確定二次函數(shù)的表達式課件北師大版數(shù)學九年級下冊

2.3確定二次函數(shù)的表達式第二章二次函數(shù)

2.求一次函數(shù)表達式的方法是什么？它的一般步驟是什么？待定系數(shù)法(1)設(shè)：表達式(2)代：坐標代入(3)解：方程(組)(4)還原：寫出解析式2

個待定系數(shù)，需要

2

個點坐標1

個待定系數(shù)，需要1個點坐標想一想

二次函數(shù)的表達式有幾種形式？類比猜想每一種需要幾個點坐標可以確定表達式？二次函數(shù)

y＝ax2＋bx

y＝ax2

y＝ax2＋c

y＝ax2＋bx＋cy

=

a(x

-

h)2

+

k頂點坐標+另一點坐標兩個點坐標兩個點坐標一個點坐標三個點坐標一名學生推鉛球時，鉛球行進高度y(m)與水平距離x(m)之間的關(guān)系如圖所示，其中(4，3)為圖象的頂點，你能求出y與x之間的關(guān)系式嗎?1頂點法求二次函數(shù)的表達式合作探究分析：觀察圖象，已知頂點坐標為(4，3)，則設(shè)拋物線為頂點式

y

=

a(x

-

h)2

+

k

.再在圖象找一點坐標(10，0).1.設(shè)：表達式2.代：坐標代入3.解：方程4.還原：寫出表達式解：設(shè)這個二次函數(shù)的表達式是

y

=

a(x

-

h)2

+

k，把頂點

(4，3)代入

y

=

a(x

-

h)2

+

k

得y

=

a(x

-4)2

+3，再把點

(10，0)代入上式得a(10-4)2

+3=

0，

1.

一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)點(0,1)，它的頂點坐標為(8，9)，求這個二次函數(shù)的表達式.解：因為這個二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為(8,9)，因此，可以設(shè)函數(shù)表達式為

y

=

a(x

-

8)2

+9.又由于它的圖象經(jīng)過點(0,1)，可得

1=

a(0-8)2+9.

解得∴所求的二次函數(shù)的表達式是針對訓練∴

例1已知二次函數(shù)

y＝ax2＋c的圖象經(jīng)過點(2，3)和(－1，－3)，求這個二次函數(shù)的表達式．

解：∵該圖象經(jīng)過點(2，3)和(－1，－3)，

3=4a+c，－3=a+c，∴所求二次函數(shù)表達式為

y=2x2－5.a=2，c=－5.解得{關(guān)于

y軸對稱{特殊條件的二次函數(shù)的表達式2

2.已知二次函數(shù)

y＝ax2＋bx的圖象經(jīng)過點(－2，8)和(－1，5)，求這個二次函數(shù)的表達式．

解：∵該圖象經(jīng)過點(-2，8)和(-1，5)，圖象經(jīng)過原點8=4a

-

2b，5=a

-

b.∴

解得∴y=-x2

-

6x.{{a=-1，b=-6.針對訓練做一做已知二次函數(shù)的圖象與y軸交點的縱坐標為1，且經(jīng)過點(2，5)和(-2，13)，求這個二次函數(shù)的表達式.解：因為二次函數(shù)的圖象與y軸交點的縱坐標為1，因此，可以設(shè)函數(shù)表達式為

y

=

ax2

+bx

+1.∵該圖象經(jīng)過點

(2，5)

和

(-2，13)，13=4a-

2b+1.5=4a+

2b+

1，a=2，解得b=-2，∴所求二次函數(shù)表達式為

y=2x2－2x+1.想一想在什么情況下，已知二次函數(shù)圖象上兩點的坐標就可以確定它的表達式?二次函數(shù)y=ax2+bx+c

可化成：y

=

a(x

-

h)2

+

k，頂點是(h，k).如果已知頂點坐標，那么再知道圖象上另一點的坐標，就可以確定這個二次函數(shù)的表達式.已知二次函數(shù)

y=ax2+bx+c中一項系數(shù)，再知道圖象上兩點的坐標，也可以確定這個二次函數(shù)的表達式.3已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象上的三個點，可以確定這個二次函數(shù)的表達式嗎?一般式法求二次函數(shù)的表達式例2已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(－1，10)，(1，4)，(2，7)

三點，求這個二次函數(shù)的表達式，并寫出它的對稱軸和頂點坐標．

合作探究1.設(shè)：一般式2.代：坐標代入3.解：方程(組)解：設(shè)這個二次函數(shù)的表達式是y

=

ax2

+

bx

+

c，把

(－1，10)，(1，4)，(2，7)代入y

=

ax2

+

bx

+

c

得a=2，c=5.解得b=-3，10=a

-

b

+

c，7=4a+2b+c.4=a+b+c，∴二次函數(shù)圖像對稱軸為直線，頂點坐標為

.∴所求二次函數(shù)表達式為

4.還原：寫出解析式小聰探究發(fā)現(xiàn)運動距離

y

與隨運動時間

t

之間成二次函數(shù)關(guān)系.鏈接中考1.(武漢)在一條筆直的滑道上有黑、紅兩個小球同向運動，黑球在

A

處開始減速，此時紅球在黑球前面70cm.小聰測量黑球減速后的運動距離

y(單位：cm)隨運動時間

t

(單位：s)變化的數(shù)據(jù)，整理得下表.A運動時間

t/s01234運動距離

y/cm09.751927.7536運動時間

t/s01234運動距離

y/cm09.751927.7536求

y

關(guān)于

t

的函數(shù)解析式(不用寫出自變量的取值范圍).

解：設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為

y

=

at2

+

bt+

c.將(0，0

)，(2，19)，(4，36)三點代入解析式中，得注意：取點取整數(shù)點.故所求二次函數(shù)解析式為

求二次函數(shù)

y

=

x2

+2x

-3的圖象與

x

軸的交點坐標？

x2

+2x

-3=0(x

-

1)(x

+3)=0x1

=

1，x2

=-3

y

=

x2

+2x

-3

y

=(x

-

1)(x

+3)因式分解因式分解令

y=0xyOx1x2··4交點法求二次函數(shù)的表達式

y

=

ax2

+

bx

+

c

(a≠0)因式分解

y

=

a(x

-

x1)(x

-

x2)交點式圖象與

x

軸的兩個交點例2

選取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，試求出這個二次函數(shù)的表達式.

xyO12-1-2-3-4-2-41xyO12-1-2-3-4-2-41分析：(-3，0)，(-1，0)是拋物線

y=ax2

+

bx

+

c

與

x

軸的交點.1.設(shè)：交點式設(shè)這個拋物線表達式為

y=a(x

+

3)(x

+

1).2.代：坐標代入再把點(0，-3)代入上式得∴

a(0

+

3)(0

+

1)

=

-3，3.解：方程(組)解得

a

=

-1.4.還原：寫出表達式∴

二次函數(shù)的表達式是

y

=

-(x+3)(x+1)，即

y

=

-x2-4x-3.2.分別求出滿足下列條件的二次函數(shù)的表達式．

圖象經(jīng)過點

A(1，0)，B(0，-3)，對稱軸是直線

x

=

2.解：∵圖象經(jīng)過點

A(1，0)，對稱軸是直線

x

=

2，∴圖象經(jīng)過另一點(3，0).故可設(shè)該二次函數(shù)的表達式為y=a(x?

1)(x?

3).將點(0，?3)代入，得?3=a(0?1)(0?3)，解得a=?1.∴該二次函數(shù)的表達式為

y=?(x?

1)(x?

3)=?x2+4x?

3.練一練5知識點5(補充)：關(guān)于對稱軸對稱的兩點坐標求二次函數(shù)的解析式例3

一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點

A(0，1)，B(1，2)，

C(2，1)，求這個二次函數(shù)的解析式.分析：A(0，1)，C(2，1)兩點縱坐標相同，為

1，∴這個二次函數(shù)可以看作與

x

軸交于(0，0)，(2，0)兩點的二次函數(shù)y

=

a(x-0)(x-2)，向上平移

1

個單位得

y

=

a(x-0)(x-2)+1.xyO45213-123141.設(shè)：解析式設(shè)這個拋物線解析式為

y

=

a(x

-

0)(x

-

2)+1.2.代：坐標代入再把點(1，2)代入上式得∴

a(1

-

0)(1

-

2)+1

=

2，3.解：方程(組)解得

a

=

-1.4.還原：寫出解析式∴

二次函數(shù)的解析式是

y

=

-x(x

-

3)+1，

即

y

=

-x2

+

3x

+

1.還有其他的方法嗎？

將

A(0，1)代入解析式中，得解得

a=-1.頂點式方法∴

二次函數(shù)的解析式是

y

=

-x2

+

3x

+

1.xyO45213-12314ABC設(shè)拋物線為

y

=

a(x

-

1)2

+21

=

a(0

-

1)2

+2則頂點為

B(1，2).歸納總結(jié)合適的函數(shù)解析式坐標代入寫出解析式解含參方程組求二次函數(shù)解析式的方法：思維軸1設(shè)2代3解已知條件4還原②已知三點坐標①已知頂點坐標或?qū)ΨQ軸或最值③已知拋物線與

x軸的兩個交點已知條件選擇適當?shù)姆椒ㄓ靡话闶椒ǎ簓

=

ax2+bx+c用頂點法：y

=

a(x

-

h)2

+k用交點法：y

=

a(x

-x1)(x

-x2)(x1，x2為與x軸交點的橫坐標)待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式④已知拋物線上縱坐標相同的兩點頂點法或交點法平移縱坐標1.如圖，平面直角坐標系中，函數(shù)圖象的解析式應(yīng)是