初三數(shù)學(xué)全等三角形

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七班級(jí)數(shù)學(xué)三角形精講

［學(xué)問(wèn)點(diǎn)歸納總結(jié)］

1.三角形的三邊之間的關(guān)系

三角形任意兩邊之和大于第三邊，三角形任意兩邊之差小于第三邊。

2.三角形的內(nèi)角和

三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°。

3.三角形全等的條件

（1）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相等，簡(jiǎn)寫(xiě)為“SSS”。

（2）兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“ASA”。

（3）兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“AAS”。

（4）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“SAS”。

（5）斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“HL”。

4.全等三角形的性質(zhì)

全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等。

5.三角形的外角性質(zhì)

三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。

專(zhuān)題總復(fù)習(xí)（一）全等三角形、軸對(duì)稱(chēng)

一、復(fù)習(xí)目標(biāo)：

1、理解全等三角形概念及全等多邊形的概念.

2、把握并會(huì)運(yùn)用三角形全等的判定和性質(zhì)，能應(yīng)用三角形的全等解決一些實(shí)際問(wèn)題.

3、通過(guò)復(fù)習(xí)，能夠應(yīng)用所學(xué)學(xué)問(wèn)解決一些實(shí)際問(wèn)題，提高同學(xué)對(duì)空間構(gòu)造的思索力量.

二、重難點(diǎn)分析：

1、全等三角形的性質(zhì)與判定；

2、全等三角形的性質(zhì)、判定與解決實(shí)際生活問(wèn)題.

三、學(xué)問(wèn)點(diǎn)梳理：

學(xué)問(wèn)點(diǎn)一：全等三角形的概念——能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.

學(xué)問(wèn)點(diǎn)二：全等三角形的性質(zhì).

（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等.（2）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.

學(xué)問(wèn)點(diǎn)三：判定兩個(gè)三角形全等的方法.

（1）SSS（2）SAS（3）ASA（4）AAS（5）HL（只對(duì)直角三形來(lái)說(shuō)）

學(xué)問(wèn)點(diǎn)四：查找全等三形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的規(guī)律.

①全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊.

②全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角.

③有公共邊的，公共邊肯定是對(duì)應(yīng)邊.

④有公共角的，公共角肯定是對(duì)應(yīng)角.

⑤有對(duì)頂角的，對(duì)頂角是對(duì)應(yīng)角.

⑥全等三角形中的最大邊（角）是對(duì)應(yīng)邊（角），最小邊（角）是對(duì)應(yīng)邊（角）.

學(xué)問(wèn)點(diǎn)五：找全等三角形的方法.

（1）一般來(lái)說(shuō)，要證明相等的兩條線段（或兩個(gè)角），可以從結(jié)論動(dòng)身，看它們分別落在哪兩具可能的全等三角形中.（常用的方法）

（2）可以從已知條件動(dòng)身，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形相等.

（3）可以從已知條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能否一同確定哪兩個(gè)三角形全等.

（4）如無(wú)法證證明全等時(shí)，可考慮作幫助線的方法，構(gòu)造成全等三角形.

學(xué)問(wèn)點(diǎn)六：角平分線的性質(zhì)及判定.

（1）角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

（2）角平分線的判定：在角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上.

（3）三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的性質(zhì)：三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，且到三角形三邊距離相等.

學(xué)問(wèn)點(diǎn)七：證明線段相等的方法.（重點(diǎn)）

（1）中點(diǎn)性質(zhì)（中位線、中線、垂直平分線）

（2）證明兩個(gè)三角形全等，則對(duì)應(yīng)邊相等

（3）借助中間線段相等.

學(xué)問(wèn)點(diǎn)八：證明角相等的方法.（重點(diǎn)）

（1）對(duì)頂角相等；

（2）同角或等角的余角（或補(bǔ)角）相等；

（3）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等、同位角相等；

（4）角平分線的定義；

（5）垂直的定義；

（6）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；

（7）三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角和.

學(xué)問(wèn)點(diǎn)九：全等三角形中幾個(gè)重要的結(jié)論.

（1）全等三角形對(duì)應(yīng)角的平分線相等；

（2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線相等；

（3）全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等.

學(xué)問(wèn)點(diǎn)十：三角形中常見(jiàn)幫助線的作法.（重難點(diǎn)）

（1）延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形（倍長(zhǎng)線段法）；

（2）引平行線構(gòu)造全等三角形；

（3）作垂直線段（或高）；

（4）取長(zhǎng)補(bǔ)短法（截取法）.

【典型例題】

例1.已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，D、E、F分別在AB、BC、CA上，且BD＝CE，∠DEF＝∠B，圖中是否存在和△BDE全等的三角形？說(shuō)明理由。

A

D

F

BEC

解：△CEF≌△BDE

理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C

又∵∠DEC＝∠B＋∠BDE

∴∠DEF＋∠CEF＝∠B＋∠BDE

∵∠DEF＝∠B，∴∠CEF＝∠BDE

?∠BDE?∠CEF（已證）???BD?CE（已知）

?∠B?∠C（已證）?

∴△CEF≌△BDE（ASA）

例2.已知：AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E、F，BF＝DE，則AB∥CD，為什么？

DC

E

解：理由：∵DE⊥AC，BF⊥AC

∴∠DEC＝∠BFA＝90°

在Rt△DEC和Rt△BFA中

?CD?AB（已知）?

BF?DE（已知）?

∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）

∴∠DCE＝∠BAF

∴CD∥AB

例3.用兩個(gè)全等的等邊△ABC和△ACD拼成一個(gè)四邊形ABCD，把一個(gè)含60°角的三角尺與這個(gè)四邊形疊合，使三角尺的60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB、AC重合，將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，問(wèn)：當(dāng)三角尺的兩邊分別與四邊形的兩邊BC、CD相交于E、F時(shí)，通過(guò)觀看或測(cè)量BE、CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論。

AD

F

BEC

解：結(jié)論：BE＝CF

理由：∵△ABC、△ACD為等邊三角形

∴AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，∠BAC＝60°

又∵∠1＋∠EAC＝60°，∠2＋∠EAC＝60°

∴∠1＝∠2

1?∠2（已證）?∠?∴B?AC（已證）?A

?∠ACF（已證）?B?∠

∴△ABE≌△ACF（ASA）

∴BE＝CF

例4.如圖，AD是△ABC的角平分線，AE是BC邊上的高，∠B＝20°，∠C＝40°，求∠DAE的度數(shù)。

A

解：∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°

又∵∠B＝20°，∠C＝40°

∴∠BAC＝180°－20°－40°＝120°

∵AD平分∠BAC

∴∠DA∠BA×120?60

∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°

又∵∠C＝40°

∴∠EAC＝90°－40°＝50°

∴∠DAE＝∠DAC－∠EAC＝60°－50°＝10°

例5.如圖，已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB、∠DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，且AC＝3cm，BD＝5cm，你能利用全等三角形有關(guān)學(xué)問(wèn)測(cè)出AB的長(zhǎng)嗎？

DEC

AB1212oo

解：如圖所示，在AB上截取AF＝AC，連結(jié)EF

D

∵AE是∠CAB平分線