在行駛的汽車(chē)后輪是旋轉(zhuǎn)，故不符合題意；故選：C．3.如圖，根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)，判斷第一個(gè)圖形的周長(zhǎng)L1與第二個(gè)圖形的周長(zhǎng)L2的關(guān)系：L1L2．(填“等于”或“大于”或“小于”或“無(wú)法判斷”)．答案大于解析設(shè)凹槽的深度為a，則第一個(gè)圖形的周長(zhǎng)L1為：2×(3+4)+2a＝14+2a，第二個(gè)圖形的周長(zhǎng)L2為2×(3+4)＝14，因此L1大于L2．故答案為：大于．4.某酒店準(zhǔn)備進(jìn)行裝修，把樓梯鋪上地毯．已知樓梯的寬度是2米，樓梯的總長(zhǎng)度為8米，總高度為6米，其側(cè)面如圖所示．已知這種地毯每平方米的售價(jià)是50元．請(qǐng)你幫老板算下，購(gòu)買(mǎi)地毯至少需要花費(fèi)元．答案1400解析如圖，利用平移線段，把樓梯的橫豎向上向左平移，構(gòu)成一個(gè)矩形，長(zhǎng)寬分別為8米，6米，即可得地毯的長(zhǎng)度為6+8＝14(米)，地毯的面積為14×2＝28(平方米)，故買(mǎi)地毯至少需要28×50＝1400(元)．購(gòu)買(mǎi)地毯至少需要1400元．故答案為：1400．5.如圖，將Rt△ABC沿著點(diǎn)B到C的方向平移到△DEF的位置，此時(shí)AB＝10，DO＝4，陰影部分面積為40，則平移的距離為．答案5解析由平移的性質(zhì)可知AB＝DE，S△ABC＝S△DEF，∴S△ABC﹣S△OEF＝S△DEF﹣S△OEF，即S梯形ABEO＝S陰影部分＝40，∵AB＝10，DO＝4，∴OE＝6，∴12×(10+6)?BE＝40，解得：BE＝5，即平移的距離為5故答案為：5．6.已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，將此直角三角形沿射線BC方向平移，到達(dá)直角三角形A1B1C1的位置(如圖所示)，其中點(diǎn)B1落在邊BC的中點(diǎn)處，此時(shí)邊A1B1與邊AC相交于點(diǎn)D，如果BC1＝12cm，AD＝CD＝3cm，那么四邊形ABB1D的面積＝cm2．答案18解析由平移變換的性質(zhì)可知，BB1＝CC1＝B1C＝13BC1＝4cm∴BC＝8cm，AC＝6cm，B1C＝4cm，CD＝3cm，∴S四邊形ABB1D＝S△ABC﹣S△B1CD＝12×8×6﹣12×4×3＝24﹣6＝18(cm2故答案為：18．【題型3】平行線的性質(zhì)求角度【典題1】如圖，AB∥CD，射線FE，F(xiàn)G分別與AB，CD交于點(diǎn)M，N，若∠F＝∠FND＝3∠EMB，則∠F的度數(shù)是．解析如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，∴∠EMB＝∠EFH，∠HFN+∠FND＝180°，∵∠EFN＝∠FND＝3∠EMB，∴∠EFH=13∠∴∠HFN＝23∠EFN∴23∠EFN+∠EFN＝180°∴∠EFN＝108°，故答案為：108°．【鞏固練習(xí)】1.一副直角三角板按如圖所示的方式放置，點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，BE∥DF，∠B＝∠DEF＝90°，則∠CDE的度數(shù)為()A．30° B．25° C．20° D．15°答案D解析∵△ABC，△EFD為直角三角板，∴∠ACB＝60°，∠EDF＝45°∵BE∥DF，∴∠FDC＝∠ACB＝60°，∴∠CDE＝∠FDC﹣∠EDF＝60°﹣45°＝15°，故選：D．2.光線在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，當(dāng)光線從空氣射向水中時(shí)會(huì)發(fā)生折射，如圖，在空氣中平行的兩條入射光線，在水中的兩條折射光線也是平行的，若水面和杯底互相平行，若∠1＝125°，則∠2等于()?A．65° B．55° C．45° D．41°答案B解析∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣125°＝55°．∵水中的兩條折射光線平行，∴∠2＝∠3＝55°．故選：B．3.如圖，直線AB∥CD，直線EF分別與AB，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，EG平分∠BEF，交CD于點(diǎn)G，若∠1＝55°，則∠2的度數(shù)為()A．117.5° B．110° C．118.5° D．125°答案A解析∵∠1＝55°，∴∠BEF＝180°﹣∠1＝125°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∴∠AEG＝∠GEF+∠1＝117.5°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠AEG＝117.5°．故選：A．4.如圖，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，則∠BED的度數(shù)為．答案55°解析∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝12∠ABC，∠ADE＝∠CDE＝12∠∵∠ABE+∠BAD＝∠E+∠ADE，∠BCD+∠CDE＝∠E+∠CBE，∴∠ABE+∠BAD+∠BCD+∠CDE＝∠E+∠ADE+∠E+∠CBE，∴∠BAD+∠BCD＝2∠E，∵∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，∴∠BED＝12(∠BAD+∠BCD)＝12(70°+40°)＝故答案為：55°．5.如圖，已知∠E＝∠A+∠C，若∠1＝82°，則∠2的度數(shù)為．答案98°解析過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠A＝∠AEF，∵∠AEC＝∠A+∠C，∴∠AEF+∠CEF＝∠A+∠C，∴∠CEF＝∠C，∴EF∥CD，又∵EF∥AB，∴AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°，∵∠1＝82°，∴∠2＝98°．故答案為：98°．6.如圖，DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝32°，∠AGF＝76°，F(xiàn)H平分∠EFG，則∠PFH的度數(shù)是．答案22°解析∵DC∥FP，∴∠3＝∠2，又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠1，∴DC∥AB；∵DC∥FP，DC∥AB，∠FED＝32°，∴∠EFP＝∠FED＝32°，AB∥FP，又∵∠AGF＝76°，∴∠GFP＝∠AGF＝76°，∴∠GFE＝∠GFP+∠EFP＝76°+32°＝108°，又∵FH平分∠GFE，∴∠GFH＝12∠GFE＝54°∴∠PFH＝∠GFP﹣∠GFH＝76°﹣54°＝22°．故答案為：22°．7.如圖，將一副三角尺按如圖所示的方式放置，∠EAD＝∠BAC＝90°，∠B＝∠C＝45°，∠E＝60°，∠D＝30°．給出下列結(jié)論：①若∠2＝30°，則AC∥DE；②若BC∥AD，則∠2＝30°；③∠BAE+∠CAD＝180°；④若∠CAD＝150°，則∠4＝∠C．其中正確的結(jié)論的為．(填序號(hào))答案①③④解析∵∠2＝30°，∠1+∠2＝90°，∴∠1＝60°，又∠E＝60°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE，故①正確，符合題意；∵BC∥AD，∴∠1+∠2+∠3+∠C＝180°．∵∠C＝45°，∠1+∠2＝90°，∴∠3＝45°，∴∠2＝90°﹣45°＝45°，故②不正確，不符合題意；∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，即∠BAE+∠CAD＝∠1+∠2+∠2+∠3＝90°+90°＝180°，故③正確，符合題意；∵∠D＝30°，∠CAD＝150°，∴∠D+∠CAD＝180°，∴AC∥DE，∴∠4＝∠C，故④正確，符合題意．故答案為：①③④．8.在一次課外活動(dòng)中，小明將一副直角三角板如圖放置，E在AC上，∠C＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°．小明將△ADE從圖中位置開(kāi)始，繞點(diǎn)A按每秒6°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，第秒時(shí)，邊AB與邊DE平行．答案252或解析①當(dāng)DE在AB的上方時(shí)，如圖，∵∠C＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°，∴∠BAC＝30°，∠E＝45°，∵AB∥DE，∴∠BAE＝∠E＝45°，∴∠CAE＝∠BAC+∠BAE＝75°，∴其旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為：75°6°=②DE在AB的下方，如圖，∵∠C＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°，∴∠BAC＝30°，∠E＝45°，∵AB∥DE，∴∠BAE+∠E＝180°，∴∠BAE＝180°﹣∠E＝135°，∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝105°，∴旋轉(zhuǎn)的角度為：360°﹣∠CAE＝255°，∴旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為：255°6°=綜上所述：當(dāng)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，第252或852秒時(shí)，邊AB與邊故答案為：252或85【題型4】與平行線有關(guān)的綜合應(yīng)用【典題1】如圖，已知AB∥CD，AC與BD相交于點(diǎn)E，從點(diǎn)E引一條射線EF交線段AB于點(diǎn)F，若∠AFE+∠DCB＝180°，∠A＝∠AEF，求證：∠DCA＝∠ACB．證明：∵AB∥CD(已知)，∴∠ABC+①＝180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))，又∵∠AFE+∠DCB＝180°(已知)，∴∠AFE＝∠ABC(②)；∴EF∥③(同位角相等，兩直線平行)．∴∠AEF＝④(兩直線平行，同位角相等)，∵AB∥CD(已知)，∴∠A＝∠DCA(⑤)，∵∠A＝∠AEF(已知)，∴∠DCA＝∠ACB(等量代換)．解析證明：AB∥CD(已知)，∴∠ABC+∠DCB＝180°(兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ))，又∵∠AFE+∠DCB﹣180°(已知)，∴∠AFE＝∠ABC(同角的補(bǔ)角相等)；∴EF∥BC(同位角相等，兩直線平行)，∴∠AEF＝∠ACB(兩直線平行，同位角相等)，∵AB∥CD(已知)，∴∠A＝∠DCA(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，∴∠A＝∠AEF(已知)，∴∠DCA＝∠ACB(等量代換)故答案為：①∠DCB；②同角的補(bǔ)角相等；③BC；④∠ACB；⑤兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【典題2】如圖展示了光線反射定律，EF是鏡面AB的垂線一束光線m射到平面鏡AB上，被AB反射后的光線為n，則入光線m，反射光線n與垂線EF所夾的銳角θ1＝θ2．(1)在圖1中，∠1∠2(填“＞”“＜”或“＝”)；(2)在圖2中，AB，BC是兩面平面鏡，入射光線m經(jīng)過(guò)兩次反射后得到反射光線n，已知∠1＝30°，∠4＝60°，判斷入射光線m與反射光線n的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，是潛望鏡工作原理示意圖，AB，CD是兩面平面鏡，且AB∥CD．請(qǐng)解釋進(jìn)入潛望鏡的判斷光線m為什么和離開(kāi)潛望鏡的光線n是平行的？解析(1)∵∠AFE＝∠BFE＝90°，∵θ1＝θ2．∴∠1＝∠2，故答案為：＝；(2)m∥n，理由：如圖2，∵∠1＝∠2＝30°，∠3＝∠4＝60°，∴∠5＝180°﹣∠1﹣∠2＝120°，∠6＝180°﹣∠3﹣∠4＝60°，∴∠5+∠6＝180°，∴m∥n；(3)∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4，即：∠5＝∠6，∴m∥n．【鞏固練習(xí)】1.已知：如圖，C，D是直線AB上兩點(diǎn)，∠1+∠2＝180°，DE平分∠CDF，EF∥AB，(1)求證：CE∥DF；(2)若∠DCE＝130°，求∠DEF的度數(shù)．答案(1)略；(2)25°解析(1)證明：∵∠1+∠2＝180°，C，D是直線AB上兩點(diǎn)，∴∠1+∠DCE＝180°，∴∠2＝∠DCE，∴CE∥DF；(2)解：∵CE∥DF，∠DCE＝130°，∴∠CDF＝180°﹣∠DCE＝180°﹣130°＝50°，∵DE平分∠CDF，∴∠CDE＝12∠CDF＝25°∵EF∥AB，∴∠DEF＝∠CDE＝25°．2.三角形ABC中，D是AB上一點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是線段DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接FC，∠BCF+∠ADE＝180°．(1)如圖1，求證：CF∥AB；(2)如圖2，連接BE，若∠ABE＝40°，∠ACF＝60°，求∠BEC的度數(shù)；(3)如圖3，在(2)的條件下，點(diǎn)G是線段FC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若∠EBC：∠ECB＝7：13，BE平分∠ABG，求∠CBG的度數(shù)．答案(1)略；(2)100°；(3)12°．解析(1)證明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠BCF+∠ADE＝180°．∴∠BCF+∠B＝180°．∴CF∥AB；(2)解：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EK∥AB，∴∠BEK＝∠ABE＝40°，∵CF∥AB，∴CF∥EK，∴∠CEK＝∠ACF＝60°，∴∠BEC＝∠BEK+∠CEK＝40°+60°＝100°；(3)∵BE平分∠ABG，∴∠EBG＝∠ABE＝40°，∵∠EBC：∠ECB＝7：13，∴設(shè)∠EBC＝7x°，則∠ECB＝13x°，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC＝7x°，∠AED＝∠ECB＝13x°，∵∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°，∴13x+7x+100＝180，解得x＝4，∴∠EBC＝7x°＝28°，∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG，∴∠CBG＝∠EBG﹣∠EBC＝40°﹣28°＝12°．3.探究：如圖①，EG∥FH，OF平分∠AFH，OH平分∠CHF，且點(diǎn)O、E、G均在直線EG上，直線EG分別與AB、CD交于點(diǎn)E、G．(1)若∠AFH＝80°，∠CHF＝40°，則∠FOH＝．(2)若∠AFH+∠CHF＝110°，求∠FOH的度數(shù)．(3)如圖②，∠AFH和∠CHI的平分線FO、HO交于點(diǎn)O，EG經(jīng)過(guò)點(diǎn)O且平行于FH，分別與AB、CD交于點(diǎn)E、G．若∠AFH+∠CHF＝β，直接寫(xiě)出∠FOH的度數(shù)．(用含β的代數(shù)式表示)答案(1)120°；(2)125°；(3)90°解析(1)∵OF平分∠AFH，∠AFH＝80°，∴∠OFH＝12∠EFH＝40°∵EG∥FH，∴∠EOF＝∠OFH＝40°．∵OH平分∠CHF，∠CHF＝40°，∴∠OHF＝12∠CHF＝20°∵EG∥FH，∴∠GOH＝∠OHF＝20°．∴∠FOH＝180°﹣∠EOF﹣∠GOH＝180°﹣40°﹣20°＝120°．故答案為：120°；(2)∵FO平分∠AFH，HO平分∠CHF，∴∠OFH=∵∠AFH+∠CHF＝110°，∴∠OFH+∵∠FOH+∠OFH+∠OHF＝180°，∴∠FOH＝180°﹣(∠EOF+∠GOH)＝180°﹣55°＝125°．(3)∵FO平分∠AFH，HO平分∠CHF，∴∠OFH=∴∠FOH=∵∠CHI+∠CHF＝180°，∴∠CHI＝180°﹣∠CHF．∴∠FOH=∵∠AFH+∠CHF＝β，∴∠FOH=4.長(zhǎng)江汛期即將來(lái)臨，為了便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況，防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩月各安置了一探照燈(如圖1)，假定這一帶長(zhǎng)江兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN，連結(jié)AB，且∠ABN＝45°．燈A射線自AQ順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AP便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自BM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BN便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是1度/秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是3度/秒．(1)若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線第一次轉(zhuǎn)到BN之前，兩燈射出的光線交于點(diǎn)C．如圖1，當(dāng)兩燈光線同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)50秒時(shí)，求∠ABC的度數(shù)；(2)若燈A射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈B射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線第一次轉(zhuǎn)到AP之前，B燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光線互相平行？答案(1)15°；(2)15秒或82.5秒解析(1)兩燈速度為：燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是1度/秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是3度/秒．①當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)50秒時(shí)，∠MBC＝50×3°＝150°，∴∠CBN＝180°﹣∠MBC＝30°，∴∠ABC＝∠ABN﹣∠CBN＝45°﹣30°＝15°；(2)兩燈速度為：燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是1度/秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是3度/秒．設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，A燈先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，則AQ轉(zhuǎn)到AP還需要180﹣30＝150(秒)即0＜t＜150，①當(dāng)B射線第一次垂直MN時(shí)，用時(shí)90÷3＝30(秒)，此時(shí)A射線共計(jì)運(yùn)動(dòng)30+30＝60秒，即∠QAE＝60°，即在燈B射線到達(dá)BN之前，如圖3所示，∵PQ∥MN，BF∥AE，∴∠ABF＝∠EAB，∠PAB＝∠ABN，∴180°﹣∠ABN﹣∠ABF＝180°﹣∠BAP﹣∠BAE，∴∠MBF＝∠QAE，即有：3t＝30+t，解得：t＝15(秒)；②如圖4，在燈B射線到達(dá)BN之后，回到BM前，根據(jù)①中，同理有：∠MBF＝∠QAE＝(30+t)°∵∠FBN＝(3t﹣180)°即有：3t﹣180+(30+t)＝180，解得：t＝82.5．③如圖5，在燈B射線回到BM后，第二次到BN前，由題意得：3t﹣360＝30+t，解得：t＝195(舍去)．綜上所述，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)15秒或82.5秒時(shí)，兩燈的光束互相平行．【A組基礎(chǔ)題】1.在下列現(xiàn)象中，屬于平移的是()A．小亮蕩秋千運(yùn)動(dòng) B．升降電梯由一樓升到八樓 C．時(shí)針的運(yùn)行過(guò)程 D．衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)答案B解析A、小亮蕩秋千運(yùn)動(dòng)不是平移，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、電梯由一樓升到八樓，是平移，故此選項(xiàng)正確；C、時(shí)針的運(yùn)行過(guò)程屬于旋轉(zhuǎn)，不是平移，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)屬于旋轉(zhuǎn)，不是平移，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．2.如圖，∠D＝60°，∠C＝120°，∠AED＝60°，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．∠B＝60° B．ED∥BC C．AB∥CD D．∠B+∠D＝180°答案D解析∵∠D＝60°，∠C＝120°，∴∠D+∠C＝180°，∴ED∥BC，∴∠B＝∠AED＝60°，故A、B不符合題意；∵∠D＝60°，∠AED＝60°，∴∠D＝∠AED，∴AB∥CD，故C不符合題意；∵∠B+∠D＝60°+60°＝120°，故D符合題意．故選：D．3.如圖，一塊長(zhǎng)為am，寬為bm的長(zhǎng)方形草地上，有一條彎曲的小路，小路左邊線向右平移tm就是它的邊線．若a：b＝5：3，b：t＝6：1，則小路面積與綠地面積的比為()A．19 B．110 C．211 答案A解析∵小路左邊線向右平移tm就是它的邊線，∴路的寬度是tm，∴小路面積是btm2，綠地面積是b(a﹣t)m2，∵a：b＝5：3，b：t＝6：1，∴a：t＝10：1，∴小路面積與綠地面積的比為19故選：A．4.如圖，直線a∥b，將一個(gè)含30°角的三角尺按如圖所示的位置放置，若∠2＝156°，則∠1的度數(shù)為()A．54° B．44° C．36° D．24°答案C解析過(guò)A作AB∥a，∵a∥b，∴AB∥b，∴∠3+∠2＝180°，∵∠2＝156°，∴∠3＝24°，∴∠4＝60°﹣∠3＝36°，∴∠1＝∠4＝36°．故選：C．5.如圖，直線AB∥CD，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在CD上，點(diǎn)P在AB，CD之間，ME平分∠AEP，MF平分∠CFP，NF平分∠DFP，下列四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.∠EPF＝∠AEP+∠CFPB.∠EPF＝2∠M；C.若EP∥FN，則∠AEM＝∠CFM；D.∠MNF+∠PEM＝90°﹣∠PFM．答案C解析A：作PQ∥AB，∴∠AEP＝∠EPQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CFP＝∠FPQ，∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ，∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP，故A正確；同理可得：∠M＝∠AEM+∠CFM，∵EM平分∠AEP，F(xiàn)M平分∠CFP，∴∠AEP＝2∠AEM，∠CFP＝2∠CFM，∴∠AEP+∠CFP＝2(∠AEM+∠CFM)，即∠EPF＝2∠M，故B正確；設(shè)AB交MF于點(diǎn)H，若EP∥FN，則∠AEP＝∠AHF，∵AB∥CD，∴∠AHF＝∠HFD，∵FN平分∠PFD，∴∠HFD＝∠PFH，∴∠AEP＝∠PFH，若∠AEM＝∠CFM，則∠AEP＝∠CFP，∵∠CFP與∠PFH不一定相等，∴∠AEM與∠CFM不一定相等，故C不正確；∵FN平分∠PFD，F(xiàn)M平分∠CFP，∴∠FMN＝90°，∴∠N+∠M＝90°，∵∠M＝∠AEM+∠CFM，且∠AEM＝∠PEM，∠CFM＝∠PFM，∴∠M＝∠PEM+∠MNF，∴∠N+∠PEM+∠MNF＝90°，∴∠MNF+∠PEM＝90°﹣∠PFM，故D正確．故答案為：C．6.如圖，直線MN分別與直線AB，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，EG平分∠AEF，交直線CD于點(diǎn)G，若∠CFM＝∠AEM＝58°，則∠CGE的度數(shù)為°．?答案151解析∵∠CFM＝∠AEM＝58°，∴CD∥AB，∵EG平分∠AEF，∴∠GEA＝12∠AEF＝12×58°＝∵CD∥AB，∴∠CGE+∠GEA＝180°，∴∠CGE＝180°﹣∠GEA＝180°﹣29°＝151°．故答案為：151．7.如圖，已知直線AB，CD被EF所截，EG是∠AEF的角平分線，若∠1＝∠2，∠2+∠4＝120°，則∠3＝．答案40°解析∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴∠3＝∠4，∠AEF＝∠2，∵EG是∠AEF的角平分線，∴∠AEF＝∠2＝2∠4，∵∠2+∠4＝120°，∴∠4＝40°，∴∠3＝40°，故答案為：40°．8.如圖，已知GF⊥AB，∠1＝∠2，∠B＝∠AGH，則下列結(jié)論：①GH∥BC；②∠D＝∠F；③HE平分∠AHG；④HE⊥AB，其中正確的是(只填序號(hào))答案①④解析∵∠B＝∠AGH，∴GH∥BC，即①正確；∴∠1＝∠MGH，又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠MGH，∴DE∥GF，∵GF⊥AB，∴DE⊥AB，即④正確；由已知條件無(wú)法得到∠D＝∠F，HE平分∠AHG，故都不一定成立；故答案為：①④．9.如圖，已知點(diǎn)E、F在直線AB上，點(diǎn)G在線段CD上，ED與FG交于點(diǎn)H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．(1)求證：CE∥GF；(2)試判斷∠AED與∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)若∠EHF＝78°，∠D＝35°，求∠AEM的度數(shù)答案(1)略；(2)∠AED+∠D＝180°；(3)113°．解析(1)證明：∵∠CED＝∠GHD，∴CE∥GF；(2)解：∠AED+∠D＝180°，理由如下：∵CE∥GF，∴∠C＝∠FGD，∵∠C＝EFG，∴∠FGD＝∠EFG，∴AB∥CD，∴∠AED+∠D＝180°；(3)解：∵∠EHF＝78°，∴∠GHD＝∠EHF＝78°∵∠D＝35°，∴∠FGD＝180°﹣∠D﹣∠GHD＝180°﹣35°﹣78°＝67°，∵CE∥GF，∴∠C＝∠FGD＝67°，∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠C＝67°，∴∠AEM＝180°﹣∠AEC＝180°﹣67°＝113°．10.(1)光線從空氣中射入水中會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時(shí)光線從水中射入空氣中也會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖1，AB∥CD，光線從空氣中射入水面AB的E處，再?gòu)乃證D的F處射入空氣中，根據(jù)光學(xué)知識(shí)有∠1＝∠2，求證：EG∥FH．請(qǐng)根據(jù)題意填空，完成下列推理過(guò)程：∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠()∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BEF＝∠2+∠，即∠＝∠EFH．∴EG∥FH()．(2)如圖2，直線MN上有兩點(diǎn)A、C，在MN同側(cè)分別引兩條射線AB，CD，且∠MAB＝40°，∠DCN＝50°．射線CD繞頂點(diǎn)C以2度/秒的速度逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)一周，設(shè)時(shí)間為t秒，是否存在某一時(shí)刻，使得CD∥AB？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的時(shí)間t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．?答案(1)CFE，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，CFE，F(xiàn)EG，內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行；(2)45秒或135秒。解析(1)證明：∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠CFE(兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等)∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BEF＝∠2+∠CFE，即∠FEG＝∠EFH．∴EG∥FH(內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行)．故答案為：CFE，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，CFE，F(xiàn)EG，內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行．(2)解：存在，分兩種情況討論如下：①當(dāng)CD與AB在MN的同側(cè)時(shí)，CD旋轉(zhuǎn)到CD1的位置，此時(shí)CD1∥AB，如圖：∵∠MAB＝40°，CD1∥AB，∴∠MCD1＝∠MAB＝40°，又∵∠DCN＝50°，∴∠D1CD＝180°﹣∠MCD1﹣∠DCN＝180°﹣40°﹣50°＝90°，∵射線CD繞頂點(diǎn)C以2度/秒的速度逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，∴所用的時(shí)間t＝90÷2＝45(秒)，即旋轉(zhuǎn)的時(shí)間t＝45秒時(shí)，CD∥AB；②當(dāng)CD與AB在MN的兩側(cè)時(shí)，CD旋轉(zhuǎn)到CD2的位置，此時(shí)CD2∥AB，如圖：∵∠MAB＝40°，∴∠CAB＝180°﹣∠MAB＝180°﹣40°＝140°，∵CD2∥AB，∴∠MCD2＝∠CAB＝140°，∵∠DCN＝50°，∴∠MCD＝180°﹣∠DCN＝180°﹣50°＝130°，此時(shí)線段CD所旋轉(zhuǎn)的角度為：∠MCD+∠MCD2＝130°+140°＝270°，∵射線CD繞頂點(diǎn)C以2度/秒的速度逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，∴所用的時(shí)間t＝270÷2＝135(秒)，即旋轉(zhuǎn)的時(shí)間t＝135秒時(shí)，CD∥AB；綜上所述：射線CD繞頂點(diǎn)C以2度/秒的速度逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)一周，在45秒或135秒時(shí)，CD∥AB．【B組提高題】1.如圖，已知：AB∥CD，CD∥