2023-2024學(xué)年貴州省遵義市播州區(qū)南白中學(xué)高二（上）第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年貴州省遵義市播州區(qū)南白中學(xué)高二（上）第一次聯(lián)考數(shù)

學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合4={-1,1,2,4},B=[x\-l<x<3},則4nB=（）

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2=受對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

乙一I

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，得到的截面是圓面，這個(gè)幾何體不可能是（）

A.圓錐B.圓柱C.球D.棱柱

4.某校高一年級(jí)20個(gè)班參加藝術(shù)節(jié)合唱比賽，通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得了10個(gè)班的比賽得分如下：91,89,

90,92,95,87,93,96,91,85,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為（）

A.91B.92C.93D.94

5.已知a>0,b>0,且滿足a+b=l,則;+3的最小值為（）

A.7B.9C.4D.4+2，^

6.已知平面a、0,直線，ua,直線m不在平面a上，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若戊〃￡,m〃6,則〃/mB.若戊〃0,ml/?,貝〃1m

C.若〃/m,a///?,則m〃/?D.若1_Lm,m//13,則a-L0

7.如圖，。是正方體28（7。一711&的。1面對(duì)角線4。1上的動(dòng)點(diǎn)，下列直線中,

始終與直線BP異面的是（）

A.直線DD]

B.直線&C

C.直線ZD1

D.直線4c

1

8.設(shè)a=^（s?560—cos56。），b=cos40°cosl28°+cos400cos38°,c=2cos2400-1,則a,b,c的大小

關(guān)系是（）

A.a>b>cb>a>cC.c>a>bD.a>c>b

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.下列說(shuō)法正確的是（）

A.抽樣調(diào)查具有花費(fèi)少、效率高的特點(diǎn)

B.數(shù)據(jù)2,3,9,5,3,9的中位數(shù)為7,眾數(shù)為3和9

C.極差和標(biāo)準(zhǔn)差都能描述一組數(shù)據(jù)的離散程度

D.數(shù)據(jù)的,a2,...?%的方差為$2,則數(shù)據(jù)2%,2a2,...?2ati的方差為2s

10.已知a,b是兩條不重合的直線，a,0是兩個(gè)不重合的平面，則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.癡“b,bua,則直線a平行于平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線

B.若a〃口，aua,bu0,則a與b是異面直線

C.若a:〃￡,aua,貝！|a〃0

D.若acO=b,aua,貝ija,b一定相交

11.若定義在/?上的奇函數(shù)/。）滿足/（2-乃=）（刈,在區(qū)間（0,1）上,有（與一％2）［/（尤1）一/（尤2）］>0,則下

列說(shuō)法正確的是（）

A.函數(shù)/（%）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2,0）成中心對(duì)稱(chēng)

B.函數(shù)/"（X）的圖象關(guān)于直線％=2成軸對(duì)稱(chēng)

C.在區(qū)間（2,3）上，為減函數(shù)

D./（一今>/（|）

12.函數(shù)y=Asin{a）x+乎）（4>0,3>0,0<口<兀）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如

圖所示，則（）

A.4=2

B.該函數(shù)的解析式為y=2sin（1x+

C.年,0）是該函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心

D.該函數(shù)的減區(qū)間是［3々兀-半,3/OT-%keZ

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.若扇形的圓心角為果面積為稱(chēng)，則扇形的半徑為

14.函數(shù)y=simox在％E（一號(hào)5）單調(diào)遞減，求36.

15.已知某水平放置的四邊形4BCD的斜二測(cè)畫(huà)法直觀圖是邊長(zhǎng)為1的正方形

A'B'C'D',如圖所示，則四邊形4BCC的面積是.

16.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體4BCD-AB'C'O'中，點(diǎn)E、F、G分別是棱4B'、

B'C'、CD的中點(diǎn)，則由點(diǎn)E、F、G確定的平面截正方體所得的截面多邊形的

面積等于.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知五=(3,1)花=(-|,k),求k為何值時(shí).

⑴//木

(2)a1b;

(3)日與方的夾角為鈍角.

18.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=V_3cos(2x-2sinxcosx.

(I)求/(X)的最小正周期、最大值、最小值；

(口)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

19.(本小題12.0分)

如圖,S為圓錐頂點(diǎn),0是圓錐底面圓的圓心,48、。。為底面圓的兩條直徑,480。。=。，且SO=3,PB=2,

P為SB的中點(diǎn).

(1)求證：S4〃平面PCD；

(2)求圓錐SO的體積.

20.(本小題12.0分)

為激活國(guó)內(nèi)消費(fèi)市場(chǎng)，挽回疫情造成的損失，國(guó)家出臺(tái)一系列的促進(jìn)國(guó)內(nèi)消費(fèi)的優(yōu)惠政策.某機(jī)構(gòu)從某一電

商的線上交易大數(shù)據(jù)中來(lái)跟蹤調(diào)查消費(fèi)者的購(gòu)買(mǎi)力,現(xiàn)從電商平臺(tái)消費(fèi)人群中隨機(jī)選出200人,并將這200人

按年齡分組，記第1組口5,25),第2組［25,35),第3組［35,45),第4組［45,55),第5組［55,65),得到如下頻率

分布直方圖：

(1)求出頻率分布直方圖中的a值和這200人的年齡的中位數(shù)及平均數(shù)；

(2)從第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5人，并再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行電話回訪，求這兩人恰好屬

于同一組別的概率.

21.(本小題12.0分)

在△ABC中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a-csinB=I^bcosC.

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若sinasin(a+B)=奈且aG(0,：),求cos2a的值.

22.(本小題12.0分)

如圖，正四棱柱4BCD—A/iGDi中，44i=24B,點(diǎn)P為的中點(diǎn).

(1)求證：直線BO1〃平面P4C：

(2)求直線BQ與平面4PC所成線面角的正弦值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：集合4={-1,1,2,4}.B={x|-1<x<3},

則4nB={1,2}.

故選：B.

利用交集定義、不等式的性質(zhì)直接求解.

本題考查集合的運(yùn)算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

.劭3-2i(3-20(2+081.

【解析】解：^=—=723^=5-51-

則復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)《,一》位于第四象限.

故選：D.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：由于棱柱的側(cè)面與底面都是平行四邊形，

所以用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，得到的截面是圓面，這個(gè)幾何體不可能是棱柱.

故選：D

用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，根據(jù)截面的形狀即可得出結(jié)論.

此題主要考查了由幾何體判定三視圖，根據(jù)已知得出圓柱三視圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，截面的形狀既與被截

的幾何體有關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān).對(duì)于這類(lèi)題，最好是動(dòng)手動(dòng)腦相結(jié)合，親自動(dòng)手做一做，從

中學(xué)會(huì)分析和歸納的思想方法.

4.【答案】D

【解析】解：將比分從小到大排序可得：85,87,89,90,91,91,92,93,95,96,

80%x10=8,即這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為里羅=94.

故選：D.

將比分從小到大排序，再結(jié)合百分位數(shù)的定義，即可求解.

本題主要考查百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】【分析】

本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.?+》(a+b)=5+!+^,利用基本不等式可求得最

值，注意等號(hào)成立的條件.

【解答】

解：因?yàn)镼>0,b>0,且a+/?=l,

所以《+》(a+b)=5+!+^N5+2j如4=9,

當(dāng)且僅當(dāng)a=/匕=|時(shí)，等號(hào)成立.

故選：B.

6.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與思維

能力，是中檔題.

由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案.

【解答】

解：對(duì)于A,若a〃夕，m//p,貝〃〃7n或1與zn異面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若a//0,mLP，則m_La,又，ua,貝ijl_L機(jī)，故8正確；

對(duì)于C,若“/m,a〃0,則或mu/,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若m//p,貝Ua〃?或a與夕相交，故。錯(cuò)誤.

故選：B.

7.【答案】。

【解析】解：對(duì)于4,連接BD,BM，設(shè)AiCiClBiDi=Q,

由BBJ/DDi，當(dāng)P點(diǎn)位于點(diǎn)Q時(shí)，BP與共面；

對(duì)于B,當(dāng)點(diǎn)P與Q重合時(shí)，直線BP與直線&C相交；

對(duì)于C,因?yàn)?B〃CWi且4B=GA，所以四邊形ABC1％為平行四邊形,

所以ADJ/BG，

當(dāng)點(diǎn)P與Q重合時(shí)，BP與AD1共面；

對(duì)于D,連接4C,

因?yàn)镻任平面ABCD,BC平面力BCD,ACu平面4BCD,BgAC,

所以直線BP與直線AC是異面直線.

故選：D.

根據(jù)異面直線的定義逐一分析判斷即可.

本題考查異面直線的定義等相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

-1

【解析】解:因?yàn)閍=^=(sin560-cos56°)=sin(56°-45°)=sinll°,

b=cos50°cosl28°+cos40°cos38°=—sin40°sin38°+cos40°cos38°

=cos(40°+38°)=cos78°=sinl2°,c=2cos240°-1=cos80°=sinlO°,

因?yàn)閟inl2°>sinir>sinlO0,

所以b>a>c.

故選：B.

運(yùn)用和角、差角公式(輔助角公式)、二倍角公式、誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的單調(diào)性可比較大小.

本題考查了輔助角公式，和差角公式的應(yīng)用，還考查了正弦函數(shù)單調(diào)性在函數(shù)值大小比較中的應(yīng)用，屬于

基礎(chǔ)題.

9.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于從抽樣調(diào)查相比全面調(diào)查具有花費(fèi)少、效率高的特點(diǎn)，故A正確；

對(duì)于8：數(shù)據(jù)從小到大排列為2、3、3、5、9、9,所以中位數(shù)為孚=4,眾數(shù)為3和9,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：極差和標(biāo)準(zhǔn)差都能描述一組數(shù)據(jù)的離散程度，故C正確；

對(duì)于D：數(shù)據(jù)的,a2,...?a”的方差為s2,則數(shù)據(jù)2%,2a2，…，2ati的方差為2?.s?=4s?,故于錯(cuò)誤.

故選：AC.

根據(jù)抽樣調(diào)查的特點(diǎn)判斷4將數(shù)據(jù)從小到大排列求出中位數(shù)與眾數(shù)，即可判斷B；根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定

義判斷C；根據(jù)方差的性質(zhì)判斷D.

本題主要考查了中位數(shù)、眾數(shù)和方差的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AC

【解析】解：a,b是兩條不重合的直線，a,。是兩個(gè)不重合的平面，

對(duì)于4若。〃b,bua,則直線a與平面a內(nèi)與b平行的無(wú)數(shù)條直線都平行，故4正確；

對(duì)于B,若a〃夕，aua,bu/?,則a與b是相交、平行或異面，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若a//0,aua,則由面面平行的性質(zhì)得a〃￡,故C正確;

對(duì)于D,若aC0=b,ac.a,則a,b相交或平行，故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

對(duì)于4直線a與平面a內(nèi)與b平行的無(wú)數(shù)條直線都平行；對(duì)于B,a與。是相交、平行或異面；對(duì)于C,由面

面平行的性質(zhì)得a〃出對(duì)于0,a,b相交或平行.

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，

是中檔題.

11.【答案】AC

【解析】解：因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(-x)=-/(X),

又f(2—x)=/(x),即/(%)關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，故B不正確；

所以/(2—x)=x),BPf(2+x)=-f(x),

所以/(4+x)=-/(2+x)=/(x),

所以/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

因?yàn)樵趨^(qū)間(0,1)上，有一冷)[/(%1)-/(型)]>0,

所以/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

因?yàn)?(4一x)=f[2-(x-2)]=f(x-2)=-f(2-x)=-f(x),即f(4-x)+f(x)=0,

所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)成中心對(duì)稱(chēng)，故A正確；

因?yàn)殛P(guān)于x=1成軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于(2,0)成中心對(duì)稱(chēng)，且在(0,1)上單調(diào)遞增，

所以f(x)在(2,3)上單調(diào)遞減，故C正確；

因?yàn)榘艘幌?/(-4+}=6)</(|)，故。錯(cuò)誤；

故選：AC.

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，周期性的定義可得/(X)關(guān)于％=1成軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于(2,0)成中心對(duì)稱(chēng)，以4為周期的周期函數(shù)，

再由題意可得函數(shù)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，即可判斷.

本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，是基礎(chǔ)題.

12.【答案】ABD

【解析】解：由圖可知，4=2,J=兀一J=3兀=生,3=|,

444<i>3

2

所以y=2sin(-x+(p),

當(dāng)％=即寸，y=2s比(看+0)=2,即sin(看+9)=1,

由OV0V7T,知+所以，+9=泉即W=g，

66ooZJ

所以y=2s譏(|%+金，即選項(xiàng)A和8均正確；

當(dāng)％=爭(zhēng)忖，y=2sin(?x(+g)==2sin§=W0,即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

令2/OT—雪<+^<2/C7T—k&Z,得3卜?！?—<x<3/CTT—,,kGZ,

233244

所以函數(shù)丫=2血(|*+9的減區(qū)間是"兀一半,3時(shí)—簾#62,即選項(xiàng)。正確.

故選：ABD.

根據(jù)圖象求得43,(P，從而知/(x)的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與單調(diào)性，分析選項(xiàng)，即可.

本題考查利用函數(shù)的圖象求解析式，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

13.【答案】2

【解析】解：設(shè)扇形的半徑為r,

則該扇形的面積為S=：x#=與，解得r=2,

故該扇形的半徑為2.

故答案為：2.

利用扇形的面積公式可求得該扇形的半徑.

本題主要考查扇形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】［一|,0).

【解析】解：y=s譏3%在欠6(一黑)單調(diào)遞減，

則3<0,,.'X6(一與令，］3X6(等，一等)，

371>71

則有63n又3>則—3工3<。,

----V-/

3—2

則3的取值范圍為：［一|,0).

對(duì)應(yīng)于y=s譏x的性質(zhì)即可，要注意3<0,函數(shù)單調(diào)性的變化.

本題考查三角函數(shù)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】2。

【解析】解：根據(jù)題意，連接AC',則AC'與y'平行，且由勾股定理得4C'=，N，

故畫(huà)出四邊形4BCD的原圖形，如下:

四邊形ABCD為平行四邊形，高4c=2y/~2,

故四邊形ABCD的面積是4B?AC=1x2，歹=2<7.

故答案為：2，9.

根據(jù)題意，作出平面圖形的原圖，計(jì)算其面積可得答案.

本題考查平面圖形的直觀圖，涉及斜二測(cè)畫(huà)法，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】號(hào)

【解析】解：分別取4。中點(diǎn)P,CG中點(diǎn)M,A&中點(diǎn)N,可得出過(guò)E,F,G三

點(diǎn)的平面截正方體所得截面為正六邊形EFMGPN,則正六邊形的邊長(zhǎng)MG=

VCG2+CM2=J1+1=1'

故截面多邊形的面積等于S=6x中x仔=卑.

42

分別取AD中點(diǎn)P,CG中點(diǎn)M,441中點(diǎn)N,可得出過(guò)E,F,G三點(diǎn)的平面截正

方體所得截面為正六邊形EFMGPN,由此能求出過(guò)E,F,G三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積.

本題考查截面面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力,

是中檔題.

17.【答案】解：(l)7a=(3,l)5=(-|,fc).a//b，

3.1

...二一，解得/￡=t.

312

(2)1??a1K>a-fa=3x(—|)+1x/c=0(

解得k=

(3)???五與方的夾角為鈍角，

a-K=3x(-|)+1xfc<0且3xfc-1x(-|)^0,

解得k(洱丘

【解析】本題考查向量的運(yùn)算，考查向量共線、向量垂直的性質(zhì)、向量數(shù)量積公式、向量夾角余弦公式等

基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

(1)利用向量平行的性質(zhì)直接求解；

(2)利用向量垂直的性質(zhì)直接求解；

(3)利用向量數(shù)量積公式、向量夾角余弦公式直接求解.

18.【答案】解：(I)/(%)=\^-cos2x+|sin2x-sin2x=|sin2x+\^-cos2x=sin(2x+

所以/(%)的最小正周期7=券=兀，最大值為1,最小值為-1.

(II)由2/CTT—5W2X+微42/C7T+/c€Z可解得：kn—7?<x</czr+kEZ.

NJ乙1ZJLZ

故函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是際一泮"+月，kez.

由2/czr+5W2%+gW2kn+甲，kEZ可解得：kn+<x<kn+藉，kEZ.

故函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是即+號(hào)次兀+―,kez.

【解析】本題主要考查了兩角差的余弦公式，輔助角公式，二倍角公式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)

思想，屬于基礎(chǔ)題.

(I)首先根據(jù)兩角差的余弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)為/。)=Sin(2x+今，最后根據(jù)公式T=生求

J3

周期，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解其最值.

(II)利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

19.【答案】解：(1)連結(jié)P。，如下圖示：

?P、。分別為SB、4B的中點(diǎn),

PO//SA,y.POU平面PCD,SA,平面PCD,

???SA〃平面PCO.

(2)：PB=2,P為S8的中點(diǎn)，

SB=4.

???OB=VSB2—SO2—V42—32—V-7，

則底面圓面積Si=TTXOB2=7n.

???圓錐體積V=g?Si?SO="x7兀x3=7兀.

【解析】(1)連結(jié)P。，由中位線性質(zhì)有P0〃S4,利用線面平行的判定定理即可證結(jié)論；

(2)根據(jù)已知求底面半徑，進(jìn)而求出底面積，應(yīng)用圓錐體積公式求體積.

本題考查線面平行的證明，圓錐的體積的求解，屬基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)可得：

(0.01+0.015+a+0.03+0.01)x10=1,

解得a=0.035,

設(shè)年齡的中位數(shù)為b,

則0.1+0.15+(b-35)x0.035=0.5,

解得b?42.14,

.?.平均數(shù)1=20x0.1+30X0.15+40x0.35+50x0.3+60x0.1=41.5;

(2)根據(jù)題意及分層抽樣的概念可得：在第一組抽2人，在第二組抽3人，

再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行電話回訪，

則這兩人恰好屬于同一組別的概率P=日學(xué)=I

【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，中位數(shù)的概念，平均數(shù)的概念，方程思想，即可分別求解；

(2)根據(jù)分層抽樣的概念，古典概型的概率公式，即可求解.

本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)，中位數(shù)的概念，平均數(shù)的概念，分層抽樣的概念，古典概型的概率公式,

方程思想，屬中檔題.

21.【答案】解：(l)da—csinB=/^bcosC，由正弦定理得，y/^sinA—sinCsinB=\T^sinBcosC>

■-?V-3sin(B+C)—sinBsinC=>/~3sinBcosC>

yT^sinBcosC+\/_3cosBsinC—sinBsinC=y/~3sinBcosC>

\/~3cosBsinC=sinBsinC

又??,sinCH0,

：.tanB=V~~3，

v0<B<7T

(2)因?yàn)閟譏as譏(Q+勺=焉所以:sin2a-i-^-sinacosa=2

s，uzZ2U

所以口一丁2a+?立方2a=2,>J~3sin2a—cos2a