河南省林州市2024年數學八年級下冊期末經典模擬試題含解析

河南省林州市2024年數學八年級下冊期末經典模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，購買一種蘋果，所付款金額y（元）與購買量x（千克）之間的函數圖象由線段OA和射線AB組成，則一次購買5千克這種蘋果比分五次購買1千克這種蘋果可節(jié)?。ǎ┰瓵．4 B．5 C．6 D．72．如圖，一個四邊形花壇ABCD，被兩條線段MN,EF分成四個部分，分別種上紅、黃、紫、白四種花卉，種植面積依次是S1、S2、S3、S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，則有（）A．S1=S4 B．S1+S4=S2+S3 C．S1+S3=S2+S4 D．S1·S4=S2·S33．若a＞b，則下列結論不一定成立的是（）A．a-1＞b-1 B． C． D．-2a＜-2b4．如圖，在中，，將繞點C按逆時針方向旋轉得到，點A在邊上，則的大小為A． B． C． D．5．用換元法解方程時，如果設＝y(tǒng)，則原方程可化為()A．y+＝ B．2y2﹣5y+2＝0 C．6y2+5y+2＝0 D．3y+＝6．已知點A（0，0），B（0，4），C（3，t+4），D（3，t）.記N（t）為ABCD內部（不含邊界）整點的個數，其中整點是指橫坐標和縱坐標都是整數的點，則N（t）所有可能的值為A．6、7 B．7、8 C．6、7、8 D．6、8、97．下列各數中，能使不等式x﹣3＞0成立的是()A．﹣3 B．5 C．3 D．28．如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=．將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉至矩形AB′C′D′，使得點B′恰好落在對角線BD上，連接DD′，則DD′的長度為（）A． B． C．+1 D．29．將正方形和按如圖所示方式放置，點和點在直線上點，在軸上，若平移直線使之經過點，則直線向右平移的距離為（）．A． B． C． D．10．若代數式在實數范圍內有意義，則a的取值范圍是()A．a≠0 B．a＞2 C．a≥2 D．a≥2且a≠011．為了解我縣2019年八年級末數學學科成績，從中抽取200名八年級學生期末數學成績進行統(tǒng)計分析，在這個問題中，樣本是指（）A．200B．我縣2019年八年級學生期末數學成績C．被抽取的200名八年級學生D．被抽取的200名我縣八年級學生期末數學成績12．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，下列結論正確的是（）A．SABCD=4S△AOBB．AC=BDC．AC⊥BDD．ABCD是軸對稱圖形二、填空題（每題4分，共24分）13．據統(tǒng)計，2019年全國高考報名人數達10310000人，比去年增加了560000，其中數據10310000用科學計數法表示為_________14．函數y＝（k+1）x﹣7中，當k滿足_____時，它是一次函數．15．如果正數m的平方根為x+1和x－3，則m的值是_____16．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AC＝24，BD＝10，DE⊥BC，垂足為點E，則DE＝_______．17．如圖，已知函數y＝3x＋b和y＝ax－3的圖象交于點P(－2，－5)，則根據圖象可得不等式3x＋b＞ax－3的解集是________．18．平行四邊形的一個內角平分線將對邊分成3和5兩個部分，則該平行四邊形的周長是_____．三、解答題（共78分）19．（8分）某學校計劃購買若干臺電腦，現(xiàn)從兩家商場了解到同一種型號的電腦報價均為6000元，并且多買都有一定的優(yōu)惠.各商場的優(yōu)惠條件如下表所示：商場優(yōu)惠條件甲商場第一臺按原價收費，其余的每臺優(yōu)惠25%乙商場每臺優(yōu)惠20%(1)設學校購買臺電腦，選擇甲商場時，所需費用為元，選擇乙商場時，所需費用為元，請分別求出，與之間的關系式.(2)什么情況下，兩家商場的收費相同？什么情況下，到甲商場購買更優(yōu)惠？什么情況下，到乙商場購買更優(yōu)惠？(3)現(xiàn)在因為急需，計劃從甲乙兩商場一共買入10臺電腦，已知甲商場的運費為每臺50元，乙商場的運費為每臺60元，設總運費為元，從甲商場購買臺電腦，在甲商場的庫存只有4臺的情況下，怎樣購買，總運費最少？最少運費是多少？20．（8分）如圖，在平面直角坐標系可中，直線y＝x+1與y＝﹣x+3交于點A，分別交x軸于點B和點C，點D是直線AC上的一個動點．(1)求點A，B，C的坐標；(2)在直線AB上是否存在點E使得四邊形EODA為平行四邊形？存在的話直接寫出的值，不存在請說明理由；(3)當△CBD為等腰三角形時直接寫出D坐標．21．（8分）計算：(1)（2）(3)若與|x－y－3|互為相反數，則x＋y的值為多少？22．（10分）在三個整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，請你任意選出兩個進行加(或減)運算，使所得整式可以因式分解，并進行因式分解．23．（10分）如圖，反比例函數的圖像與一次函數的圖像交于點，點的橫坐標是，點是第一象限內反比例函數圖像上的動點，且在直線的上方.（1）若點的坐標是，則，；（2）設直線與軸分別交于點，求證：是等腰三角形；（3）設點是反比例函數圖像位于之間的動點（與點不重合），連接，比較與的大小，并說明理由.24．（10分）為傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校團委組織了一次全校名學生參加的“漢字書寫”大賽，為了解本次大賽的成績，校團委隨機抽取了其中名學生的成績(成績取整數，總分分)作為樣本進行統(tǒng)計，制成如下不完整的統(tǒng)計圖表：根據所給信息，解答下列問題：(1)_____，______；(2)補全頻數直方圖；(3)這名學生成績的中位數會落在______分數段；(4)若成績在分以上(包括分)為“優(yōu)”等，請你估計該校參加本次比賽的名學生中成績?yōu)椤皟?yōu)”等的有多少人。25．（12分）如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫格點．（1）在圖中以格點為頂點畫一個面積為5的正方形．（2）如圖2所示，A，B，C是小正方形的頂點，求∠ABC的度數．26．如圖，已知直線與x軸交于點，與y軸交于點，把直線沿x軸的負方向平移6個單位得到直線，直線與x軸交于點C，與y軸交于點D，連接BC．如圖，分別求出直線和的函數解析式；如果點P是第一象限內直線上一點，當四邊形DCBP是平行四邊形時，求點P的坐標；如圖，如果點E是線段OC的中點，，交直線于點F，在y軸的正半軸上能否找到一點M，使是等腰三角形？如果能，請求出所有符合條件的點M的坐標；如果不能，請說明理由．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【解析】

觀察函數圖象找出點的坐標，利用待定系數法求出線段OA和設AB的函數關系式，再分別求出當x=1和x=5時，y值，用10×5-44即可求出一次購買5千克這種蘋果比分五次購買1千克這種蘋果節(jié)省的錢數．【詳解】解：設y關于x的函數關系式為y=kx+b，當0≤x≤2時，將（0，0）、（2，20）代入y=kx+b中，，解得：，∴y=10x(0≤x≤2)；當x>2時，將（2，20），（4，36）代入y=kx+b中，，解得：，∴y=8x+4（x≥2）．當x=1時，y=10x=10，當x=5時，y=44，10×5-44=6（元），故選C．【點睛】本題考查了一次函數的應用、待定系數法求一次函數解析式以及一次函數圖象上點的坐標特征，觀察函數圖象找出點的坐標，利用待定系數法求出線段OA和設AB的函數關系式是解題的關鍵．2、D【解析】

由于在四邊形中，MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，因此MN、EF把一個平行四邊形分割成四個小平行四邊形．可設MN到DC的距離為h1，MN到AB的距離為h2，根據AB=CD，DE=AF，EC=FB及平行四邊形的面積公式即可得出答案．【詳解】解：∵MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，∴四邊形ABCD，四邊形ADEF，四邊形BCEF，紅、紫、黃、白四邊形都為平行四邊形，∴AB=CD，DE=AF，EC=BF．設MN到DC的距離為h1，MN到AB的距離為h2，則S1=DE?h1，S2=AF?h2，S3=EC?h1，S4=FB?h2，

因為DE，h1，F(xiàn)B，h2的關系不確定，所以S1與S4的關系無法確定，故A錯誤；

S1+S4=DE?h1+FB?h2=AF?h1+FB?h2，S2+S3=AF?h2+EC?h1=AF?h2+FB?h1，故B錯誤；S1+S3=CD?h1，S2+S4=AB?h2，又AB=CD，而h1不一定與h2相等，故C錯誤；

S1·S4=DE?h1?FB?h2=AF?h1?FB?h2，S2·S3=AF?h2?EC?h1=AF?h2?FB?h1，所以S1·S4=S2·S3，

故D正確；

故選：D．【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質，注意掌握平行四邊形的面積等于平行四邊形的邊長與該邊上的高的積．即S=a?h．其中a可以是平行四邊形的任何一邊，h必須是a邊與其對邊的距離，即對應的高．3、C【解析】

不等式兩邊同時加減一個數，或同時乘除一個不為0的數，不等號不改變方向，不等式兩邊同時乘除一個不為0的數，不等號改變方向，根據不等式的性質判斷即可．【詳解】A．不等式a＞b兩邊同時減1，a-1＞b-1一定成立；B．不等式a＞b兩邊同時除以3，一定成立；C．不等式a＞b兩邊同時平方，不一定不成立，可舉反例：，但是；D．不等式a＞b兩邊同時乘以-2，-2a＜-2b一定成立．故選C．【點睛】本題考查不等式的性質，熟記不等式兩邊同時加減一個數，或同時乘除一個不為0的數，不等號不改變方向，不等式兩邊同時乘除一個不為0的數，不等號改變方向，是解題的關鍵．4、A【解析】

由旋轉可得∠ACB=∠ACB,，所以，=90-48=42.【詳解】由旋轉可得∠ACB=∠ACB=48,因為在中，，所以，=90-48=42.故選A【點睛】本題考核知識點：旋轉.解題關鍵點：理解旋轉的性質.5、D【解析】

因為已知設＝y(tǒng),易得=,即可轉化為關于y的方程.【詳解】設＝y(tǒng)，則則原方程變形為：3y+＝，故選：D．【點睛】本題主要考查了解分式方程中的換元法，換元的關鍵是仔細觀察題目，看看可以把哪一部分看作一個整體，發(fā)現(xiàn)他們之間的聯(lián)系，從而成功換元.6、C【解析】分析：應用特殊元素法求解：當t=0時，ABCD的四個項點是A（0，0），B（0，4），C（3，4），D（3，0），此時整數點有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），共6個點；當t=1時，ABCD的四個項點是A（0，0），B（0，4），C（3，5），D（3，1），此時整數點有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），共8個點；當t=2時，ABCD的四個項點是A（0，0），B（0，4），C（3，6），D（3，2），此時整數點有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），共7個點；故選項A，選項B，選項D錯誤，選項C正確。故選C。7、B【解析】

根據不等式的解集的概念即可求出答案．【詳解】解：不等式x–1＞0的解集為：x＞1．故選B．【點睛】本題考查不等式的解集，解題的關鍵是正確理解不等式的解的概念（使不等式成立的未知數的值叫做不等式的解）．8、A【解析】

先求出∠ABD=60°，利用旋轉的性質即可得到AB=AB′，進而得到△ABB′是等邊三角形，于是得到∠BAB′=60°，再次利用旋轉的性質得到∠DAD′=60°，結合AD=AD′，可得到△ADD′是等邊三角形，最后得到DD′的長度．【詳解】解：∵矩形ABCD中，AB=1，BC=，∴AD=BC=，∴tan∠ABD==，∴∠ABD=60°，∵AB=AB′，∴△ABB′是等邊三角形，∴∠BAB′=60°，∴∠DAD′=60°，∵AD=AD′，∴△ADD′是等邊三角形，∴DD′=AD=BC=，故選A．9、C【解析】已知點和正方形，即可得C（1，0），代入可得y=2，所以（1，2），又因正方形，可得（3，2），設平移后的直線設為，將代入可求得，即直線向右平移的距離為．故選．10、C【解析】

根據二次根式的被開方數是非負數，且分母不為0即可解答.【詳解】解：∵代數式在實數范圍內有意義，∴a﹣1≥0，a≠0，解得：a≥1．故選C．【點睛】本題考查了二次根式的意義和性質．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性質：二次根式中的被開方數必須是非負數，否則二次根式無意義．11、D【解析】

根據樣本是總體中所抽取的一部分個體解答即可．【詳解】本題的研究對象是：我縣2019年八年級末數學學科成績，因而樣本是抽取200名八年級學生期末數學成績．故選：D．【點睛】本題考查了總體、個體、樣本、樣本容量的定義,解題要分清具體問題中的總體、個體與樣本，關鍵是明確考查的對象.總體、個體與樣本的考查對象是相同的，所不同的是范圍的大小.樣本容量是樣本中包含的個體的數目，不能帶單位.12、A【解析】

試題分析：A、∵平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，∴AO=CO，DO=BO．∴S△AOD=S△DOC=S△BOC=S△AOB．∴SABCD=4S△AOB，故此選項正確；B、無法得到AC=BD，故此選項錯誤；C、無法得到AC⊥BD，故此選項錯誤；D、ABCD是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項錯誤．故選A．二、填空題（每題4分，共24分）13、1.031×1【解析】

科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【詳解】解：將10310000科學記數法表示為：1.031×1．故答案為：1.031×1．【點睛】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．14、k≠﹣1．【解析】

根據一次函數的定義即可解答.【詳解】根據一次函數定義得，k+1≠0，解得k≠﹣1．故答案為：k≠﹣1．【點睛】本題考查了一次函數的定義，熟知形如y=kx+b（k≠0）的函數是一次函數是解決問題的關鍵.15、4【解析】

根據數m的平方根是x+1和x－3，可知x+1和x－3互為相反數，據此即可列方程求得x的值，然后根據平方根的定義求得m的值．【詳解】由題可得（x+1）+（x－3）=0，解得x=1，則m=（x+1）2=22=4.所以m的值是4.【點睛】本題主要考查了平方根的定義．注意一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根．16、【解析】

試題分析：根據菱形性質得出AC⊥BD，AO=OC=12，BO=BD=5，根據勾股定理求出AB，根據菱形的面積得出S菱形ABCD=×AC×BD=AB×DE，代入求出即可．【詳解】∵四邊形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，∴AC⊥BD，AO=OC=AC=12，BO=BD=5，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=13，∵S菱形ABCD=×AC×BD=AB×DE，∴×24×10=13DE，∴DE=，故答案為．【點睛】本題考查的是菱形的性質及等面積法，掌握菱形的性質，靈活運用等面積法是解題的關鍵.17、x＞－2【解析】

根據一次函數的圖象和兩函數的交點坐標即可得出答案．【詳解】解：觀察圖象知，當x＞－2時，y＝3x＋b的圖象在y＝ax－3的圖象的上方，故該不等式的解集為x＞－2故答案為：x＞-2【點睛】本題考查了議程函數與一元一次不等式的應用，主要考查學生的觀察能力和理解能力，題型較好，難度不大．18、22或1．【解析】

根據題意畫出圖形，由平行四邊形得出對邊平行，又由角平分線可以得出△ABE為等腰三角形，可以求解．【詳解】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE為角平分線，∴∠DAE=∠BAE，∴∠AEB=∠BAE，∴AB=BE，∴①當BE=3時，CE=5，AB=3，則周長為22；②當BE=5時，CE=3，AB=5，則周長為1，故答案為：22或1．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，結合了等腰三角形的判定．注意有兩種情況，要進行分類討論．三、解答題（共78分）19、（1）y1=4500x+1500；y2=4800x；（2）答案見解析；（3）從甲商場買4臺，從乙商場買6臺時，總運費最少，最少運費是560元【解析】

（1）根據題意列出函數解析式即可；（2）①若甲商場購買更優(yōu)惠，可得不等式4500x+1500＜4800x，解此不等式，即可求得答案；②若乙商場購買更優(yōu)惠，可得不等式4500x+1500＞4800x，解此不等式，即可求得答案；③若兩家商場收費相同，可得方程4500x+1500=4800x，解此方程，即可求得答案；（3）根據題意列出函數解析式，再根據增減性即可進行解答．【詳解】解：（1）y1=6000+（1-25%）×6000（x-1）=4500x+1500；y2=（1-20%）×6000x=4800x；（2）設學校購買x臺電腦，若到甲商場購買更優(yōu)惠，則：4500x+1500＜4800x，解得：x＞5，即當購買電腦臺數大于5時，甲商場購買更優(yōu)惠；若到乙商場購買更優(yōu)惠，則：4500x+1500＞4800x，解得：x＜5，即當購買電腦臺數小于5時，乙商場購買更優(yōu)惠；若兩家商場收費相同，則：4500x+1500=4800x，解得：x=5，即當購買5臺時，兩家商場的收費相同；（3）w=50a+（10-a）60=600-10a，當a取最大時，費用最小，∵甲商場只有4臺，∴a取4，W=600-40=560，即從甲商場買4臺，從乙商場買6臺時，總運費最少，最少運費是560元．【點睛】本題考查了一元一次不等式實際應用問題，涉及了不等式與方程的解法，解題的關鍵是理解題意，根據題意求得函數解析式，然后利用函數的性質求解．20、(1)A(，)，B(﹣1，0)，C(4，0)；(2)存在，=；(3)點D的坐標為(﹣，)或(8，﹣3)或(0，3)或(，)．【解析】

(1)將y＝x+1與y＝﹣x+3聯(lián)立求得方程組的解可得到點A的坐標，然后將y＝0代入函數解析式求得對應的x的值可得到點B、C的橫坐標；(2)當OE∥AD時，存在四邊形EODA為平行四邊形，然后依據平行線分線段成比例定理可得到=；(3)當DB＝DC時，點D在BC的垂直平分線上可先求得點D的橫坐標；即AC與y軸的交點為F，可求得CF＝BC＝F，當點D與點F重合或點D與點F關于點C對稱時，三角形BCD為等腰三角形，當BD＝BC時，設點D的坐標為(x，﹣x+3)，依據兩點間的距離公式可知：(x+1)2+(﹣x+3)2＝25，從而可求得點D的橫坐標．【詳解】(1)將y＝x+1與y＝﹣x+3聯(lián)立得：，解得：x＝，y＝，∴A(，)．把y＝0代入y＝x+1得：x+1＝0，解得x＝﹣1，∴B(﹣1，0)．把y＝0代入y＝﹣x+3得：﹣x+3＝0，解得：x＝4，∴C(4，0)．(2)如圖，存在點E使EODA為平行四邊形．∵EO∥AC，∴==．(3)當點BD＝DC時，點D在BC的垂直平分線上，則點D的橫坐標為，將x＝代入直線AC的解析式得：y＝，∴此時點D的坐標為(，)．如圖所示：FC＝＝5，∴BC＝CF，∴當點D與點F重合時，△BCD為等腰三角形，∴此時點D的坐標為(0，3)；當點D與點F關于點C對稱時，CD＝CB，∴此時點D的坐標為(8，﹣3)，當BD＝DC時，設點D的坐標為(x，﹣x+3)，依據兩點間的距離公式可知：(x+1)2+(﹣x+3)2＝25，解得x＝4(舍去)或x＝﹣，將x＝﹣代入y＝﹣x+3得y＝，∴此時點D的坐標為(﹣，)．綜上所述點D的坐標為(﹣，)或(8，﹣3)或(0，3)或(，)．【點睛】本題主要考查的是一次函數的綜合應用，利用平行線分線段成比例定理求解是解答問題(2)的關鍵；分類討論是解答問題(3)的關鍵．21、（1）；(2)﹣6；（3）1.【解析】分析：（1）先化簡每個二次根式，然后合并同類二次根式即可；（2）先算乘法、化簡二次根式，去掉絕對值符號，然后合并即可；（3）由兩非負數之和為0，兩非負數分別為0列出關于x與y的方程組，求出方程組的解得到x與y的值，即可求出x+y的值．詳解：（1）原式==；（2）原式===－6；（3）∵+|x﹣y﹣3|=0，∴，解得：，則x+y=15+12=1．點睛：本題考查了二次根式的混合運算和解二元一次方程組，以及非負數的性質．解題的關鍵是熟練掌握二次根式的運算法則和非負數的性質．22、答案不唯一，具體見解析【解析】解：或或或23、（1），.（2）詳見解析；（3），理由詳見解析.【解析】

（1）由P點坐標可直接求得k的值，過P、B兩點，構造矩形，利用面積的和差可求得△PBO的面積，利用對稱，則可求得△PAB的面積；（2）可設出P點坐標，表示出直線PA、PB的解析式，則可表示出M、N的坐標，作PG⊥x軸于點G，可求得MG=NG，即G為MN的中點，則可證得結論；（3）連接QA交x軸于點M′，連接QB并延長交x軸于點N′，利用（2）的結論可求得∠MM′A=∠QN′O，結合（2）可得到∠PMN=∠PNM，利用外角的性質及對頂角進一步可求得∠PAQ=∠PBQ．【詳解】（1）∵點P（1，4）在反比例函數圖象上，∴k=4×1=4，∵B點橫坐標為4，∴B（4，1），連接OP，過P作x軸的平行線，交y軸于點P′，過B作y軸的平行線，交x軸于點B′，兩線交于點D，如圖1，則D（4，4），∴PP′=1，P′O=4，OB′=4，BB′=1，∴BD=4-1=3，PD=4-1=3，∴S△POB=S矩形OB′DP′-S△PP′O-S△BB′O-S△BDP=16-2-2-4.5=7.5，∵A、B關于原點對稱，∴OA=OB，∴S△PAO=S△PBO，∴S△PAB=2S△PBO=15；（2）∵點P是第一象限內反比例函數圖象上的動點，且在直線AB的上方，∴可設點P坐標為（m，），且可知A（-4，-1），設直線PA解析式為y=k′x+b，把A、P坐標代入可得，解得，∴直線PA解析式為，令y=0可求得x=m-4，∴M（m-4，0），同理可求得直線PB解析式為，令y=0可求得x=m+4，∴N（m+4，0），作PG⊥x軸于點G，如圖2，則G（m，0），∴MG=m-（m-4）=4，NG=m+4-m=4，∴MG=NG，即G為MN中點，∴PG垂直平分MN，∴PM=PN，即△PMN是等腰三角形；（3）∠PAQ=∠PBQ，理由如下：連接QA交x軸于M′，連接QB并延長交x軸于點N′，如圖3，由（2）可得PM′=PN′，即∠QM′O=∠QN′O，∴∠MM′A=∠QN′O，由（2）知∠PMN=∠PNM，∴∠PMN-∠MM′A=∠PNM-∠QN′O，∴∠PAQ=∠NBN′，又∠NBN′=∠PBQ，∴∠PAQ=∠PBQ．【點睛】本題為反比例函數的綜合應用，涉及待定系數法、函數圖象的交點、垂直平分線的判定和性質、等于腰三角形的判定和性質等知識．在（1）中求三角形面積時注意矩形的構造，在（2）中設出P點坐標求得MG=NG是解題的關鍵，在（3）中注意（2）中結論的應用．本題考查知識