2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題第25煉 定積分含答案

2024年千錘百煉高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題第25煉定積分含答案第25煉定積分一、基礎(chǔ)知識(shí)1、相關(guān)術(shù)語(yǔ)：對(duì)于定積分（1）稱為積分上下限，其中（2）：稱為被積函數(shù)（3）：稱為微分符號(hào)，當(dāng)被積函數(shù)含參數(shù)時(shí)，微分符號(hào)可以體現(xiàn)函數(shù)的自變量是哪個(gè)，例如：中的被積函數(shù)為，而的被積函數(shù)為2、定積分的幾何意義：表示函數(shù)與軸，圍成的面積（軸上方部分為正，軸下方部分為負(fù)）和，所以只有當(dāng)圖像在完全位于軸上方時(shí)，才表示面積?？杀硎緮?shù)與軸，圍成的面積的總和，但是在求定積分時(shí)，需要拆掉絕對(duì)值分段求解3、定積分的求法：高中階段求定積分的方法通常有2種：（1）微積分基本定理：如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么使用微積分基本定理，關(guān)鍵是能夠找到以為導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)。所以常見的初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)公式要熟記于心：①尋找原函數(shù)通?？梢浴跋炔略僬{(diào)”，先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的形式猜出原函數(shù)的類型，再調(diào)整系數(shù)，例如：，則判斷屬于冪函數(shù)類型，原函數(shù)應(yīng)含，但，而，所以原函數(shù)為（為常數(shù)）②如果只是求原函數(shù)，則要在表達(dá)式后面加上常數(shù)，例如，則，但在使用微積分基本定理時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)計(jì)算時(shí)會(huì)消去，所以求定積分時(shí)，不需加上常數(shù)。（2）利用定積分的幾何含義：若被積函數(shù)找不到原函數(shù)，但定積分所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積易于求解，則可通過(guò)求曲邊梯形的面積求定積分。但要注意曲邊梯形若位于軸的下方，則面積與所求定積分互為相反數(shù)。4、定積分的運(yùn)算性質(zhì)：假設(shè)存在（1）作用：求定積分時(shí)可將的系數(shù)放在定積分外面，不參與定積分的求解，從而簡(jiǎn)化的復(fù)雜程度（2）作用：可將被積函數(shù)拆成一個(gè)個(gè)初等函數(shù)的和，從而便于尋找原函數(shù)并求出定積分，例如（3），其中作用：當(dāng)被積函數(shù)含絕對(duì)值，或者是分段函數(shù)時(shí)，可利用此公式將所求定積分按區(qū)間進(jìn)行拆分，分別求解。5、若具備奇偶性，且積分限關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則可利用奇偶性簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算（1）若為奇函數(shù)，則（2）若為偶函數(shù)，則6、利用定積分求曲面梯形面積的步驟：（1）通過(guò)作圖確定所求面積的區(qū)域（2）確定圍成區(qū)域中上，下曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)（3）若時(shí)，始終有，則該處面積為7、有的曲面梯形面積需用多個(gè)定積分的和進(jìn)行表示。需分段通常有兩種情況（1）構(gòu)成曲面梯形的函數(shù)發(fā)生變化（2）構(gòu)成曲面梯形的函數(shù)上下位置發(fā)生變化，若要面積與定積分的值一致，則被積函數(shù)要寫成“上方曲線的函數(shù)下方曲線函數(shù)”的形式。所以即使構(gòu)成曲面梯形的函數(shù)不變，但上下位置發(fā)生過(guò)變化，則也需將兩部分分開來(lái)寫。二、典型例題：例1：已知函數(shù)，則（）A.B.C.D.思路：在的解析式不同，所以求定積分時(shí)要“依不同而分段”：，而，對(duì)于無(wú)法找到原函數(shù)，從而考慮其幾何意義：，為單位圓面積的，即，所以答案：B小煉有話說(shuō)：（1）若被積函數(shù)在不同區(qū)間解析式不同時(shí)，則要考慮將定積分按不同區(qū)間進(jìn)行拆分（2）若被積函數(shù)具備“”特征，在無(wú)法直接找到原函數(shù)時(shí)，可考慮其圖像的幾何意義，運(yùn)用面積求得定積分，但是要注意判定與定積分符號(hào)是否與面積相同例2：（）A.B.C.D.思路：被積函數(shù)無(wú)法直接找到原函數(shù)，但是可以進(jìn)行化簡(jiǎn)。，所以：答案：C例3：設(shè)，則________思路：本題可以通過(guò)對(duì)的符號(hào)進(jìn)行分類討論，將寫成分段函數(shù)，再將定積分拆分為兩段分別求解，但若觀察到為偶函數(shù)，則可利用對(duì)稱性得：答案：例4：已知，則（）A.B.C.D.思路：先按部就班求解定積分，再解出關(guān)于的方程即可：解：解得答案：D例5：由曲線（為參數(shù)）和圍成的封閉圖形的面積等于___________思路：所給曲線為參數(shù)方程，考慮化為普通方程為，作出兩個(gè)曲線圖像，可得兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，結(jié)合圖象可得：答案：例6：設(shè)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則的圖像與以及軸所圍成的圖形的面積為___________思路：作出圖像可得恒在軸的上方，則面積可用定積分表示，但由于兩個(gè)區(qū)間的函數(shù)不同，所以要拆成兩個(gè)定積分：答案：例7：曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積為（）A.B.C.D.思路：作出圖像觀察可得：所圍成的區(qū)域上方曲線為，下方為，自變量的取值范圍為，其中，，所以所求面積為答案：D例8：如圖所示，正弦曲線，余弦曲線與兩直線所圍成的陰影部分的面積為（）A.B.C.D.思路：觀察到兩部分陰影區(qū)域，函數(shù)的上下位置不同，所以考慮面積用兩段定積分表示，在中，與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，所以時(shí)，余弦函數(shù)位于上方，，在處，正弦函數(shù)位于上方，所以答案：D小煉有話說(shuō)：（1）在求曲線圍成的面積時(shí)，可遵循被積函數(shù)始終“上下”的原則，如果函數(shù)發(fā)生變化或上下位置改變時(shí)，則可以將面積分割為若干段，分別求定積分即可（2）本題還可以采用“填補(bǔ)法”，觀察到左邊較小陰影部分與右側(cè)部分中心對(duì)稱，所以面積相同，從而可將較小陰影部分填補(bǔ)至右側(cè)。新的陰影部分始終位于上方，可求得陰影部分位于，所以例9：已知，若函數(shù)滿足，則稱為區(qū)間上的一組“等積分”函數(shù)，給出四組函數(shù)：①②③④函數(shù)分別是定義在上的奇函數(shù)且積分值存在其中為區(qū)間上的“等積分”函數(shù)的組數(shù)是（）A.B.C.D.思路：按照“等積分”的定義，只需計(jì)算出兩個(gè)函數(shù)在處的積分，再判斷是否相等即可。解：①所以①為“等積分”②為奇函數(shù)，為偶函數(shù)③由幾何含義可得：所以③為一組“等積分”函數(shù)④因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以④為一組“等積分”函數(shù)綜上所述，①③④為“等積分”函數(shù)答案：C例10：已知函數(shù)，直線（為常數(shù)，且），直線與函數(shù)的圖像圍成的封閉圖形如圖中陰影所示，當(dāng)變化時(shí)陰影部分的面積的最小值為___________思路：可解得與直線的交點(diǎn)為，從而用可表示出陰影部分面積：，化簡(jiǎn)后可得：，再通過(guò)導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性即可求出的最小值解：與的交點(diǎn)為：，解得：所以陰影面積設(shè)，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增答案：小煉有話說(shuō)：（1）本題是定積分與導(dǎo)數(shù)綜合的一道題目，在處理時(shí)要理解定積分和導(dǎo)數(shù)所起到的作用：定積分用于處理面積，而需要求最值時(shí)，非常規(guī)函數(shù)可用導(dǎo)數(shù)解出單調(diào)性，從而求最小值。了解每個(gè)工具的作用才可在需要時(shí)選擇正確的方法（2）對(duì)于含參數(shù)的定積分，首先要確定被積函數(shù)的自變量（可觀察“”后面的字母），然后將參數(shù)視為一個(gè)常量參與運(yùn)算（包括求原函數(shù)和代入上下限）即可，所得的結(jié)果通常是含參數(shù)的表達(dá)式。第26煉求未知角的三角函數(shù)值在三角函數(shù)的解答題中，經(jīng)常要解決求未知角的三角函數(shù)值，此類問(wèn)題的解決方法大體上有兩個(gè)，一是從角本身出發(fā)，利用三角函數(shù)關(guān)系列出方程求解，二是向已知角（即三角函數(shù)值已知）靠攏，利用已知角將所求角表示出來(lái)，再利用三角函數(shù)運(yùn)算公式展開并整體代換求解，本周著力介紹第二種方法的使用和技巧一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、與三角函數(shù)計(jì)算相關(guān)的公式：（1）兩角和差的正余弦，正切公式：①②③④⑤⑥（2）倍半角公式：①②③（3）輔助角公式：，其中2、解決此類問(wèn)題的方法步驟：（1）考慮用已知角表示未知角，如需要可利用常用角進(jìn)行搭配（2）等號(hào)兩邊同取所求三角函數(shù)，并用三角函數(shù)和差公式展開（3）利用已知角所在象限和三角函數(shù)值求出此角的其他函數(shù)值（4）將結(jié)果整體代入到運(yùn)算式即可3、確定所涉及角的范圍：當(dāng)已知角的一個(gè)三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值時(shí)，角的范圍將決定其他三角函數(shù)值的正負(fù)，所以要先判斷角的范圍，再進(jìn)行三角函數(shù)值的求解。確定角的范圍有以下幾個(gè)層次：（1）通過(guò)不等式的性質(zhì)解出該角的范圍（例如：，則）（2）通過(guò)該角的三角函數(shù)值的符號(hào)，確定其所在象限。（3）利用特殊角將該角圈在一個(gè)區(qū)間內(nèi)（區(qū)間長(zhǎng)度通常為）（4）通過(guò)題目中隱含條件判斷角的范圍。例如：，可判斷出在第一象限二、典型例題：例1：已知，，求：（1）（2）解：（1）已知的角為，而所求角,故可以考慮而而，故在第一象限（2）與（1）類似。考慮，則小煉有話說(shuō)：（1）本題先利用已知角表示未知角，然后用已知角整體代換求解（2）注意在求已知角其他的三角函數(shù)值時(shí)，要確定已知角的范圍，進(jìn)而確定其他三角函數(shù)值的符號(hào)（3）本題第1問(wèn)也可利用方程的思想，即來(lái)求解，但方程過(guò)于復(fù)雜，難于計(jì)算，要進(jìn)行比較，體會(huì)題目所給方法的方便之處例2：已知，且.（1）求；（2）求.解：（1）（2）例3：已知，，求的值．解：小煉有話說(shuō)：本題注意如何確定兩個(gè)角的范圍：利用已知條件和不等式性質(zhì)求解例4：設(shè)，求解：例5：已知，則（）A.B.C.D.思路：所求角與相關(guān)，但題目中有，所以考慮利用消去，即，化簡(jiǎn)后可得：即答案：D例6：已知，且均為銳角，求解：①若為銳角，則根據(jù)在單調(diào)遞增，可知，與條件矛盾，代入①可得：例7：已知，，，則_______思路一：考慮用已知角表示未知角，，從而，展開后即可利用已知角的三角函數(shù)進(jìn)行整體代入，由和可知，但，所以不能判定的符號(hào)，所以由可得：，分別代入表達(dá)式可計(jì)算出或，由可知解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，答案：思路二：本題以，為突破口，發(fā)現(xiàn)其三角函數(shù)值含有一定關(guān)系，計(jì)算出，從而，所以得到與的關(guān)系。結(jié)合可知，即，所以解：或，若即，與矛盾，故舍去若即，則：答案：小煉有話說(shuō)：（1）在思路一中，雖然在計(jì)算的正弦時(shí)，沒有辦法簡(jiǎn)單地根據(jù)角的范圍進(jìn)行取舍，但是在最后的結(jié)果中會(huì)發(fā)現(xiàn)有一個(gè)解是不符合題意的。在解題過(guò)程中，要時(shí)刻關(guān)注角的范圍，使之成為一道防線趕走不符合條件的解（2）思路二是從三角函數(shù)值的特點(diǎn)作為突破口，進(jìn)而尋求已知條件中的角之間的關(guān)系，這也是對(duì)題目條件的一種妙用例8：已知，則的值是______________解：例9：已知，求思路：若要求出的值，則需要它的一個(gè)三角函數(shù)。所給條件均為正切值，所以也考慮計(jì)算，其中可由求出。再代入式子中可得：，下面考慮的范圍。如果按照原始條件：可得，則或，但本題可通過(guò)進(jìn)一步縮小的范圍。由可知，由可知，所以，從而解：且且由可知例10：已知在中，，則角的大小為（）A.B.C.或D.思路：在中，可知，，所以若要求角，結(jié)合條件可知選擇，將的兩個(gè)方程平方后相加可得：，即，所以或，以為突破口，若，則，那么，且。與條件不符。所以解：即或若，則與條件不符故舍去第27煉三角函數(shù)的值域與最值一、基礎(chǔ)知識(shí)1、形如解析式的求解：詳見“函數(shù)解析式的求解”一節(jié)，本節(jié)只列出所需用到的三角公式（1）降冪公式：（2）（3）兩角和差的正余弦公式（4）合角公式：，其中2、常見三角函數(shù)的值域類型：（1）形如的值域：使用換元法，設(shè)，根據(jù)的范圍確定的范圍，然后再利用三角函數(shù)圖像或單位圓求出的三角函數(shù)值，進(jìn)而得到值域例：求的值域解：設(shè)當(dāng)時(shí)，（2）形如的形式，即與的復(fù)合函數(shù)：通常先將解析式化簡(jiǎn)為同角同三角函數(shù)名的形式，然后將此三角函數(shù)視為一個(gè)整體，通過(guò)換元解析式轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜さ暮瘮?shù)，再求出值域即可例：求的值域解：設(shè)，即的值域?yàn)椋?）含三角函數(shù)的分式，要根據(jù)分子分母的特點(diǎn)選擇不同的方法，通常采用換元法或數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行處理（詳見例5，例6）二、典型例題例1：已知向量（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍解：（1）單調(diào)遞增區(qū)間為：（2）思路：由（1）可得：，從得到角的范圍，進(jìn)而求出的范圍解：由（1）得：小煉有話說(shuō)：對(duì)于形如的形式，通?？上扔?jì)算出的范圍，再確定其三角函數(shù)值的范圍例2：已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和圖像的對(duì)稱軸方程（2）求函數(shù)在區(qū)間的值域解：（1）對(duì)稱軸方程：（2）思路：將視為一個(gè)整體，先根據(jù)的范圍求出的范圍，再判斷其正弦值的范圍解：例3：函數(shù)的最大值為___________思路：解析式中的項(xiàng)種類過(guò)多，不利于化簡(jiǎn)與分析，所以考慮盡量轉(zhuǎn)化為同一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)。觀察可得次數(shù)較低，所以不利于轉(zhuǎn)化，而均可以用進(jìn)行表示，確定核心項(xiàng)為，解析式變形為，化簡(jiǎn)后為，當(dāng)時(shí)，答案：2小煉有話說(shuō)：當(dāng)解析式無(wú)法化成的形式時(shí)，要考慮是否是三角函數(shù)與其他函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，進(jìn)而要將某個(gè)三角函數(shù)作為核心變量，并將其余的三角函數(shù)用核心變量進(jìn)行表示，再將核心變量進(jìn)行換元求出值域即可例4：設(shè)函數(shù)，若，則函數(shù)的最小值是______思路：同例4考慮將解析式中的項(xiàng)統(tǒng)一，，進(jìn)而可將作為一個(gè)整體，通過(guò)換元來(lái)求值域。解：設(shè)，由可得：，從而，所以所以最小值為答案：0例5：函數(shù)的值域?yàn)開__________思路：可將視為研究對(duì)象，令，進(jìn)而只需求的值域即可。解：令，可得答案：小煉有話說(shuō)：要注意在時(shí)自身帶范圍，即例6：函數(shù)的值域?yàn)開___________思路：可變形為，且可視為與連線的斜率的取值范圍，為單位圓上的一點(diǎn)，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點(diǎn)的的范圍。所以，解得：或，所以答案：小煉有話說(shuō)：（1）對(duì)比例5和例6，盡管都是同一個(gè)角的分式值域，但是例5的三角函數(shù)名相同，所以可視為同一個(gè)量，利用換元求解，而例6的三角函數(shù)