2024年千錘百煉高考數學100個熱點問題第87煉 離散型隨機變量分布列與數字特征含答案

2024年千錘百煉高考數學100個熱點問題第87煉離散型隨機變量分布列與數字特征第87煉離散型隨機變量分布列與數字特征一、基礎知識：（一）離散型隨機變量分布列：1、隨機變量：對于一項隨機試驗，會有多個可能產生的試驗結果，則通過確定一個對應關系，使得每一個試驗結果與一個確定的數相對應，在這種對應關系下，數字隨著每次試驗結果的變化而變化，將這種變化用一個變量進行表示，稱這個變量為隨機變量（1）事件的量化：將試驗中的每個事件用一個數來進行表示，從而用“數”即可表示事件。例如：在扔硬幣的試驗中，用1表示正面朝上，用0表示反面朝上，則提到1，即代表正面向上的事件。將事件量化后，便可進行該試驗的數字分析（計算期望與方差），同時也可以簡潔的表示事件（2）量化的事件之間通?；榛コ馐录?）隨機變量：如果將事件量化后的數構成一個數集，則可將隨機變量理解為這個集合的代表元素。它可以取到數集中每一個數，且每取到一個數時，就代表試驗的一個結果。例如：在上面扔硬幣的試驗中，設向上的結果為，則“”代表“正面向上”，”代表“反面向上”，（4）隨機變量的記法：隨機變量通常用等表示（5）隨機變量的概率：記為取所代表事件發(fā)生的概率2、離散型隨機變量：所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量，離散型隨機變量的取值集合可以是有限集，也可以是無限集3、分布列：一般地，若離散型隨機變量可能取得不同值為，取每一個值的概率，以表格的形式表示如下：稱該表格為離散型隨機變量的分布列，分布列概率具有的性質為：（1）（2），此性質的作用如下：①對于隨機變量分布列，概率和為1，有助于檢查所求概率是否正確②若在隨機變量取值中有一個復雜情況，可以考慮利用概率和為1的特征，求出其他較為簡單情況的概率，利用間接法求出該復雜情況的概率（二）常見的分布：1、如何分辨隨機變量分布列是否符合特殊分布：（1）隨機變量的取值：隨機變量的取值要與特殊分布中的取值完全一致.（2）每個特殊的分布都有一個試驗背景，在滿足（1）的前提下可通過該試驗的特征判斷是否符合某分布2、常見的分布（1）兩點分布：一項試驗有兩個結果，其中事件發(fā)生的概率為，令，則的分布列為：則稱符合兩點分布（也稱伯努利分布），其中稱為成功概率（2）超幾何分布：在含有個特殊元素的個元素中，不放回的任取件，其中含有特殊元素的個數記為，則有，其中即：則稱隨機變量服從超幾何分布，記為（3）二項分布：在次獨立重復試驗中，事件發(fā)生的概率為，設在次試驗中事件發(fā)生的次數為隨機變量，則有，即：則稱隨機變量符合二項分布，記為（三）數字特征——期望與方差1、期望：已知離散性隨機變量的分布列為：則稱的值為的期望，記為（1）期望反映了隨機變量取值的平均水平，換句話說，是做了次這樣的試驗，每次試驗隨機變量會取一個值（即結果所對應的數），將這些數進行統計，并計算平均數，當足夠大時，平均數無限接近一個確定的數，這個數即為該隨機變量的期望。例如：連續(xù)投籃三次，設投進籃的次數為隨機變量，那么將這種連續(xù)三次投籃的試驗重復做很多次（比如次），統計每次試驗中的取值，則這個值的代數平均數將很接近期望（2）期望的運算法則：若兩個隨機變量存在線性對應關系：，則有①是指隨機變量取值存在對應關系，且具備對應關系的一組代表事件的概率相同：若的分布列為：則的分布列為：②這個公式體現出通過隨機變量的線性關系，可得期望之間的聯系。在某些直接求期望的題目中，若所求期望的隨機變量不符合特殊分布，但與一個特殊分布的隨機變量間存在這樣的關系，那么在計算期望時，便可借助這個特殊分布的隨機變量計算出期望2、方差：已知離散性隨機變量的分布列為：且記隨機變量的期望為，用表示的方差，則有：（1）方差體現了隨機變量取值的分散程度，與期望的理解類似，是指做了次這樣的試驗，每次試驗隨機變量會取一個值（即結果所對應的數），將這些數進行統計。方差大說明這些數分布的比較分散，方差小說明這些數分布的較為集中（集中在期望值周圍）（2）在計算方差時，除了可以用定義式之外，還可以用以下等式進行計算：設隨機變量為，則（3）方差的運算法則：若兩個隨機變量存在線性對應關系：，則有：3、常見分布的期望與方差：（1）兩點分布：則（2）二項分布：若，則（3）超幾何分布：若，則注：通常隨機變量的期望和方差是通過分布列計算得出，如果題目中跳過求分布列直接問期望（或方差），則可先觀察該隨機變量是否符合特殊的分布，或是與符合特殊分布的另一隨機變量存在線性對應關系。從而跳過分布列中概率的計算，直接利用公式得到期望（或方差）二、典型例題：例1：為加強大學生實踐，創(chuàng)新能力和團隊精神的培養(yǎng)，促進高等教育教學改革，教育部門主辦了全國大學生智能汽車競賽，競賽分為預賽和決賽兩個階段，參加決賽的隊伍按照抽簽的方式決定出場順序，通過預賽，選拔出甲，乙等五支隊伍參加決賽（1）求決賽中甲乙兩支隊伍恰好排在前兩位的概率（2）若決賽中甲隊和乙隊之間間隔的隊伍數記為，求的分布列和數學期望（1）思路：本題可用古典概型進行解決，設為“五支隊伍的比賽順序”，則，事件為“甲乙排在前兩位”，則，從而可計算出解：設事件為“甲乙排在前兩位”（2）思路：一共五支隊伍，所以甲乙之間間隔的隊伍數能取得值為，同樣適用于古典概型?？上葘⒓祝艺忌衔恢?，然后再解決“甲乙”的順序與其他三支隊伍間的順序問題。解：可取得值為的分布列為：例2：為了提高我市的教育教學水平，市教育局打算從紅塔區(qū)某學校推薦的10名教師中任選3人去參加支教活動。這10名教師中，語文教師3人，數學教師4人，英語教師3人．求：（1）選出的語文教師人數多于數學教師人數的概率；（2）選出的3人中，語文教師人數的分布列和數學期望．（1）思路：本題可用古典概型來解，事件為“10名教師中抽取3人”，則，事件為“語文教師人數多于數學教師人數”，則分為“1語0數”，“2語1數”，“2語0數”，“3語”四種情況，分別求出對應的情況的種數，加在一起即為，則即可求出。為了更好的用數學符號表示事件，可使用“字母+數字角標”的形式分別設出“3人中有名語文教師”和“3人中有名數學教師”。設事件為“3人中有名語文教師”，為“3人中有名數學教師”，事件為“語文教師人數多于數學教師人數”（2）思路：本題可將語文老師視為特殊元素，則問題轉化為“10個元素中不放回的抽取3個元素，特殊元素個數的分布列”，即符合超幾何分布。隨機變量的取值為，按超幾何分布的概率計算公式即可求出分布列及期望語文教師人數可取的值為，依題意可得：的分布列為例3：某市為準備參加省中學生運動會，對本市甲，乙兩個田徑隊的所有跳高運動員進行了測試，用莖葉圖表示出甲，乙兩隊運動員本次測試的成績（單位：cm，且均為整數），同時對全體運動員的成績繪制了頻率分布直方圖，跳高成績在185cm以上（包括185cm）定義為“優(yōu)秀”，由于某些原因，莖葉圖中乙隊的部分數據丟失，但已知所有運動員中成績在190cm以上（包括190cm）的只有兩個人，且均在甲隊（1）求甲，乙兩隊運動員的總人數及乙隊中成績在（單位：cm）內的運動員人數（2）在甲，乙兩隊所有成績在180cm以上的運動員中隨機選取2人，已知至少有1人成績?yōu)椤皟?yōu)秀”，求兩人成績均“優(yōu)秀”的概率（3）在甲，乙兩隊中所有的成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的運動員中隨機選取2人參加省中學生運動會正式比賽，求所選取運動員中來自甲隊的人數的分布列及期望（1）思路：本小問抓好入手點的關鍵是明確兩個統計圖的作用，莖葉圖所給的數據為甲，乙兩隊的成績，但乙隊有殘缺，所以很難從莖葉圖上得到全體運動員的人數。在頻率分布直方圖中，所呈現的是所有運動員成績的分布（但不區(qū)分甲，乙隊），由此可明確要確定全體運動員的人數，需要通過直方圖，要確定各隊的情況，則需要莖葉圖。要補齊乙隊的數據，則兩個圖要結合著看。在第（1）問中，可以以190cm以上的人數為突破口，通過頻率直方圖可知190cm以上所占的頻率為，而190cm以上只有2人，從而得到全體人數，然后再根據頻率直方圖得到的人數，減去甲隊的人數即為解：由頻率直方圖可知：成績在以190cm以上的運動員的頻率為所以全體運動館總人數（人）成績位于中運動員的頻率為，人數為由莖葉圖可知：甲隊成績在的運動員有3名（人）（2）思路：通過頻率直方圖可知180cm以上運動員總數為：（人），結合莖葉圖可知乙在180cm以上不缺數據。題目所求的是條件概率，所以可想到公式，分別求出“至少有1人成績?yōu)椤畠?yōu)秀’”和“兩人成績均‘優(yōu)秀’”的概率，然后再代入計算即可解：由頻率直方圖可得：180cm以上運動員總數為：由莖葉圖可得，甲乙隊180cm以上人數恰好10人，且優(yōu)秀的人數為6人乙在這部分數據不缺失設事件為“至少有1人成績優(yōu)秀”，事件為“兩人成績均優(yōu)秀”（3）思路：由（2）及莖葉圖可得：在優(yōu)秀的6名運動員中，甲占了4名，乙占了2名，依題意可知的取值為，且符合超幾何分布，進而可按公式進行概率的計算解：由（2）可得：甲有4名優(yōu)秀隊員，乙有2名優(yōu)秀隊員可取的值為的分布列為：例4：現有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數大于2的人去參加乙游戲.（1）求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；（2）求這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數的概率；（3）用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數，記，求隨機變量的分布列與數學期望.（1）思路：按題意要求可知去參加甲游戲的概率為，參加乙游戲的概率為，4個人扔骰子相互獨立，所以屬于獨立重復試驗模型，利用該模型求出概率即可。解：依題意可得：參加甲游戲的概率為，參加乙游戲的概率為設事件為“有個人參加甲游戲”（2）思路：若甲游戲人數大于乙游戲人數，即為事件，又因為互斥，所以根據加法公式可得：，進而可計算出概率解：設事件為“甲游戲人數大于乙游戲人數”（3）思路：表示兩個游戲人數的差，所以可取的值為。時對應的情況為，時對應的情況為，時對應的情況為，從而可計算出對應的概率，得到分布列解：可取的值為例5：某學生在上學路上要經過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是分鐘（1）求這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率（2）求這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間的分布列及期望，方差解：（1）思路：條件中說明各路口遇到紅燈的情況相互獨立，。在第三個路口首次遇到紅燈，即前兩次沒有遇到，第三次遇到紅燈。使用概率乘法即可計算解：設事件為“在第個路口遇到紅燈”，則，設事件為“第三個路口首次遇到紅燈”即（2）思路：在上學途中遇到一次紅燈就需要停留2分鐘，一共四個路口，所以要停留的時間可取的值為，依題意可知的取值對應的遇到紅燈次數為，且該模型屬于獨立重復試驗模型，所以可用形如二項分布的公式計算遇到紅燈次數的概率，即為對應取值的概率，從而列出分布列，在計算期望與方差時，如果借用分布列計算，雖然可得到答案，但過程比較復雜（尤其是方差），考慮到符合二項分布，其期望與方差可通過公式迅速得到，且與之間存在聯系：。所以先利用二項分布求出的期望與方差，再利用運算公式得到的期望方差即可解：可取的值為，設遇到紅燈的次數為，則對應的值為的分布列為：小煉有話說：本題的亮點在于求的期望方差時，并不是生硬套用公式計算，而是尋找一個有特殊分布的隨機變量，通過兩隨機變量的聯系（線性關系）和的期望方差來得到所求。例6：甲，乙去某公司應聘面試，該公司的面試方案為:應聘者從道備選題中一次性隨機抽取道題，按照答對題目的個數為標準進行篩選.已知道備選題中應聘者甲有道題能正確完成，道題不能完成；應聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響（1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數的分布列，并計算其數學期望；（2）請分析比較甲、乙兩人誰的面試通過的可能性大？（1）思路：依題意可知對于甲而言，只要在抽題的過程中，抽中甲會答的題目，則甲一定能夠答對，所以甲完成面試題數的關鍵在于抽題，即從6道題目中抽取3道，抽到甲會的4道題的數量，可知符合超幾何分布；對于乙而言，抽的題目是無差別的，答對的概率相同，所以乙正確完成面試題數符合二項分布。從而利用超幾何分布與二項分布的概率公式即可得到分布列和方差解：（1）設為甲正確完成面試題的數量，為乙正確完成面試題的數量，依題意可得：，可取的值為的分布列為：的分布列為：（2）思路：由（1）可知，說明甲，乙兩個人的平均水平相同，所以考慮甲，乙發(fā)揮的穩(wěn)定性，即再計算，比較它們的大小即可解：甲發(fā)揮的穩(wěn)定性更強，則甲勝出的概率較大小煉有話說：（1）第（2）問在決策時，用到了期望和方差的意義，即期望表明隨機變量取值的平均情況，而方差體現了隨機變量取值是相對分散（不穩(wěn)定）還是集中（穩(wěn)定），了解它們的含義有助于解決此類問題（2）當隨機變量符合特殊分布時，其方差也有公式以方便運算：①二項分布：若，則②超幾何分布：若，則例7：某個海邊旅游景點，有小型游艇出租供游客出海游玩，收費標準如下：租用時間不超過2小時收費100，超過2小時的部分按每小時100收?。ú蛔阋恍r按一小時計算）．現甲、乙兩人獨立來該景點租用小型游艇，各租一次．設甲、乙租用不超過兩小時的概率分別為，租用2小時以上且不超過3小時的概率分別為，兩人租用的時間都不超過4小時．（1）求甲、乙兩人所付費用相同的概率；（2）設甲、乙兩人所付的費用之和為隨機變量，求的分布列與數學期望．解：（1）設事件為“甲，乙租用時間均不超過2小時”事件為“甲，乙租用時間均在2小時至3小時之間”事件為“甲，乙租用時間均在3小時至4小時之間”故所求事件的概率（2）的取值可以為則故的分布列為：例8：將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器上方的入口處，小球自由下落，在下落的過程中，將遇到黑色障礙物3次，最后落入袋或袋中，已知小球每次遇到障礙物時，向左，右兩邊下落的概率分別是（1）分別求出小球落入袋和袋中的概率（2）在容器入口處依次放入4個小球，記為落入袋中的小球個數，求的分布列和數學期望（1）思路：本題的關鍵要抓住小球下落的特點，通過觀察圖形可得：小球要經歷三層障礙物，且在經歷每層障礙物時，只有一直向左邊或者一直向右邊下落，才有可能落到袋中，其余的情況均落入袋，所以以袋為突破口即可求出概率解：設事件為“小球落入袋”，事件為“小球落入袋”，可知依題意可得：（2）思路：每個小球下落的過程是彼此獨立的，所以屬于獨立重復試驗模型，由（1）可得：在每次試驗中，落入袋發(fā)生的概率為，所以服從二項分布，即，運用二項分布概率計算公式即可得到答案解：可取的值為，可知的分布列為：例9“已知正方形的邊長為，分別是邊的中點．（1）在正方形內部隨機取一點，求滿足的概率；（2）從這八個點中，隨機選取兩個點，記這兩個點之間的距離為，求隨機變量的分布列與數學期望．（1）思路：首先明確本題應該利用幾何概型求解（基本事件位等可能事件，且基本事件個數為無限多個）。為“正方形內部的點”，所以，設事件為“”，則點位于以為圓心，為半徑的圓內，所以為正方形與圓的公共部分面積，計算可得：，從而算出解：設事件為“”（2）思路：八個點中任取兩點，由正方形性質可知兩點距離可取的值為，概率的計算可用古典概型完成。為“八個點中任取兩點”，則，當時，兩點為邊上相鄰兩點，共8組；當時，該兩點與中點相關有4組；當時，除了正方形四條邊，還有，所以由6組；當時，該兩點為頂點與對邊中點，共8組；當時，只能是正方形對角線，有2組，根據每種情況的個數即可計算出概率，完成分布列解：可取的值為的分布列為：例10：一種電腦屏幕保護畫面，只有符號和SKIPIF1<0隨機地反復出現，每秒鐘變化一次，每次變化只出現和SKIPIF1<0之一，其中出現的概率為，出現SKIPIF1<0的概率為，若第次出現SKIPIF1<0，則記SKIPIF1<0；出現SKIPIF1<0，則記SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0．（1）當SKIPIF1<0時，求的分布列及數學期望．（2）當時，求且SKIPIF1<0的概率．（1）思路：依題意可知表示試驗進行了三次，可能的情況為3，12，21，3。且符合獨立重復試驗模型。根據題目要求可知對應的取值為，分別計算出概率即可列出分布列解：的取值為的分布列為：（2）思路：由可知在8次試驗中出現5次，3次。而可知在前四次中，出現的次數要大于出現的次數，可根據前四次出現的個數進行分類討論，并根據安排和出現的順序解：設為“前四次試驗中出現個，且，三、歷年好題精選1、已知箱裝有編號為的五個小球（小球除編號不同之外，其他完全相同），箱裝有編號為的兩個小球（小球除編號不同之外，其他完全相同）,甲從A箱中任取一個小球，乙從B箱中任取一個小球，用分別表示甲，乙兩人取得的小球上的數字.（1）求概率；（2）設隨機變量，求的分布列及數學期望.2、春節(jié)期間，某商場決定從3種服裝，2種家電，3種日用品中，選出3種商品進行促銷活動（1）試求出選出的3種商品中至少有一種是家電的概率（2）商場對選出的某商品采用抽獎方式進行促銷，即在該商品現價的基礎上將價格提高100元，規(guī)定購買該商品的顧客有3次抽獎機會：若中一次獎，則獲得數額為元的獎金；若中兩次獎，則共獲得數額為元的獎金，若中3次獎，則共獲得數額為元的獎金，假設顧客每次抽獎中獎的概率都是，請問：商場將獎金數額最高定為多少元，才能使促銷方案對商場有利3、為了搞好某次大型會議的接待工作，組委會在某校招募了12名男志愿者和18名女志愿者，將這30名志愿者的身高編成如圖所示的莖葉圖（單位：cm）若身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非高個子”，切只有“女高個子”才擔任“禮儀小姐”（1）求12名男志愿者的中位數（2）如果用分層抽樣的方法從所有“高個子”，“非高個子”中共抽取5人，再從這5個人中選2人，那么至少有一個是“高個子”的概率是多少？（3）若從所有“高個子”中選3名志愿者，用X表示所選志愿者中能擔任“禮儀小姐”的人數，試寫出X的分布列并求出期望4、如圖所示：機器人海寶按照以下程序運行：①從A出發(fā)到達點B或C或D，到達點B,C,D之一就停止②每次只向右或向下按路線運行③在每個路口向下的概率為④到達P時只向下，到達Q點只向右（1）求海寶從點A經過M到點B的概率和從A經過N到點C的概率（2）記海寶到B,C,D的事件分別記為，求隨機變量的分布列及期望5、如圖，一個小球從處投入，通過管道自上而下落至或或，已知小球從每個岔口落入左右兩個管道的可能性是相等的，某商家按上述投球方式進行促銷活動，若投入到小球落到，則分別設為一、二、三等獎（1）已知獲得一、二、三、等獎的折扣率分別為，記隨機變量為獲得等獎的折扣率，求隨機變量的分布列及期望（2）若由3人參加促銷活動，記隨機變量為獲得一等獎或二等獎的人數，求6、某地區(qū)一個季節(jié)下雨天的概率是0.3，氣象臺預報天氣的準確率為0.8，某場生產的產品當天怕雨，若下雨而不作處理，每天會損失3000元，若對當天產品作防雨處理，可使產品不受損失，費用是每天500元（1）若該廠任其自然不作防雨處理，寫出每天損失的概率分布，并求其平均值（2）若該廠完全按氣象預報作防雨處理，以表示每天的損失，寫出的概率分布，計算的平均值，并說明按氣象預報作防雨處理是否是正確的選擇7、正四棱柱的底面邊長為，側棱長為，從正四棱柱的12條棱中任取兩條，設為隨機變量，當兩條棱相交時，記；當兩條棱平行時，的值為兩條棱之間的距離；當兩條棱異面時，記（1）求概率（2）求的分布列，并求其數學期望8、投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進行評審，若能通過兩位初審專家的評審，則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用；若恰能通過一位初審專家的評審，則再由第三位專家進行復審，若能通過復審專家的評審，則予以錄用，否則不予錄用。設稿件能通過各初審專家評審的概率均為，復審的稿件能通過評審的概率為（1）求投到該雜志的一篇稿件被錄用的概率（2）記表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數，求的分布列及期望9、（2016，湖南師大附中月考）師大附中高一研究性學習小組，在某一高速公路服務區(qū)，從小型汽車中按進服務區(qū)的先后，以每間隔10輛就抽取一輛的抽樣方法抽取20名駕駛員進行詢問調查，將他們在某段高速公路的車速（）分成六段：統計后得到如下圖的頻率分布直方圖．（1）此研究性學習小組在采集中，用到的是什么抽樣方法？并求這20輛小型汽車車速的眾數和中位數的估計值；（2）若從車速在的車輛中做任意抽取3輛，求車速在和內都有車輛的概率；（3）若從車速在的車輛中任意抽取3輛，求車速在的車輛數的數學期望．10、已知暗箱中開始有3個紅球，2個白球（所有的球除顏色外其它均相同），現每次從暗箱中取出一個球后，再將此球以及與它同色的5個球（共6個球）一起放回箱中（1）求第二次取出紅球的概率（2）求第三次取出白球的概率（3）設取出白球得5分，取出紅球得8分，求連續(xù)取球3次得分的分布列和數學期望11、某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷，凡在該超市購物滿200元的顧客，將獲得一次摸獎機會，規(guī)則如下：獎盒中放有除顏色外完全相同的1個紅色球，1個黃色球，1個藍色球和1個黑色球，顧客不放回的每次摸出1個球，直至摸到黑色球停止摸獎，規(guī)定摸到紅色球獎勵10元，摸到黃色球或藍色球獎勵5元，摸到黑色球無獎勵（1）求一名顧客摸球3次停止摸獎的概率（2）記為一名顧客摸獎獲得的獎金數額，求隨機變量的分布列和數學期望12、某技術部門對工程師進行達標等級考核，需要進行兩輪測試，每輪測試的成績在9.5分及以上的定為該輪測試通過，只有通過第一輪測試的人員才能進行第二輪測試，兩輪測試的過程相互獨立，并規(guī)定：①兩輪測試均通過的定為一級工程師②僅通過第一輪測試，而第二輪測試沒通過的定為二級工程師③第一輪測試沒通過的不予定級已知甲，乙，丙三位工程師通過第一輪測試的概率分別為；通過第二輪測試的概率均為（1）求經過本次考核，甲被定為一級工程師，乙被定為二級工程師的概率（2）求經過本次考核，甲，乙，丙三位工程師中恰有兩位被定為一級工程師的概率（3）設甲，乙，丙三位工程師中被定為一級工程師的人數為隨機變量，求的分布列和數學期望13、（2015，廣東）已知隨機變量服從二項分布，若，則____14、（2015，安徽）已知2件次品和3件正品放在一起，現需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結果.（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率（2）已知每檢測一件產品需要費用100元，設表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求的分布列和均值15、（2015，福建）某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內出現3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時，發(fā)現自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確，則結束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定.（1）求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率；（2）設當天小王用該銀行卡嘗試密碼次數為，求的分布列和數學期望．16、（2015，天津）為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協會的運動員組隊參加.現有來自甲協會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協會的運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.（1）設為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協會”求事件發(fā)生的概率；（2）設為選出的4人中種子選手的人數，求隨機變量的分布列和數學期望.17、（2015，山東）若是一個三位正整數，且的個位數字大于十位數字，十位數字大于百位數字，則稱為“三位遞增數”（如137,359,567等）.在某次數學趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數”中隨機抽取一個數，且只能抽取一次，得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數”的三個數字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.（1）寫出所有個位數字是5的“三位遞增數”；（2）若甲參加活動，求甲得分的分布列和數學期望18、（2014，四川）一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現一次音樂，要么不出現音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現一次音樂獲得10分，出現兩次音樂獲得20分，出現三次音樂獲得100分，沒有出現音樂則扣除200分(即獲得－200分)．設每次擊鼓出現音樂的概率為，且各次擊鼓出現音樂相互獨立．（1）設每盤游戲獲得的分數為X，求X的分布列．（2）玩三盤游戲，至少有一盤出現音樂的概率是多少？（3）玩過這款游戲的許多人都發(fā)現，若干盤游戲后，與最初的分數相比，分數沒有增加反而減少了．請運用概率統計的相關知識分析分數減少的原因．19、（2016，唐山一中）設不等式確定的平面區(qū)域為，確定的平面區(qū)域為.（1）定義橫、縱坐標為整數的點為“整點”，在區(qū)域內任取3個整點，求這些整點中恰有2個整點在區(qū)域內的概率；（2）在區(qū)域內任取3個點，記這3個點在區(qū)域內的個數為，求的分布列和數學期望.20、（2016，天一大聯考）某猜數字游戲規(guī)則如下：主持人給出8個數字，其中有一個是幸運數字，甲，乙，丙三人依次來猜這個幸運數字，有人猜中或者三人都未猜中游戲結束。甲先猜一個數，如果甲猜中，則甲獲得10元獎金，如果甲沒有猜中，則主持人去掉四個非幸運數字（包括甲猜的）；乙從剩下的四個數中猜一個，如果乙猜中，則甲，乙均獲得5元獎金，如果乙沒有猜中，則主持人再去掉兩個非幸運數字（包括乙猜的）；丙從剩下的兩個數中猜一個，如果丙猜中，則甲，乙，丙均獲得2元獎金。如果丙沒有猜中，則三個人均沒有獎金（1）求甲至少獲得5元獎金的概率（2）記乙獲得的獎金為元，求的分布列及數學期望21、（2016，廣東省四校第二次聯考）為普及高中生安全逃生知識與安全防護能力，某學校高一年級舉辦了高中生安全知識與安全逃生能力競賽．該競賽分為預賽和決賽兩個階段，預賽為筆試，決賽為技能比賽．先將所有參賽選手參加筆試的成績（得分均為整數，滿分為100分）進行統計，制成如下頻率分布表．分數（分數段）頻數（人數）頻率[60，70）9[70，80）0.38[80，90）160.32[90，100）合計1（1）求出上表中的的值；（2）按規(guī)定，預賽成績不低于90分的選手參加決賽，參加決賽的選手按照抽簽方式決定出場順序．已知高一二班有甲、乙兩名同學取得決賽資格．①求決賽出場的順序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；②記高一?二班在決賽中進入前三名的人數為，求的分布列和數學期望．22、（2016，唐山一模）某商場舉行優(yōu)惠促銷活動，顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種，方案一：每滿200元減50元：方案二：每滿200元可抽獎一次．具體規(guī)則是依次從裝有3個紅球、1個白球的甲箱，裝有2個紅球、2個白球的乙箱，以及裝有1個紅球、3個白球的丙箱中各隨機摸出1個球，所得結果和享受的優(yōu)惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區(qū)別）（1）若兩個顧客都選擇方案二，各抽獎一次，求至少一個人獲得半價優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客購物金額為320元，用所學概率知識比較哪一種方案更劃算？習題答案：1、解析：（1）設事件為“取出號球”，設事件為“取出號球”，則（2）的取值為的分布列為：2、解析：(1)設選出的3種商品中至少有一種是家電為事件A，從3種服裝、2種家電、3種日用品中，選出3種商品，一共有種不同的選法，選出的3種商品中，沒有家電的選法有種．所以，選出的3種商品中至少有一種是家電的概率為（2）設顧客三次抽獎所獲得的獎金總額為隨機變量，其所有可能的取值為3、解析：（1）由莖葉圖可得：男志愿者身高數據為：所以中位數為：（2）由莖葉圖可得：“高個子”12人，“非高個子”18人所以這5個人中，有2個高個子，3個“非高個子”設事件為：“至少有一個是‘高個子’”（3）由莖葉圖可得高個子中能擔任禮儀小姐的有4人則可取的值為的分布列為：4、解析：（1）依題意可得每個路口向下的概率為，向右的概率為設事件為“點A經過M到點B”設事件為“從A經過N到點C”（2）的分布列為：5、解析：（1）可取的值為的分布列為：（2）由（1）可知：獲得一等獎或二等獎的概率為，且6、解析：（1）可取的值為，依題意可得：（2）可取的值為的分布列為：，所以按天氣預報作防雨處理是正確的選擇7、解：（1）（2）可取的值為的分布列為：8、解：（1）設事件為“一篇稿件被錄用”（2）可取的值為，可知的分布列為：9、解析：（1）此研究性學習小組在采樣中，用到的抽樣方法是系統抽樣．這40輛小型汽車車速眾數的估計值為87.5，中位數的估計值為87.5（2）車速在的車輛有輛，其中速度在和內的車輛分別有4輛和6輛設事件為“內有輛車”，事件為“內有輛車”，事件為“車速在和內都有車輛”（3）車速在的車輛共有7輛，車速在和的車輛分別有5輛和2輛，若從車速在的車輛中任意抽取3輛，設車速在的車輛數為，則的可能取值為1、2、3．，．故分布列為123∴車速在的車輛數的數學期望為．10、解析：（1）設事件為“第二次取出紅球”可得（2）設事件為“第三次取出白球”，則包含白白白，白紅白，紅白白，紅紅白（3）可取的值為的分布列為：11、解：（1）設事件為“一名顧客摸球3次停止摸獎”則（2）的取值為的分布列為：12、解：（1）設事件為“甲被定為一級工程師，乙被定為二級工程師”所以（2）設甲，乙，丙被定為一級工程師的事件分別為，事件表示所求事件（3）可取的值為的分布列為：13、答案：解析：因為，所以，從而，可得14、解析：（1）設事件為“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”（2）的可能取值為的分布列為：15、解析：（1）設事件為“當天小王的該銀行卡被鎖定”（2）依題意得，所有可能的取值是1，2，3的分布列為：16、解析：（1）（2）所有可能的取值是1，2，3，4，可知符合超幾何分布所以隨機變量的分布列為所以隨機變量的數學期望17、解：（1）（2）所有可能的取值是的分布列為：X0-11P18、解析：（1）所有可能的取值是X1020100－200Peq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)eq\f(1,8)的分布列為：（2）設“第盤沒有出現音樂”為事件所以設事件為“玩三盤游戲，至少有一盤出現音樂”（3）由（1）知，這表明，獲得的分數的均值為負值所以多次游戲之后分數減少的可能性更大19、解析：（1）依題意可得中整點為：共13個，中整點為，設事件為“整點中恰有2個整點在區(qū)域內”（2）平面區(qū)域的面積為，平面區(qū)域的面積為可取的值為可知的分布列為：20、解析：（1）設事件為“甲至少獲得5元獎金”（2）依題意可知可取的值為的分布列為：21、解析：（1）由題意知，由上的數據，所以，同理可得：（2）①由（1）可得，參加決賽的選手共人設事件為“甲不在第一位、乙不在第六位”②隨機變量的可能取值為所以的分布列為：22、解析：（1）設事件為“顧客獲得半價”，則所以兩位顧客至少一人獲得半價的概率為：（2）若選擇方案一，則付款金額為若選擇方案二，記付款金額為元，則可取的值為所以方案二更為劃算第88煉含有條件概率的隨機變量問題一、基礎知識：1、條件概率：事件在事件已經發(fā)生的情況下，發(fā)生的概率稱為在條件下的條件概率，記為2、條件概率的計算方法：（1）按照條件概率的計算公式：（2）考慮事件發(fā)生后，題目產生了如何的變化，并寫出事件在這種情況下的概率例如：5張獎券中有一張有獎，甲，乙，丙三人先后抽取，且抽完后不放回，已知甲沒有中獎，則乙中獎的概率：按照（1）的方法：設事件為“甲沒中獎”，事件為“乙中獎”，則所求事件為，按照公式，分別計算，利用古典概型可得：，，所以按照（2）的方法：考慮甲已經抽完了，且沒有中獎，此時還有4張獎券，1張有獎。那么輪到乙抽時，乙抽中的概率即為3、含條件概率的乘法公式：設事件，則同時發(fā)生的概率，此時通常用方案（2）進行計算4、處理此類問題要注意以下幾點：（1）要分析好幾個事件間的先后順序，以及先發(fā)生的事件對后面事件的概率產生如何的影響（即后面的事件算的是條件概率）（2）根據隨機變量的不同取值，事件發(fā)生的過程會有所不同，要注意區(qū)別（3）若隨機變量取到某個值時，情況較為復雜，不利于正面分析，則可以考慮先求出其它取值時的概率，然后用間接法解決。二、典型例題：例1：袋中有大小相同的三個球，編號分別為，從袋中每次取出一個球，若取到的球的編號為，則把該球編號記下再把編號數改為1后放回袋中繼續(xù)取球；若取到的球的編號為奇數，則取球停止，取球停止后用表示“所有被取球的編號之和”（1）求的分布列（2）求的數學期望及方差思路：（1）依題意可知如果取球取出的是，則取球停止，此時的值為1或3；當取球取出的是2號球時，按照規(guī)則要改為1號球放進去重取，再取時只能取到1或3，所有編號之和的值為，所以可知可取的值為，當時，意味著直接取到了1號球（概率為）；當時，分為兩種情況，一種為直接取到3（概率為），另一種為取到了2（概率為），改完數字后再取到1（概率為）；當時，為取到了2（概率為），改完數字后再取到3（概率為），從而可計算出概率。進而得到分布列與期望方差解：（1）可取的值為的分布列為：（2）例2：深圳市某校中學生籃球隊假期集訓，集訓前共有6個籃球，其中3個是新球(即沒有用過的球)，3個是舊球(即至少用過一次的球)．每次訓練，都從中任意取出2個球，用完后放回．（1）設第一次訓練時取到的新球個數為，求的分布列和數學期望；（2）求第二次訓練時恰好取到一個新球的概率．（1）思路：第一次訓練時所取得球是從6個球（3新，3舊）中不放回取出2個球，所以可判斷出服從超幾何分布，即可利用其公式計算概率與分布列，并求得期望解：可取的值為的分布列為：（2）思路：本題要注意一個常識，即新球訓練過后就變成了舊球，所以要計算第二次恰好取到一個新球的概率，需要了解經過第一次訓練后，所剩的球有幾個新球，幾個舊球。所以要對第一次取球的情況進行分類討論：若第一次取2個新球，則第二次訓練時有5舊1新；若第一次取到1個新球，則第二次訓練時有4舊2新；若第一次取到2個舊球，則第二次訓練依然為3舊3新，分別計算概率再相加即可解：設事件為“第一次訓練取出了個新球”，則設事件為“從六個球取出兩個球，其中恰好有一個新球”事件為“第二次恰好取出一個新球”例3：若盒中裝有同一型號的燈泡共10個，其中有8個合格品，2個次品（1）某工人師傅有放回地連續(xù)從該盒中取燈泡3次，每次取一只燈泡，求2次取到次品的概率（2）某工人師傅用該盒中的燈泡去更換會議室的一只已壞燈泡，每次從中取一燈泡，若是正品則用它更換已壞燈泡，若是次品則將其報廢（不再放回原盒中），求成功更換會議室的已壞燈泡所用燈泡只數的分布列和數學期望（1）思路：每次有放回的取燈泡，相當于做了3次獨立重復試驗，每次試驗中取到合格品的概率為，取到次品的概率為，在3次試驗中2次取到次品，1次取得合格品，所以考慮利用公式求解取到次品的概率解：設事件為“2次取到次品”（2）思路：因為只有2個次品，所以最多用掉3個燈泡，可取的值為，時，意味著取到的是合格品，概率為，是取到一個次品（概率為）之后在9個燈泡中取到一個合格品（概率為），是連續(xù)取到2個次品（概率為），之后一定拿到合格品，分別計算概率即可解：可取的值為的分布列為：例4：一個盒子內裝有8張卡片，每張卡片上面寫著1個數字，這8個數字各不相同，且奇數有3個，偶數有5個．每張卡片被取出的概率相等．（1）如果從盒子中一次隨機取出2張卡片，并且將取出的2張卡片上的數字相加得到一個新數，求所得新數是奇數的概率；（2）現從盒子中一次隨機取出1張卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上寫著的數是偶數則停止取出卡片，否則繼續(xù)取出卡片．設取出了次才停止取出卡片，求的分布列和數學期望．（1）思路：本題可用古典概型解決，事件為“8張卡片中取出2張卡片”，所以事件為“所得新數為奇數”，可知需要一奇一偶相加即可，則，從而可計算出解：設為“所得新數為奇數”（2）思路：依題意可知可取的值為，題目中的要求為“取出偶數即停止”所以若要保證第次能繼續(xù)抽卡片，則在前次需均抽出奇數。所以時，意味著抽卡片中途停止，則必在最后一次取到了偶數，以為例，中途停止說明在第三次抽到偶數，前兩次抽到奇數。所以（第二次受第一次結果的影響，只剩7張卡片，含有2張奇數卡片，所以是前兩次是奇數的概率為）。當時，只要在前三次將奇數卡片抽完即可。解：可取的值為的分布列為：例5：某迷宮有三個通道，進入迷宮的每個人都要經過一個智能門，首次到達此門，系統會隨機（即等可能）為你打開一個通道，若是1號通道，則需要1個小時走出迷宮；若是2號，3號通道，則分別需要2小時，3小時返回智能門，再次到達智能門時，系統會隨機打開一個你未到過的通道，直至走出迷宮為止，令表示走出迷宮所需的時間，求的分布列和數學期望思路：迷宮的規(guī)則為只有進入1號通道才能走出迷宮，如果是其他通道（以2號為例），則可能打開1通道然后走出迷宮，或者打開另一個通道，通過第三輪進入1通道走出迷宮，所以可取的值為（1號），（2號+1號），（3號+1號），（3號+2號+1號或2號+3號+1號）。根據的取值便可判斷出走迷宮的情況，從而列出式子計算概率，得到分布列解：可取的值為的分布列為：例6：某學校要對學生進行身體素質全面測試，對每位學生都要進行9選3考核（即共9項測試，隨機選取3項），若全部合格，則頒發(fā)合格證；若不合格，則重新參加下期的9選3考核，直至合格為止，若學生小李抽到“引體向上”一項，則第一次參加考試合格的概率為，第二次參加考試合格的概率為，第三次參加考試合格的概率為，若第四次抽到可要求調換項目，其它選項小李均可一次性通過（1）求小李第一次考試即通過的概率（2）求小李參加考核的次數分布列（1）思路：由題意可知，小李能夠通過考試的概率取決于是否能夠抽到“引體向上”這個項目，如果沒有抽到，則必能通過；若抽到“引體向上”則通過的概率為。后面通過測試的概率受到前面抽簽的影響，要利用條件概率進行解決解：（1）若沒有抽到“引體向上”，則若抽到“引體向上”，則（2）思路：依題目要求可知可取的值為，在參加下一次考核時，意味著前幾次考核失敗，所以當取時，要考慮前面考核失敗的情況與該次考核成功兩個方面同時成立。解：可取的值為的分布列為：例7：袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中摸出一個紅球的概率是，從B中摸出一個紅球的概率是，現從兩個袋子中有放回的摸球（1）從A中摸球，每次摸出一個，共摸5次，求①恰好有3次摸到紅球的概率②設摸得紅球的次數為隨機變量，求的期望（2）從A中摸出一個球，若是白球則繼續(xù)在袋子A中摸球，若是紅球則在袋子B中摸球；若從袋子B中摸出的是白球則繼續(xù)在袋子B中摸球，若是紅球則在袋子A中摸球，如此反復摸球3次，計摸出紅球的次數為，求的分布列和期望（1）思路：①題目中說“有放回的摸球”，所以本題為獨立重復試驗模型，在A中摸出紅球的概率為，代入獨立重復