2023年高等教育自學(xué)考試《高等數(shù)學(xué)(一)》模擬試卷(五)

2023年高等教育自學(xué)考試《高等數(shù)學(xué)（一）》模擬試卷（五）

L單選題微分方程y'=y滿足初始條件yk=i的特解為

A.ex

B.ex-l

C.ex+l

D.2-ex

正確答案：A

參考解析：

由得去=R，故].=&.，兩邊積分iny=x+。，又因用汽=1,故,=/

2.單選題下列廣義積分中，發(fā)散的是

dx

忑

rLdx

B.L1+一

[Xe~xdx

C.J】

r-xdx

D.'x（lnx）2

正確答案：A

參考解析：根據(jù)廣義積分發(fā)散的定義易知選A.

3.單選題下列反常積分收斂的是

r-xdx

J】忑

尸dx

C."1+x

r-xdx

D.'1+一

正確答案：D

Ldx

.:---j=arctai]x|；x為常數(shù)

參考解析：1+x

4單選題曲線P=在工=1處的切線方程為

A.x-3y-4=0

B.x-3y+4=0

C.x+3y-2=0

D.x+3y+2=0

正確答案：A

1-2311

所求切線斜率為：y=i(x-2)U=p所求切線方程為丁+1=三。-1)，

參考解析：即XT，，-4=0

5.單選題設(shè)z=exy,則dz-

A.exydx

B.(xdy+ydx)exy

C.xdy+ydx

D.(x+y)exy

正確答案：B

參考解析：

dz=(7(hjOdy=e”?ydz+e，'?zdy=(/dy+yd/)e。.

6.單選題對于函數(shù)f(x)，下列敘述正確的是

A.若X。為極值點(diǎn)，則f'(xo)=。

B.若f'(x°)=0,則x。為極值點(diǎn)

C.若X。為極值點(diǎn)，則f''(x0)=O

D.若x。為極值點(diǎn),且，f'(x。)存在，則f'(x°)=O

正確答案：D

參考解析：由極值定義易知D正確.

sin2x-

-----.x<0

設(shè)函數(shù)/(x)={X",在x=0處連續(xù)，則彳=

7,單選題Ri"-2x+k.x>0

A.0

B.1

C.2

D.3

正確答案：C

參考解析:

cin7X-

lim/(x)=liin——=2，lim/(x)=liin(3x2-2x+k)=k,欲使/(x)在x=0處連

x->0""1。-xx->0*x->0*

續(xù),只需使lim/(x)=liin/(x),則k=2

x->0x->0*

8.單選題設(shè)f(x)=xln(l+x),則F(0)=

A.0

B.1

C.-1

D.2

正確答案：A

因/'(A)=ln(l+x)+—,故/(0)=0

參考解析：1+x

9.單選題微分方程cosydy=sinxdx的通解是

A.sinx+cosy=C

B.cosx+siny=C

C.cosx-siny=C

D.cosy-sinx=C

正確答案：B

由方程兩邊積分得|cosydy=|sinxdx,siny=-cosx+C

參考解析:

10.單選題曲線y=e*上拐點(diǎn)的個數(shù)是

A.0

B.1

C.2

D.3

正確答案：C

由題意得：了=一2工。-',+4.\二""一,令y"=0,故土=一￡，.=坐

故當(dāng)—立時，vH>0；當(dāng)一直<x<立■時，vH<0；當(dāng)@<工時，vH>0

2222

參考解析：故點(diǎn)看，匕處都是拐點(diǎn)

求極限limJ33工

11.簡單計(jì)算題^l-cos4x

l-cos3x3sill3x9

liin---------=liin--------=—

1-cos4.r—o4sin4x16

參考解析:

——dx

12.簡單計(jì)算題x"+2x+2

---------av=——--------ax----------dx

Jx"+2.r+22Jx2+2x+2J.x'+2x+2

=—hi(.v2+2x+2)-oictaii(l+x)+C

參考解析：2

設(shè)f(x,y)=p+三,求g，—

13.簡單計(jì)算題.“丁比6

參考解析：蜃7+屋/

求微分方程dr竺+?=。一》的通解

14.簡單計(jì)算題dx-

會名鏟布y=。。)/W+。］=e-T(x+C)

參考解析：」

15.簡單計(jì)算題求函數(shù)f(x)=xL6x2+9x-4在閉區(qū)間［0,2］上的最大值和最小值.

因函數(shù)在閉區(qū)間［0,2］上連續(xù)，則必有最大值和最小值.

/'(x)=3x2-12x+9=3(.x-l)(x-3).令_f(x)=0,得駐點(diǎn)x=l,

參考解析./(0)=-4>/(1)=0./(2)=-2,最大值為/(1)=0,最小值為/(0)=-4

16.計(jì)算題求微分方程yy'=3(x+2)2(l+y2)的通解.

參考解析：

原方程為浜T=3(1+2)2",兩邊積分得通解In(l+y2)=2(r+2)3+C(C為任意數(shù)).

1+V

17.計(jì)算題求由圓面x2+(y-b)2Wa2(0〈a〈b)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的物體的體積.

222

V=n(〃+y/a—i)dx—K(6—Ja—工^)-dz

J—aJ-a

=4nby/a2—JC2dx

=87rbs/a2—i2dj-=8na2b'cos2tdz=2n:a2h.

參考解析:J0J0

18.計(jì)算題將一長為i的鐵絲截成兩段，并將其中一段圍成正方形，另一段圍成

圓形，為使正方形與圓形面積之和最小，問這兩段鐵絲的長應(yīng)各為多少?

參考解析：

設(shè)正方形邊長為工，圓形半徑為r，則41+2“=/.r=:幺,令正方形與圓形的面積和為S,

則3=/+nr2=/+JT。-夕=x2+](/2—8Zr+16x2),

41tK4“

S'=21+』(-8/+32])=一幺+2工+"，令S'=0得,工=」一

47TnK4+K

且S'=2+§〉0,故S在工=霜時獲極小值,所以兩段鐵絲分別長白,蚤-

K4十54+X4+7t

19.計(jì)算題

設(shè)D是工⑦平面上由直線丁=z.①=2和曲線=1所圍成的區(qū)域,試求J〈dzdy

n

參考解析:

設(shè)？=/(“，,y),其中/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求兵"?

20.計(jì)算題市◎'

—=vf，前為⑻)"+，("九)

參考解析：氏x

21.綜合題證明方程x3-3x+l=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有唯一實(shí)根.

參考解析：證明：令f(x)=x：[3x+l,因?yàn)閒(0)=l>0,所以由連續(xù)函數(shù)的中值定理

知所討論方程在(0,1)內(nèi)有實(shí)根.

又由X￡(0,1)時,f*(x)=3(x2-l)<0,可知f(x)在(0,1)上是嚴(yán)格單調(diào)遞減的，

所以所討論方程在(0,1)內(nèi)僅有一個實(shí)根.____

證明：J'lnCjr+，1+7)>，1+?—1,(I>0).

22.綜合題

令F(x)=Zln(z+/1+f+z?+1.

則F"(x)=ln(x4-y14-x2)>0(x>0)?

所以，當(dāng)工)0時,F(H)是嚴(yán)格遞增函數(shù),

因此，當(dāng)Z>0時，F(xiàn)(z)>F(0)=0,

即xln(x-|-14-x2)>/1+乙-1(x>0)

參考解析:

23.綜合題某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品I和H,銷售單價(jià)分別為10元與9元，生產(chǎn)X

件產(chǎn)品I與生產(chǎn)y件產(chǎn)品n的總費(fèi)用為C=400+2x+3y+0.01（3x，xy+3y?）（元）.

問兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少時，才能使總利潤最大？

參考解析：由題意知銷售兩種產(chǎn)品的總收益為R=10工+9N，

則生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的總利潤為L=R-C=81+6》-0.01（3〉+0+3y2）—400

生=8—0,01(6T+y)=0

令《‘，解得駐點(diǎn)(120,80),

華=6-0.01(x4-67)=0

在點(diǎn)(120,80)處泊=〃1=-0,06<0,B==-0.01,C=1皿=-0.06,

B