5.3平行線的性質(zhì)（八大題型）-（題型·技巧培優(yōu)系列）2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊同步精講精練（人教版）（原卷版 ）

（人教版）七年級下冊數(shù)學(xué)《第五章相交線與平行線》5.3平行線的性質(zhì)知識點一知識點一平行線的性質(zhì)★1、平行線性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．幾何語言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(兩直線平行，同位角相等)．性質(zhì)定理2：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．幾何語言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠4.(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)．性質(zhì)定理3：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．幾何語言表示：∵a∥b(已知)，∴∠1＋∠2＝180°(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行)．★2、平行線的判定與性質(zhì)平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．（2）應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．（3）平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別：區(qū)別：性質(zhì)由形到數(shù)，用于推導(dǎo)角的關(guān)系并計算；判定由數(shù)到形，用于判定兩直線平行．聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的關(guān)系與平行線相關(guān)．（4）輔助線規(guī)律，經(jīng)常作出兩平行線平行的直線或作出聯(lián)系兩直線的截線，構(gòu)造出三類角．知識點二知識點二命題及其組成★1、概念：判斷一件事情的語句，叫做命題．【注意】（1）.只要對一件事情作出了判斷，不管正確與否，都是命題.（2）.如果一個句子沒有對某一件事情作出任何判斷，那么它就不是命題.★2、命題的組成每個命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．命題寫成“如果…，那么…”的形式，這時，“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面解的部分是結(jié)論．【注意】在改寫成“如果……那么……”的形式時，需對命題的語序進(jìn)行調(diào)整或增減詞語，使句子完整通順，但不改變原意.知識點三知識點三真、假命題★1、真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題；★2、假命題：題設(shè)成立時，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題.【注意】判斷一個命題是假命題，只要舉出一個反例，它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論就可以了.知識點四知識點四定理與證明★1、定理：經(jīng)過推理證實的真命題叫做定理，定理可以作為繼續(xù)推理論證的依據(jù)．【拓展】數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結(jié)出來的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理.如直線公理：兩點確定一條直線.★2、證明：在很多情況下，一個命題的正確性需要經(jīng)過推理，才能作出判斷，這個推理過程叫做證明.（a）2＝a（a≥0）（任何一個非負(fù)數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．【注意】（1）證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”.這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是學(xué)過的定義、基本事實、定理等.（2）.定理一定是真命題，但真命題不一定是定理.★3、證明的一般步驟：①根據(jù)題意畫出圖形；②依據(jù)題設(shè)、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知、求證；③經(jīng)過分析，找出由已知條件推出結(jié)論的方法，或依據(jù)結(jié)論探尋所需要的條件，再由題設(shè)進(jìn)行挖掘，尋求證明的途徑；④書寫證明過程.題型一利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)題型一利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【例題1】（2023秋?太康縣期末）如圖，BC⊥AE，垂足為C，CD∥AB，∠A＝50°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°解題技巧提煉兩直線平行時，應(yīng)聯(lián)想到平行線的三個性質(zhì)，由兩條直線平行的位置關(guān)系得到兩個相關(guān)角的數(shù)量關(guān)系，由角的關(guān)系求相應(yīng)角的度數(shù).【變式1-1】（2023秋?簡陽市期末）如圖，a∥b，∠1＝40°，∠2＝∠3，則∠4＝（）A．70° B．110° C．140° D．150°【變式1-2】（2022春?五蓮縣期末）如圖，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．20° D．35°【變式1-3】（2021秋?霍州市期末）如圖，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，則∠2+∠3的和是（）A．200° B．210° C．220° D．230°【變式1-4】（2022秋?安岳縣期末）已知∠1的兩邊分別平行于∠2的兩邊，若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為．【變式1-5】（2022春?海淀區(qū)月考）如圖，點C在∠MON的一邊OM上，過點C的直線AB∥ON，CD平分∠ACM．當(dāng)∠DCM＝60°時，求∠O的度數(shù)．【變式1-6】（2023秋?海門區(qū)期末）如圖，直線CE，DF相交于點P，且CE∥OB，DF∥OA．（1）若∠AOB＝45°，求∠PDB的度數(shù)；（2）若∠CPD＝45°，求∠AOB的度數(shù)；（3）像（1）（2）中的∠AOB，∠CPD稱四邊形PCOD的一組“對角”，則該四邊形的另一組對角相等嗎？請說明理由．【變式1-7】（2021春?黃岡期中）如圖，DB∥FG∥EC，A是FG上的一點，∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠CAD，求∠PAG的度數(shù)．【變式1-8】（2023秋?原陽縣校級期末）如圖，已知AB∥CD，BE平分∠ABC．BE垂直于CE，求證：CE平分∠BCD．題型二利用平行線的性質(zhì)說明兩直線垂直題型二利用平行線的性質(zhì)說明兩直線垂直【例題2】已知，如圖所示，四邊形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，試說明DA⊥AB．解題技巧提煉準(zhǔn)確識別圖形，理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，再綜合角平分線的定義、對頂角的性質(zhì)及鄰補角的定義求解.【變式2-1】（2022春?龍崗區(qū)期末）已知，如圖，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，F(xiàn)H⊥AB于H，求證：CD⊥AB．【變式2-2】如圖，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，試說明BC⊥AB．【變式2-3】（2022春?海淀區(qū)校級月考）如圖，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分線交BC的延長線于點E，CF平分∠DCE．求證：CF⊥AE．題型三利用平行線的性質(zhì)解決實際問題題型三利用平行線的性質(zhì)解決實際問題【例題3】（2023秋?深圳期末）太陽灶、衛(wèi)星信號接收鍋、探照燈及其他很多燈具都與拋物線有關(guān)．如圖，從點O照射到拋物線上的光線OB，OC反射后沿著與PO平行的方向射出，已知圖中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，則∠OCD的度數(shù)為（）A．88° B．89° C．90° D．91°解題技巧提煉給出一個實際問題，聯(lián)系平行線的性質(zhì)解答實際問題，有時需要通過作輔助線構(gòu)造平行線，同時還會綜合運用平行線的判定和性質(zhì).【變式3-1】如圖，在A、B兩地之間要修一條筆直的公路，從A地測得公路走向是北偏東48°，A，B兩地同時開工，若干天后公路準(zhǔn)確接通，若公路AB長8千米，另一條公路BC長是6千米，且BC的走向是北偏西42°，則A地到公路BC的距離是千米．【變式3-2】（2022春?滄縣期中）某學(xué)員在駕校練習(xí)駕駛汽車，兩次拐彎后的行駛方向與原來的方向相反，則兩次拐彎的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45° C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120° D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°【變式3-3】如圖是潛望鏡工作原理示意圖，陰影部分是平行放置在潛望鏡里的兩面鏡子．已知光線經(jīng)過鏡子反射時，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，請解釋進(jìn)入潛望鏡的光線l為什么和離開潛望鏡的光線m是平行的？【變式3-4】（2023秋?市南區(qū)期末）如圖是一種躺椅及其簡化結(jié)構(gòu)示意圖，扶手AB與底座CD都平行于地面，靠背DM與支架OE平行，前支架OE與后支架OF分別與CD交于點G和點D，AB與DM交于點N，當(dāng)前支架OE與后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°時，人躺著最舒服，則此時扶手AB與靠背DM的夾角∠ANM＝．【變式3-5】（2023秋?東莞市校級期末）如圖為某椅子的側(cè)面圖，∠DEF＝120°．DE與地面平行，∠ABD＝50°，則∠ACB＝．【變式3-6】（2022?小店區(qū)校級開學(xué)）如圖1是一個由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動變速箱托架，其主要作用是動力傳輸．如圖2是乎動變速箱托架工作時某一時刻的示意圖，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，則∠DEF的度數(shù)為（）A．110° B．120° C．130° D．140°【變式3-7】（2023春?岱岳區(qū)期末）如圖，EF，MN分別表示兩面互相平行的鏡面，一束光線AB照射到鏡面MN上，反射光線為BC，此時∠1＝∠2；光線BC經(jīng)鏡面EF反射后的反射光線為CD，此時∠3＝∠4，試判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由．題型四借助三角尺求角的度數(shù)題型四借助三角尺求角的度數(shù)【例題4】（2022春?秦淮區(qū)校級月考）已知直線a∥b，將一塊含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB＝90°）按如圖所示的方式放置，并且頂點A，C分別落在直線a，b上，若∠1＝22°．則∠2的度數(shù)是（）A．38° B．45° C．52° D．58°解題技巧提煉借助三角尺求角的度數(shù)主要是利用三角尺的特征，結(jié)合平行線的性質(zhì)一般解決求角的度數(shù)問題.【變式4-1】（2022秋?瓊海期中）如圖，將三角板的直角頂點按如圖所示擺放在直尺的一邊上，則下列結(jié)論不一定正確的是（）∠1＝∠2 B．∠2+∠3＝90° C．∠3+∠4＝180° D．∠1+∠2＝90°【變式4-2】（2023秋?榆樹市校級期末）把一副三角板按如圖所示擺放，使FD∥BC，點E落在CB的延長線上，則∠BDE的大小為度．【變式4-3】（2023秋?新野縣期末）如圖，直線m∥n，且分別與直線l交于A，B兩點，把一塊含60°角的三角尺按如圖所示的位置擺放，若∠2＝98°，則∠1＝．【變式4-4】（2022?大渡口區(qū)校級模擬）將一副直角三角板按如圖所示的方式疊放在一起，若AC∥DE．則∠BAE的度數(shù)為（）A．85° B．75° C．65° D．55°【變式4-5】（2022秋?綠園區(qū)校級期末）如圖，AB∥CD，一副三角尺按如圖所示放置，∠AEG＝20°，則∠HFD的度數(shù)為（）A．40° B．35° C．30° D．25°【變式4-6】（2023秋?鹽城期末）將一副三角板按如圖所示的方式擺放，其中∠ACB＝∠ECD＝90°，∠A＝45°，∠D＝60°．若AB∥DE，則∠ACD的度數(shù)為．題型五利用平行線的性質(zhì)解決折疊問題題型五利用平行線的性質(zhì)解決折疊問題【例題5】如圖所示，把一張長方形紙條ABCD沿EF折疊，若∠1＝58°，則∠AEG的度數(shù)（）A．58° B．64° C．72° D．60°解題技巧提煉結(jié)合長方形的性質(zhì)，對邊是互相平行的，從而綜合折疊的特征和平行線的性質(zhì)求解即可.折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置發(fā)生了變化.【變式5-1】（2022秋?陳倉區(qū)期末）如圖，將矩形紙條ABCD折疊，折痕為EF，折疊后點C，D分別落在點C′，D′處，D′E與BF交于點G．已知∠BGD′＝26°，則∠α的度數(shù)是（）A．77° B．64° C．26° D．87°【變式5-2】（2023?臺州）用一張等寬的紙條折成如圖所示的圖案，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為．【變式5-3】（2022秋?昭陽區(qū)期中）如圖，把△ABC沿線段DE折疊，使點A落在點F處，BC∥DE；若∠B＝50°，則∠BDF的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．80° D．100°【變式5-4】（2023秋?陽城縣期末）將一張長方形紙條折成如圖所示的形狀，若∠1＝110°，則∠2＝．【變式5-5】（2022?沭陽縣模擬）已知長方形紙條ABCD，點E，G在AD邊上，點F，H在BC邊上．將紙條分別沿著EF，GH折疊，如圖，當(dāng)DC恰好落在EA'上時，∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系是（）A．∠1+∠2＝135° B．∠2﹣∠1＝15° C．∠1+∠2＝90° D．2∠2﹣∠1＝90°【變式5-6】如圖，長方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的兩個角相差18°，則圖中∠1的度數(shù)為（）A．72°或48° B．72°或36° C．36°或54° D．72°或54°題型六平行線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用題型六平行線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用【例題6】（2023秋?仁壽縣期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，EF∥BC，EC⊥CF，∠EFC＝∠ACF，則下列結(jié)論：①AD⊥EF；②CE平分∠ACB；③∠FEC＝∠ACE；④AB∥CF．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解題技巧提煉平行線的判定和性質(zhì)在解題中經(jīng)常反復(fù)使用，見到角相等或互補就應(yīng)該聯(lián)想到能否判定兩條直線平行，見到直線平行就應(yīng)該聯(lián)想到能否證明相關(guān)的角相等或互補.【變式6-1】（2023秋??？h期末）如圖a∥b，c與a相交，d與b相交，下列說法：①若∠1＝∠2，則∠3＝∠4；②若∠1+∠4＝180°，則c∥d；③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1；④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正確的有（）A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③【變式6-2】（2022秋?南崗區(qū)校級期中）如圖，AB∥CD∥EF，則下列各式中正確的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2＝180°+∠3 C．∠1+∠3＝180°+∠2 D．∠2+∠3＝180°+∠1【變式6-3】（2023春?鎮(zhèn)江期中）如圖，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°．（1）直線DE與AB有怎樣的位置關(guān)系？說明理由；（2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度數(shù)．【變式6-4】（2022春?舞陽縣期末）如圖，點D在AC上，點F、G分別在AC、BC的延長線上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度數(shù)；（2）若∠F＝∠G，求證：DG∥BF．【變式6-5】（2022春?溫江區(qū)校級期中）如圖，已知點E、F在直線AB上，點G在線段CD上，ED與FG交于點H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．（1）求證：AB∥CD；（2）若∠CED＝75°，求∠FHD的度數(shù)．【變式6-6】（2022春?木蘭縣期末）有一天李小虎同學(xué)用“幾何畫板”畫圖，他先畫了兩條平行線AD，BC，然后在平行線間畫了一點E，連接CE，DE后（如圖①），他用鼠標(biāo)左鍵點住點E，拖動后，分別得到如圖②，③，④等圖形，這時他突然一想，∠C，∠D與∠DEC之間的度數(shù)有沒有某種聯(lián)系呢？接著小虎同學(xué)通過利用“幾何畫板”的“度量角度”和“計算”功能，找到了這三個角之間的關(guān)系．（1）請直接寫出圖①到圖④各圖中的∠C，∠D與∠DEC之間的關(guān)系嗎？（2）請從圖③④中，選一個說明它成立的理由．【變式6-7】（2023春?江北區(qū)期中）如圖（1），直線MN與直線AB，CD分別交于點E，F(xiàn)，∠1與∠2互補．（1）試判斷直線AB與直線CD的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖（2），∠AEF與∠EFC的角平分線交于點P，EP延長線與CD交于點G，點H是MN上一點，且PF∥GH，試判斷直線GH與EG的位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖（3），點P為AB，CD之間一點，EQ，F(xiàn)Q分別平分∠PEF和∠CFN，求∠AEP與∠EQF之間的數(shù)量關(guān)系．題型七命題與定理題型七命題與定理【例題7】（2023秋?田陽區(qū)期末）下列四個句子中是命題的是（）A．正方形的四條邊相等 B．利用三角板畫60°的角 C．生活在水里的動物是魚嗎？ D．直線、射線、線段解題技巧提煉命題是判斷一件事情的語句，正確區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論是把命題寫成“如果…那么…”形式，“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面解的部分是結(jié)論．命題改寫的原則是不改變原題的原意．【變式7-1】（2021秋?涇陽縣期末）下列語句中，不是命題的是（）A．相等的角是對頂角 B．同旁內(nèi)角互補 C．平角是一條直線 D．延長線段AO到點C，使OC＝OA【變式7-2】（2023秋?全椒縣期末）下列命題是假命題的是（）A．對頂角相等． B．如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等． C．在同一平面內(nèi)有三條直線a，b，c，若a∥b，b∥c，則a∥c． D．兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．【變式7-3】（2023秋?德化縣期末）下列選項中，可以用來說明命題“若|a|＞3，則a＞3”是假命題的反例是（）A．a(chǎn)＝﹣5 B．a(chǎn)＝﹣3 C．a(chǎn)＝﹣2 D．a(chǎn)＝4【變式7-4】（2023秋?射洪市期末）已知下列命題：①若a≤0，則|a|＝﹣a；②若m＞n，則ma2＞na2；③對頂角相等；④兩直線平行，內(nèi)錯角相等．其中為真命題的個數(shù)是（）A．2個 B．3個 C．4個 D．0個【變式7-5】（2022春?北京期末）已知：在同一平面內(nèi)，三條直線a，b，c．下列四個命題為真命題的是．（填寫所有真命題的序號）①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；③如果a∥b，c∥b，那么a∥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．【變式7-6】（2023秋?子洲縣校級期末）將命題“同角的余角相等”，改寫成“如果…，那么…”的形式．【變式7-7】把下列命題改寫成“如果…那么…”的形式，并指出命題的真假．（1）等角的補角相等．（2）垂直于同一直線的兩直線平行．【變式7-8】（2023春?確山縣期中）指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并判斷它們是真命題還是假命題，如果是假命題，舉出一個反例．（1）兩個角的和等于平角時，這兩個角互為補角；（2）內(nèi)錯角相等；（3）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補．題型八命題的分析與證明題型八命題的分析與證明【例題8】（2023秋?市南區(qū)期末）如圖，△ABC中，點D，F(xiàn)在邊AB上，點G，E分別在邊AC，BC上，連接DG，DC，EF．①EF⊥AB，CD⊥AB；②∠DGA＝∠BCA；③DG平分∠ADC；④∠B＝∠BEF，請你從上面四個選項中任選出三個作為條件，另一個作為結(jié)論，組成一個真命題，并加以證明．你選擇的條件：，結(jié)論：（填序號）．解題技巧提煉本題考查了命題證明的書寫，推理過程要具有邏輯性，在解題的過程中需要綜合運用平行線的性質(zhì)與判定.【變式8-1】（2022秋?南岸區(qū)校級月考）如圖，在四邊形ABCD中．點E為AB延長線上一點，點F為CD延長線上一點，連接EF，交BC于點G，交AD于點H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求證：∠E＝∠F．【變式8-2】