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文檔簡介
2022-2023學(xué)年北京市石景山區(qū)京源學(xué)校九年級(上)期中數(shù)學(xué)
試卷
一、選擇題(共8小題,滿分16分,每小題2分)
1.(2分)二次函數(shù))=-3/的圖象開口方向是()
A.向上B.向下C.向左D.向右
2.(2分)如圖,在△4BC中,DE//BC,若AO=2,AB=3,則區(qū)■等于()
4323
3.(2分)二次函數(shù)y=2(x-1)2-2的圖象是由二次函數(shù)),=2,的圖象平移得到的,下
列平移方法正確的是()
A.先向左平移1個單位,再向上平移2個單位
B.先向左平移1個單位,再向下平移2個單位
C.先向右平移1個單位,再向上平移2個單位
D.先向右平移1個單位,再向下平移2個單位
4.(2分)在RtZXABC中,N8AC=NA£)C=90°,A£>=3,BD=2,則C£>的長為()
A.2B.3C.9D.A
23
5.(2分)如圖,在平行四邊形A8CD中,F(xiàn)為的中點,延長AO至點E,使。E:AD
=1:3,連接所交。C于點G,貝IJSACFG:S"EG等于()
C.4:9D.3:2
6.(2分)若二次函數(shù)尸/+灰+c(e0)的圖象如圖所示,則下列四個選項正確的是()
△>0B.b<0,c<0,A>0
C.6>0,c>0,A>0D.b<0,c>0,A<0
7.(2分)如圖,在△ABC中,AM:MD=3,BD:DC=2:3,貝IJAE:EC=()
4C.6:5D.7:4
8.(2分)拋物線y=47+/M+c的頂點為A(2,m),且經(jīng)過點3(5,0),其部分圖象如圖
所示.對于此拋物線有如下四個結(jié)論:
①acVO;
@a-b+c>0;
③m+9a=0
④若此拋物線經(jīng)過點C(3〃),則47一定是方程"2+云+。=〃的一個根.
其中所有正確結(jié)論的序號是()
A.①②B.①③④C.③④D.①④
二、填空題(共8小題,滿分16分,每小題2分)
9.(2分)請你寫出一個二次函數(shù),其圖象滿足條件:①開口向下;②與y軸的交點坐標(biāo)為
(0,3).此二次函數(shù)的解析式可以是.
ZABD=30°,則/EC。的度數(shù)為
11.(2分)如圖,身高1.6米的小林從一盞路燈下8處向前走了8米到達(dá)點C處時,發(fā)現(xiàn)
自己在地面上的影子CE長是2米,則路燈的高AB為.?米.
12.(2分)若點A(-2,yi),B(1,*),C(-4,*)在拋物線y=2(x+1)2±,請將
V,戶,*按從小到大的順序用“V”連接
13.(2分)已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系雙力中,點A在拋物線y=7-4x+6上運動,
過點A作軸于點C,以AC為對角線作正方形ABCO.則正方形的邊長48的最小
14.(2分)已知二次函數(shù)yi=ox2+fec+c(”W0)與一次函數(shù)(k¥0)的圖象相交
于點A(-1,4),8(4,2).如圖所示,則能使成立的x的取值范圍
y
5KZ/r
15.(2分)將三角形紙片(△ABC)按如圖所示的方式折疊,使點B落在邊4c上,記為點
B',折痕為EF.己知AB=AC=3,BC=4,若以點B'、F、C為頂點的三角形與△ABC
相似,那么BP的長度是.
16.(2分)若關(guān)于x的一元二次方程-f+4x7=0G為實數(shù))在l<x<5的范圍內(nèi)有解,
貝h的取值范圍是.
三、解答題(共10小題,滿分68分,17題8分,19、22每小題8分,18、20-21>23-25
每小題8分,26題6分.)解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程.
17.(8分)解下列方程.
⑴/-2%-1=0;
(2)/+3x-4=0.
18.(7分)如圖,在RtZVIBC和RtZ\4CD中,ZB=ZACD=90°,4c平分NBA。.
(1)證明:△ABCs△AGO;
(2)若A8=4,AC=5,求8c和C£>的長.
19.(6分)已知二次函數(shù)y=/-2x-3.
(1)畫出它的圖象;
(2)該二次函數(shù)圖象的對稱軸為,頂點坐標(biāo)為
(3)當(dāng)x時,y的值隨x值的增大而減小;
(4)當(dāng)y>0時,x的取值范圍是;
(5)當(dāng)0WxW4時,y的取值范圍是
20.(7分)已知:如圖,在四邊形ABCC中,AC為對角線,AD//BC,BC=2AD,ABAC
=90°,過點A作AE〃£)C交于點E.
(1)求證:四邊形AECD為菱形;
(2)若AB=AE=2,求四邊形4EC。的面積.
21.(7分)已知關(guān)于x的一元二次方程7-(a+2)x+q+l=0.
(1)求證:方程總有兩個實數(shù)根;
(2)若方程的兩個根都是正整數(shù),求“的最小值.
22.(6分)在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中,一次函數(shù)儀/0)的圖象經(jīng)過點(-1,0),
(0,2).
(1)求這個一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)x>-2時,對于x的每一個值,函數(shù)y=〃tv(m#0)的值小于一次函數(shù)
(20)的值,直接寫出機的取值范圍.
23.(7分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線yuoAfex-3與直線y=-x-1交于
點A(-1,0),B(加,-3),點尸是線段AB上的動點.
(1)?m—:
②求拋物線的解析式.
(2)過點尸作直線/垂直于x軸,交拋物線),="/+云-3于點。,求線段P0的長最大
24.(7分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,ACm-1,yi),B(3,”)是拋物線y=W-2MU+〃?2
-4上兩點.
(1)將y=x2-2mx+m2-4寫成y=a(x-h)~+k的形式;
(2)若膽=1,比較yi,”的大小,并說明理由;
(3)若尹<中,直接寫出皿的取值范圍.
25.(7分)在等腰直角△A8C中,AB=AC,ZA=90°,過點B作BC的垂線/.點尸為直
線48上的一個動點(不與點4,B重合),將射線PC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°交直線/
于點
(1)如圖1,點P在線段AB上,依題意補全圖形.
①求證:NBDP=NPCB;
②用等式表示線段BC,BD,BP之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
(2)點P在線段AB的延長線上,直接寫出線段BC,BD,BP之間的數(shù)量關(guān)系.
備用圖
26.(6分)對某一個函數(shù)給出如下定義:如果存在實數(shù)M,對于任意的函數(shù)值y,都滿足y
WM,那么稱這個函數(shù)是有上界函數(shù).在所有滿足條件的M中,其最小值稱為這個函數(shù)
的上確界.例如,圖中的函數(shù)y=-(x-3)2+2是有上界函數(shù),其上確界是2.
(1)函數(shù)①y=/+2x+l和②y=2x-3(x<2)中是有上界函數(shù)的為(只填序號
即可),其上確界為;
(2)如果函數(shù)y=-x+2(aWxWb,b>a)的上確界是h,且這個函數(shù)的最小值不超過
2a+l,求”的取值范圍;
(3)如果函數(shù)y=f-2ar+2(1WXW5)是以3為上確界的有上界函數(shù),求實數(shù)a的值.
2022-2023學(xué)年北京市石景山區(qū)京源學(xué)校九年級(上)期中數(shù)學(xué)
試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題(共8小題,滿分16分,每小題2分)
1.(2分)二次函數(shù)y=-37的圖象開口方向是()
A.向上B.向下C.向左D.向右
【分析】根據(jù)二次項系數(shù)確定開口方向.
【解答】解:y=-3/,
':a=-3<0,
...拋物線圖象開口向下,
故選:B.
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.
2.(2分)如圖,在△4BC中,DE//BC,若A£>=2,AB=3,則金旦等于()
AC
A.AB.Ac.AD.2
4323
【分析】直接利用平行線分線段成比例定理求解.
【解答】解:;OE〃BC,
.AD=AE=2
**ABAC3"
故選:D.
【點評】本題考查了平行線分線段成比例:三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成
比例.
3.(2分)二次函數(shù)y=2(X-1)2-2的圖象是由二次函數(shù)),=27的圖象平移得到的,下
列平移方法正確的是()
A.先向左平移1個單位,再向上平移2個單位
B.先向左平移1個單位,再向下平移2個單位
C.先向右平移1個單位,再向上平移2個單位
D.先向右平移1個單位,再向下平移2個單位
【分析】根據(jù)平移前后兩個拋物線的頂點坐標(biāo)的變化來判定平移方法.
【解答】解:拋物線y=2?的頂點坐標(biāo)是(0,0).
拋物線y=2(x-1)2-2的頂點坐標(biāo)是(1,-2).
則由二次函數(shù)y=2?的圖象向右平移1個單位,向選平移2個單位即可得到二次函數(shù)),
=2(x-1)2-2的圖象.
故選:D.
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換.解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)頂點式得到新拋
物線的頂點坐標(biāo).
4.(2分)在Rtz^ABC中,NBAC=NADC=90°,AD=3,BD=2,則CD的長為()
A.2B.3C.9D.A
23
【分析】先利用平角定義可得NADC=N4DB=90°,再利用直角三角形的兩個銳角互
余可得NB+N8AO=90°,NB+/C=90°,然后利用同角的余角相等可得
從而可得△DACS^OBA,最后利用相似三角形的性質(zhì)進行計算即可解答.
【解答】解:?.,NADC=90°,
:.ZADB=\S0°-NAOC=90°,
.?.NB+N8A0=90°,
\'ZBAC=90°,
.?./B+/C=90°,
:.ZC=ZBAD,
VZADC=ZADB=90°,
:.XDACs△DBA,
?AD-CD
BDDA
:.AD2=BD*CD,
;A£>=3,BD=2,
:.32=2CD,
:.CD=',
2
故選:C.
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握射影定理是解題的關(guān)鍵.
5.(2分)如圖,在平行四邊形ABCZ)中,F(xiàn)為8c的中點,延長AO至點E,使£>E:AD
=1:3,連接EF交。C于點G,則SACFG:S^DEG等于()
【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)可得AD//BC,AD=BC,再根據(jù)線段中點的定義可得
CF=1BC=1AD,然后證明8字模型相似三角形△EOGs△尸CG,利用相似三角形的
22
性質(zhì)進行計算即可解答.
【解答】解:???四邊形ABC。是平行四邊形,
J.AD//BC,AD=BC,
為8c的中點,
CF=ABC,
2
:.CF=1AD,
2
':AE//CF,
:.Z£=ZGFC,NEDG=NC,
:.4EDGs叢FCG,
,:DE:AD=1:3,
:.DE=1AD,
3
,yAD
:?S&CFG;S&DEG=(-i^)2=(----)2—(3)2=9,
DE|AD24
o
故選:A.
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),熟練掌握8字模型
相似三角形是解題的關(guān)鍵.
6.(2分)若二次函數(shù)y=“x2+bx+c(a/0)的圖象如圖所示,則下列四個選項正確的是()
A.b>0,cVO,A>0B.b<0,c<0,A>0
C.b>0,c>0,A>0D.b<0,c>0,A<0
【分析】利用拋物線的開口方向先確定a的符合,再利用對稱軸的位置確定b的符合,
接著利用拋物線與y軸的交點位置確定c的符合,然后根據(jù)拋物線與x軸個數(shù)確定△的
符合,從而可對各選項進行判斷.
【解答】解:?.?拋物線開口向上,
:.a>0,
?.?拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè),
...a、b異號,BPb<0,
?.?拋物線與y軸的交點在x軸下方,
,c<0,
:拋物線與x軸有2個交點,
A>0.
故選:B.
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系:二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向
和大小.當(dāng)時,拋物線向上開口;當(dāng)時,拋物線向下開口:一次項系數(shù)匕和
二次項系數(shù)。共同決定對稱軸的位置:當(dāng)。與6同號時,對稱軸在y軸左;當(dāng)a與人異
號時,對稱軸在y軸右.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點:拋物線與y軸交于(0,c).拋
物線與x軸交點個數(shù)由判別式確定:A=b2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點;△
=房-4改=0時,拋物線與x軸有1個交點;△=廬-4改<0時,拋物線與x軸沒有交
點.
7.(2分)如圖,在△4BC中,AM:MD=3,BD:£>C=2:3,則AE:EC=()
A
【分析】過點。作DG〃AC交BE于點、G,用平行線分線段成比例定理以及比例的性質(zhì)
進行變形即可得到答案.
【解答】解:如圖,過點。作£>G〃AC交BE于點G.
'JAM:MD=3,BD:DC=2:3,
?也」,毀上,
"AM而7,
'JDG//AC,
?DG__BD__2,DG_DM_1,
*'CE=BCVAE"AM"3"
:.CE=^-DG,AE=3DG,
2
.AE=3DG=6
故選:c.
【點評】此題主要考查平行線分線段成比例定理,用到的知識點:平行于三角形的一邊,
并且和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形的
三邊對應(yīng)成比例.準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
8.(2分)拋物線y=o?+灰+c的頂點為A(2,m),且經(jīng)過點B(5,0),其部分圖象如圖
所示.對于此拋物線有如下四個結(jié)論:
①acVO;
@a-b+c>0;
③/n+9a=0
④若此拋物線經(jīng)過點C(3n),則4-f一定是方程ar2+/?x+c=〃的一個根.
其中所有正確結(jié)論的序號是()
A.①②B.①③④C.③④D.①④
【分析】由拋物線開口和拋物線與y軸交點判斷①,由拋物線的對稱性及經(jīng)過點(5,0)
可判斷②,由拋物線對稱軸為直線x=2可得人=-4”,由a-8+c=0可得c=-5〃,從
而判斷③,點C對稱點橫坐標(biāo)為4T可判斷④.
【解答】解:???拋物線開口向下,
??4*^0,
,/拋物線與y軸交點在x軸上方,
.,.c>0,
.'.ac<0,①正確.
;拋物線頂點為A(2,m),
拋物線對稱軸為直線x=2,
?.?拋物線過點(5,0),
二由對稱性可得拋物線經(jīng)過點(-1,0),
.*.?-b+c=0,②錯誤,
;-旦=2,
2a
:?b=-4。,
,5Q+C=0,
??c=~5Q,
V(2,加)為拋物線頂點,
4a+2h+c=m,
-Sa-5a=mf即9a+〃?=0,③正確,
?.?拋物線經(jīng)過點C(6〃),
...點C關(guān)于對稱軸對稱點(4-n〃)在拋物線上,
.*.4-t為ax2+bx+c=n的一個根,④正確.
故選:B.
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系,解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次
函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系.
二、填空題(共8小題,滿分16分,每小題2分)
9.(2分)請你寫出一個二次函數(shù),其圖象滿足條件:①開口向下;②與)'軸的交點坐標(biāo)為
(0,3).此二次函數(shù)的解析式可以是y=-7+3(答案不唯一).
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出。<0,利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可得出c
=3,取a=-l,6=0即可得出結(jié)論.
【解答】解:設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=,>+次+。.
???拋物線開口向下,
?'aVO.
;拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為(0,3),
.?.c=3.
取。=-1,6=0時,二次函數(shù)的解析式為y=-/+3.
故答案為:>=-7+3(答案不唯一).
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,利用二次函數(shù)
的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,找出。<0,c=3是解題的關(guān)鍵.
10.(2分)如圖,/XABD^AECD,NABO=30°,則NEC。的度數(shù)為30°
【分析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等得到答案即可.
【解答】解:VAABD^/XECD,ZABD=30°,
.".ZECD=ZABD=30°,
故答案為:30°.
【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì),了解相似三角形的對應(yīng)角相等是解答本題的關(guān)
鍵,難度不大.
11.(2分)如圖,身高1.6米的小林從一盞路燈下8處向前走了8米到達(dá)點C處時,發(fā)現(xiàn)
自己在地面上的影子CE長是2米,則路燈的高A8為8米.
【分析】根據(jù)8〃AB,得出進而得出比例式求出即可.
【解答】解:由題意知,CE=2米,8=1.6米,BC=8米,CD//AB,
則BE=BC+CE=10米,
'JCD//AB,
:./\ECD^/\EBA
?CDCEpn1.62
ABBEAB10
解得AB=8(米),
即路燈的高AB為8米:
故答案為:8米.
【點評】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用,得出△ECOsaEBA是解決問題的關(guān)鍵.
12.(2分)若點A(-2,yi),B(1,*),C(-4,*)在拋物線y=2(x+1)2±,請將
yi,",然按從小到大的順序用連接yiVy2〈y3.
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線y=2(x+1)2的開口向上,對稱軸為直線
-1,然后根據(jù)三個點離對稱軸的遠(yuǎn)近判斷函數(shù)值的大小.
【解答】解::拋物線y=2(x+1)2的開口向上,對稱軸為直線x=-1,
而C(-4,*)離直線x=-1的距離最遠(yuǎn),A(-2,yi)點離直線》=-1最近,
.,.yi<y2<j3.
故答案為:y\<yi<y3.
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征:二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)滿足其解
析式.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).
13.(2分)已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A在拋物線y=7-4x+6上運動,
過點A作ACLx軸于點C,以AC為對角線作正方形ABCD則正方形的邊長A8的最小
值是
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=Y3C,再將拋物線解析式整理成頂點式形式,當(dāng)
2
正方形的邊長AB的最小時,即AC的值最小.
【解答】解:???四邊形ABCC是正方形,
2
'.'y—x2-4x+6
=(x-2)2+2,
.?.當(dāng)x=2時,AC有最小值2,
即正方形的邊長AB的最小值是
故答案為:
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,正方形的性質(zhì),將拋物線解析式整
理成頂點式形式求解更簡便.
14.(2分)已知二次函數(shù)yi=/+歷:+。(aWO)與一次函數(shù)y2=fcc+"7(ZWO)的圖象相交
于點A(-1,4),B(4,2).如圖所示,則能使yi>”成立的x的取值范圍x<-1
或x>4.
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象寫出二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方部分的x的取值范圍即可.
【解答】解:???兩函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)為A(-1,4),B(4,2),
.,?使yi>”成立的x的取值范圍是x<-1或x>4.
故答案為:x<-1或x>4.
【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式,此類題目,利用數(shù)形結(jié)合的思想求解更加簡便.
15.(2分)將三角形紙片(△ABC)按如圖所示的方式折疊,使點B落在邊AC上,記為點
B',折痕為EF.已知A8=AC=3,BC=4,若以點B'、尸、C為頂點的三角形與△ABC
相似,那么BF的長度是衛(wèi)或2.
【分析】由于折疊前后的圖形不變,要考慮aB'FC與△ABC相似時的對應(yīng)情況,分兩
種情況討論.
【解答】解:根據(jù)△B'FC與△48C相似時的對應(yīng)關(guān)系,有兩種情況:
①△B'FCs/\ABC時,空,
ABBC
又;AB=AC=3,BC=4,B1F=BF,
???B,F-4-BFf
34
解得2F=K;
7
②△B'CFs/^CA時,里』_=S",
BACA
AB=AC=3,8c=4,B'F=CF,BF=B'F,
ffi]BF+FC=4,即28F=4,
解得BF=2.
故BF的長度是」2或2.
7
故答案為:絲或2.
7
【點評】本題考查對相似三角形性質(zhì)的理解:
(1)相似三角形周長的比等于相似比;
(2)相似三角形面積的比等于相似比的平方;
(3)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.
16.(2分)若關(guān)于x的一元二次方程-/+4x-r=0(f為實數(shù))在l<x<5的范圍內(nèi)有解,
則f的取值范圍是-5VW4.
【分析】先根據(jù)根的判別式得到f<4,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)尤=5,52-20+f>0時,
方程在l<x<5的范圍內(nèi)有解,即f>-5,從而得到f的范圍.
【解答】解:方程變形為W-4x+f=0,
根據(jù)題意得A=42-4XlXf20,
解得rW4,
當(dāng)x=5,52-20+r>0時,方程在l<x<5的范圍內(nèi)有解,即f>-5,
所以t的取值范圍為-5<rW4.
故答案為:-5<7W4.
【點評】本題考查了根的判別式:一元二次方程ax1+bx+c=Q(a/0)的根與△=b2-4ac
有如下關(guān)系:當(dāng)A>0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根;當(dāng)A=0時,方程有兩個相等的
實數(shù)根;當(dāng)△<()時,方程無實數(shù)根.
三、解答題(共10小題,滿分68分,17題8分,19、22每小題8分,18、20-21>23-25
每小題8分,26題6分.)解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程.
17.(8分)解下列方程.
(1)x2-2x-1=0;
(2)/+3x-4=0.
【分析】(1)利用配方法得到(%-1)2=2,然后利用直接開平方法解方程;
(2)利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x+4=0或x-1=0,然后解一次方程即可.
【解答】解:(1)J?-2x-1=0,
x2-2x+l—2,
(x-1)2=2,
X-1=±&,
所以Xl=l+&,X2=I-V2:
(2)/+3x-4=0,
(x+4)(x-1)=0,
x+4=0或x-1=0,
所以xi=-4,X2=l.
【點評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出
方程的解的方法,這種方法簡便易用,是解一元二次方程最常用的方法.也考查了配方
法.
18.(7分)如圖,在RtZ\ABC和RtZ\ACD中,Zfi=ZACZ)=90°,4c平分/BAD
(1)證明:XMiCsMACD:
(2)若AB=4,AC=5,求BC和CD的長.
【分析】(1)由角平分線定義得N5AC=NC4£>,再由N8=NACD=90°,即可得出結(jié)
論;
(2)先由勾股定理求出8c=3,再由相似三角形的性質(zhì)求出CD即可.
【解答】(1)證明:平分NBA。,
:.ZBAC^ZCAD,
又?.?N8=NAC£)=90°,
AABC^AACD;
(2)解:VZB=90°,AB=4,AC=5,
'BC=VAC2-AB2=VB2-42=3,
由(1)得:
?BC=AB
"CDAC)
即金-=居,
CD5
解得:CD=」W.
4
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識:熟練掌握勾股定理,
證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.
19.(6分)已知二次函數(shù)y=/-2x-3.
(1)畫出它的圖象;
(2)該二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=l,頂點坐標(biāo)為(1,-4);
(3)當(dāng)x<1時,y的值隨x值的增大而減??;
(4)當(dāng)y>0時,x的取值范圍是x>3或x<-1
(5)當(dāng)0WxW4時,y的取值范圍是-4SW5.
【分析】(1)根據(jù)函數(shù)解析式求出拋物線的對稱軸,頂點坐標(biāo),拋物線與坐標(biāo)軸的交點,
然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)用五點法作出函數(shù)圖象:
(2)根據(jù)函數(shù)圖象即可得出結(jié)論;
(3)根據(jù)函數(shù)圖象即可得出結(jié)論:
(4)根據(jù)函數(shù)圖象即可得出結(jié)論;
【解答】解:(1)y=W-2x-3=(x-1)2-4,
,對稱軸為x=l,頂點坐標(biāo)為(1,-4);
令y=/-2x-3=0,解得:x=-l或3,
.?.拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為(-1,0)和(3,0);
令x=0,則y=-3,
.?.拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為(0,-3),
圖象如圖所示:
(2)二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=l,頂點坐標(biāo)為(1,-4),
故答案為:X—1?(1,-4);
(3)由圖象得,當(dāng)x<l時,),的值隨x值的增大而減小,
故答案為:<1;
(3)當(dāng)y>0時,x的取值范圍是x>3或-1,
故答案為:x>3或-1;
(4)當(dāng)x=0時,y=-3;當(dāng)x=4時,y=5,
...當(dāng)0WxW4時,y的取值范圍是-4WyW5,
故答案為:-4WyW5.
【點評】本題考查拋物線與x軸的交點以及二次函數(shù)的性質(zhì),關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性
質(zhì).
20.(7分)已知I:如圖,在四邊形ABC。中,AC為對角線,AD//BC,BC=2AD,ABAC
=90°,過點4作AE〃OC交BC于點E.
(1)求證:四邊形AEC。為菱形;
(2)若AB=AE=2,求四邊形AECO的面積.
【分析】(1)先證明四邊形AECZ)為平行四邊形,再由直角三角形的性質(zhì)求得AE=EC,
進而由菱形的判定定理得結(jié)論;
(2)連接OE,證明AABE是等邊三角形,進而求得AC,再證明四邊形ABEQ是平行四
邊形,便可求得OE,最后根據(jù)菱形的面積公式得結(jié)果.
【解答】解:⑴,:AD//BC,AE//DC,
四邊形A£CC為平行四邊形,
:.AD=EC,
':BC=2AD,
:.BC=2EC.
為BC的中點
VZBAC=90°,
:.BC=2AE
:.AE=EC,
;四邊形AECD為平行四邊形,
四邊形AEC。為菱形;
,.AB=AE=BE=2,
?.△ABE是等邊三角形.
*.ZB=60°.
:AD=BE,AD//BC,
,?四邊形ABED為平行四邊形.
,.DE=AB=2,
.?ZB=60°,ZBAC=90°,AB=2,
'.BC=4.
AC=7BC2-AB2=^42-22=2V3?
SAECD=/EXAC=2V3?
【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)與判定,平行四邊形的判定與
性質(zhì),關(guān)鍵是熟悉這些性質(zhì)和定理.
21.(7分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(a+2)x+“+l=O.
(1)求證:方程總有兩個實數(shù)根;
(2)若方程的兩個根都是正整數(shù),求〃的最小值.
【分析】(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式4=82-4ac,可得出△=/,由偶次方的
非負(fù)性可得出。220,即進而可證出方程總有兩個實數(shù)根;
(2)利用因式分解法解一元二次方程,可得出Xl=l,X2=?+l,結(jié)合方程的兩個實數(shù)根
都是正整數(shù),即可得出〃的取值范圍,取其中的最小整數(shù)即可得出結(jié)論.
【解答】(1)證明:依題意,得△=[-(。+2)]2-4(〃+1)
=屋+4。+4-4。-4
=〃2.
??,/BO,
?,?方程總有兩個實數(shù)根.
(2)解:解方程7-(。+2)戈+〃+1=0,
得xi=l,X2=a+\f
??,方程的兩個實數(shù)根都是正整數(shù),
。+1》1.
.DO.
:.a的最小值為0.
【點評】本題考查的是根的判別式及一元二次方程的解法,在解答(2)時得到方程的兩
個根是解題的關(guān)鍵.
22.(6分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)),=丘+6)的圖象經(jīng)過點(-I,0),
(0,2).
(1)求這個一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)x>-2時,對于x的每一個值,函數(shù)(AMWO)的值小于一次函數(shù)
(ZWO)的值,直接寫出機的取值范圍.
【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式;
(2)當(dāng)x=-2時,求出y=2x+2的值,然后根據(jù)題意,得不等式,即可求出川的取值
范圍.
【解答】解:⑴將點(-1,0),(0,2)代入一次函數(shù)y=fcv+〃,
得-k+b=0,
lb=2
解得,k=2,
lb=2
...一次函數(shù)解析式:y=2x+2;
(2)當(dāng)x=-2時,y=2x+2=-2,
根據(jù)題意,可知當(dāng)x=-2時,-2mW-2,
解得〃?N1,
?,?m的取值范圍是lW/nW2.
【點評】本題考查了一次函數(shù)解析式與圖象,熟練掌握待定系數(shù)法與函數(shù)圖象是解題的
關(guān)鍵.
23.(7分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線-3與直線y=-x-1交于
點A(-l,0),B(/n,-3),點尸是線段AB上的動點.
(1)?m=2;
②求拋物線的解析式.
(2)過點P作直線/垂直于x軸,交拋物線丫=0?+6:-3于點。,求線段尸。的長最大
時,點尸的坐標(biāo).
【分析】(1)①將點B-3)代入直線y=-X-1,即可得m的值;②由①知點B
(2,-3),根據(jù)點A(-1,0),8(2,-3)在拋物線丫=/+反-3上,即可求出拋物
線的解析式;
(2)設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x,其中-1WXW2,可得點P(x,-X-1),點。(x,/-2x
-3),得PQ=-7+x+2,進而可得點P的坐標(biāo).
【解答】解:(1)①?.?拋物線>=蘇+笈-3與直線產(chǎn)-%-1交于點A(-I,0),B(m,
-3),
???將點3(m,-3)代入直線y=~x-11得-〃z-1=-3,
解得m=2,
故答案為:2;
②由①知:B(2,-3),
??,點A(-1,0),B(2,-3)在拋物線y=/+"-3上,
.(a-b-3=0
I4a+2b_3=_3
解得卜=1,
1b=_2
拋物線的解析式為y=/-Zr-3;
(2)設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x,其中-1WXW2,
,點P(x,~x-1),點Q(x,JC2-2x-3),
PQ=-/+x+2,
;.當(dāng)彳=工時,尸。最大,
2
此時點尸的坐標(biāo)為([,-1).
22
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,二
次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,二次函數(shù)的最值,解決本題的關(guān)鍵是綜
合掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識.
24.(7分)在平面直角坐標(biāo)系xQy中,A(w-1,yi),B(3,”)是拋物線y=7-2,nx+,〃2
-4上兩點.
(1)將y=x1-2mx+m2-4寫成y—a(x-h)2+k的形式;
(2)若,"=1,比較yi,”的大小,并說明理由;
(3)若),|<",直接寫出機的取值范圍.
【分析】(1)利用配方法化簡即可;
(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷;
(3)根據(jù)題意得到依-1-,M|<|3-m\,解不等式即可求得.
【解答】解:(1)y—x2,-2mx+nr-4—(x-m)2-4;
(2)y\<y2,理由如下:
若〃i=l時,拋物線對稱軸是直線x=l,
VA(0,yi),B(3,”),
...B到y(tǒng)軸的距離大于4到),軸的距離,
Va>0,
(3)?.?拋物線開口向上,對稱軸為直線x=m,
.,?若yiV)2,則|加-1-刑<|3-m\,
解得m<2或m>4.
【點評】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,熟知二次
函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
25.(7分)在等腰直角△ABC中,AB=AC,N4=90°,過點B作BC的垂線/.點P為直
線AB上的一個動點(不與點A,8重合),將射線PC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°交直線/
于點D.
(1)如圖1,點P在線段AB上,依題意補全圖形.
①求證:NBDP=NPCB;
②用等式表示線段BC,BD,8尸之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
(2)點P在線段A8的延長線上,直接寫出線段BC,BD,BP之間的數(shù)量關(guān)系.
【分析】(1)①根據(jù)題意補全圖形,由直角三角形的性質(zhì)可得出答案;
②過點2作PF_LBP交BC于點尸,證明△8PD四△FPC(AAS),由全等三角形的性質(zhì)得
出8O=FC,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論;
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