2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)收官卷2含解析（浙江專用）

2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)收官卷02（浙江專用）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.）

1.（2022?浙江?紹興一中高三期中）若集合M={x|log2X<4},N={x|2xNl},則McN=（）

A.1x[0<x<81B.{xgwxvg}C.{x|2<x<161D.<x<161

【答案】D

【詳解】M={x|log2x<4}={x|0<x<16},N=<jx|x2；},則McN=卜]M％<16〉

故選：D.

2.（2022?浙江?高考真題）已知a,6eR,a+3i=S+i）i（i為虛數(shù)單位），則（）

A.”=1,%=-3B.a=-\,b=3C.a=-l,b=-3D.a=\,b=3

【答案】B

【詳解】a+3i=-]+bi,而a,6為實(shí)數(shù)，故a=-l力=3,

故選:B.

3.（2022?浙江省杭州第二中學(xué)高三階段練習(xí)）“sina—cosa=l”是“sin2a=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】若sina-cosa=l,則（sina-cosa）?=l-2sinacosa=1-sin2a=1,BPsin2a=0.

若sin2a=0,Jlllsin2a+cos2a-sin2a=（sina-cosa）2=1,則sina-cosa=±1.

故"sina-cosa=l"是"sin2a=（）”的充分不必要條件.

故選：A

4.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）已知俳零向量AB與AC滿足爵=器且濡?胎則'為

（）

A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形

C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形

【答案】D

AB.BCCA.BC

【詳解】解：中,

ABCIS-MCI

AB.BCCA.BC

\AB\x\BC\~\AC\x\BC\

cos<AB，BC>=cos<CA，BC>，

1

..B=C,ABC是等腰三角形;

ABAC1

又---?----=―

\AB\\AC\2

/.1xlxcosA=—,

2

cosA=—,A=—,

23

二_ABC是等邊三角形.

故選：D.

5.（2022?浙江金華?三模）已知雙曲線G1r-4=1（。>0/>0）,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，/為雙曲線C的左

焦點(diǎn)，若C的右支上存在一點(diǎn)尸，使得△OEP外接圓M的半徑為1,且四邊形MFOP為菱形，則雙曲線C的

離心率是（）

A.&+1B.6+1C.6-1D.2

【答案】B

如圖所示，設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為尸，連接尸尸

因?yàn)锳OFP外接圓〃的半徑為1,則|附=\MF\=\MP\=\

又四邊形M">P為菱形，所以|OF'|=|O同=|阿=1

則△MO尸為正三角形，所以NMFO=60,NPFO=NFPO=30

因?yàn)椤Ｊ∕b,所以NPOF'=/MR9=60，又|。尸|=|?！?

所以△OPk為正三角形，所以/OPF'=60,所以NFPF'=90

在RtZXFPF'中，|EF'|=2c=2,|P目=|EF[cos30=百，|PF|=1

所以|P可-|PF|=g-1=2“

2c2/-

所以"五二京

故選：B

6.（2022?浙江?海寧中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）第19屆亞運(yùn)會(huì)即將于2022年9月10日至9月25日在美麗的西子

2

湖畔杭州召開，為了辦好這一屆“中國(guó)特色、浙江風(fēng)采、杭州韻味、精彩紛呈”的體育文化盛會(huì)，杭州亞

運(yùn)會(huì)組委會(huì)決定進(jìn)行賽會(huì)志愿者招募，此舉得到在杭大學(xué)生的踴躍支持.某高校3男同學(xué)和2位女同學(xué)通過

篩選加入志愿者服務(wù)，通過培訓(xùn)，擬安排在游泳、籃球、射擊、體操四個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行志愿者服務(wù)，這四個(gè)項(xiàng)

目都有人參加，要求2位女同學(xué)不安排一起，且男同學(xué)小王、女同學(xué)大雅由于專業(yè)需要必須分開，則不同

的安排方法種數(shù)有（）

A.144B.150C.168D.192

【答案】1）

【詳解】解：由題可得，參與志愿服務(wù)的項(xiàng)目人數(shù)為：2,1,1,1,

若沒有限制則共有C>A：=240種安排方法；

當(dāng)兩個(gè)女同學(xué)在一起有A：=24種安排方法：

當(dāng)男同學(xué)小王、女同學(xué)大雅在一起有A：=24種方法，

所以當(dāng)要求2位女同學(xué)不安排一起，且男同學(xué)小王、女同學(xué)大雅由于專業(yè)需要必須分開，

則不同的安排方法種數(shù)有240-24-24=192種安排方法，

故選：D

7.（2022?浙江紹興?一模）第二十二屆世界杯足球賽將于2022年11月20日在卡塔爾舉行，東道主卡塔

爾與厄瓜多爾、塞內(nèi)加爾、荷蘭分在A組進(jìn)行單循環(huán)小組賽（每?jī)申?duì)只進(jìn)行一場(chǎng)比賽），每場(chǎng)小組賽結(jié)果

相互獨(dú)立.已知東道主卡塔爾與厄瓜多爾、塞內(nèi)加爾、荷蘭比賽獲勝的概率分別為Pi、⑶、幺，且

Pl>P2>>0.記卡塔爾連勝兩場(chǎng)的概率為P,則（）

A.卡塔爾在第二場(chǎng)與厄瓜多爾比賽，。最大

B.卡塔爾在第二場(chǎng)與塞內(nèi)加爾比賽，。最大

C.卡塔爾在第二場(chǎng)與荷蘭比賽，〃最大

D.。與卡塔爾和厄瓜多爾、塞內(nèi)加爾、荷蘭的比賽次序無關(guān)

【答案】A

【詳解】因?yàn)榭ㄋ栠B勝兩場(chǎng)，則第二場(chǎng)卡塔爾必勝，

①設(shè)卡塔爾在第二場(chǎng)與厄瓜多爾比賽，且連勝兩場(chǎng)的概率為《，

則6=2（1-「2）口生+2（1-P3）PW2=2P］（P2+P3）-4P|P2P3；

②設(shè)卡塔爾在第二場(chǎng)與塞內(nèi)加爾比賽，且兩場(chǎng)連勝的概率為￡,

則P2=2（"pjp2P3+2（"pjP1P2=2P式Pl+P3）TpRP3;

③設(shè)卡塔爾在第二場(chǎng)與荷蘭比賽，且兩場(chǎng)連勝的概率為A，

則A=2（1-0）p2P3+2（1-P2）PlP3=2P3（Pi+P2）-4P|P2P3?

所以，q_g=2p3（R_p2）>0,4一8=202（。1一科）>°，

g_R=2p\（p2_pj>G,所以，Pt>P2>P,,

3

因此，卡塔爾在第二場(chǎng)與厄瓜多爾比賽，?最大，A對(duì)，BCD錯(cuò).

故選：A.

8.(2022?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè))定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足，(2-x)=/(w+2),當(dāng)XG［0,2］時(shí),

=(五)'，若在區(qū)間xe［0,10］內(nèi)，函數(shù)g(x)=/(x)-(犬+1廣有個(gè)5零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

B.(O.logneju^Jog^j

A.(0,logne)

c.1喻總)

D.flog|1e,|Lfplog7e

【答案】B

【詳解】由題意知，

函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且/(2-x)=f(2+x),

令xfx+2,則/(2-x—2)=/(-x)=/(x+4)=/(x),

所以函數(shù)Ax)是以4為周期的函數(shù).

當(dāng)xe[-2,0]時(shí)，-xe[0,2],

所以f(-x)=(4)-*,即當(dāng)xe[-2,0]時(shí)f(x)=(m)t,

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=/?-(1+x)"'在［0,10］上有5個(gè)零點(diǎn)，

所以方程/(x)-(l+x)M=0在［0』0］上有5個(gè)根，

即函數(shù)圖象y=f(x)與丫=(1+》廣在［0,10］上有5個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖,

設(shè)p(x)=(l+x)"',貝|Jp'(x)=m(l+x)"T,

當(dāng)機(jī)4；,p'(0)vr(0),

所以在xe[0,2]時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)~(x+l)m只有一個(gè)零點(diǎn),

此時(shí)，若要使圖象y=/(x)與y=(1+X)”在［0,10］上有5個(gè)不同的交點(diǎn),

則0+10)'"4/(10),w<logne,所以0<，〃Wlog”e；

當(dāng)機(jī)>；時(shí)，/(0)>/'(0),

4

所以在xG[0,2]時(shí),函數(shù)g（x）=f（x）-（x+1）”有兩個(gè)零點(diǎn),

T'<e

所以（1+6f</（6）Ji（l+10）H，>/（10）,即]],“>e，

解得g<m<log7e,

故卬的取值范圍為（0,啕e]唱log?e）.

故選：B.

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選

對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）

9.（2022?江蘇江蘇?一模）記S“為等差數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和，則（）

A.S6=2S4-S2B.S6=3（S4-S2）

C.%,S4?-52?,$6“/“成等差數(shù)列D.冬冬，之成等差數(shù)列

246

【答案】BCD

【詳解】由已知得,

A選項(xiàng),S6=6ai+\5d,S4=4a,+6J,S2-2ax+d,所以2s4-S2=64+1IdH§6,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，3（54-52）=6^+15rf=S6,B選項(xiàng)正確；

2

C選項(xiàng)，S2n=2a｝n+n（2n-\）d=2a1n+（2n-n^d,S4w=4a[n+2n^4n-1）d,S6n=6aln-l-3n^6n-l）d,

S.-§2〃=勿4+（6/-q。，$6〃一54.=2w+（10//—〃）d,貝ij

2

s2+s6n-S4n=4atn+（12/-2"）d=2[勿4+（6n-n）j]=2（S4n-S2n）,C選項(xiàng)正確;

門5,2a.+ddS,4a,+6d3,S6?.+15J5.S,S__,.S

D選項(xiàng)，」=—!——=a.+~,.=—!----=a.+-d,』h=—!-----=4+—4,則二+』h=2q+3d=2x上4，

2224426612264

D選項(xiàng)正確；

故選：BCD.

10.（2022?浙江?海寧一中高二期中）已知正方體4B8-4ACQ的棱長(zhǎng)為4,E為BC的中點(diǎn)，尸為線

段CG上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)4瓦尸的平面截該正方體所得的截面記為S,下列說法中正確的是（）

5

AG

A.當(dāng)尸為線段CG中點(diǎn)時(shí)?，S為等腰梯形

4

B.當(dāng)b=3時(shí)，S與G。的交點(diǎn)G滿足GG=§

C.當(dāng)3<C尸<4時(shí)，S為六邊形

D.三棱錐。廠。8尸的體積為定值

【答案】ABD

【詳解】A中，當(dāng)尸為線段CG中點(diǎn)時(shí)，易知EF〃8G，BCJ/AD、

所以EF〃曲，截面S為梯形AEFD、,A正確；

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則反4,2,0),尸(4,4,3),設(shè)G(m,4,4),

因?yàn)?,E,F,G四點(diǎn)共面，所以4G,AE,4尸共面，

所以存在x,y使得AG=xAE+yAF

4x+4y=m

即(九4,4)=x(4,2,0)+y(4,4,3),即2x+4y=4,

3y=4

Q4

解得，〃)，所以co、，B正確，

7

如圖，當(dāng)3vC/v4時(shí)，設(shè)尸(4,4,5),"(0,〃,4),G(/X,4,4),

6

在平面內(nèi)作AHEF,交AQ于點(diǎn)〃，在平面ABCQ作“GAE,交GR于點(diǎn)&

7

則AE=(4,2,0),EF=(0,2,-),AH=(0,”,4),HG=(加,4一〃,0)

2

由(0,”,4)="0,2,2)得〃=3,(見4一〃,0)=4(4,2,0)得利=1

27

所以，A.E、F、G、〃五點(diǎn)共面，即截面為五邊形4分故C錯(cuò)誤;

1132

由圖知，叫F=3x5。。D正確.

故選：ABD

11.（2022?浙江杭州?高三期中）已知函數(shù)〃x）=Asin（s+：）+B（A>O,0>O）,（）.

A.若〃x）在區(qū)間:弓上單調(diào)，則0<°?0

B.將函數(shù)y=/（x）的圖象向左平移;個(gè)單位得到曲線G若曲線C對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，0最小值為3

Q14

C.函數(shù)y=〃x）在區(qū)間（0,兀）上恰有三個(gè)極值點(diǎn)，則

D.關(guān)于x的方程〃x）=^A+B在（0,兀）上有兩個(gè)不同的解，則

7

【答案】BCD

■、*hn、-rIT**兀3兀兀rCDTLTt兀］

【詳解】對(duì)于A,xe,69X+-G,

144」44444

「1-+->2k7T--

若“X）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則:42

'/44兀,…冗

-------+—W2ATT+一

4--42

Q11

國(guó)軍得82—3WgW—%H—,又左EZ,69>0,所以0<tyW—,

333

①兀兀、~71

-—H—22k?i-\—

若〃x)在區(qū)間7，v上單調(diào)遞減，貝I」；42

'，443a)n兀,…3冗

442

解得8Z+1W69W---1—,又ZeZ,69>0,所以,

333

綜上，或1404：,A錯(cuò)誤；

33

對(duì)于B,y=〃x)的圖象向左平移5個(gè)單位得到g(x)=Asin"+等+升8,

若g(x)為偶函數(shù)，則有望+：=&無+5，解得。=2左+g,keZ,

而<y>0,所以。最小值為B正確；

對(duì)于C,XG(0,71),(DX-\--6(一,OJJlH--),

、444

函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0,兀)上恰有三個(gè)極值點(diǎn)，則有曰<麗+：《日，

解得：49<^<143,c正確；

44

對(duì)于D,/")=等A+B,即sin[s+：]=等，

/八\兀/兀兀、n.i9兀兀，11兀

X￡(0,兀)，(OXHG(一,6971~\),貝IJ<6971H?,

\444444

解得：，D正確.

2

故選：BCD

12.(2022?浙江紹興?一模)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2=2px(。>0)的焦點(diǎn)廠為(1,0),過點(diǎn)

M(3,2)的直線/交拋物線C于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，則()

A.|PM|+|P目的最小值為2夜

8

B.C的準(zhǔn)線方程為尸-1

C.OAOB>-4

D.當(dāng)PF〃/時(shí)，點(diǎn)尸到直線/的距離的最大值為2立

【答案】BCD

【詳解】對(duì)于A、B,由拋物線的焦點(diǎn)F（LO）,則P=2,即）2=4x,其準(zhǔn)線方程為4―1,

設(shè)點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為則|PM|+|PF|=|PM|+d「，

,易知1PMl+4,Nd”=4,如下圖：

對(duì)于C,由題意可知，過點(diǎn)M（3,2）的直線/可設(shè)為*=加（丫-2）+3,代入拋物線C:y2=4x,可得

y1—4my+8m—12=（）,

設(shè)4&,兇）,8（%,%），則y+%=4肛9%=8?-12,

2

OAOB=xtx2+,必=[加（M-2）+3][加—2）+3]+yty2=（>+1）yy?+〃?（3-2機(jī)）（y+%）+（3-2m）,

2

將X+y2=4皿乂丫2=8，"-12代入上式，可得=（>+lj（8m-12）+m（3-2m）-4m+（3-2m）~=4m-4m-3

2

41W7—gI-4>-4,故C正確;

對(duì)于D,由C可得直線/的方程為x—7^+2,〃—3=0,可設(shè)直線P尸的方程為工一〃少一1=0,

易知點(diǎn)P到直線/的距離等于兩平行線/與PF的距離d=粒；3+1|=2

Ji+M

_2（1+X2）-2X-2X_2（1-X）（I+X）

令產(chǎn)產(chǎn)，；

\+x（1+巧2

當(dāng)工￡（-co,-i）u（i,+oo）時(shí)，y<0,當(dāng)xw（-1/）時(shí)，y>0,

OV-

則y=舟在（3,-1）和（1,一）上單調(diào)遞減，在（-1/）上單調(diào)遞增,

由當(dāng)x<-l時(shí)，y<0,當(dāng)x>l時(shí)，y>0,則ymin=T，乂陋=1，可得04d42a，故D正確.

故選：BCD.

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）

9

13.（2022?浙江?金鄉(xiāng)衛(wèi)城中學(xué)高一階段練習(xí)）命題p：3x>0,x2+x-l>0,則力：.

【答案】Vx>0,x2+x-l<0

22

【詳解】命題P：Hx>0,x+x-l>0,則「P：為：Vx>0,x+x-l<0.

故答案為：Vx>0,x2+x-l<0.

14.（2022?浙江省長(zhǎng)興中學(xué)高二期末）若（》+1）6-（》-1）5=4+平5+出X4+43/+4*2+。5彳+。6,則

q+“2+4+%+%=.

【答案】61

【詳解】令X=O,則儼_（一1）5=2=%,

令X=1,則26=1+4+生+/+%+%+6，

所以q+%+/+%+%=26-1-2=61,

故答案為：61

15.（2022?浙江?杭州市富陽(yáng)區(qū)場(chǎng)口中學(xué)高二期末）在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架/靦，

48%的邊長(zhǎng)都是1,且所在的平面互相垂直.活動(dòng)彈子弘川分別從4夕出發(fā)沿對(duì)角線4C,所勻速移動(dòng)，

已知彈子M的速度是彈子M的速度的2倍，且當(dāng)彈子N移動(dòng)到8處時(shí)試驗(yàn)中止.則活動(dòng)彈子M,N間的最短

距離是.

【答案】包

3

【詳解】過點(diǎn)材做物/垂直四于〃，連接NH,如圖所示,

因?yàn)槊鍭BC￡>1面ABEF,面ABC0C面AB￡F=/1B,

MHA.AB,則面ABEF,NHu面ABEF,所以MHLNH.

由已知彈子A.的速度是彈子M的速度的2倍，

10

設(shè)AM-a,則NF=2a,0<a<—,

\7

因?yàn)锳8C￡>,ABEF為正方形,

AB=\,則4c="=&,ZABF=ZCAB=45°,

所以MH=A"=也"

2

所以BH=1-也a,BN=Q-2a，

2

由余弦定理可得|N"「=忸”『+忸N『一2忸*?忸叫cos45。

=1ci+-2a『—21—---a—2a)?=1—+5+2—4*V^a+—2a)

\/\7

=l-20a+?/

2

所以|MN『=|AW『+|NM2=3/-20a+l,0<a<—,

\/

當(dāng)a=4時(shí),

?JJ

所以|MN|.=走，

IImin3

故答案為：—.

3

16.(2022?浙江?高三專題練習(xí))若函數(shù)f(x)=ae*-gx2+3(aeR))有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)演和演，則a

的取值范圍為;若演<七42%，則a的最小值為.

【答案】0<a<--^―

e2

【詳解】由/(x)=“e，—gY+3(aeR)得，

/(x)=aex-x,則/(x)=aex-x=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根斗,々，

即。=三有兩個(gè)不相等的實(shí)根，

e

令〃(x)=j,則/(x)=g^,

.?.當(dāng)xe(Y?,l)時(shí)，/Z(x)>0,函數(shù)秋x)=、單調(diào)遞增，當(dāng)xe(l,+?>)時(shí)，〃(x)<0,函數(shù)Zz(x)=j單調(diào)遞

減,

11

/.0<<一;

e

當(dāng)赴=2占時(shí)，3=與即々=孕,

e1e2e1e1

/.%1=In2,此時(shí)。=等，

四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第16題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過

程或演算步驟.）

17.（2022?浙江?紹興一中高三期中）已知數(shù)列｛q｝各項(xiàng)均為正數(shù)，且4=1,。3-2〃向=d+2〃,.

（1）求的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)2=（一1）”“〃,求々+z?2+z?3+---+z?20.

【答案】（l）4=2〃-l（〃eN*）

12

（2）20

【詳解】⑴因?yàn)樨啊?%=。：+2%,所以-2）=0,

因?yàn)椋?｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，所以凡M+4>0,故％-4=2

所以數(shù)列色｝是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

則4=2“-l（〃eN）

⑵2=（-1）"q=（-1）''（2〃一1），則〃+%=（-1尸2,

所以4+4+4++%=（自+a）+（4+包）^—F（49+%）=2*10=20.

18.（2022?浙江?高二階段練習(xí)）某市為吸引大學(xué)生人才來本市就業(yè)，大力實(shí)行人才引進(jìn)計(jì)劃，提供現(xiàn)

金補(bǔ)貼，為了解政策的效果，收集了2011-2020年人才引進(jìn)就業(yè)人數(shù)數(shù)據(jù)（單位：萬(wàn)），統(tǒng)計(jì)如下（年份

Z8292304

代碼1-10分別代表2011-2020年）其中z,=Iny,,wt=Inxt,e?16.44,e?18.54,e?20.91,

In11=2.40,In12=2.48,In13?2.56,In2022?7.61.

年份代碼X12345678910

引進(jìn)人數(shù)y3.45.77.38.59.610.210.811.311.611.8

⑴根據(jù)數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，并判斷，y=a+bx,y=e"",y=m+〃lnxN那一個(gè)適合作為該市人才引進(jìn)就業(yè)人

數(shù)V關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

10_

之（X,-X）2

Xyzw

i=l

5.59.022.141.5182.5

10_10t（叱T"）

Z（叱-卬）2幼-孤-可

/=1/，=l/=11=1

4.8472.29.6718.41

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（所有過程保留兩位小數(shù)）

13

(3)試預(yù)測(cè)該市2022年的人才引進(jìn)就業(yè)人數(shù).

參考公式：b=J------->%

Z")一

i=\

【答案】(1)答案見解析

(2)y=3.801nx+3.28

⑶12.704

(1)

y=m+加nx適合作為該市人才引進(jìn)就業(yè)人數(shù)y關(guān)于年份代碼/的回歸方程類型

(2)

i=l

機(jī)=y一〃wu9.02—3.80x1.51=3.28

/.y=3.801nx+3.28

(3)

(3)將產(chǎn)12代入得$=3.80x2.48+3.28=12.704.

7T

19.(2022?浙江寧波?一模)如圖，直三棱柱ABC-4旦6中，ZACB=-,E,尸分別是9的中點(diǎn).

(1)證明：EF1BC；

TT

⑵若AC=3C=2,直線必與平面上所成的角為1,求平面AEC與平面發(fā)T夾角的余弦值.

14

【答案】(1)證明見解析

⑵出

35

取優(yōu)中點(diǎn)〃，分別連結(jié)微FH,因?yàn)槭瑸?G的中點(diǎn)，所以尸”〃B瓦，

因?yàn)槿庵鶠橹崩庵?，所以B片，平面/8G所以77叱平面/8G

由BCu平面49。，所以FH1BC,

又"為4?的中點(diǎn)，則E"http://AC,且AC上8C,所以EH上BC,

因?yàn)镋H,FHu平面毋H,EHFH=H,

所以8人平面〃鞏因?yàn)镋Fu平面板所以EFJ.BC.

證法2：

LillIuuu1

設(shè)CA=a，CB=b，CC|=c,則

EF=CF-CE=CC.+-CB--{CA+CB\=--a+c,

'22\)2

由題知，CA±CB,CC,1CB,

所以“?〃=()，b-c=O>

從而=；a+c)=O,即EF'BC.

jr

(2)由(1)知/9為〃與平面49所成的角，所以NFE”=§,

由AC=BC=2,得cq=6

如圖，以。I,CB,CG分別為x軸，y軸，z軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系.

15

則A（2,0,0）,8（0,2,0）,G（0,0,后），A（2,0,73）,B,（0,2,73）,E（l,l,0）,H（0,1,0）,尸（0,l,K）,

C￡=（1,1,0）,CF=（0,l,g）,CA,=（2,0,73）,

設(shè)平面處的一個(gè)法向量為根=（5,乂,馬）,

m-CE=0玉+%=°

取n?=（石，-6,1）,

-CF=Q守[y+a=0

in

平面CAE的法向量為〃=（毛,%Z2），

n-CE=0%+%=0

得《廠取〃=（6,_鳳2）,

n-CA.=0[2X2+V3Z2=0

m-n2770

設(shè)平面皈與平面CAE的夾角為凡貝ijcose=F=

m\\n35

所以平面處與平面CAE夾角的余弦值為嚕.

20.（2022?浙江衢州?高三階段練習(xí)）記一ABC的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為8c,已知

acosC+百asinC-Z?-c=0.

⑴若。=2,求8c邊上的中線4）長(zhǎng)度的最大值；

⑵若八百，點(diǎn)A民。分別在等邊JDEF的邊DE,EF,FDh（不含端點(diǎn)）.若JDEF面積的最大值為76，

求c.

【答案】（1）6

⑵c=25/3

【詳“軍】（1）因?yàn)?。cosC+x/i〃sinC-〃一c=（）,所以由正弦定理得sinAcosC+5/isinAsinC-sin3—sinC=（）,

因?yàn)锽=7i-（A+C）,所以sinAcosC+6sinAsinC-sin（A+C）-sinC=0,,

即sinAcosC+x^sinAsinC-sinAcosC-cosAsinC-sinC=0,

所以GsinAsinC-cosAsinC-sinC=0,因?yàn)閟inCwO,所以8sinA-COsA=l，所以

16

—sinA--cosA=-,sinf4--^=-,因?yàn)椋ˋ-g）e（-g,學(xué)],所以4—^=^,4=個(gè)，由余弦定理得:

222{6）2{6}[66）663

4=b2+c2-bc,:.bc<4.（當(dāng)b=c時(shí)取到等號(hào)），

且bc=〃4-c2-4,

又因?yàn)?O=g（A8+AC）,所以ko『=；（|AB『+|AC/+2k@|AqcosA）,

即4AD2=b2+c2+bc=2b2+2/-4,

所以ZAO?=從十/一2,所以2AZ）2=2+AK2+4,「.AOwJL故AO的最大值為6

（2）由（1）可知A=1,b=G,由于皿F面積的最大值為76，

則goE2sin1=7G,得DE=2幣,所以O(shè)E的最大值為2近，

TT27r27r

因?yàn)镹C48=-,所以NZMC+/BAE=——，因?yàn)閆DAC+NAC￡>=—,

333

所以NACD=NB4E,

設(shè)ZAC￡）=ZBAE=a,{jllJZAB￡=y-a,

4rAn6_A。An--

在，AC。中，由正弦定理得多=.、所以得A"=Fqna,

siaDsmZACDsin-sin-

33

2冗.

—sina

3

17

=2B，所以5+辰+3=

所以°2+瘋；+3=21,即02+&-18=（）,所以卜-2百）1+36）=0,

解得c-2百或c=-3A/3（舍去）

21.（2022?浙江臺(tái)州?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P（2,l）是雙曲線e：/-y2="與橢圓。2：與+丁=。的公共點(diǎn),

47r

直線AB與雙曲線C筏于不同的兩點(diǎn)A,B,設(shè)直線PA與心的傾斜角分別為*B，且滿足a+￡=7

（1）求證：直線A3恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo);

若直線A3與橢圓C?交于不同兩點(diǎn)E,F,求。E?。尸的取值范圍.

’14-夜，232母

、-8

7

【詳解】（1）由已知得4=3,

2,

所以G：,-=1,G*+3=L

3

當(dāng)。4,P8斜率不存在時(shí)，則直線P4,依為x=2或y=x-1,與題意不符;

當(dāng)以，尸8斜率存在時(shí)，記A4,P5的斜率為匕，k2

所以根據(jù)tan（a+/7）=tan子=-1

可得勺+k2+\=k]k2,

設(shè)A（N，X）,6（芍,%），直線AB:y=Ax+m,

y=kx+m,

由,X?y2聯(lián)立可得（1—攵~卜2一2初1￥-"-3二。，

-----二1,

33

18

1-公KO,

A=4Z:：!/n2+4(l-jl2)(w2+3)>0,

所以nr+3

因?yàn)?+&+1=%#2，

所以（一42+2攵+l）x/2+（一加一人+機(jī)一3）（%+/）一〃7?-2m+7=0,

所以（女+機(jī)+2）（2%+〃2—1）=0,

所以機(jī)=_4—2或m=—2攵+1（此時(shí)直線A3過P（2,l）,不符，舍去）

所以直線恒過定點(diǎn)（1,-2）；

（2）由（1）知，可設(shè)直線A3的方程：y+2=k