2022-2023學(xué)年北京市石景山區(qū)京源學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年北京市石景山區(qū)京源學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)

試卷

一、選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

1.（2分）二次函數(shù)）=-3/的圖象開口方向是（）

A.向上B.向下C.向左D.向右

2.（2分）如圖，在△4BC中，DE//BC,若AO=2,AB=3,則區(qū)■等于（）

4323

3.（2分）二次函數(shù)y=2（x-1）2-2的圖象是由二次函數(shù)），=2,的圖象平移得到的，下

列平移方法正確的是（）

A.先向左平移1個單位，再向上平移2個單位

B.先向左平移1個單位，再向下平移2個單位

C.先向右平移1個單位，再向上平移2個單位

D.先向右平移1個單位，再向下平移2個單位

4.（2分）在RtZXABC中，N8AC=NA￡）C=90°,A￡>=3,BD=2,則C￡>的長為（）

A.2B.3C.9D.A

23

5.（2分）如圖，在平行四邊形A8CD中，F(xiàn)為的中點，延長AO至點E,使。E：AD

=1：3,連接所交。C于點G,貝IJSACFG：S"EG等于（)

C.4：9D.3：2

6.（2分）若二次函數(shù)尸/+灰+c（e0）的圖象如圖所示，則下列四個選項正確的是（）

△>0B.b<0,c<0,A>0

C.6>0,c>0,A>0D.b<0,c>0,A<0

7.（2分）如圖，在△ABC中，AM：MD=3,BD：DC=2：3,貝IJAE：EC=()

4C.6：5D.7：4

8.（2分）拋物線y=47+/M+c的頂點為A（2,m）,且經(jīng)過點3（5,0）,其部分圖象如圖

所示.對于此拋物線有如下四個結(jié)論:

①acVO；

@a-b+c>0；

③m+9a=0

④若此拋物線經(jīng)過點C（3〃），則47一定是方程"2+云+。=〃的一個根.

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①③④C.③④D.①④

二、填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

9.（2分）請你寫出一個二次函數(shù)，其圖象滿足條件：①開口向下；②與y軸的交點坐標(biāo)為

（0,3）.此二次函數(shù)的解析式可以是.

ZABD=30°,則/EC。的度數(shù)為

11.（2分）如圖，身高1.6米的小林從一盞路燈下8處向前走了8米到達(dá)點C處時，發(fā)現(xiàn)

自己在地面上的影子CE長是2米，則路燈的高AB為.?米.

12.(2分)若點A(-2,yi),B(1,*),C(-4,*)在拋物線y=2(x+1)2±,請將

V，戶,*按從小到大的順序用“V”連接

13.（2分）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系雙力中，點A在拋物線y=7-4x+6上運動,

過點A作軸于點C,以AC為對角線作正方形ABCO.則正方形的邊長48的最小

14.（2分）已知二次函數(shù)yi=ox2+fec+c（”W0）與一次函數(shù)（k￥0）的圖象相交

于點A（-1,4）,8（4,2）.如圖所示,則能使成立的x的取值范圍

y

5KZ/r

15.（2分）將三角形紙片（△ABC）按如圖所示的方式折疊，使點B落在邊4c上，記為點

B',折痕為EF.己知AB=AC=3,BC=4,若以點B'、F、C為頂點的三角形與△ABC

相似，那么BP的長度是.

16.（2分）若關(guān)于x的一元二次方程-f+4x7=0G為實數(shù)）在l<x<5的范圍內(nèi)有解，

貝h的取值范圍是.

三、解答題（共10小題，滿分68分，17題8分，19、22每小題8分，18、20-21>23-25

每小題8分，26題6分.）解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

17.（8分）解下列方程.

⑴/-2%-1=0；

（2）/+3x-4=0.

18.（7分）如圖，在RtZVIBC和RtZ\4CD中，ZB=ZACD=90°,4c平分NBA。.

（1）證明：△ABCs△AGO；

（2）若A8=4,AC=5,求8c和C￡>的長.

19.（6分）已知二次函數(shù)y=/-2x-3.

（1）畫出它的圖象；

（2）該二次函數(shù)圖象的對稱軸為,頂點坐標(biāo)為

(3)當(dāng)x時，y的值隨x值的增大而減小；

(4)當(dāng)y>0時，x的取值范圍是；

(5)當(dāng)0WxW4時，y的取值范圍是

20.(7分)已知：如圖，在四邊形ABCC中，AC為對角線，AD//BC,BC=2AD,ABAC

=90°,過點A作AE〃￡)C交于點E.

(1)求證：四邊形AECD為菱形;

(2)若AB=AE=2,求四邊形4EC。的面積.

21.(7分)已知關(guān)于x的一元二次方程7-(a+2)x+q+l=0.

(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根;

(2)若方程的兩個根都是正整數(shù)，求“的最小值.

22.(6分)在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，一次函數(shù)儀/0)的圖象經(jīng)過點(-1,0),

(0,2).

(1)求這個一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)x>-2時，對于x的每一個值，函數(shù)y=〃tv(m#0)的值小于一次函數(shù)

(20)的值，直接寫出機的取值范圍.

23.(7分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線yuoAfex-3與直線y=-x-1交于

點A(-1,0),B(加，-3),點尸是線段AB上的動點.

(1)?m—：

②求拋物線的解析式.

(2)過點尸作直線/垂直于x軸，交拋物線)，="/+云-3于點。，求線段P0的長最大

24.(7分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，ACm-1,yi),B(3,”)是拋物線y=W-2MU+〃?2

-4上兩點.

(1)將y=x2-2mx+m2-4寫成y=a(x-h)~+k的形式；

(2)若膽=1,比較yi,”的大小，并說明理由；

(3)若尹＜中,直接寫出皿的取值范圍.

25.(7分)在等腰直角△A8C中，AB=AC,ZA=90°,過點B作BC的垂線/.點尸為直

線48上的一個動點(不與點4,B重合)，將射線PC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°交直線/

于點

(1)如圖1,點P在線段AB上，依題意補全圖形.

①求證：NBDP=NPCB；

②用等式表示線段BC,BD,BP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(2)點P在線段AB的延長線上，直接寫出線段BC,BD,BP之間的數(shù)量關(guān)系.

備用圖

26.(6分)對某一個函數(shù)給出如下定義：如果存在實數(shù)M,對于任意的函數(shù)值y,都滿足y

WM,那么稱這個函數(shù)是有上界函數(shù).在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)

的上確界.例如，圖中的函數(shù)y=-(x-3)2+2是有上界函數(shù)，其上確界是2.

(1)函數(shù)①y=/+2x+l和②y=2x-3(x<2)中是有上界函數(shù)的為(只填序號

即可)，其上確界為；

(2)如果函數(shù)y=-x+2(aWxWb,b>a)的上確界是h,且這個函數(shù)的最小值不超過

2a+l,求”的取值范圍；

(3)如果函數(shù)y=f-2ar+2(1WXW5)是以3為上確界的有上界函數(shù)，求實數(shù)a的值.

2022-2023學(xué)年北京市石景山區(qū)京源學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)

試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

1.（2分）二次函數(shù)y=-37的圖象開口方向是（）

A.向上B.向下C.向左D.向右

【分析】根據(jù)二次項系數(shù)確定開口方向.

【解答】解：y=-3/,

'：a=-3<0,

...拋物線圖象開口向下，

故選：B.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.

2.（2分）如圖，在△4BC中，DE//BC,若A￡>=2,AB=3,則金旦等于（）

AC

A.AB.Ac.AD.2

4323

【分析】直接利用平行線分線段成比例定理求解.

【解答】解：；OE〃BC,

.AD=AE=2

**ABAC3"

故選：D.

【點評】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成

比例.

3.（2分）二次函數(shù)y=2（X-1）2-2的圖象是由二次函數(shù)），=27的圖象平移得到的，下

列平移方法正確的是（）

A.先向左平移1個單位，再向上平移2個單位

B.先向左平移1個單位，再向下平移2個單位

C.先向右平移1個單位，再向上平移2個單位

D.先向右平移1個單位，再向下平移2個單位

【分析】根據(jù)平移前后兩個拋物線的頂點坐標(biāo)的變化來判定平移方法.

【解答】解：拋物線y=2?的頂點坐標(biāo)是（0,0）.

拋物線y=2（x-1）2-2的頂點坐標(biāo)是（1,-2）.

則由二次函數(shù)y=2?的圖象向右平移1個單位，向選平移2個單位即可得到二次函數(shù)），

=2（x-1）2-2的圖象.

故選：D.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換.解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)頂點式得到新拋

物線的頂點坐標(biāo).

4.（2分）在Rtz^ABC中，NBAC=NADC=90°,AD=3,BD=2,則CD的長為（）

A.2B.3C.9D.A

23

【分析】先利用平角定義可得NADC=N4DB=90°,再利用直角三角形的兩個銳角互

余可得NB+N8AO=90°,NB+/C=90°,然后利用同角的余角相等可得

從而可得△DACS^OBA,最后利用相似三角形的性質(zhì)進行計算即可解答.

【解答】解：?.,NADC=90°,

：.ZADB=\S0°-NAOC=90°,

.?.NB+N8A0=90°,

\'ZBAC=90°,

.?./B+/C=90°,

：.ZC=ZBAD,

VZADC=ZADB=90°,

:.XDACs△DBA,

?AD-CD

BDDA

:.AD2=BD*CD,

；A￡>=3,BD=2,

：.32=2CD,

:.CD=',

2

故選：C.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握射影定理是解題的關(guān)鍵.

5.(2分)如圖，在平行四邊形ABCZ)中，F(xiàn)為8c的中點，延長AO至點E,使￡>E：AD

=1：3,連接EF交。C于點G,則SACFG：S^DEG等于()

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)可得AD//BC,AD=BC,再根據(jù)線段中點的定義可得

CF=1BC=1AD,然后證明8字模型相似三角形△EOGs△尸CG,利用相似三角形的

22

性質(zhì)進行計算即可解答.

【解答】解：???四邊形ABC。是平行四邊形，

J.AD//BC,AD=BC,

為8c的中點，

CF=ABC,

2

:.CF=1AD,

2

'：AE//CF,

：.Z￡=ZGFC,NEDG=NC,

：.4EDGs叢FCG,

,：DE：AD=1：3,

:.DE=1AD,

3

,yAD

:?S&CFG;S&DEG=(-i^)2=(----)2—(3)2=9,

DE|AD24

o

故選：A.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握8字模型

相似三角形是解題的關(guān)鍵.

6.（2分）若二次函數(shù)y=“x2+bx+c（a/0）的圖象如圖所示，則下列四個選項正確的是（）

A.b>0,cVO,A>0B.b<0,c<0,A>0

C.b>0,c>0,A>0D.b<0,c>0,A<0

【分析】利用拋物線的開口方向先確定a的符合，再利用對稱軸的位置確定b的符合，

接著利用拋物線與y軸的交點位置確定c的符合，然后根據(jù)拋物線與x軸個數(shù)確定△的

符合，從而可對各選項進行判斷.

【解答】解：?.?拋物線開口向上，

：.a>0,

?.?拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，

...a、b異號,BPb<0,

?.?拋物線與y軸的交點在x軸下方,

，c<0,

:拋物線與x軸有2個交點,

A>0.

故選：B.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向

和大小.當(dāng)時，拋物線向上開口；當(dāng)時，拋物線向下開口:一次項系數(shù)匕和

二次項系數(shù)。共同決定對稱軸的位置：當(dāng)。與6同號時，對稱軸在y軸左；當(dāng)a與人異

號時，對稱軸在y軸右.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0,c）.拋

物線與x軸交點個數(shù)由判別式確定：A=b2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點；△

=房-4改=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=廬-4改<0時，拋物線與x軸沒有交

點.

7.(2分)如圖，在△4BC中，AM：MD=3,BD：￡>C=2：3,則AE：EC=()

A

【分析】過點。作DG〃AC交BE于點、G,用平行線分線段成比例定理以及比例的性質(zhì)

進行變形即可得到答案.

【解答】解：如圖，過點。作￡>G〃AC交BE于點G.

'JAM：MD=3,BD：DC=2：3,

?也」，毀上，

"AM而7,

'JDG//AC,

?DG__BD__2,DG_DM_1,

*'CE=BCVAE"AM"3"

：.CE=^-DG,AE=3DG,

2

.AE=3DG=6

故選：c.

【點評】此題主要考查平行線分線段成比例定理，用到的知識點：平行于三角形的一邊,

并且和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的

三邊對應(yīng)成比例.準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

8.(2分)拋物線y=o?+灰+c的頂點為A(2,m),且經(jīng)過點B(5,0),其部分圖象如圖

所示.對于此拋物線有如下四個結(jié)論：

①acVO；

@a-b+c>0；

③/n+9a=0

④若此拋物線經(jīng)過點C（3n）,則4-f一定是方程ar2+/?x+c=〃的一個根.

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①③④C.③④D.①④

【分析】由拋物線開口和拋物線與y軸交點判斷①，由拋物線的對稱性及經(jīng)過點（5,0）

可判斷②，由拋物線對稱軸為直線x=2可得人=-4”，由a-8+c=0可得c=-5〃，從

而判斷③，點C對稱點橫坐標(biāo)為4T可判斷④.

【解答】解：???拋物線開口向下，

??4*^0,

,/拋物線與y軸交點在x軸上方，

.,.c>0,

.'.ac<0,①正確.

；拋物線頂點為A（2,m），

拋物線對稱軸為直線x=2,

?.?拋物線過點（5,0）,

二由對稱性可得拋物線經(jīng)過點（-1,0）,

.*.?-b+c=0,②錯誤，

；-旦=2,

2a

:?b=-4。，

，5Q+C=0,

??c=~5Q,

V（2,加）為拋物線頂點，

4a+2h+c=m,

-Sa-5a=mf即9a+〃?=0,③正確，

?.?拋物線經(jīng)過點C（6〃），

...點C關(guān)于對稱軸對稱點（4-n〃）在拋物線上，

.*.4-t為ax2+bx+c=n的一個根，④正確.

故選：B.

【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次

函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系.

二、填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

9.（2分）請你寫出一個二次函數(shù)，其圖象滿足條件：①開口向下；②與）'軸的交點坐標(biāo)為

（0,3）.此二次函數(shù)的解析式可以是y=-7+3（答案不唯一）.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出。＜0,利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可得出c

=3,取a=-l,6=0即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=，＞+次+。.

???拋物線開口向下，

?'aVO.

;拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0,3）,

.?.c=3.

取。=-1,6=0時，二次函數(shù)的解析式為y=-/+3.

故答案為：＞=-7+3（答案不唯一）.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，利用二次函數(shù)

的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，找出。＜0,c=3是解題的關(guān)鍵.

10.（2分）如圖，/XABD^AECD,NABO=30°,則NEC。的度數(shù)為30°

【分析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等得到答案即可.

【解答】解：VAABD^/XECD,ZABD=30°,

.".ZECD=ZABD=30°,

故答案為：30°.

【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，了解相似三角形的對應(yīng)角相等是解答本題的關(guān)

鍵，難度不大.

11.(2分)如圖，身高1.6米的小林從一盞路燈下8處向前走了8米到達(dá)點C處時，發(fā)現(xiàn)

自己在地面上的影子CE長是2米，則路燈的高A8為8米.

【分析】根據(jù)8〃AB,得出進而得出比例式求出即可.

【解答】解：由題意知，CE=2米，8=1.6米，BC=8米，CD//AB,

則BE=BC+CE=10米，

'JCD//AB,

：./\ECD^/\EBA

?CDCEpn1.62

ABBEAB10

解得AB=8(米)，

即路燈的高AB為8米：

故答案為：8米.

【點評】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，得出△ECOsaEBA是解決問題的關(guān)鍵.

12.(2分)若點A(-2,yi),B(1,*)，C(-4,*)在拋物線y=2(x+1)2±,請將

yi,"，然按從小到大的順序用連接yiVy2〈y3.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線y=2(x+1)2的開口向上，對稱軸為直線

-1,然后根據(jù)三個點離對稱軸的遠(yuǎn)近判斷函數(shù)值的大小.

【解答】解：：拋物線y=2(x+1)2的開口向上，對稱軸為直線x=-1,

而C(-4,*)離直線x=-1的距離最遠(yuǎn)，A(-2,yi)點離直線》=-1最近，

.,.yi<y2<j3.

故答案為：y\<yi<y3.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)滿足其解

析式.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

13.(2分)已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在拋物線y=7-4x+6上運動，

過點A作ACLx軸于點C,以AC為對角線作正方形ABCD則正方形的邊長A8的最小

值是

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=Y3C,再將拋物線解析式整理成頂點式形式，當(dāng)

2

正方形的邊長AB的最小時，即AC的值最小.

【解答】解：???四邊形ABCC是正方形，

2

'.'y—x2-4x+6

=(x-2)2+2,

.?.當(dāng)x=2時，AC有最小值2,

即正方形的邊長AB的最小值是

故答案為：

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，正方形的性質(zhì)，將拋物線解析式整

理成頂點式形式求解更簡便.

14.(2分)已知二次函數(shù)yi=/+歷:+。(aWO)與一次函數(shù)y2=fcc+"7(ZWO)的圖象相交

于點A(-1,4),B(4,2).如圖所示，則能使yi>”成立的x的取值范圍x<-1

或x>4.

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象寫出二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方部分的x的取值范圍即可.

【解答】解：???兩函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)為A(-1,4),B(4,2),

.,?使yi>”成立的x的取值范圍是x<-1或x>4.

故答案為：x<-1或x>4.

【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式，此類題目，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解更加簡便.

15.(2分)將三角形紙片(△ABC)按如圖所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，記為點

B',折痕為EF.已知A8=AC=3,BC=4,若以點B'、尸、C為頂點的三角形與△ABC

相似，那么BF的長度是衛(wèi)或2.

【分析】由于折疊前后的圖形不變，要考慮aB'FC與△ABC相似時的對應(yīng)情況，分兩

種情況討論.

【解答】解：根據(jù)△B'FC與△48C相似時的對應(yīng)關(guān)系，有兩種情況：

①△B'FCs/\ABC時，空，

ABBC

又；AB=AC=3,BC=4,B1F=BF,

???B,F-4-BFf

34

解得2F=K；

7

②△B'CFs/^CA時，里』_=S",

BACA

AB=AC=3,8c=4,B'F=CF,BF=B'F,

ffi]BF+FC=4,即28F=4,

解得BF=2.

故BF的長度是」2或2.

7

故答案為：絲或2.

7

【點評】本題考查對相似三角形性質(zhì)的理解：

(1)相似三角形周長的比等于相似比；

(2)相似三角形面積的比等于相似比的平方；

(3)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

16.(2分)若關(guān)于x的一元二次方程-/+4x-r=0(f為實數(shù))在l<x<5的范圍內(nèi)有解，

則f的取值范圍是-5VW4.

【分析】先根據(jù)根的判別式得到f<4,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)尤=5,52-20+f>0時，

方程在l<x<5的范圍內(nèi)有解，即f>-5,從而得到f的范圍.

【解答】解：方程變形為W-4x+f=0,

根據(jù)題意得A=42-4XlXf20,

解得rW4,

當(dāng)x=5,52-20+r>0時，方程在l<x<5的范圍內(nèi)有解，即f>-5,

所以t的取值范圍為-5<rW4.

故答案為：-5<7W4.

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax1+bx+c=Q(a/0)的根與△=b2-4ac

有如下關(guān)系：當(dāng)A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)A=0時，方程有兩個相等的

實數(shù)根；當(dāng)△<()時，方程無實數(shù)根.

三、解答題(共10小題，滿分68分，17題8分，19、22每小題8分，18、20-21>23-25

每小題8分，26題6分.)解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

17.(8分)解下列方程.

(1)x2-2x-1=0；

(2)/+3x-4=0.

【分析】(1)利用配方法得到(%-1)2=2,然后利用直接開平方法解方程；

(2)利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x+4=0或x-1=0,然后解一次方程即可.

【解答】解：(1)J?-2x-1=0,

x2-2x+l—2,

(x-1)2=2,

X-1=±&,

所以Xl=l+&,X2=I-V2：

(2)/+3x-4=0,

(x+4)(x-1)=0,

x+4=0或x-1=0,

所以xi=-4,X2=l.

【點評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出

方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了配方

法.

18.(7分)如圖，在RtZ\ABC和RtZ\ACD中，Zfi=ZACZ)=90°,4c平分/BAD

(1)證明：XMiCsMACD：

(2)若AB=4,AC=5,求BC和CD的長.

【分析】(1)由角平分線定義得N5AC=NC4￡>,再由N8=NACD=90°,即可得出結(jié)

論；

(2)先由勾股定理求出8c=3,再由相似三角形的性質(zhì)求出CD即可.

【解答】(1)證明：平分NBA。，

：.ZBAC^ZCAD,

又?.?N8=NAC￡)=90°,

AABC^AACD；

(2)解：VZB=90°,AB=4,AC=5,

'BC=VAC2-AB2=VB2-42=3，

由(1)得：

?BC=AB

"CDAC)

即金-=居，

CD5

解得：CD=」W.

4

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識：熟練掌握勾股定理,

證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

19.(6分)已知二次函數(shù)y=/-2x-3.

(1)畫出它的圖象；

(2)該二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=l,頂點坐標(biāo)為(1,-4)；

(3)當(dāng)x<1時,y的值隨x值的增大而減??；

(4)當(dāng)y>0時，x的取值范圍是x>3或x<-1

(5)當(dāng)0WxW4時，y的取值范圍是-4SW5.

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)解析式求出拋物線的對稱軸，頂點坐標(biāo)，拋物線與坐標(biāo)軸的交點,

然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)用五點法作出函數(shù)圖象：

(2)根據(jù)函數(shù)圖象即可得出結(jié)論；

(3)根據(jù)函數(shù)圖象即可得出結(jié)論：

(4)根據(jù)函數(shù)圖象即可得出結(jié)論；

【解答】解:(1)y=W-2x-3=(x-1)2-4,

，對稱軸為x=l,頂點坐標(biāo)為(1,-4)；

令y=/-2x-3=0,解得：x=-l或3,

.?.拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為(-1,0)和(3,0)；

令x=0,則y=-3,

.?.拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為(0,-3),

圖象如圖所示：

(2)二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=l,頂點坐標(biāo)為(1,-4),

故答案為：X—1?(1,-4)；

(3)由圖象得，當(dāng)x<l時，)，的值隨x值的增大而減小，

故答案為：<1;

(3)當(dāng)y>0時，x的取值范圍是x>3或-1,

故答案為：x>3或-1；

(4)當(dāng)x=0時，y=-3；當(dāng)x=4時，y=5,

...當(dāng)0WxW4時，y的取值范圍是-4WyW5,

故答案為：-4WyW5.

【點評】本題考查拋物線與x軸的交點以及二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性

質(zhì).

20.(7分)已知I：如圖，在四邊形ABC。中，AC為對角線，AD//BC,BC=2AD,ABAC

=90°,過點4作AE〃OC交BC于點E.

(1)求證：四邊形AEC。為菱形;

(2)若AB=AE=2,求四邊形AECO的面積.

【分析】(1)先證明四邊形AECZ)為平行四邊形，再由直角三角形的性質(zhì)求得AE=EC,

進而由菱形的判定定理得結(jié)論；

(2)連接OE,證明AABE是等邊三角形，進而求得AC,再證明四邊形ABEQ是平行四

邊形，便可求得OE,最后根據(jù)菱形的面積公式得結(jié)果.

【解答】解：⑴,：AD//BC,AE//DC,

四邊形A￡CC為平行四邊形，

:.AD=EC,

'：BC=2AD,

：.BC=2EC.

為BC的中點

VZBAC=90°,

：.BC=2AE

：.AE=EC,

；四邊形AECD為平行四邊形，

四邊形AEC。為菱形；

,.AB=AE=BE=2,

?.△ABE是等邊三角形.

*.ZB=60°.

：AD=BE,AD//BC,

,?四邊形ABED為平行四邊形.

,.DE=AB=2,

.?ZB=60°,ZBAC=90°,AB=2,

'.BC=4.

AC=7BC2-AB2=^42-22=2V3?

SAECD=/EXAC=2V3?

【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的判定與

性質(zhì)，關(guān)鍵是熟悉這些性質(zhì)和定理.

21.（7分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-（a+2）x+“+l=O.

（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若方程的兩個根都是正整數(shù)，求〃的最小值.

【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式4=82-4ac,可得出△=/,由偶次方的

非負(fù)性可得出。220,即進而可證出方程總有兩個實數(shù)根；

（2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出Xl=l,X2=?+l,結(jié)合方程的兩個實數(shù)根

都是正整數(shù)，即可得出〃的取值范圍，取其中的最小整數(shù)即可得出結(jié)論.

【解答】（1）證明：依題意，得△=[-（。+2）]2-4（〃+1）

=屋+4。+4-4。-4

=〃2.

??,/BO,

?,?方程總有兩個實數(shù)根.

（2）解：解方程7-（。+2）戈+〃+1=0,

得xi=l,X2=a+\f

??,方程的兩個實數(shù)根都是正整數(shù)，

。+1》1.

.DO.

：.a的最小值為0.

【點評】本題考查的是根的判別式及一元二次方程的解法，在解答（2）時得到方程的兩

個根是解題的關(guān)鍵.

22.（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)），=丘+6�）的圖象經(jīng)過點（-I,0）,

（0,2）.

（1）求這個一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)x>-2時，對于x的每一個值，函數(shù)(AMWO)的值小于一次函數(shù)

(ZWO)的值，直接寫出機的取值范圍.

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式；

(2)當(dāng)x=-2時，求出y=2x+2的值，然后根據(jù)題意，得不等式，即可求出川的取值

范圍.

【解答】解：⑴將點(-1,0),(0,2)代入一次函數(shù)y=fcv+〃，

得-k+b=0,

lb=2

解得，k=2,

lb=2

...一次函數(shù)解析式：y=2x+2；

(2)當(dāng)x=-2時，y=2x+2=-2,

根據(jù)題意，可知當(dāng)x=-2時，-2mW-2,

解得〃?N1,

?,?m的取值范圍是lW/nW2.

【點評】本題考查了一次函數(shù)解析式與圖象，熟練掌握待定系數(shù)法與函數(shù)圖象是解題的

關(guān)鍵.

23.(7分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線-3與直線y=-x-1交于

點A(-l,0),B(/n,-3),點尸是線段AB上的動點.

(1)?m=2；

②求拋物線的解析式.

(2)過點P作直線/垂直于x軸，交拋物線丫=0?+6：-3于點。，求線段尸。的長最大

時，點尸的坐標(biāo).

【分析】(1)①將點B-3)代入直線y=-X-1,即可得m的值；②由①知點B

(2,-3),根據(jù)點A(-1,0),8(2,-3)在拋物線丫=/+反-3上，即可求出拋物

線的解析式；

(2)設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x,其中-1WXW2,可得點P(x,-X-1)，點。(x,/-2x

-3),得PQ=-7+x+2,進而可得點P的坐標(biāo).

【解答】解：(1)①?.?拋物線>=蘇+笈-3與直線產(chǎn)-%-1交于點A(-I,0),B(m,

-3),

???將點3(m，-3)代入直線y=~x-11得-〃z-1=-3,

解得m=2,

故答案為：2；

②由①知：B(2,-3),

??,點A(-1,0),B(2,-3)在拋物線y=/+"-3上，

.(a-b-3=0

I4a+2b_3=_3

解得卜=1,

1b=_2

拋物線的解析式為y=/-Zr-3；

(2)設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x,其中-1WXW2,

，點P(x,~x-1),點Q(x,JC2-2x-3),

PQ=-/+x+2,

；.當(dāng)彳=工時，尸。最大，

2

此時點尸的坐標(biāo)為(［，-1).

22

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二

次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，解決本題的關(guān)鍵是綜

合掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識.

24.(7分)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，A(w-1,yi),B(3,”)是拋物線y=7-2,nx+,〃2

-4上兩點.

(1)將y=x1-2mx+m2-4寫成y—a(x-h)2+k的形式；

(2)若，"=1,比較yi,”的大小，并說明理由；

(3)若)，|<"，直接寫出機的取值范圍.

【分析】(1)利用配方法化簡即可；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；

(3)根據(jù)題意得到依-1-,M|<|3-m\,解不等式即可求得.

【解答】解：(1)y—x2,-2mx+nr-4—(x-m)2-4；

(2)y\<y2,理由如下：

若〃i=l時，拋物線對稱軸是直線x=l,

VA(0,yi),B(3,”)，

...B到y(tǒng)軸的距離大于4到)，軸的距離，

Va>0,

(3)?.?拋物線開口向上，對稱軸為直線x=m,

.,?若yiV)2,則|加-1-刑<|3-m\,

解得m<2或m>4.

【點評】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟知二次

函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

25.(7分)在等腰直角△ABC中，AB=AC,N4=90°,過點B作BC的垂線/.點P為直

線AB上的一個動點(不與點A,8重合)，將射線PC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°交直線/

于點D.

(1)如圖1,點P在線段AB上，依題意補全圖形.

①求證：NBDP=NPCB；

②用等式表示線段BC,BD,8尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(2)點P在線段A8的延長線上，直接寫出線段BC,BD,BP之間的數(shù)量關(guān)系.

【分析】(1)①根據(jù)題意補全圖形，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案；

②過點2作PF_LBP交BC于點尸，證明△8PD四△FPC(AAS),由全等三角形的性質(zhì)得

出8O=FC,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；