四川省雅安市2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）

屆高三數(shù)學(xué)試題（理科）考生注意：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。2.請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上。3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容。第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則B中元素的最大值為（）A.4 B.5 C.7 D.102.若圓C：與圓D：外切，則（）A.2 B.3 C.4 D.53.設(shè)，為兩個(gè)不同的平面，m，n為兩條不同的直線，且，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.若復(fù)數(shù)的實(shí)部為4，則點(diǎn)的軌跡是（）A.短軸長(zhǎng)為4的橢圓 B.實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線C.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓 D.虛軸長(zhǎng)為4的雙曲線5.函數(shù)是（）A.最小正周期為的奇函數(shù) B.最小正周期為的奇函數(shù)C.最小正周期為的偶函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù)6.在平行四邊形中，，且，則四邊形的面積為（）A.4 B. C.8 D.7.若函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.設(shè)的整數(shù)部分為，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為（）A.210 B.211 C.212 D.2139.已知函數(shù)，，則（）A.當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)C.當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有2個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)10.的最小值為（）A. B.5 C. D.611.在四棱錐中，底面為矩形，底面，，，與底面所成的角分別為，，且，則（）A. B. C. D.12.已知0為函數(shù)的極小值點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13.一組樣本數(shù)據(jù)12，15，12，13，18，10，16，19，15，12的眾數(shù)為_(kāi)___________，中位數(shù)為_(kāi)__________.14.若x，y滿足約束條件則的取值范圍是____________15.對(duì)于1個(gè)字母串shanhushu，改變這個(gè)字母串中的字母位置順序，可以得到___________個(gè)新的字母串.16.已知定義在上的函數(shù)滿足，，則___________.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（12分）已知甲社區(qū)有120人計(jì)劃去四川旅游，他們每人將從峨眉山與青城山中選擇一個(gè)去旅游，將這120人分為東、西兩小組，兩組的人數(shù)相等，已知東小組中去峨眉山的人數(shù)是去青城山人數(shù)的兩倍，西小組中去峨眉山的人數(shù)比去青城山的人數(shù)少10.（1）完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為游客的選擇與所在的小組有關(guān)；去峨眉山旅游去青城山旅游合計(jì)東小組西小組合計(jì)（2）在東小組的游客中，以他們?nèi)デ喑巧铰糜蔚念l率為乙社區(qū)游客去青城山旅游的概率，從乙社區(qū)任選3名游客，記這3名游客中去青城山旅游的人數(shù)為X，求及X的數(shù)學(xué)期望.參考公式：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82818.（12分）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，.（1）求A；（2）若D為邊上一點(diǎn)，且，證明：外接圓的周長(zhǎng)為.19.（12分）如圖，在直三棱柱中，，，D為的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）若以為直徑的球的表面積為，求二面角的余弦值.20.（12分）雙曲線：上一點(diǎn)到左、右焦點(diǎn)的距離之差為6.（1）求的方程.（2）已知，，過(guò)點(diǎn)（5，0）的直線與交于M，N（異于A，B）兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)P，試問(wèn)點(diǎn)P到直線的距離是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.21.（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，，且，證明：.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生從第22，23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分.22.[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，曲線M的方程為，曲線N的方程為，其中m為常數(shù).（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，求曲線M與N的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，曲線M與N的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，點(diǎn)C的極坐標(biāo)為，若的重心G的極角為，求的值.23.[選修4—5：不等式選講]（10分）已知.（1）若，求b的取值范圍；（2）求的最大值.2024屆高三數(shù)學(xué)試題參考答案（理科）1.C【解析】本題考查集合中的元素，考查邏輯推理的核心素養(yǎng)..2.C【解析】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查直觀想象的核心素養(yǎng).依題意可得，解得.3.D【解析】本題考查點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系與充分必要條件的判定，考查空間想象能力與邏輯推理的核心素養(yǎng).如圖1，當(dāng)時(shí)，與不一定垂直.如圖2，當(dāng)時(shí)，m與n不一定垂直.所以“”是“”的既不充分也不必要條件.4.C【解析】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算與實(shí)部以及曲線與方程，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.5.B【解析】本題考查三角函數(shù)的周期性與奇偶性，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).因?yàn)?，所以該函?shù)為奇函數(shù).因?yàn)?，的最小正周期分別為，，所以的最小正周期為.6.C【解析】本題考查平面向量，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).在平行四邊形中，，，因?yàn)?，所以四邊形為矩形，又，所以四邊形為正方形，所以四邊形的面積為.7.B【解析】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、一元二次不等式，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).依題意可得要取遍所有正數(shù)，則，因?yàn)?，所以，所?8.B【解析】本題考查數(shù)列的新定義與數(shù)列求和，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以則數(shù)列的前20項(xiàng)和為.9.D【解析】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).作出，的大致圖象，如圖所示.由圖可知，當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)或只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn).10.B【解析】本題考查拋物線定義的應(yīng)用，考查直觀想象的核心素養(yǎng)及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.設(shè)，，，易知點(diǎn)P的軌跡是拋物線的上半部分..因?yàn)镕為拋物線的焦點(diǎn)，所以等于P到拋物線的準(zhǔn)線的距離，所以的最小值等于A到準(zhǔn)線的距離，所以的最小值為5.11.B【解析】本題考查線面角與三角恒等變換，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以?因?yàn)?，所以，解得（?fù)根已舍去）.12.A【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查邏輯推理的核心素養(yǎng)以及分類討論的數(shù)學(xué)思想.，的導(dǎo)函數(shù)為.若，，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，符合題意.若，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，符合題意.若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，不符合題意.若，當(dāng)時(shí)，，，易得在遞增，在上單調(diào)遞減，不符合題意.綜上，的取值范圍是.13.12；14【解析】本題考查樣本的數(shù)字特征，考查數(shù)據(jù)處理能力.將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為10，12，12，12，13，15，15，16，18，19，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為12，中位數(shù)為.14.【解析】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).作出約束條件表示的可行域（圖略），當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值3，所以的取值范圍是.15.15119【解析】本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，考查應(yīng)用意識(shí).因?yàn)樽帜复畇hanhushu有2個(gè)s，2個(gè)u，3個(gè)h，1個(gè)a，1個(gè)n，所以改變這個(gè)字母串中的字母位置順序，可以得到個(gè)新的字母串.16.【解析】本題考查抽象函數(shù)與數(shù)列的交匯，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).令，得.設(shè)數(shù)列滿足，，則，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比也為2的等比數(shù)列，則，則，所以.17.解：（1）2×2列聯(lián)表如下.去峨眉山旅游去青城山旅游合計(jì)東小組402060西小組253560合計(jì)6555120，所以有99%的把握認(rèn)為游客的選擇與所在的小組有關(guān).（2）在東小組的游客中，他們?nèi)デ喑巧铰糜蔚念l率為，所以乙社區(qū)游客去青城山旅游的概率為，所以，則，.18.（1）解：因?yàn)?，所以，即，又，所?因?yàn)?，所?（2）證明：在中，由正弦定理，得，則，則.設(shè)外接圓的半徑為，則，所以外接圓的周長(zhǎng)為.19.（1）證明：連接交于點(diǎn)E，則E為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面，在平面，所以平面.（2）解：因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，且.因?yàn)橐詾橹睆降那虻谋砻娣e為，所以，解得.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閥軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則令，得.設(shè)平面的法向量為，，則令，得.因?yàn)?，且由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.20.解：（1）依題意可得解得，，故的方程為.（2）由題意可得直線的斜率不為0，設(shè)的方程為，設(shè)，，聯(lián)立得，則，，.直線：，直線：，聯(lián)立與，消去得，解得，所以點(diǎn)在定直線上.因?yàn)橹本€與直線之間的距離為，所以點(diǎn)P到直線的距離為定值，且定值為.21.（1）解：由，得，則，.故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）證明：由，，且，不妨設(shè)，，，則證明等價(jià)于證明，，即證.令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故，，即，，則.要證，只需證.令，則.令，得.令，，則令，，則在上恒成立，則，則在上恒成立，則單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，則，則，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，則，單調(diào)遞增