2023屆上海市實驗中學高考模擬命題比賽數(shù)學試題試卷

2023屆上海市實驗中學高考模擬命題比賽數(shù)學試題試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處〃。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3,非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.sin80°cos50°+cos140°sin10°=（）

2.若不相等的非零實數(shù)x,z成等差數(shù)列，且x,），，z成等比數(shù)列，則8=（）

z

57

A.--B.-2C.2D.-

22

3.M、N是曲線y=?rsinx與曲線y=7rcosx的兩個不同的交點，則|MN|的最小值為（）

A.JrB.y/2nC.+nD.27r

4.已知集合。={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},5={2,3,4},則集合a（AB）=（）

A.{1,2,6}B.{1,3,6}C.{1,6}D.{6}

5.根據(jù)最小二乘法由一組樣本點（4y）（其中i=1,2,L,300）,求得的回歸方程是5，=3x+4,則下列說法正確的

是（）

A.至少有一個樣本點落在回歸直線5>=晟+4上

B.若所有樣本點都在回歸直線$=&+4上，則變量同的相關(guān)系數(shù)為1

C.對所有的解釋變量占（i=1,2,L,300）,瓜+a的值一定與￡有誤差

D.若回歸直線$=+4的斜率白〉0,則變量x與y正相關(guān)

6.過拋物線V=2px（p>0）的焦點E作直線與拋物線在第一象限交于點A,與準線在第三象限交于點5,過點A作

54八3

A.—B.—C.一D.2

432

/、6

7.若d+N的展開式中/的系數(shù)為150,則/=(

Ix)

A.20B.15C.10D.25

8.我國南北朝時的數(shù)學著作《張邱建算經(jīng)》有一道題為：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先

入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中間四人未到者，亦依次更給，問各得金幾何？”則在該問題中,

等級較高的二等人所得黃金比等級較低的九等人所得黃金()

A.多1斤B.少1斤C.多:斤D.少1斤

33

9.生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個人才識技藝過人，這里的“六藝”其實源于中國周朝的貴族教育體系，具體

包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校在周末學生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座，每藝

安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮"和"樂’’必須分開安排的概率為()

71131

A.—B.-C.—D.一

606604

10.將一張邊長為120n的紙片按如圖⑴所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個

有底的正四棱錐模型，如圖(2)放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖(3)所示，則正四棱錐的體積是()

王a△

R(1)圖⑵網(wǎng)⑶

A.—V6cm3B.—C.—y/lcnr1D.—42cm3

3333

11.一場考試需要2小時，在這場考試中鐘表的時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為()

7i，n-2萬一24

A.-B.C.—D.-------

3333

12.已知集合4=卜,2-31一4>0},8={川一1?%43},貝)

A.(-1,3)B.[-1,3]

C.[-1,4]D.(-1,4)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若[6—蛾]的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則展開式中各項的系數(shù)和是.

1,22

14.已知實數(shù)4口之一，且/—。二人一/，由加="+幺的最大值是_________

2ab

15.在平面直角坐標系X。)，中，已知圓C:/+(y-1)2=1,圓C：(x+2百y+y2=6.直線/：y="+3與圓c相切,

且與圓C'相交于A，B兩點,則弦A8的長為

16.數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，數(shù)列出｝的前〃項和為T“，滿足q=2,3s“=(〃+機)%(〃GN*,〃?GR),且

42="+1.若任意〃GN*，九<(“一1,成立，則實數(shù)4的取值范圍為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知AA6C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且asin(A+8)=csinOtC.

2

(1)求A；

(2)若AABC的面積為G，b+c=5,求AABC的周長.

18.(12分)在.ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且smC一8sin'=

sinA+sinBc

(1)求角A的大??；

(2)若2sinAsin8=l+cosC,ZBAC的平分線與BC交于點O,與&ABC的外接圓交于點E(異于點A),

AE=AAD>求之的值.

19.(12分)如圖，在三棱柱ABC-A4G中，，A3C是邊長為2的等邊三角形，BC1BB,,。￡=夜，AC、=A

(1)證明：平面ABC_L平面88℃；

(2)M,N分別是3C,B|G的中點，P是線段AG上的動點，若二面角P—MN-C的平面角的大小為30°,試

確定點P的位置.

20.(12分)已知函數(shù)/(%)=2|九一2|-加。*>0),若/(x+2)<0的解集為(一2,2).

(1)求加的值；

1119

(2)若正實數(shù)"，b,c滿足a+28+3c=加，求證：一+—+—2—.

a2b3c4

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=|x-l|,不等式/(x)+.f(x—l)<5的解集為

(D求實數(shù)機，〃的值；

(2)若x>0,y>0,nx+y+m=0,求證：x+y>9xy.

22.（10分）如圖：在AABC中，a=Jii，c-4,cosC—

（1）求角A；

（2）設(shè)。為AB的中點，求中線CO的長.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

利用10°=90°—80°,140=90"+50°,根據(jù)誘導公式進行化簡，可得sin80°cos50°-cos80°sin50,然后利用兩角

差的正弦定理，可得結(jié)果.

【詳解】

由80'=90°-10°,140=90°+50°

所以sin10"=sin（90°-80）=cos10

cos140°=cos（90+50）=-sin50,

所以原式=sin80,cos50"-cos80°sin50"=sin（80-50）

所以原式=sin30--

2

故sin80cos500+cos140sin10=—

2

故選：D

【點睛】

本題考查誘導公式以及兩角差的正弦公式，關(guān)鍵在于掌握公式，屬基礎(chǔ)題.

2、A

【解析】

X+2XZ

由題意，可得y=一丁，z2=xy,消去）'得％2+xz—2z2=0,可得一=一2,繼而得到卜=-彳，代入即得解

2z2

【詳解】

由X,y,Z成等差數(shù)列，

r4-7

所以y=干，又x,z,y成等比數(shù)列，

所以z2=孫，消去）'得V+XZ—2Z2=0，

/\2

所以2+--2=0,解得'=1或±=-2,

\z）zzZ

因為x,y,Z是不相等的非零實數(shù)，

Y7

所以一二—2,此時y=——，

z2

所以￡±2=-2-！=—3.

z22

故選：A

【點睛】

本題考查了等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查了學生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.

3、C

【解析】

兩函數(shù)的圖象如圖所示,則圖中|MN|最小，

設(shè)M(xi,yi),N(x2,y2),

Tl5

則X1=—,X2=-n,

44

|Xl?X2|=7t,

lyi-yihlnsinxi-ncosxil

A/2,收

22

=V2Jt,

???IMN|=相兀故選C.

4、D

【解析】

根據(jù)集合的混合運算，即可容易求得結(jié)果.

【詳解】

Au3={1,2,3,4,5},故可得電(AB)={6}.

故選：D.

【點睛】

本題考查集合的混合運算，屬基礎(chǔ)題.

5、D

【解析】

對每一個選項逐一分析判斷得解.

【詳解】

回歸直線必過樣本數(shù)據(jù)中心點，但樣本點可能全部不在回歸直線上，故A錯誤；

所有樣本點都在回歸直線夕=/；x+(2上，則變量間的相關(guān)系數(shù)為±1,故B錯誤；

若所有的樣本點都在回歸直線9=%+方上，則以+4的值與y,相等，故c錯誤；

相關(guān)系數(shù)r與。符號相同，若回歸直線?=%+&的斜率B>0,則/?>(),樣本點分布應(yīng)從左到右是上升的，則變量X

與y正相關(guān)，故D正確.

故選D.

【點睛】

本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì)，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.

6、C

【解析】

需結(jié)合拋物線第一定義和圖形，得AF”為等腰三角形，設(shè)準線與x軸的交點為過點尸作AC，47,再由三角

函數(shù)定義和幾何關(guān)系分別表示轉(zhuǎn)化出拒尸|=、J,

cos17i—乙a?

IEplana

|AF|=sinr_2a］結(jié)合比值與正切二倍角公式化簡即可

【詳解】

如圖，設(shè)準線與X軸的交點為過點尸作FCLA”.由拋物線定義知|Ab|=|AH|,

|fiF|_H____E,

所以NAH尸=44m=a,ZFAH=7r-2a=ZOFB,

1cos（萬一2a）cos（萬一2a）

\CF\\CH\tana“tana

sin（萬一2a）sin（萬一2a）sin（乃一2a）

Ab|_tana_tana_tan2a-1_3

所以

BF\tan（乃一2a）-tan2a22

故選：C

【點睛】

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題

7、C

【解析】

通過二項式展開式的通項分析得到C；aV=150x6,即得解.

【詳解】

由已知得""2)[胃=Q⑷…,

故當/■=2時，12-3r=6,

于是有4=。：/工6=]50》6,

則/=10.

故選：C

【點睛】

本題主要考查二項式展開式的通項和系數(shù)問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

8、C

【解析】

設(shè)這十等人所得黃金的重量從大到小依次組成等差數(shù)列｛4｝，則4+/+/=4,%+49+40=3，由等差數(shù)列的性

/_441

質(zhì)得。2=§，。9=1，二。2_。9=§§，

故選C

9、C

【解析】

分情況討論，由間接法得到“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開的事件個數(shù)，不考慮限制因素，總數(shù)有8種，

進而得到結(jié)果.

【詳解】

當“數(shù)，，位于第一位時，禮和樂相鄰有4種情況，禮和樂順序有2種，其它剩下的有用種情況，由間接法得到滿足條件

的情況有M-C&M

當“數(shù)”在第二位時，禮和樂相鄰有3種情況，禮和樂順序有2種，其它剩下的有A；種,

由間接法得到滿足條件的情況有父-C；國看

共有：6-。；用4；+&-。：用4；種情況，不考慮限制因素，總數(shù)有醴種,

13

故滿足條件的事件的概率為:

60

故答案為：C.

【點睛】

解排列組合問題要遵循兩個原則：①按元素（或位置）的性質(zhì)進行分類；②按事情發(fā)生的過程進行分步.具體地說，解

排列組合問題常以元素（或位置）為主體，即先滿足特殊元素（或位置），再考慮其他元素（或位置）.

10、B

【解析】

設(shè)折成的四棱錐的底面邊長為高為〃，則0=包人故由題設(shè)可得1a+a=12x①na=40,所以

222

四棱錐的體積后、去4&=竽加，應(yīng)選答案B.

11、B

【解析】

因為時針經(jīng)過2小時相當于轉(zhuǎn)了一圈的二，且按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負角，綜合以上即可得到本題答案.

【詳解】

因為時針旋轉(zhuǎn)一周為12小時，轉(zhuǎn)過的角度為2%,按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負角，所以經(jīng)過2小時，時針所轉(zhuǎn)過的弧

度數(shù)為一1x2萬=_：?.

63

故選：B

【點睛】

本題主要考查正負角的定義以及弧度制，屬于基礎(chǔ)題.

12、B

【解析】

先由/一3》一4>0得尤>4或x<—l,再計算(4A)8即可.

【詳解】

由%2-3%-4>0得x>4或x<-l,

A=(^?,-1)U(4,-H?),^A=[-l,4],

又3={X|—1W3},.?.&A)3=[—1,3].

故選：B

【點睛】

本題主要考查了集合的交集，補集的運算，考查學生的運算求解能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】

由題意得出展開式中共有11項，n=10；再令％=1求得展開式中各項的系數(shù)和.

【詳解】

由(?-與]的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，

IxJ

所以展開式中共有11項，所以〃=10：

令x=l,可求得展開式中各項的系數(shù)和是：

(1-2),°=1.

故答案為：1.

【點睛】

本小題主要考查二項式展開式的通項公式的運用，考查二項式展開式各項系數(shù)和的求法，屬于基礎(chǔ)題.

述+1

14、

2

【解析】

將其轉(zhuǎn)化為幾何意義，然后根據(jù)最值的條件求出最大值

【詳解】

2

1、又實數(shù)圖形為I圓,

由"—Q=人―A?化簡得a——

27I2J224

Q~-a=b—h~9可得Q~=a+b—b~,h~=a+b—a~

a+b-a2a-^-b-b2,b.aba

貝!JM=一+—=---------1---------=Id----Q+1H------bt=--\------a-b+2

abababab

由幾何意義得［3-1,1+后］,則-1,1+0］,為求最大值則當過點A或點8時a+b取最小值，可得

[T[T11>/23A/2

M=y2-1+1+v2------------F2=----1-1

2222

b2《的最大值是述+1

所以4/=幺+

ab2

【點睛】

本題考查了二元最值問題，將其轉(zhuǎn)化為幾何意義,得到圓的方程及斜率問題，對要求的二元二次表達式進行化簡，然

后求出最值問題，本題有一定難度。

15、V15

【解析】

利用直線與圓相切求出斜率攵，得到直線的方程,幾何法求出|A8|

【詳解】

解：直線/：y="+3與圓C相切，C圓心為(0,1)

|-1+3|?,廠

由—7=1,得攵=6或一百，

|-6-3」9、

當y=-VIr+3時，C'到直線的距離”=_^TF_2>R,不成立,

當'=省》+3時，/與圓C'相交于A,B兩點,C到直線的距離〃=去?=|,|AB|=2^6^1=715

故答案為后.

【點睛】

考查直線與圓的位置關(guān)系，相切和相交問題，屬于中檔題.

16^<—

【解析】

an〃+1

當幾.2時，a“=S”-S,T，可得到工=-再用累乘法求出再求出2,根據(jù)定義求出I,,再借助單調(diào)性求

a.,,n-1

【詳解】

解：當〃=1時，3S(=(1+m)at=3a,,則〃?=2,3s.=(〃+2)?！埃?/p>

當加.2時，3s“_]=("+1)??_,,

3%=(〃+2)%-(〃+1)??,,,

=/?(/?+1),

n—2n—\

7?4-11

+...+五…萬（當且僅當…時等號成立）,

故答案為:—00,—

2

【點睛】

本題主要考查已知S“求得，累乘法，主要考查計算能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)60;(2)V13+5.

【解析】

(1)利用正弦定理將目標式邊化角，結(jié)合倍角公式，即可整理化簡求得結(jié)果；

(2)由面積公式，可以求得〃c,再利用余弦定理，即可求得。，結(jié)合力+c即可求得周長.

【詳解】

A

(1)由題設(shè)得〃sinC=ccos—.

2

A

由正弦定理得sinAsinC=sinCeos—

2

A

,:C￡(0,:.sinCw0sinA=cos—,

2

c.AAA

2sin—cos—=cos—

222

AA1

所以cos]=0或sin]=g.

A

當COS—=0,A=7T(舍)

2

故4弘A117=l二,

22

解得A=60。.

(2)S^BC=^&csinA=V3,從而be=4.

由余弦定理得

以2=/+c2-2hccosA=Z72+c2-be

二(〃+C)2-3〃C=(〃+C)2-12=13.

解得a—>/1-3?

?'?a+。+c=>/T3+5?

故三角形ABC的周長為舊+5.

【點睛】

本題考查由余弦定理解三角形，涉及面積公式，正弦的倍角公式，應(yīng)用正弦定理將邊化角，屬綜合性基礎(chǔ)題.

18、(1)4=30。；(2)正

3

【解析】

(1)由smC-Gsm8=j,利用正弦定理轉(zhuǎn)化整理為/=〃+,2一回°,再利用余弦定理求解.

sinA+sinBc

②根據(jù)2sinAsin8=1+cosC,利用兩角和的余弦得到cos(A—3)=1,利用數(shù)形結(jié)合，設(shè)AC=1,在A0C中,

由正弦定理求得AO,在ZVIOE中，求得AE再求解.

【詳解】

/.、sinC-5/3sinBa-h

(1)m因為---------------=-----,

sinA+sin8c

所以(c-G〃卜=(a+Z?)(a-〃),

^a2=b2+c2-y/3bc，即COSA=3,所以A=30。.

2

(2),:2sinAsinB=1+cosC=1-cos(A+B),

=1-cosAcosB+sinAsinB.

所以cos(A—3)=l,從而A=B.

所以3=30°,C=120°.

不妨設(shè)AC=1,。為49c外接圓圓心

則AO=LAB=6ZADC=ZEAO=45°.

AT)AC1

在AOC中，由正弦定理知，有-------

sin120°sinZADCsin45°

即皿=手

在AAOE中，由NQ4E=NOE4=45°,04=1,

從而AE=6.

AE2月

所以；I

AD"V

【點睛】

本題主要考查平面向量的模的幾何意義，還考查了數(shù)形結(jié)合的方法，屬于中檔題.

(33x7?5

19、(1)證明見解析；(2)尸為線段AG上靠近G點的四等分點，且坐標為P一丁丁，彳

\/

【解析】

(1)先通過線面垂直的判定定理證明CGJ■平面ABC,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；

(2)分析位置關(guān)系并建立空間直角坐標系，根據(jù)二面角尸--。的余弦值與平面法向量夾角的余弦值之間的關(guān)系,

即可計算出產(chǎn)的坐標從而位置可確定.

【詳解】

(1)證明：因為AC=2,CC\=6,ACX=y[6,

所以AC2+CC；=AC；,即AC，CC,.

又因為8CJ.881,BBJ/CC,,所以BCLCG，

ACBC=C,所以CG?1?平面ABC.

因為CGu平面BB?C,所以平面ABC，平面BB?C.

(2)解：連接AM，因為A3=AC=2,M是8C的中點，所以4W_L3C.

由(1)知，平面ABC_L平面6B℃，所以AM,平面

以M為原點建立如圖所示的空間直角坐標系M-xyz,

則平面6gC。的一個法向量是/〃=9,0,1),A(0,0,百)，/V(0,V2,0),Ct(-1,72,0).

設(shè)"=/AC；(0<f<l),P(x,y,z),

AP=(x,y,z-6),AC〕=(-l,a,-百)，

代入上式得x=T,y=42t,z=V3(l-/),所以P(T,瓜SMt).

設(shè)平面M/V尸的一個法向量為〃=(%，X，zJ,MN=(0,R0),MP=(-t,y/2t,j3-y/3t),

n-MN=0何=0

n-MP-0—tx^+\p2,tyy+yjlt(1-/)Z|=0

令Z|=f,得"=(G-Gw).

因為二面角尸-MN-C的平面角的大小為30°，

所以笳*t5/33

即I產(chǎn)r=~V解得t=

73(l-z)2+r2

所以點p為線段AG上靠近G點的四等分點，且坐標為P

【點睛】

本題考查面面垂直的證明以及利用向量法求解二面角有關(guān)的問題，難度一般.(1)證明面面垂直，可通過先證明線面

垂直，再證明面面垂直；(2)二面角的余弦值不一定等于平面法向量夾角的余弦值，要注意結(jié)合圖形分析.

20、(1)根=4；(2)證明見詳解.

【解析】

(1)將不等式/(%+2)<0的解集用〃?表示出來，結(jié)合題中的解集，求出機的值;

(2)利用柯西不等式證明.

【詳解】

m

解：(1)/(x+2)=2|x|-機<0,|x|<—,

2

mm

---<x<一

22

因為〃x+2)<0的解集為(-2,2),所以言=2,

m=4；

(2)由⑴。+勖+3。=4

111

由柯西不等式(一+一+一)3+3+3。)2(1+1