2023-2024學(xué)年武漢市19中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年武漢市19中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考試卷

（試卷滿分為150分，時間為120分鐘）2023.10.4

一、單選題

1.連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為m,n,記，=加+〃，則下列說法正確的是（）

1

A.事件“，=12”的概率為21B.事件“t是奇數(shù)”與“相="”互為對立事件

C.事件"=2"與“73”互為互斥事件D.事件“，>8且，"”<32，，的概率為］

2.如圖，在平行六面體488-4印淪中，M在AC上，且A"="'N在上，且”=2汨.設(shè)

AB=a,AD=b,3，則MN=

11,11/111,211

——a+—b+—ca+—b——c—a——b——c——a+bk+—c

A.333B.33c.333D.33

3.已知空間三點(diǎn)A（°J，2）,B（l,3,5）,C（2,5,4-女）在一條直線上，則實(shí)數(shù)4的值是（）

A.2B.4C.-4D.-2

4.已知直線/的方程為xsina+6y-l=0,aeR,則直線/的傾斜角范圍是（）

兀2兀

.喝愕"）c.t鋁D

5.在長方體A88-A4GA中，AB=BC=\,例=6,則異面直線A"與所成角的余弦值為

A.5B.6C.5D.2

6.如圖，在60°二面角的棱上有兩點(diǎn)A、B,線段AC、BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直

于棱AB,若M=AC=8D=4,則線段CD的長為（）

A.B.16C.8D.4&

1

7.如圖，平行六面體AB8-A8￡A的底面ABC。是矩形，AB=M,AD=M,9=2應(yīng)，且

NA"=NAA8=60。，則線段AG的長為（）

A.2瓜B.2石c,而D.3

8.某知識問答競賽需要三人組隊參加，比賽分為初賽、復(fù)賽、決賽三個階段，每個階段比賽中，如果一

支隊伍中至少有一人通過，則這支隊伍通過此階段.已知甲、乙、丙三人組隊參加，若甲通過每個階段比

231

賽的概率均為5,乙通過每個階段比賽的概率均為5,丙通過每個階段比賽的概率均為E,且三人每次

通過與否互不影響，則這支隊伍進(jìn)入決賽的概率為（）

224196141

A.225B.225C.D.25

二、多選題

9.（多選）下列說法正確的是（）

"=1

A.不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以表示為。b

B.若直線與兩軸交點(diǎn)分別為A、B且AB的中點(diǎn)為（4,1）則直線1的方程為82

C.過點(diǎn)（1,1）且在兩軸上截距相等的直線方程為y=x或x+y=2

D.直線3x—2y=4的截距式方程為3

10.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）

A.若直線/的方向向量為e=（l，°3,平面a的法向量為〃聞，則直線/〃a

B.已知。，b,c為空間的一個基底，若祖=a+c,則也是空間的基底

OP=-OA+-OB+-OC

C.若對空間中任意一點(diǎn)°,有632,則尸，A,B,C四點(diǎn)共面

D.平面a的一個法向量為"=（122）,點(diǎn)入（3,1,0）為。內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面a的距離為2

11.下列說法正確的是（）

A.甲乙兩人獨(dú)立的解題，已知各人能解出的概率分別是0$和025,則題被解出的概率是0125

2

B.若A,B是互斥事件，則尸(Au8)=P(A)+P(8),尸(43)=0

C.某校200名教師的職稱分布情況如下：高級占比20%,中級占比30%,初級占比50%,現(xiàn)從中抽取50

名教師做樣本，若采用分層抽樣方法，則高級教師應(yīng)抽取10人

2

D.一位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列，則兩位女生相鄰的概率是與

12.下列命題正確的是（）

A.若尸是平面a的一個法向量，A,8是直線人上不同的兩點(diǎn)，則匕Pa的充要條件是=°

212

4°「OP^-OA+-OB+-OC

B.已知A，B,C三點(diǎn)不共線，對于空間中任意一點(diǎn)°,若555,則「，人民。四點(diǎn)共

面

_1

C,已知a=（T，L2）,A=（O,2,3）,若hz+0與2a—石垂直，則k=4

D.已知-A5C的頂點(diǎn)分別為A（T/，2），8（4,l,4）,C（3,—2,2）,則AC邊上的高80的長為相

三、填空題

13.已知直線1的一個方向向量為〃'：=（1'亞'-1）,若點(diǎn)尸（—LLT）為直線1外一點(diǎn)，“（4L—2）為直線）

上一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線1的距離為

14.四面體OABC中，M,N分別是OA,CB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且使MG=2GN,若

OG=xOA+yOB+zOC則x+y+z=

15.口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同的小球，從中取出2球，事件A="取出的兩球同色”，

8="取出的2球中至少有一個黃球"，C="取出的2球至少有一個白球”，。="取出的兩球不同色"，E=

“取出的2球中至多有一個白球”.下列判斷中正確的序號為

①A與。為對立事件；②8與C是互斥事件；③C與E是對立事件：④尸（0初=1；⑤P（8）=尸傳）.

16.直線/過點(diǎn)M（T，2）,且與以「（YlI）、Q（3，°）為端點(diǎn)的線段相交，則直線/的斜率的取值范圍

是.

四、解答題

17.已知至。的頂點(diǎn)人㈠㈤，8（5,7）,C（5,l）

（1）求AB邊上的中線所在直線的方程；

⑵求經(jīng)過點(diǎn)A,且在x軸上的截距和y軸上的截距相等的直線的方程.

18.在直三棱柱48C-中，N43C=90,AB=BC=1,8旦=2

3

(1)求異面直線8c與AC所成角的正切值；

(2)求直線BC與平面A/。所成角的余弦值.

19.已知空間中三點(diǎn)A(2,°，一2),5(1,-1,-2),C(3,0,T),設(shè)a=A8,b=AC

(1)若H=3,且C//8C,求向量c；

(2)已知向量B與力互相垂直，求女的值；

(3)求的面積.

20.如圖，在棱長為2的正方體A8C0-中，E,F分別是A4,G0的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)4到平面尸的距離；

⑵若G是棱AB上一點(diǎn)，當(dāng)0G〃平面OEF時，求AG的長.

21.2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，為了使全體黨員進(jìn)一步堅定理想信念，傳承紅色基因，市教育

局以“學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事、開新局''為主題進(jìn)行“黨史”教育，并舉辦由全體黨員參加的“學(xué)黨史”知識競

賽.競賽共設(shè)100個小題，每個小題1分，共100分.現(xiàn)隨機(jī)抽取1000名黨員的成績進(jìn)行統(tǒng)計，并將成績

分成以下七組：P2,7可」76,8。)，[8。,84)"84,88),[88,92),[92,96),[96,100),并繪制成如圖所

示的頻率分布直方圖.

4

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這1000名黨員成績的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)；

(2)用分層隨機(jī)抽樣的方法從低于80分的黨員中抽取5人，若在這5人中任選2人進(jìn)行問卷調(diào)查，求這2

人中至少有1人成績低于76分的概率.

22.如圖，在正四棱柱A8CO-A4GR中，AB=2,A4,=4.點(diǎn)4,%G，2分別在棱明，3瓦,CC|,°R

l，（AA,=1,BB2=DD2=2,CC2=3

⑴證明：B2C2//A2D2.

⑵點(diǎn)尸在棱期上,當(dāng)二面角尸一右。2-。2為150。時，求B2P.

1.D

【分析】計算出事件“t=12”的概率可判斷A；根據(jù)對立事件的概念，可判斷B；根據(jù)互斥事件的概念,

可判斷C；計算出事件“t>8且mn<32”的概率可判斷D；

【詳解】連擲一枚均勻的骰子兩次，

所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為m,n,則共有6x6=36個基本事件，

記t=m+n,

I

則事件“t=12”必須兩次都擲出6點(diǎn)，則事件“t=12”的概率為36,故A錯誤；

事件“t是奇數(shù)”與“m=n”為互斥不對立事件,如事件m=3,n=5,故B錯誤；

事件“t=2”與“怦3”不是互斥事件，故C錯誤；

事件“t>8且mnV32”有

5

[m=3pn=4卜〃=4[tn=5{m=5pn=5pn=6pn=6f/n=6

[”=6'[”=5[〃=6[〃=4'[“=5[”=6[〃=3'["=4[〃=5共9個基本事件，

故事件“t>8且mn<32”的概率為4,故D正確；

故選：D.

2.A

【解析】利用向量回路方法”Nn3+M+AN運(yùn)算求解即可.

AA/=—MC4p*iKTczr\

【詳解】解：因?yàn)镸在AC上，且2,N在AQ上，且AN=2NO,

-1___2-

AM=-ACA,N=-A,D

所以3,'3',

在平行六面體A8CO-AB|C|°中，AB=a,AD=h,M=c,

UUL1p1Ai

所以AC=a+6,A.D=b-ef

MN=MA+AAj+AN=--AC+AA]+—\D

所以33

1/?八2萬、111

=--(a+b)+c+—(b-c)=-—a+-bf+-c

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，利用向量回路方法MN=M4+A4,+aN是常用的方法

3.C

【解析】根據(jù)三點(diǎn)在一條直線上，利用向量共線原理，解出實(shí)數(shù)后的值.

【詳解】解：因?yàn)榭臻g三點(diǎn)4°，1，2),B(l,3,5),C(2,5,4-Q在一條直線上，

所以AB=(1,2,3),AC=(2,4,2-A)

故AC=2AB

所以/=Y.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查向量共線原理，屬于基礎(chǔ)題.

4.B

【分析】計算L°。」，再考慮LJ」和L,兩種情況，得到傾斜角范圍.

廠.旦仆［-回叵

［詳解］%sina+gy-l=0,則3L33.

6

o[o<0<^k=tan0e

設(shè)直線/的傾斜角為故

kw0，V6>e0,-

所以當(dāng)L'」時，直線/的傾斜角L6

kw6>e—,7i

當(dāng)L)時，直線’的傾斜角L6

0e0,—o—,7t

綜上所述：直線/的傾斜角L6」L6

故選：B

5.C

【詳解】分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角

與線線角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果.

詳解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

0(0,0,0),4(1,0,0),B/1,1,6),〃(0,0,6),所以期=(-1,0,73),DB、=(1,1,G),

AD「DB]=-1+3=@

cos〈AR,O8])=

\ADt\\DBt\2x5/55,所以異面直線岫與陰所成角的余弦值為彳，選仁

因?yàn)?/p>

點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破"建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;

第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)

用公式關(guān)

6.D

【分析】分別過點(diǎn)A、點(diǎn)。作B。、48的平行線相交于點(diǎn)E,連接CE,則由題意可知A4CE為等邊三

角形，ACDE為直角三角形,求解CO即可.

【詳解】分別過點(diǎn)A、點(diǎn)。作3￡>、AB的平行線相交于點(diǎn)E,連接CE,

則四邊形ABDE為平行四邊形.

線段AC、BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱AB.

ACLAB,則為二面角的平面角，即NC4E=60

AB=AC=8O=4

.-.AC^BD^AE=AB=DE=4,如圖所示.

二.山為等邊三角形，CE=4

7

ACLDE,AELDE,ACcAE=A,ACu平面ACE,AEu平面ACE

.,.DE_L平面ACE

又?.CEu平面ACE

DEICE

在RtACDE中CD—>/CE2+DE2—54,+42=4A/2

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查空間的距離問題，屬于中檔題.

7.B

【分析】根據(jù)題意，由AG=AC+CG,轉(zhuǎn)化為向量的模長，然后結(jié)合空間向量數(shù)量積運(yùn)算，即可得到

結(jié)果.

【詳解】由AG=AC+CG,可得|AC『=AC：=(AC+CCJ=4C2+2ACCC+CC：,

因?yàn)榈酌鏋榫匦?，AB=6,AD=&,AA=2五，

所以AC2=M『=2+2=4,CC：=|CG|2=8,

ACCC,=(A8+A。｝CG=ABVC、+ADCC,

0

=|/1B|.|CC,|.COS60+|AD|-|CCI|-COS60°=V2X2>/2X-!-+5/2X2>/2X-!--4

22,

所以kG『=kc『+2AC，CG+|CG『=4+2x4+8=20則,弓卜26

故選：B

8.B

.12114

1--x—x—=—

【分析】根據(jù)題意可得這支隊伍通過每個階段比賽的概率為35215,利用相互獨(dú)立事件的概率

計算可得出結(jié)果.

【詳解】“至少有一人通過”的對立事件為“三人全部未通過“，

,12114

I--x_x_=__

則這支隊伍通過每個階段比賽的概率為352~15,

<14?=|96196

所以他們連續(xù)通過初賽和復(fù)賽的概率為115)225,即進(jìn)入決賽的概率為石.

故選：B

9.BCD

【分析】A中，截距式方程不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，即可判斷；

B中，直接利用截距式方程判斷；

C中，直接求出過點(diǎn)(1,1)且在兩軸上截距相等的直線方程，即可判斷;

D中，直接化為截距式方程判斷.

8

【詳解】A中，與坐標(biāo)軸垂直的直線也不能用截距式表示，故A錯；

￡+2=1

B中，AB的中點(diǎn)為(4,1),那么A(8,0),B(0,2)的直線方程為1萬

故B對；

C中過原點(diǎn)時，直線為y=x,不過原點(diǎn)時直線為x+y=2,故C對；

D中，方程3x-2y=4可化為3，故D對.

故選：BCD

10.BCD

【分析】根據(jù)線面垂直、基底、共面、點(diǎn)面距等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】A選項(xiàng)，雖然e-〃=-2+2=0,但是無法判斷/是否在平面a外，所以A選項(xiàng)錯誤.

B選項(xiàng)，由于機(jī)=a+c,所以共面，

由于。，b,C為空間的一個基底，即匕與,不共面，也即匕與機(jī)不共面，

所以｛"'"'心｝也是空間的基底，所以B選項(xiàng)正確.

OP=-OA+-OB+-OC

C選項(xiàng)，由632,

卓0尸一OC=：(OA-OC)+；(OB-OC)

所以63,所以CP,。,C8共面，所以P,AB,C四點(diǎn)共面，所以c選項(xiàng)正確.

PAn6.

D選項(xiàng)，PA=(2，1，1),所以尸到平面a的距離是HI',D選項(xiàng)正確.

故選：BCD

11.BCD

【分析】用對立事件判斷A;根據(jù)互斥事件的概念判斷B;根據(jù)分層抽樣方法判斷C;根據(jù)排列組合公式求

出位女生相鄰的概率，從而判斷D.

3

…(1-0.5)(1-0.25)=-

【詳解】,?,他們各自解出的概率分別是0?5和。25,,則此題不能解出的概率為8,

?35

則此題解出的概率為88,A選項(xiàng)錯，

若A、8是互斥事件，則尸(4U8)=P(A)+P(B),P(A8)=0,B選項(xiàng)對，

高級教師應(yīng)抽取時50x20%=10人，C選項(xiàng)對，

p=A._4_2

由題意可得女生相鄰的概率入；63；D選項(xiàng)對，

故選BCD.

12.BCD

9

【分析】直接利用法向量和向量垂直的充要條件的應(yīng)用判定A的結(jié)論，利用共面向量的充要條件判斷B

的結(jié)論，利用向量垂直的充要條件判定C的結(jié)論，利用空間坐標(biāo)中點(diǎn)到之直線的距離求解高8。的值判

定D的結(jié)論.

【詳解】若P是平面a的一個法向量，直線人上有不同的兩點(diǎn)A,B,當(dāng)〃uc時,

即使=也不能說明匕//a,故A錯誤；

212212

。尸=-04+—。8+—0。-(OP-OA)=-(OB-OP)+-(OC-OP)

若555,則555,

A尸=—PB+PC

所以2,所以P,AB,C四點(diǎn)共面，故B正確；

由題意可得妨+"=(一"'"+2,2?+3),24-6=(-2,0,1),若ka+b與2a-b垂直，

3

,(ka+bY(2a-b]=2k+2k+3=0，…卜=一二

則rl')')，解得4,故C正確；

由題意可得AB=(5,0,2),AC=(4.-3,0),則AC邊上的高8。的長即為點(diǎn)8到直線AC的距離

220+0+0)er

即二AB-25+4-

7,故D正確.

故選：BCD.

13.后

【分析】直接利用空間中點(diǎn)到線的距離公式計算即可.

rz1(11\

m=2

2-2-

k

【詳解】由題意可得1的一個單位方向向量為

AP=(-5,0,1)

d=AP2-4P消=J26-9=VF7

故點(diǎn)P到直線1的距離11忸D

故答案為：拒.

5

14.6

【分析】根據(jù)題意，由空間向量的線性運(yùn)算，代入計算，即可得到結(jié)果.

10

1Q1Q

OG=OM+MG=-OA+-MN=-OA+-（ON-OM}

因?yàn)?323、）

=-0A+--（OB+OC]--OA=-OA+-OB+-OC

23|_2、，2」633

I15

又0AO8QC不共面，..「一不'）_"一§,貝

5

故答案為:6.

15.①④

【分析】在①中，由對立事件定義得A與。為對立事件；有②中，8與C有可能同時發(fā)生；在③中，C與

E有可能同時發(fā)生；在④中，(C)+P(E)-P(C?=1；在⑤中C#8,從而尸(B)豐P(C).

【詳解】口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同小球，從中取出2球，

事件A="取出的兩球同色"，B="取出的2球中至少有一個黃球”，

C="取出的2球至少有一個白球"，D="取出的兩球不同色"，E="取出的2球中至多有一個白球”,

①，由對立事件定義得A與。為對立事件，故①正確；

②，8與C有可能同時發(fā)生，故8與C不是互斥事件，故②錯誤；

③，C與E有可能同時發(fā)生，不是對立事件，故③錯誤；

63148

=1--=-=TTP(CE)=—

④，P(C)155,P(E)15,15,

從而P(C,E)=P(C)+P(E)-P(CE)=1,故④正確；

⑤，C#B,從而尸(B)wP(C),故⑤錯誤.

故答案為：①④.

【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，考查對立互斥事件，解題時要認(rèn)真審題，注意對立事件、

互斥事件等基本概念的合理運(yùn)用.

-8,一；[1,+00)

16.I2」

【分析】作出圖形，求出⑥。、工觀察直線/與線段PQ的交點(diǎn)運(yùn)動的過程中，直線’的傾斜角的變化,

可得出直線/的取值范圍.

【詳解】如下圖所示：設(shè)過點(diǎn)M且與X軸垂直的直線交線段尸。于點(diǎn)A,設(shè)直線/的斜率為

11

當(dāng)點(diǎn)8從點(diǎn)尸移動到點(diǎn)A（不包括點(diǎn)A）的過程中，直線/的傾斜角為銳角,

此時，k~kW=X.

當(dāng)點(diǎn)8從點(diǎn)A（不包括點(diǎn)A）移動到點(diǎn)。的過程中，直線/的傾斜角為鈍角,

..k&=-彳

此時，2.

綜上所述，直線/的斜率的取值范圍是

[y,一：[1,+00）

故答案為：I2」

17.⑴5x+4y-29=0

⑵5x+3y=0或x+y-2=0.

【分析】（1）先利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段AB的中點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)式即可求出所求;

（2）分類討論截距是否為0的情況，再利用截距式即可求得所求.

【詳解】（1）線段A8的中點(diǎn)為0a6,

y-6_x-1

則中線所在直線方程為：言一打，即5x+4y-29=0

（2）設(shè)兩坐標(biāo)軸上的截距為°力，

I-=5-0=5

若。=6=0,則直線經(jīng)過原點(diǎn)，斜率一方5一一§,

5

V---X

直線方程為3,即5x+3y=0；

若a=b鈍,則設(shè)直線方程為。。，即》+尸"=。，

把點(diǎn)A（-3,5）代入得_3+5-。=0,即a=2,直線方程為犬+尸2=0；

綜上，所求直線方程為5?3丫=°或x+y-2=o.

12

叵

18.（1）石；（2）5.

【解析】以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA、BC、84所在直線分別為犬、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系3-個巳

（1）利用空間向量法求出4G與AC所成角的余弦值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得出答案；

（2）利用空間向量法求出直線8c與平面ABC所成角的正弦值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得

出答案.

【詳解】在直三棱柱A'。-A8C中，ABC=90,以點(diǎn)8為坐標(biāo)原點(diǎn)，54、BC、^所在直線分別

為X、V、z軸建立空間直角坐標(biāo)系型，如下圖所示：

則點(diǎn)A（1,O,O）A（1,0,2）磯0,0,0）4（0,0,2）、C（0,l,0）C,（0,1,2）

（1）設(shè)異面直線4G與AC所成角為a,耳G=（（）,l,0）,AC=（-l,l,-2）,

cos<B,C,,>=|g'C'|'|A'C|==—瓜N/30

1X766,即cosa=w,.?.sina=-r,

_sina_6

則a。,一嬴￡一，因此，異面直線與&與AC所成角的正切值為石；

（2）設(shè)直線8c與平面A8C所成角為夕，設(shè)平面A8C的一個法向量為〃=（x，y，z）,

網(wǎng)=（1,0,2）8c=（0,1,0）gC=（O,l,-2）

n-BA]=x+2z=0\x~-2z

由1〃4C=y=0,得jy=O,取z=-l,得〃=（2，。，-1）,

所以，平面A"。的一個法向量為"=（2,0，T）,

13

COS<B]C,n>=]■-~F=-7=7=~~2Qr.；~~2nV21

B.C-kA/5XV55sin/7n=-cos/?=^l-sin^=—

I1III,5,則5.

721

因此，直線BC與平面ABC所成角的余弦值為丁

【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角和直線與平面所成的角的計算，解題的關(guān)鍵就是建立空間直角坐標(biāo)

系，利用空間向量法求解，考查計算能力，屬于中等題.

，2

19.⑴C=（2/L2）或c=（-2,-l,2）；（2）5.（3）2

【分析】（1）首先求出8C的坐標(biāo)，由C//BC,可設(shè)c=mBC,利用H=3,求出參數(shù)的值，即可求出結(jié)

果.

（2）首先表示出版+6的坐標(biāo)，由向量鼠，+〃與〃互相垂直，得到（族+4此。，即可求出％的值.

.、/、/、cos<AB,AC>=-------------

(3)求出AB=(T，T，°),AC=(l,0,-2),BC=(2,l,-2),148MAe|,再由同角三角函數(shù)的

基本關(guān)系求出Bn<AB.AC>,最后由面積公式求出A4BC的面積.

【詳解】解：⑴空間中三點(diǎn)”(2。一2),3(1,-1,-2),C(3,0T),設(shè)a=A8,b=AC,

所以a=A3=(l,-l,-2)-(2,0,-2)=(-l,-l,0),

〃=AC=(3,(),T)-(2,0,-2)=(l,0,-2),

.,fiC=(3,0,-4)-(l,-l,-2)=(2,l,-2)i

lcl=3,nAIBC,設(shè)°=加比

.c-mBC=-2)=(2肛肛一2〃?)

2m)2+(-㈤2+(2〃?)2=3pn|=3

:.m=±\,c=(2，L-2)或。=(-2,-1,2),

(2)版+〃=%(-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1_太-%,-2)/?=(1,0,-2)

且向量h+b與〃互相垂直，

,平a+b“=l-&+4=0,解得％=5.

?-k的值是5.

14

⑶因?yàn)?4C=(l,0,-2),BC=(2,l,-2)

,AB.AC=-l,網(wǎng)=J(-】『+(T)2=^,困="+(-2)"

W_T___

/.cos<AB,AC>=

\AB\.\AC42.45~而

sin<AB,AC>=

S

MBC=gx|AB|X|AC|Xsin<AB,AC>

=—X-72X-75X—

2M

3

2

【點(diǎn)睛】本題考查向量的求法，考查實(shí)數(shù)值、三角形的面積的求法，考查向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量垂直、

三角形面積等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

25]_

20.(1)7(2)2

【分析】（1）將點(diǎn)到平面的距離問題轉(zhuǎn)化為直線與平面所成角相關(guān)問題，再運(yùn)用空間向量法求解直線與

平面所成角的相關(guān)三角函數(shù)值，進(jìn)而得出的結(jié)果；

（2）先將線面平行問題轉(zhuǎn)化為直線與平面的法向量的夾角為0,再運(yùn)用空間向量法列等式可求解相應(yīng)點(diǎn)

的坐標(biāo)，進(jìn)而確定線段的長.

【詳解】（1）如圖，以頂點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以線段。人力。，。2所在直線為％y,z軸建立坐標(biāo)系.

根據(jù)題意，圖中各點(diǎn)坐標(biāo)可表示為仇°Q°），E（2，°，1），"（°，1，2），4（2,2,2）

=（2,0,1）,=（0」,2）,即=（2,2,2）

設(shè)平面DEF的法向量為"=（%%z）,直線DBt與平面DEF的夾角為

點(diǎn)B'到平面DEF的距離為d，則，

15

ivDE=0j2x+z=0

〃力F=。即，1y+2z=0取〃=(1,4,—2),則有,

\n-DBt\|(1,4,-2X)|_V7

sin6=

同投V21?#3一7

:.d=l^l-sin6=28夸=

2匹

所以點(diǎn)“到平面OEF的距離Z-.

（2）根據(jù)（1）可設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，皿°）,點(diǎn)G的坐標(biāo)為（°，2,2）,"=。，4,一2）

二.C］G=（2,iTi-2,-2）

當(dāng)GG//平面戶時，GG〃=0即，2+4（m-2）+4=0

1

m--

解得2.

￡

故AG的長為5.

7

21.（1）86,86,86⑵10

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求得眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù).

（2）利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計算公式求