北京三中學2023-2024學年九年級數(shù)學第一學期期末達標檢測模擬試題含解析

北京三中學2023-2024學年九年級數(shù)學第一學期期末達標檢測模擬試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.下列不是一元二次方程的是（）

A.X2=3B.2/+1=0C.3X2+5=3（Λ2-1）D.3X2=3x+l

2.如圖，下列條件中，能判定AASSAiABC的是（）

A

BC

AD

A.ZBACZABCB.ZBAC=ZADCC.-=-D.—=

ACBCAB^AC

3.兩個相鄰自然數(shù)的積是L則這兩個數(shù)中，較大的數(shù)是（）

A.11B.12C.13D.14

4.如圖，點。是矩形ABeo的對角線AC的中點，OM//AB交Ao于點若OM=3,8C=8,則。5的長為(

7

.4XP

區(qū),

BC

A.4B.5C.6D.√27

已知則小車上升的高度是：

5.如圖，一輛小車沿傾斜角為α的斜坡向上行駛13米，sinα=?,

A.5米B.6米C.6.5米D.7米

6.已知點4(2。->,3-4,由)在拋物線丫=/+6%+21上,則點A關于拋物線對稱軸的對稱點坐標為（）

A.(0,21)B.(6,-21)C.(-6,21)D.（0）-21）

7.下列數(shù)是無理數(shù)的是（)

A.—B.OC.-D.—0.2

23

8.下列四個圖形中，不是中心對稱圖形的是（）

專代

OO

9.下列標志既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）.

***^^O**

???

K

10.如果x:y=l:2,那么下列各式中不成立的是（）

x+y3y-x1V2x+12

A.-------=不；B.--------=-;C.上=；；D.-7=-

y2y2%1y+13

3

11.若X=2是關于X的一元二次方程一χ2-2α=0的一個根，則”的值為（）

2

A.3B.2C.4D.5

12.下列說法不正確的是（）

A.所有矩形都是相似的

B.若線段a=5cm,b=2cm,則a：b=5：2

C.若線段AB=石cm,C是線段AB的黃金分割點，且AC>BC,則AC=巳正Cm

D.四條長度依次為ICm,2cm,2cm,4cm的線段是成比例線段

二、填空題（每題4分，共24分）

13.連擲兩次骰子，它們的點數(shù)都是4的概率是.

14.如圖，已知矩形ABCO的頂點4、。分別落在X軸、y軸，Oo=204=6,AD：43=3：1.則點B的坐標是

15.如圖，Rt?ABCφ,ZC=90o,AC=30cm,BC=4(icm,現(xiàn)利用該三角形裁剪一個最大的圓，則該圓半徑是cm.

16.一個不透明的布袋中裝有3個白球和5個紅球，它們除了顏色不同外，其余均相同，從中隨機摸出一個球，摸到

紅球的概率是.

17.同一個圓中內(nèi)接正三角形、內(nèi)接正四邊形、內(nèi)接正六邊形的邊長之比為.

18.方程(x-m)(x—3)=0和方程％2一2》一3=0同解，機=.

三、解答題(共78分)

19.(8分)某廠生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品，已知2件甲商品的出廠總價與3件乙商品的出廠總價相同，3件甲商品的出

廠總價比2件乙商品的出廠總價多150()元.

(1)求甲、乙商品的出廠單價分別是多少？

(2)某銷售商計劃購進甲商品200件，購進乙商品的數(shù)量是甲的4倍.恰逢該廠正在對甲商品進行降價促銷活動，甲

商品的出廠單價降低了a%,該銷售商購進甲的數(shù)量比原計劃增加了2α%,乙的出廠單價沒有改變，該銷售商購進乙

的數(shù)量比原計劃少了蕓％.結果該銷售商付出的總貨款與原計劃的總貨款恰好相同，求。的值.

80

20.(8分)閱讀理解:

如圖，在紙面上畫出了直線1與OO,直線1與。O相離，P為直線I上一動點，過點P作。O的切線PM,切點為M,

連接OM、OP,當AOPM的面積最小時，稱AOPM為直線1與。O的“最美三角形”.

解決問題：

(1)如圖1,C)A的半徑為1,A(0,2),分別過X軸上B、O、C三點作。A的切線BM、OP,CQ,切點分別是M、

P、Q,下列三角形中，是X軸與。A的“最美三角形”的是.(填序號)

①ABM；②AOP；③ACQ

(2)如圖2,OA的半徑為1,A(0,2),直線y=kx(k≠0)與。A的“最美三角形”的面積為J,求k的值.

(3)點B在X軸上，以B為圓心，百為半徑畫。B,若直線y=6x+3與。B的“最美三角形”的面積小于正,

2

請直接寫出圓心B的橫坐標XB的取值范圍.

21.(8分)一個不透明的口袋里有四個完全相同的小球，把它們分別標號為1,2,3,4.隨機摸取一個小球然后放

回，再隨機摸取一個.

請用畫樹狀圖和列表的方法，求下列事件的概率：

(1)兩次取出的小球標號相同；

(2)兩次取出的小球標號的和等于1.

22.(10分)如圖，P是正方形ABCD的邊CD上一點，NBAP的平分線交BC于點Q,求證：AP=DP+BQ.

23.(10分)如圖，圓的內(nèi)接五邊形ABCDEφ,AD和BE交于點N,AB和EC的延長線交于點M,CD∕7BE,BC〃AD,

BM=BC=E點D是CE的中點?

(1)求證:BC=DE5

(2)求證：AE是圓的直徑;

(3)求圓的面積.

A

M

24.（10分）先化簡，再求值：+其中α=6-l.

Ia-2J3a-6

25.（12分）近年來，在總書記“既要金山銀山，又要綠水青山”思想的指導下，我國持續(xù)的大面積霧霸天氣得到了較

大改善.為了調(diào)查學生對霧霾天氣知識的了解程度，某校在學生中做了一次抽樣調(diào)查，調(diào)查結果共分為四個等級：A.非

常了解；B.比較了解；C.基本了解；D.不了解.根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結果，繪制了如圖所示的不完整的三種統(tǒng)計圖表.

對霧霾天氣了解程度的統(tǒng)計圖

圖1

對霧霾天氣了解程度的統(tǒng)計圖

對霧霾天氣了解程度的統(tǒng)計表

對霧霾天氣了解程度百分比

A.非常了解5%

B.比較了解15%

C.基本了解45%

D.不了解n

請結合統(tǒng)計圖表，回答下列問題：

（D本次參與調(diào)查的學生共有人，〃=；

（2）請補全條形統(tǒng)計圖；

（3）根據(jù)調(diào)查結果，學校準備開展關于霧霾的知識競賽，某班要從“非常了解”程度的小明和小剛中選一人參加，現(xiàn)設

計了如下游戲來確定，具體規(guī)則是：把四個完全相同的乒乓球分別標上數(shù)字1,2,3,4,然后放到一個不透明的袋中

充分搖勻，一個人先從袋中隨機摸出一個球，另一人再從剩下的三個球中隨機摸出一個球，若摸出的兩個球上的數(shù)字

和為奇數(shù)，則小明去，否則小剛?cè)?，請用畫樹狀圖或列表說明這個游戲規(guī)則是否公平.

26.解方程：x2-2χ-3=0

參考答案

一、選擇題（每題4分，共48分）

1、C

【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義解答.一元二次方程必須滿足四個條件：

（1）是整式方程；（2）含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（4）二次項系數(shù)不為1.由這四個條件對四個

選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案.

【詳解】解：A、正確，符合一元二次方程的定義；

3、正確，符合一元二次方程的定義；

C、錯誤，整理后不含未知數(shù)，不是方程；

。、正確，符合一元二次方程的定義.

故選：C.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否

是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

2、D

【分析】根據(jù)相似三角形的各個判定定理逐一分析即可.

【詳解】解：TNA=NA

若NBAC=NABC,不是對應角，不能判定"CDsZv?βc,故A選項不符合題意；

若NBAC=NAr>C,不是對應角，不能判定"8SA4βc,故B選項不符合題意；

若空=段，但NA不是兩組對應邊的夾角，不能判定2?A8sZVwc,故C選項不符合題意；

ACBC

ΛΓATJ

若一=——，根據(jù)有兩組對應邊成比例且夾角對應相等的兩個三角形相似可得48S4A8C,故D選項符合題

ABAC

意.

故選D.

【點睛】

此題考查的是使兩個三角形相似所添加的條件，掌握相似三角形的各個判定定理是解決此題的關鍵.

3、B

【分析】設這兩個數(shù)中較大的數(shù)為X,則較小的數(shù)為(X-1),根據(jù)兩數(shù)之積為1,即可得出關于X的一元二次方程,

解之取其正值即可得出結論.

【詳解】解：設這兩個數(shù)中較大的數(shù)為X,則較小的數(shù)為(x-l),

依題意，得：X(.χ-1)=1,

解得：Xl=I2,X2=-11(不合題意，舍去).

故選：B.

【點睛】

本題考查的知識點是一元二次方程的應用，找準題目中的等量關系式是解此題的關鍵.

4、B

【分析】由平行線分線段成比例可得Co=6,由勾股定理可得AC=I0,由直角三角形的性質(zhì)可得。5的長.

【詳解】解：四邊形ABez)是矩形

.?.AB∕∕CD,Af)=BC=8,

OMHAB,.-.OMHCD

AO_OM,且Ao=LAC,OM=3

^C~^D2

.*.CD=6，

在R/AZJC中，AC=JAD2+Cf)2=10

點。是斜邊AC上的中點，

.?.B0^-AC^5

2

故選B.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，求CO的長度是本題的關鍵.

5、A

【分析】在放ΔABC,直接根據(jù)正弦的定義求解即可.

【詳解】如圖：

AB=13,作BC_LAC,

...5BC

.SlnQ=—=------

13AB

：.BC=AB?-13?—5.

1313

故小車上升了5米，選A.

【點睛】

本題考查解直角三角形的應用-坡度坡角問題.解決本題的關鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，構造HΔA8C,在

心ΔABC中解決問題.

6、A

【分析】先將點A代入拋物線的解析式中整理出一個關于a,b的等式，然后利用平方的非負性求出a,b的值，進而可

求點A的坐標，然后求出拋物線的對稱軸即可得出答案.

［詳解］Y點A(2a-b,3-4ab)在拋物線v=√+6x+21±,

.,.(2a-b')2+6(2ɑ-Z>)+21=3-4出?，

整理得(2α+3y+S-3)2=O,

2。+3=Qh—3=0,

3

解得。=—=3,

2

/.2a-h=-6,3—4ah=21,

/.Λ(-6,21).

拋物線的對稱軸為X=-9=—3,

2

二點A關于拋物線對稱軸的對稱點坐標為(0,21).

故選：A.

【點睛】

本題主要考查完全平方公式的應用、平方的非負性和二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵.

7、C

【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義進行判斷即可.

3

【詳解】A.有理數(shù)；

2

B.0,有理數(shù)；

c.I，無理數(shù)；

D.-0.2,有理數(shù)；

故答案為：C.

【點睛】

本題考查了無理數(shù)的問題，掌握無理數(shù)的定義是解題的關鍵.

8、B

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念，即可求解.

【詳解】4、是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

3、不是中心對稱圖形，故此選項符合題意：

C、是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

。、是中心對稱圖形，故此選項不合題意.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查中心對稱圖形的概念掌握它的概念“把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖

形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形”，是解題的關鍵.

9、B

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義解答.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；

B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；

C、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形.

故選：B.

【點睛】

掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心

對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.

10、D

x+yX1XIx÷y3

【解析】試題分析：由題意分析可知：A中，--=-+l,-=-,=≠>—-=故不選A；B中，

yyyy2

y-x<X.IIX?y2x+l2

----=I一一=I--=-,故不選;C中，一=7=>一=D中，----7≠T,故選D

yy22y2X?y+l3

考點：代數(shù)式的運算

點評：本題屬于對代數(shù)式的基本運算規(guī)律和代數(shù)式的代入分析的求解

II、A

【分析】把x=2代入已知方程，列出關于。的新方程，通過解新方程可以求得α的值.

【詳解】?.?χ=2是關于X的一元二次方程2X2-2?=0的一個根，

2

.，3

..22×--2α=0>

2

解得α=l.

即α的值是I.

故選：A.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的解的定義.能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因為只

含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

12、A

【解析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，成比例線段，黃金分割判斷即可.

【詳解】解：A.所有矩形對應邊的比不一定相等，所以不一定都是相似的，4不正確，符合題意；

B.若線段α=5c∕n,b=2cm,則a：b=5：2,8正確，不符合題意；

C若線段AB=石cm,C是線段AB的黃金分割點，KAOBC,則AC=牝嶼cm,C正確，不符合題意；

2

D.V1：2=2：4,.,.四條長度依次為∕cwι,2cιn,2cm,4c∕n的線段是成比例線段，￡>正確，不符合題意；

故選：A.

【點睛】

本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，成比例線段，黃金分割，掌握它們的概念和性質(zhì)是解題的關鍵.

二、填空題（每題4分，共24分）

1

13、

36

【分析】首先根據(jù)題意列表，然后根據(jù)表格求得所有等可能的結果與它們的點數(shù)都是4的情況數(shù)，再根據(jù)概率公式求

解即可.

【詳解】解：列表得：

123456

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)

5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)

6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)

二一共有36種等可能的結果，它們的點數(shù)都是4的有1種情況，

.?.它們的點數(shù)都是4的概率是：?,

36

故答案為：—.

36

【點睛】

此題考查了樹狀圖法與列表法求概率.注意樹狀圖法與列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的結果.用到的知識

點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

14、(5,1)

【分析】過8作LX軸于E,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到NzM8=90。，根據(jù)余角的性質(zhì)得到NAoo=N5AE,根據(jù)相似三

角形的性質(zhì)得到AE=2θ0=2,DE=^-OA=I,于是得到結論.

33

【詳解】解：過5作BELC軸于E,

Y四邊形A3C7)是矩形，

：?ZAZ)C=90o,

O

：?ZADO+ZOAD=ZOAD+ZBAE=909

：?ZADO=ZBAE9

；?AOADsAEBA,

ΛOD：AE=OAzBE=AD:AB

?：OD=2OA=69

Λ0A=3

VAD：AB=3:1,

11

ΛAE=-OD=2,BE=-OA=I

339

ΛOE=3+2=5,

：.B(5,?)

本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，正確的作出輔助線并證明aOADsaEBA是解題

的關鍵.

15、1.

【分析】根據(jù)勾股定理求出的斜邊A以再由等面積法，即可求得內(nèi)切圓的半徑.

【詳解】由題意得：該三角形裁剪的最大的圓是RtZXAbC的內(nèi)切圓，設AC邊上的切點為。，連接04、OB.OC9

OD9

VZACB=90o,AC=30c∕n,BC=40c∕n,

.?AB=?/?θ2+402=50c"z,

設半徑OD=rem,

：,SAACB=—AC?BC=—AC?rH—BC?r-\—AB?r

22229

：?30X40=30r+40r+50r,

??r~~1,

則該圓半徑是1cm.

故答案為：L

【點睛】

本題考查內(nèi)切圓、勾股定理和等面積法的問題，屬中檔題.

5

16、-

8

【分析】根據(jù)概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率.

【詳解】根據(jù)題意可得：一個不透明的袋中裝有除顏色外其余均相同的3個白球和5個紅球，共5個，從中隨機摸出

一個，則摸到紅球的概率是τ?=:

故答案為：I.

O

【點睛】

本題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結果，那么事件

m

A的概率P(A)=—.

n

17、√3:√2:1

【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，設出圓的半徑，分別求出圓中內(nèi)接正三角形、內(nèi)接正四邊形、內(nèi)接正六邊形的邊長,

即可得出答案.

設圓的半徑為r,

如圖①，NAOB='X3600=120。

3

OA=OB

.-.ZOAB=30°

過點。作OCJ_AB于點C

則ΛB=2AC

AC=(7Λ?cos30o=—r

2

√.AB=?/?r

如圖②，NAOB=Lx360。=90°

4

OA=OB

.?.AB—?∕2OA=?[2r

如圖③，NAOB=』x360。=60。

6

OA=OB

.??=Q43為等邊三角形

,?AB=OA=r

.?.同一個圓中內(nèi)接正三角形、內(nèi)接正四邊形、內(nèi)接正六邊形的邊長之比為百：血：1

故答案為6：夜：1

【點睛】

本題主要考查圓的半徑與內(nèi)接正三角形，正方形和正六邊形的邊長之間的關系，能夠畫出圖形是解題的關鍵.

18、-1

【解析】分別求解兩個方程的根即可.

【詳解】解：(x-m)(x-3)=0,解得X=3或m;X2-2X-3=(X-3)(X+1)=0,解得x=3或-1,則m=-l,

故答案為：-L

【點睛】

本題考查了運用因式分解法解一元二次方程.

三、解答題(共78分)

19、(1)甲商品的出廠單價為900元/件，乙商品的出廠單價為600元/件；(2)“的值為L

【分析】(1)設甲商品的出廠單價是X元/件，乙商品的出廠單價為y元/件，根據(jù)題意列出方程組，解之即可得出結

論；

(2)根據(jù)總價=單價X數(shù)量結合改變采購計劃后的總貨款與原計劃的總貨款恰好相同，即可得出關于a的一元二次方

程，解之取其正值即可得出結論.

【詳解】解：(1)設甲商品的出廠單價為X元/件，乙商品的出廠單價為y元/件，根據(jù)題意，可得，

2x=3yfx=900

[3x-2y=1500K=600

答：甲商品的出廠單價為900元/件，乙商品的出廠單價為60()元/件.

（2）根據(jù)題意，可得,

900(1-?%)X200(1+2a%)+600×4×200X200×900+4×200×600,

令α%=f,化簡，得—20/+3，=0,

解得％=0.15,r2=0（舍去）.

.?.α%=0.15,即α=15.

答：。的值為L

【點睛】

本題考查了二元一次方程組的應用以及一元二次方程的應用，解題的關鍵是找出等量關系，正確列出二元一次方程組

與一元二次方程.

20、（1）②；（2）±1；（3）2-√3<?<-^-^?<?<-2-√3

33

【分析】（1）本題先利用切線的性質(zhì)，結合勾股定理以及三角形面積公式將面積最值轉(zhuǎn)化為線段最值，了解最美三角

形的定義，根據(jù)圓心到直線距離最短原則解答本題.

（2）本題根據(jù)k的正負分類討論，作圖后根據(jù)最美三角形的定義求解EF,利用勾股定理求解AF,進一步確定NAoF

度數(shù)，最后利用勾股定理確定點F的坐標，利用待定系數(shù)法求k.

（3）本題根據(jù)。B在直線兩側(cè)不同位置分類討論，利用直線與坐標軸的交點坐標確定NNDB的度數(shù)，繼而按照最美

三角形的定義，分別以aBND,ZkBMN為媒介計算BD長度，最后與OD相減求解點B的橫坐標范圍.

【詳解】（1）如下圖所示：

TPM是。O的切線,

二NPMO=90°,

當。O的半徑OM是定值時，PM=4OP1-OM2，

?：SPMO=gPM?OM,

.?.要使4PMO面積最小，則PM最小，即OP最小即可，當OPJ./時，OP最小，符合最美三角形定義.

故在圖1三個三角形中，因為Ao_LX軸，故4AOP為。A與X軸的最美三角形.

故選：②.

(2)①當kVO時，按題意要求作圖并在此基礎作FM_Lx軸，如下所示:

按題意可得：AAEF是直線y=kx與。A的最美三角形，故aAEF為直角三角形且AFLOF.

則由已知可得：SAEF===故EF=I.

在aAEF中，根據(jù)勾股定理得：AF=y∕2AE=√2.

VA(0,2),即OA=2,

.?.在直角AAFO中，OF^y∣OA1-AF2=√2=AF>

ΛZAOF=45o,即NFoM=45°,

故根據(jù)勾股定理可得：MF=MO=I,故F(-l,l),

將F點代入y=kx可得：k=-?.

②當k>0時，同理可得k=l.

故綜上：女=±1.

(3)記直線y=6x+3與x、y軸的交點為點D、C,則。(—百,0),C(0,3),

①當。B在直線CD右側(cè)時，如下圖所示：

在直角ACOD中，有OC=3,OD=A故tanNODC=而=√5,即NODC=60。.

V?BMN是直線y=gx+3與。B的最美三角形，

ΛMN±BM,BN±CD,即NBND=90。,

BN

在直角aBDN中，SinNBDN=——

BD

優(yōu)BNBN2√3DNT

故BdγDλ=----------=-------=----BN.

sinZBDNsin60?3

?.?OB的半徑為6，

.??BM=6

當直線CD與。B相切時，BN=BM=杷,

因為直線CD與C)B相離，故BN>G,此時BD>2,所以OB=BD-OD>2-6.

由已知得：SBMN=L?MN*BMMN*拒=昱MNVB，故MN<1.

BMN2222

在直角ABMN中'BN=WR=廂E而=2,此時可利用勾股定理算得BDC孚'

OB=BD-ODV逑一百二昱，

33

貝!12_6V??<g

3

②當。B在直線CD左側(cè)時，同理可得：-還VXBV-2-K?

3

故綜上：2—乖><XB<立或-還VXB<-2-乖).

33

【點睛】

本題考查圓與直線的綜合問題，屬于創(chuàng)新題目，此類型題目解題關鍵在于了解題干所給示例，涉及動點問題時必須分

類討論，保證不重不漏，題目若出現(xiàn)最值問題，需要利用轉(zhuǎn)化思想將面積或周長最值轉(zhuǎn)化為線段最值以降低解題難度，

求解幾何線段時勾股定理極為常見.

13

21、(1)—；(2)—；

416

【分析】(1)先畫樹狀圖展示所有16種等可能的結果數(shù)，其中兩次摸出的小球標號相同的占1種，然后根據(jù)概率的概

念計算即可；

(2)由(1)可知有16種等可能的結果數(shù)，其中兩次取出的小球標號的和等于1的有3種，進而可求出其概率.

【詳解】畫樹狀圖如圖

JFt?

χ√κx√?χx√?x

(1)?.?共有16種等可能的結果，兩次取出的小球標號相同的共4種情況,

.?.兩次取出的小球標號相同的概率為一.

4

(2)兩次取出的小球標號的和等于4的情況共有3種，

3

兩次取出的小球標號的和等于4的概率為—.

16

【點睛】

此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件;

樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗.用到的知識點為：概率=

所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

22、證明見解析.

【解析】試題分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出NE=NZEAD=ZQAB,進而得出NRIE=NE,即可得出

AP=PE=DP+DE=DP+BQ.

試題解析：證明：將A48Q繞A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AAOE,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出NE=NZEAD=ZQAB,又

VZPAE=90o-ZΛ4β=90o-ZBAQ=ZDAQ=ZAQB=ZE,在4Λ4E中，得AP=PE=DP+DE=DP+BQ.

E..........D__P_______C

產(chǎn)----------叨

點睛：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)已知得出PE=OP+OE是解題關鍵.

23、(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)S=[l+乎π.

【分析】(1)根據(jù)平行線得出NDCE=NCEB,求出。E=BC即可；

(2)求出AB=BC=BM,得出aACB和ABCM是等腰三角形，求出NACE=90。即可；

(3)根據(jù)用3=DE=*C=N。求出NBEA=NDAE=22.5。，NBAN=45。，求出BN=I,AN=NE=√Σ，根據(jù)

勾股定理求出AE2的值，即可求出答案.

【詳解】(1)證明：[CD〃BE,

ΛZDCE=ZCEB,

:,DE=BC，

ΛDE=BC;

(2)證明：連接AC,

VBC/7AD,

ΛZCAD=ZBCA,

???AB=CD^

ΛAB=DC,

???點D是CE的中點，

???代D=ZE，

ΛCD=DE,

/.AB=BC.

XVBM=BC,

AAB=BC=BM,即aACB和ABCM是等腰三角形，

在AACM中，ZACM=ZACB+ZBCM=LXI80。=90°,

2

ΛZACE=90o,

JAE是圓的直徑；

D

(3)解：由(1)(2)得：獨B=?E=RC=0