2024數(shù)學(xué)文化進試卷的隨想

2024數(shù)學(xué)文化進試卷的隨想教育隨筆----數(shù)學(xué)文化進試卷的隨想教育部考試中心頒布的2017年數(shù)學(xué)考試大綱中，將數(shù)學(xué)文化列入高考內(nèi)容．這是一個令人高興的指揮棒，指揮棒指揮得好，比起千言萬語的號召有效得多．按照網(wǎng)上的說法，各地歷年的高考試卷中，已經(jīng)有許多“數(shù)學(xué)文化”的試題．歸納起來，無非是《九章算術(shù)》中的題目、楊輝三角中的某項系數(shù)、斐波那契數(shù)列和《算法統(tǒng)宗》的作者等等，這些帶有數(shù)學(xué)史知識性色彩的數(shù)學(xué)題當(dāng)然可以屬于數(shù)學(xué)文化的范疇，然而數(shù)學(xué)文化的意義遠超于此，相信2017年的高考試題，不會簡單地停留在這樣的層次上．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，要“幫助學(xué)生了解在人類文明發(fā)展中數(shù)學(xué)的作用”．不妨認為，這是數(shù)學(xué)文化教學(xué)的一項總目標(biāo)．因此高考數(shù)學(xué)卷的文化命題，也應(yīng)該越出以往的狹窄視野，把落實這一核心思想作為主要的依歸．例如，古希臘數(shù)學(xué)對人類理性文明的貢獻；徐光啟對《幾何原本》的“五不必”評論；中國古代數(shù)學(xué)的長處與不足：崇尚實用，注重算法，長于計算，缺乏古希臘式的嚴(yán)密論證；笛卡爾坐標(biāo)系的巨大作用：使得代數(shù)學(xué)與幾何學(xué)互相結(jié)合，為函數(shù)概念、微積分思想等變量數(shù)學(xué)提供了框架；三角函數(shù)與波的研究；指數(shù)函數(shù)與信息爆炸等等．當(dāng)然，教材的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容也應(yīng)向這些主題傾斜．至于題型，選擇題固然容易批改，但是題目的容量受限．開放性的問答題，比較適合數(shù)學(xué)文化的表述．具體如何設(shè)計，且看實踐的經(jīng)驗．一道質(zhì)檢試題的命制心路與隨想 “從特殊到一般，再從一般到特殊”是常見的數(shù)學(xué)試題命制方法，也就是說從一些特例歸納出一般性結(jié)論，再從一般性結(jié)論出發(fā)構(gòu)造特例問題.筆者參與了泉州市2014屆高中畢業(yè)班質(zhì)檢的命題工作，在一道創(chuàng)新型試題的命制歷程中，感觸頗深.下面談?wù)勗撛囶}的命制心路與感想，與同行們交流探討.1試題內(nèi)容再現(xiàn)1.1題目如圖1，對于曲線所在平面內(nèi)的點，若存在以為頂點的角，使得對于曲線上的任意兩個不同的點恒成立，則稱角為曲線的相對于點的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線的相對于點的“確界角”.已知曲線：（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），為坐標(biāo)原點，則曲線的相對于點的“確界角”為（）A．B．C．D．1.2解析 由“確界角”的定義可知，曲線相對于點的“確界角”的兩邊所在直線就是它的漸近線或經(jīng)過點曲線的切線.（1）當(dāng)時，方程可化為，所對應(yīng)的曲線是雙曲線的一部分，其漸近線為直線，設(shè)其傾斜角為，則；（2）當(dāng)時，曲線存在過點的切線，設(shè)切點，則又，所以，整理得.令，則，所以在上為增函數(shù)，且，從而關(guān)于的方程的根為.所以過點曲線的切線的斜率.設(shè)切線的傾斜角為，則，因為曲線相對點的“確界角”的大小，且.又由，所以曲線相對點的“確界角”的大小，所以答案是B.2試題命制心路2.1歸納——從具體到抽象，從特殊到一般 筆者在命題過程中，考慮到試卷的權(quán)重，需要一個考查有關(guān)雙曲線的試題，計劃安排在選擇題的最后一題，具有一定的“壓軸”效果.左思右想，分析了雙曲線的性質(zhì)與圖形特征，注意到雙曲線的漸近線刻畫了其“開口”的大小，從而產(chǎn)生一個想法，以漸近線的這個幾何特征下一個有關(guān)角的新定義，以這個定義為基礎(chǔ)考查雙曲線與其它知識融合交匯. 通過研究，發(fā)現(xiàn)如果一條曲線在由一個定點引出的角的內(nèi)部，則這樣的角有無數(shù)多個，而且必定存在一個最小角.此時，突然想到這個最小角的特征與數(shù)學(xué)中的“上確界”的概念類似，從而引入了“確界角”的概念，初步作如下定義. 如圖1，若曲線在頂點為的角的內(nèi)部，分別是曲線上相異的任意兩點，且，我們把滿足條件的最小角叫做曲線相對于點的“確界角”.2.2演繹——從抽象到具體，從一般到特殊2.2.1類比雙曲線，構(gòu)造“新”的曲線 作為具有壓軸作用的試題，應(yīng)該具有較高度的知識交匯，因此設(shè)想以分段函數(shù)的圖象為背景，構(gòu)造曲線，其中曲線的一部分是雙曲線，另一部分也是存在漸近線的曲線.首先進入腦海的是函數(shù).從而考慮在“確界角”的概念基礎(chǔ)上，結(jié)合雙曲線和函數(shù)命制試題，得到題目1. 題目1如圖1，若曲線在頂點為的角的內(nèi)部，分別是曲線上相異的任意兩點，且，我們把滿足條件的最小角叫做曲線相對于點的“確界角”.已知為坐標(biāo)原點，曲線的方程為，那么它相對點的“確界角”等于（）A．B．C．D．2.2.2變換曲線形式，加大試題難度 考慮到基礎(chǔ)較好的學(xué)生可能很熟悉上述曲線的方程形式，達不到壓軸的效果，因此，設(shè)想將曲線變換為關(guān)于直線對稱的曲線，得到形式較新的曲線，同時也考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想，以及學(xué)生思維的靈活性，得到題目2. 題目2如圖1，若曲線在頂點為的角的內(nèi)部，分別是曲線上相異的任意兩點，且，我們把滿足條件的最小角叫做曲線相對于點的“確界角”.已知為坐標(biāo)原點，曲線的方程為，那么它相對點的“確界角”等于（）A．B．C．D．2.2.3研讀考試說明，變換考查內(nèi)容 研討考試說明，筆者和命組老師認為考查“對勾”函數(shù)有超綱嫌疑，應(yīng)該考查主干知識.因此我們設(shè)想從圓和二次函數(shù)兩個角度構(gòu)造曲線，從而得到了題目3和題目4.題目3如圖1，若曲線在頂點為的角的內(nèi)部，分別是曲線上相異的任意兩點，且，我們把滿足條件的最小角叫做曲線相對于點的“確界角”.已知為坐標(biāo)原點，曲線的方程為，那么它相對點的“確界角”等于（）A．B．C．D． 設(shè)計意圖：考查雙曲線、直線與圓以及直線的斜率與傾斜角等知識；考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想及有限與無限思想等；考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識等.題目4如圖1，若曲線在頂點為的角的內(nèi)部，分別是曲線上相異的任意兩點，且，我們把滿足條件的最小角叫做曲線相對于點的“確界角”.已知為坐標(biāo)原點，曲線的方程為，那么它相對點的“確界角”等于（）A．B．C．D．設(shè)計意圖：考查雙曲線、二次函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、直線的斜率與傾斜角等知識，可利用導(dǎo)數(shù)或方程思想解決切線問題，讓學(xué)生在求解時多一點思維空間.考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想及有限與無限思想等；考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識等.2.2.4定位思想方法，加大試題難度 題目3和題目4雖然在知識與方法的考查上定位在主干知識上，但在難度方面有所欠缺.因此，筆者又想到在考查知識的基礎(chǔ)上，注意思想方法的考查，使該題具有壓軸的“份量”.于是，設(shè)想設(shè)置“確界角”的兩邊所在的直線的傾斜角為“一般角”，且“確界角”為特殊角，同時也要考慮方程的“形式美”，使得一個試題不但具有考查價值，而且具有欣賞價值.基上以上設(shè)想，筆者努力地探尋一個凹（凸）函數(shù)，它滿足：①是一個整數(shù)；②也是一個整數(shù)；③的圖象在點的切線恰好過原點.通過對不斷地探究，發(fā)現(xiàn)具備以上條件.從而最終得到題目.2.2.5推敲文字表述，規(guī)范“確界角”的概念 在確定試題承載的曲線后，筆者再仔細地推敲文字表述，感覺對“確界角”的定義表述不夠通順簡潔，“確界角”的概念應(yīng)明確頂點和大小，所以對“新定義”的表述形式作了修正，最終成題.3試題編命制后隨想3.1試題的評價功能 本題考查了雙曲線的漸近線、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線的斜率與傾斜角、三角函數(shù)等知識；考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想、有限與無限思想及創(chuàng)新意識等；考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)等.具有一定的難度，能夠起到“壓軸”的效果.3.2試題的導(dǎo)向功能3.2.1重視數(shù)學(xué)的本質(zhì) 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)應(yīng)重視數(shù)學(xué)的本質(zhì)，試題的命制源于雙曲線，“高于”雙曲線.試圖從雙曲線的漸近線本質(zhì)特征出發(fā)，“自然地”抽象出“確界角”的概念，達到“青出于藍而勝于藍”的效果.3.2.2重視基本數(shù)學(xué)思想 試題考查了數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想及創(chuàng)新意識等數(shù)學(xué)思想與方法，體現(xiàn)了“多思少算”的高考命題理念.3.2.3重視創(chuàng)新意識與自學(xué)能力 試題中提出了“確界角”的新概念，學(xué)生在作答時首先必須準(zhǔn)確理解這一新概念，并利用新概念進行解題.從而引導(dǎo)我們在教學(xué)活動中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識與自學(xué)能力.3.3試題的命制方法 命題是數(shù)學(xué)老師們平時教學(xué)活動的一個重要環(huán)節(jié)，也是艱辛而又富有挑戰(zhàn)性的工作.一份好的試卷或一個好的題倘若能發(fā)揮出其應(yīng)有的功能，往往對提高教學(xué)的有效性是大有裨益的.那么，試題的命制有什么一般的方法嗎？從以上試題的命制實例中，可以看出，充分利用并挖掘教材，“從特殊到一般，再從一般到特殊”，這是常用的試題命制方法之一.也就是說，我們往往先研究某類對象，從中抽象這類對象的特征，得到一般性結(jié)論，再將一般性結(jié)論具體化或特殊化，編制出新的試題.用手機玩轉(zhuǎn)算法語句的教學(xué)-------淺談《循環(huán)語句》的教學(xué)設(shè)計【摘要】隨著手機智能機的普及，如何在算法教學(xué)中使用手機進行教學(xué)，本文試圖開創(chuàng)這方面的探討.【關(guān)鍵詞】算法手機循環(huán)語句andriod安卓的VB1設(shè)計理念算法不僅是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成部分，也是計算機科學(xué)的重要基礎(chǔ).了解算法知識及其思想成為現(xiàn)代社會每一個公民所應(yīng)具備的基本素養(yǎng).算法的基本思想：探求解決問題的步驟，并且將步驟用程序化的語言加以表述.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》要求我們的學(xué)生“經(jīng)歷將具體問題的程序轉(zhuǎn)化為程序語句的過程，理解幾種基本算法語句——輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句，進一步體會算法的基本思想，在條件如許的學(xué)校，使其能在計算機上實現(xiàn)”.算法思想可以很好的培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.在實際教學(xué)過程中，算法這一章節(jié)是學(xué)生在高中數(shù)學(xué)中最受歡迎的一章.因為這一章的內(nèi)容是離學(xué)生生活最近的，很容易把這樣的思維習(xí)慣遷移到日常生活中，而數(shù)學(xué)教育的根本目的就是讓學(xué)生來解決生活中問題.新課程標(biāo)準(zhǔn)發(fā)布已經(jīng)10年了，這10年科學(xué)技術(shù)發(fā)生了翻天覆地的變化，同時計算機的形式也發(fā)生了很大的變化.在計算機變化的過程中，我們算法的教學(xué)是不是也要跟著形勢進行改變呢?2理念的實現(xiàn)學(xué)生在學(xué)完基本的算法語句以后，大多數(shù)老師為了節(jié)省時間，只是簡單在教室的投影儀上演示一下，根本沒有時間安排上機來實踐.我們老師就感嘆，如果在教室里每位同學(xué)都有一部電腦就好了.有一次，我百無聊賴的拿著手機躺在沙發(fā)上看電視，眼前忽然一亮，現(xiàn)在的智能手機能不能代替電腦呢？目前智能手機在學(xué)生中很普遍，據(jù)班主任統(tǒng)計學(xué)生的手機擁有數(shù)占全班同學(xué)的90%以上.并且不少同學(xué)的手機是智能手機并且可以安裝andriod操作系統(tǒng)，部分同學(xué)還有iphone5，iphone4s.這些手機已經(jīng)初步具備了計算機的部分功能.下面我們只需要在這個智能手機上安裝相關(guān)的軟件.相關(guān)的算法語句就可以在學(xué)生手中的手機來實現(xiàn).同時考慮到學(xué)校的教室僅僅是一個電腦投影儀，如果能把手機在投影儀上展示出來，并且在展示的過程中能夠真正和同學(xué)手中的手機一樣就更加完美了，經(jīng)過多方面的查找資料，發(fā)現(xiàn)了這個問題的可行性.3問題解決的步驟3.1android手機模擬且上網(wǎng)問題基于這樣的考慮，在教室里安裝的andriod手機能夠真正的和學(xué)生手機一模一樣.并且在投影儀上來實現(xiàn)這個問題.可以通過以下幾個步驟：通過網(wǎng)站下載銳合X3互動體驗系統(tǒng)，下載地址為：/content/53691.html.直接打開下載好的exe文件安裝，安裝完成后會提示【安裝互動體驗系統(tǒng)運行環(huán)境】(javaruntime)，保持勾選，安裝之.打開手機在開始菜單中找到【銳合X3互動體驗系統(tǒng)】程序組，打開【2.銳合X3互動體驗系統(tǒng)】-選擇【Virtualdevices】-選擇【RayhovX3】-點擊【Start...】-點擊【Launch】.這個時候，手機界面就可以打開，并且能夠通過電腦上網(wǎng).1、如圖所示在模擬機上安裝基于android操作系統(tǒng)的算法軟件.2、到相關(guān)網(wǎng)站上下載安卓的vb，下載完成以后運行安裝到模擬機上.如圖2所示：3、在模擬機上，打開andriod手機模擬器上安卓的vb第一次啟動的時候，有點慢，要耐心等待.老師把安卓的vb放到桌面上，雙擊，我們就可以發(fā)現(xiàn)在andriod手機模擬器上出現(xiàn)了安卓的vb程序.如圖3所示：圖（2）圖（3）在上課之前，教師在教室的電腦上做好如下鋪墊，學(xué)生安裝好相關(guān)的安卓的vb，我們就可以進行這堂課教學(xué)設(shè)計了.4教學(xué)過程4.1快樂回顧創(chuàng)設(shè)問題情境試求自然數(shù)1+2+3+……+99+100的和問題1：我們前面所學(xué)的四種語句能否解決這個問題？我們先回顧一下前面學(xué)的四種語句的一般格式和功能是什么？1、輸入語句INPUT“提示內(nèi)容”；變量2、輸出語句PRINT“提示內(nèi)容”；表達式3、賦值語句變量＝表達式下面請同學(xué)們拿出手機來，打開安卓的vb，來嘗試解決這個問題：教師在投影的模擬機上輸入，邊輸入邊提示，如果這樣一直輸入下去是不是太浪費時間了，前面我們學(xué)過一種結(jié)構(gòu)，叫循環(huán)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)是不是也對應(yīng)著循環(huán)語句呢？我們知道，在實際問題中會遇到許多有規(guī)律的重復(fù)運算，或者在程序中需要對某些語句進行重復(fù)執(zhí)行，這樣就需要用到循環(huán)語句進行控制.圖（4）生活中，有時需要重復(fù)做一些事情，從完成這類事情的過程中，可以找出三個關(guān)鍵的地方，即“從什么地方開始”、“反復(fù)做什么”和“在什么條件下結(jié)束”.在構(gòu)造循環(huán)結(jié)構(gòu)時，也必須保證完成下面的事情：①循環(huán)前，初始化變量的值.②確定循環(huán)體，循環(huán)體就是在循環(huán)結(jié)構(gòu)中反復(fù)執(zhí)行的操作步驟.③設(shè)置循環(huán)終止條件.教師引導(dǎo)說其實循環(huán)結(jié)構(gòu)分成兩種，一種是當(dāng)型，先判斷后循環(huán).做個恰當(dāng)?shù)谋扔魇牵合乳_關(guān)后放水；另一種直到型，先循環(huán)后判斷.也做個比喻是先放一次水，再開關(guān).通過這些形象的比喻讓學(xué)生重點理解，當(dāng)型是條件滿足時，才進入到循環(huán)體.而直到型是先循環(huán)，當(dāng)條件是題目的“否定”時，才進入到循環(huán)體.例1設(shè)計一個計算的算法并寫出相應(yīng)的框圖.當(dāng)型直到型開始結(jié)束開始結(jié)束輸出S開始結(jié)束輸出S復(fù)習(xí)的時候通過提問的方式強調(diào)重點，學(xué)生通過對比，發(fā)現(xiàn)差異.[探究]找出當(dāng)型和直到型的區(qū)別（1）當(dāng)型：先判斷條件，再執(zhí)行循環(huán)體；直到型：______________________________.（2）當(dāng)型和直到型的條件_________.（3）當(dāng)型：滿足條件時執(zhí)行循環(huán)體；直到型：____________________________.總結(jié)：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點是“當(dāng)滿足條件時就循環(huán)”；直到型循環(huán)結(jié)高的特點是“直到滿足條件時退出”.4.2翻譯設(shè)計目的：計算機如何來工作，必須轉(zhuǎn)化為計算機能夠識別的語言，下面我們將算法語言轉(zhuǎn)化為計算機能夠識別的語言.我們分別看一下當(dāng)型和直到型循環(huán)如何來翻譯成能在手機上運行的程序呢？當(dāng)型結(jié)構(gòu)的特點是：當(dāng)條件滿足時，進入循環(huán)體，當(dāng)條件不滿足的時候，退出循環(huán)體.我們簡單用英語來翻譯一下：Whiletheconditionisture,dotheloopbody.Whiletheconditionisnotture,endtheloopbody.我們能夠讓計算機識別，我們?nèi)hileP成立，程序要結(jié)束，我們可以用whileend來表示.循環(huán)體WHILE循環(huán)體WHILE條件循環(huán)體WEND(whileend)當(dāng)型循環(huán)語句滿足條件？引導(dǎo)學(xué)生采用類似的方法引導(dǎo)學(xué)生將直到型翻譯成計算機能夠識別的語言.滿足條件？滿足條件？循環(huán)體DO(做)循環(huán)體LOOPUNTIL條件直到型循環(huán)語句4.3運行語句例2把例1的直到型循環(huán)框圖轉(zhuǎn)化為程序.1、教師將直到型語句寫在直到型結(jié)構(gòu)旁邊，并連線，告訴學(xué)生，這就是直到型循環(huán)語句.通過這樣的訓(xùn)練，使學(xué)生意識到程序和框圖是一一對應(yīng)的，寫程序只需把框圖翻譯成相應(yīng)的語句即可.而且對循環(huán)語句有了一個大體的印象，進而可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和對比能力.解：程序框圖程序語言開始開始結(jié)束輸出SENDPRINTSDoS=s+iI=i+1LENDPRINTSDoS=s+iI=i+1Loopunitili>100S=0i=1循環(huán)體循環(huán)結(jié)構(gòu)2解釋計算機如何執(zhí)行當(dāng)型語句當(dāng)計算機遇到do-loopunitil語句時，先進行一次循環(huán)，然后判斷是否符合條件；符合，就執(zhí)行循環(huán)體；然后再檢查條件，如果仍然符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個過程反復(fù)進行，直到某一次條件不符合為止.這時計算機將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到循環(huán)體之后，執(zhí)行后面的語句.3直到性語句的標(biāo)志符號根據(jù)心理學(xué)原理，系統(tǒng)化的知識便于學(xué)生理解和記憶，也利于及時提取出來加以利用.因此，學(xué)生找出直到型循環(huán)語句以后，應(yīng)通過觀察，明確其結(jié)構(gòu)特征，并在適當(dāng)?shù)臅r候總結(jié)出它的一般形式.方式：觀察循環(huán)語句，回答問題，找出循環(huán)語句的結(jié)構(gòu)特點.[探究]比較程序框圖和程序語句，回答下列問題：(1)循環(huán)結(jié)構(gòu)和哪一段語句對應(yīng)？當(dāng)型循環(huán)語句以什么開始，以什么結(jié)束？______________________________________________________________________(2)判斷框中的“循環(huán)條件”在循環(huán)語句中處于什么位置？______________________________________________________________________(3)循環(huán)結(jié)構(gòu)中的“循環(huán)體”在當(dāng)型循環(huán)語句中處于什么位置？______________________________________________________________________(4)程序中每一條語句被執(zhí)行了多少次？______________________________________________________________________4.4追蹤語句影響程序結(jié)果的三要素是初始值、循環(huán)條件和循環(huán)體.要想透徹理解程序，必須從“變量的變化”入手，分析清楚每圈變量是如何變化的.為了突破這個難點，教師設(shè)計了這個直觀形象的填表題.操作方法：學(xué)生獨立填表，同桌討論，然后讓一位同學(xué)到黑板前填表.其他同學(xué)給與評價. 累加變量計數(shù)變量第第5圈i=i+1第1圈第3圈第2圈=+1+1+1==第4圈+1=+1=第6圈+1=………………第100圈=+1s=s+i=+++==+=+=+=………………=+[思考]計數(shù)變量和累加變量的作用.________________________________________________________________學(xué)生通過填表，化抽象的字母為形象的數(shù)字，清楚了程序每一步中的每一個變量是怎樣變化的，從而能比較深刻的理解程序.這正是程序運行的本質(zhì)所在.分析完之后，再及時總結(jié)出每個變量的作用，由感性性認識上升為理性認識，從整體上把握程序，從而更深刻的認識程序.此時，老師讓學(xué)生拿出手機，利用智能手機中的軟件“安卓的VB”讓學(xué)生自己體會，老師在黑板上自己輸入.然后按“分步”按鈕，讓學(xué)生體會并追蹤循環(huán)語句的變化特征.如圖所示4.5變式訓(xùn)練通過變式訓(xùn)練，可以使學(xué)生更深刻的理解循環(huán)語句，同時提高學(xué)生的思維品質(zhì).(1)初始值對程序的影響操作方法：在程中把初始值改為i=1,s=10,猜想結(jié)果如何，并運行程序驗證.學(xué)生先猜想，利用下圖手機進行驗證.（2）循環(huán)條件對程序的影響，在程中把把循環(huán)條件改為i>10猜想結(jié)果如何，并運行程序，（3）在程序中把循環(huán)體改為i=i+2，猜想結(jié)果如何，并運行程序，加以驗證.（4）為了求的值，怎樣改寫程序？（5）為了求的最小整數(shù)，怎樣改寫程序？（6）學(xué)生自由用手機編寫程序來猜想，驗證.(7)學(xué)生自己出題，自己編程，自己驗證.給學(xué)生自主學(xué)習(xí)的機會，培養(yǎng)自主探究能力.在變式訓(xùn)練里不斷變更程序的要素，使事物的表象不斷變化，而事物的本質(zhì)特征保持不變，從而利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)本質(zhì)規(guī)律，深刻理解程序.當(dāng)作者使用這種方法上這堂課的時候，學(xué)生興致盎然，手機不在是學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙者也是學(xué)生學(xué)習(xí)的幫助者，只要我們老師能在日常教學(xué)中留意社會新事物，并把它利用到課堂上，定能起到良好的效果.怎樣建立數(shù)學(xué)模型一、什么是數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模?數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)是用數(shù)學(xué)符號對一類實際問題或?qū)嶋H系統(tǒng)發(fā)生的現(xiàn)象的(近似的)描述.而數(shù)學(xué)建模(MathematicalModeling)則是獲得該模型、求解該模型并得到結(jié)論以及驗證結(jié)論是否正確的全過程,數(shù)學(xué)建模不僅是了解系統(tǒng)的基本規(guī)律的強有力的工具,而且從應(yīng)用的觀點來看更重要的是預(yù)測和控制所建模系統(tǒng)的行為的強有力的工具.許多重要的物理現(xiàn)象,常常是從某個實際問題的簡化數(shù)學(xué)模型的求解中發(fā)現(xiàn),并給予明確的數(shù)學(xué)表述,例如,混沌、孤立子、奇異吸引子等.數(shù)學(xué)建模本身并不是什么新東西.縱觀科學(xué)技術(shù)發(fā)展史,我們可以看到數(shù)學(xué)建模的思想和方法自古以來就是天文學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家等用數(shù)學(xué)作為工具來解決各種實際問題的主要方法.不過數(shù)學(xué)建模這個術(shù)語的出現(xiàn)和頻繁使用是20世紀(jì)60年代以后的事情.很重要的原因是,由于計算的速度、精度和可視化手段等長期沒有解決,以及其他種種原因,導(dǎo)致有了數(shù)學(xué)模型,但是解不出來,算不出來或不能及時地算出來,更不能形象地展示出來,從而無法驗證數(shù)學(xué)建模全過程的正確性和可用性,數(shù)學(xué)建模的重要性逐漸被人“淡忘”了.然而，恰恰是在20世紀(jì)后半葉，計算機、計算速度和精度，并行計算、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)等計算技術(shù)以及其他技術(shù)突飛猛進的飛速發(fā)展,給了數(shù)學(xué)建模這一技術(shù)以極大的推動,不僅重新煥發(fā)了數(shù)學(xué)建模的活力,更是如虎添翼地顯示了數(shù)學(xué)建模的強大威力.而且，通過數(shù)學(xué)建模也極大地擴大了數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域.現(xiàn)在數(shù)學(xué)建模以及相伴的計算和模擬(Simulation,有人也譯作“仿真”)已經(jīng)成為現(xiàn)代科學(xué)的一種基本技術(shù)—數(shù)學(xué)技術(shù).在各種研究方法,特別是與應(yīng)用電子計算機有關(guān)的研究方法中,占有主導(dǎo)地位.在科技、經(jīng)濟和政府部門的一部分人中,在某種意義下,甚至已經(jīng)成為一種生活方式(wayoflife),數(shù)學(xué)建模無處不在.在抵押貸款買房和商業(yè)談判等日常生活中都要用到數(shù)學(xué)建模的思想和方法.人們越來越認識到數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)建模的重要性.在大、中學(xué)的教材中經(jīng)常出現(xiàn)各種各樣的數(shù)學(xué)模型,因此,學(xué)習(xí)和初步應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的思想和方法已經(jīng)成為當(dāng)代大學(xué)生,以至生活在現(xiàn)代社會的每一個人,必須學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容.在部分中學(xué),都開設(shè)了數(shù)學(xué)建模課;自1992年開始舉辦的“中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽(ChinaUndergraduateMathematicalContestinModeling,縮寫為CUMCM)”已經(jīng)成為我國大學(xué)生課余最大的科技活動.(想了解CUMCM更多細節(jié)的讀者可以訪問網(wǎng)站).于1985年開始舉辦的“美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽(MathematicalContestinModeling,縮寫為MCM)”以及與1999年起開始增加的“美國大學(xué)生跨學(xué)科建模競賽(InterdisciplinaryContestinModeling,縮寫為ICM)”也是我國大學(xué)生非常樂于參加的數(shù)學(xué)建模競賽,近年來這兩個競賽有一半以上的參賽隊來自中國.(想了解MCM和ICM更多的細節(jié)的讀者可以訪問網(wǎng)站).對實際現(xiàn)象的定量研究的重要性和挑戰(zhàn)在于怎樣去建立能夠更好地了解該現(xiàn)象,并且可以應(yīng)用數(shù)學(xué)方法來解決的數(shù)學(xué)模型(數(shù)學(xué)問題).實際現(xiàn)象通常都是極為復(fù)雜的,不經(jīng)過理想化和簡化是很難進行定量研究的.因此,數(shù)學(xué)建模的全過程大體上可歸納為以下步驟：對某個實際問題進行觀察、分析(是否抓住主要方面);對實際問題進行必要的抽象、簡化，作出合理的假設(shè)(往往是很不容易的);3.確定要建立的模型中的變量和參數(shù);4.根據(jù)某種“規(guī)律”(已知的各學(xué)科中的定律,甚至是經(jīng)驗的規(guī)律)建立變量和參數(shù)間確定的數(shù)學(xué)關(guān)系(明確的數(shù)學(xué)問題或在這個層次上的一個數(shù)學(xué)模型),這可能是一個非常具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題;5.解析或近似地求解該數(shù)學(xué)問題.這往往涉及復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論和方法,近似方法和算法;6.數(shù)學(xué)的結(jié)論能否展示、解釋甚至預(yù)測實際問題中出現(xiàn)的現(xiàn)象,或用某種方法(例如，歷史數(shù)據(jù)、實驗數(shù)據(jù)或現(xiàn)場測試數(shù)據(jù)等)來驗證結(jié)論是否合理、正確,這也是很不容易的;7.如果第6步的結(jié)果是肯定的，那么就可以付之試用;如果是否定的，那就要回到第1–6步進行仔細分析，重復(fù)上述建模過程。因此，如果要對數(shù)學(xué)建模下定義的話,那就是:數(shù)學(xué)建模就是上述7個步驟的多次重復(fù)執(zhí)行的過程.或用框圖來表示如下：觀察、分析實際問題→→→→→→→→↓抽象、簡化，確定變量和參數(shù)↑

↑↓利用某種“定律”建立變量和參數(shù)間的確定的關(guān)系（數(shù)學(xué)問題,這個層次上的一個數(shù)學(xué)模型）↑↓解析或“近似”地求解該數(shù)學(xué)問題（數(shù)學(xué)模型）↓解釋、驗證

↑↓←←←←←←通不過↓↓通過↓可應(yīng)用該數(shù)學(xué)模型由此可見,數(shù)學(xué)建模過程中最重要的三個要素,也是三個最大的難點是:怎樣從實際情況出發(fā)做出合理的假設(shè),從而得到可以執(zhí)行的合理的數(shù)學(xué)模型;怎樣求解模型中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題,它可能是非常困難的問題;怎樣驗證模型的結(jié)論是合理、正確、可行的.所以,當(dāng)你看到一個數(shù)學(xué)模型時,就一定要問問或者想一想它的假設(shè)是什么,是否合理?模型中的數(shù)學(xué)問題是否很難,數(shù)學(xué)上是否已經(jīng)解決?怎樣驗證該模型的正確與可行性?當(dāng)你在學(xué)習(xí)有關(guān)后繼課程或參加具體的數(shù)學(xué)建?；顒訒r牢記這三條,一定會受益匪淺.另外,在建模過程中還有一條不成文的原則:“從簡單到精細”,也就是說,首先建立一個比較簡單但盡可能合理的模型,對該模型中的數(shù)學(xué)問題有可能解決很徹底,從而能夠做到僅僅通過實驗觀察不可能做到的事情,甚至發(fā)現(xiàn)重要的現(xiàn)象.如果在求解該模型的結(jié)果不合理,甚至完全錯誤,那么它也有可能告訴我們?nèi)绾胃倪M的方向.要想比較成功地運用數(shù)學(xué)建模去解決真正的實際問題,還要學(xué)習(xí)“雙向翻譯”的能力,即能夠把實際問題用數(shù)學(xué)的語言表述出來,而且能夠把數(shù)學(xué)建模得到的(往往是用數(shù)學(xué)形式表述的)結(jié)果,用普通人(或者說要應(yīng)用這些結(jié)果的非數(shù)學(xué)專業(yè)的人士)能夠懂的普通語言表述出來.二、可口可樂罐頭為什么是這種樣子?可口可樂、雪碧、健力寶等銷量極大的飲料罐(易拉罐)頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比為多少?為什么?它們的形狀為什么是這樣的?“用鐵皮做成一個容積一定的圓柱形的無蓋(或有蓋)容器，問應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計，才能使用料最省，這時圓柱的直徑和高之比為多少?”實際上,用幾何語言來表述就是:體積給定的正圓柱體,其表面積最小的尺寸(半徑和高)為多少?表面積用S表示,體積用V表示,則用微積分的典型的解法是.結(jié)論:正圓柱體的直徑等于高.測量一個可口可樂飲料罐:它頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高:約為6厘米和12厘米.中間胖的部分的直徑約為6.6厘米，胖的部分高約為10.2厘米.可口可樂飲料罐上標(biāo)明凈含量為355毫升(即355立方厘米).實際的罐內(nèi)體積為365毫升.怎樣測量比較簡捷?簡化模型分析和假設(shè)：首先把飲料罐近似看成一個正圓柱是有一定合理性的.要求飲料罐內(nèi)體積一定時,求能使易拉罐制作所用的材料最省的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比.實際上，飲料罐的形狀是如下平面圖形繞其中軸線旋轉(zhuǎn)而成的立體。my={AbsoluteThickness[2],Line[{{2.3,0.4},{2.3,0},{2.7,0},{2.7,0.8},{3.3,0.8},{3.3,11},{3,12},{3,12.4},{2.7,0},{-3,12},{-3,12.4},{-3,12},{-3.3,11},{-3.3,0.8},{-2.7,0.8},{-2.7,0},{-2.3,0},{-2.3,0.4}}]}mygrapg=Show[Graphic[my],AxesLabel->{x,y},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{0,12.4}]用手摸一下頂蓋就能感覺到它的硬度要比其他的材料要硬(厚,因為要使勁拉),假設(shè)除易拉罐的頂蓋外,罐的厚度相同,記作,頂蓋的厚度為.想象一下,硬度體現(xiàn)在同樣材料的厚度上(有人測量過,頂蓋厚度大約是其他部分的材料厚度的3倍).因此,我們可以進行如下的數(shù)學(xué)建模.這時必須考慮所用材料的體積(或者每單位體積的材料的價格).F={AbsoluteThickness[1],Line[{{-3.1,0},{3.1,0},{3.1,12.4},{-3.1,0},{-3,0.1},{3,0.1},{3,12.1},{-3,12.1},{-3,0.1}}]}mygrapg=Show[Graphic[F],AxesLabel->{x,y},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{0,12.5}]明確變量和參數(shù)：設(shè)飲料罐的半徑為r（因此，直徑為d=2r）,罐的高為h.罐內(nèi)體積為V.b為除頂蓋外的材料的厚度.其中r,h是自變量,所用材料的體積SV是因變量,而b和V是固定參數(shù),是待定參數(shù).飲料罐側(cè)面所用材料的體積為飲料罐頂蓋所用材料的體積為飲料罐底部所用材料的體積為所以,SV和V分別為,因為,所以帶的項可以忽略(工程上用的近似方法,是合理的假設(shè)或簡化嗎?).因此記.于是我們可以建立以下的數(shù)學(xué)模型：其中S是目標(biāo)函數(shù)，是約束條件,V是已知的(即罐內(nèi)體積一定),即要在體積一定的條件下,求罐的體積最小的r,h和使得r,h和測量結(jié)果吻合.這是一個求條件極值的問題.模型的求解：方法1:(從約束中解出一個變量，化約束極值問題為求一元函數(shù)的無約束極值問題)從解出,代入S,使原問題化為：求d:h使S最小,即,求r使最小.求臨界點:令其導(dǎo)數(shù)為零得解得臨界點為,因此測量數(shù)據(jù)為h/r=2,即,即頂蓋的厚度是其他材料厚度的3倍.為驗證這個r確實使S達到極小.計算S的二階導(dǎo)數(shù)所以,這個r確實使S達到局部極小,因為臨界點只有一個,因此也是全局極小.方法2:利用算術(shù)幾何平均值不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.(n=2,3時有明顯的幾何意義:周長一定的矩形中正方形的面積最大;三邊長的和一定的長方體中立方體的體積最大.)算術(shù)幾何平均值不等式是一類等周不等式.令,于是有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即在處達到極小值.結(jié)果相同.注意，如果不忽略高級無窮小量，那么把,代入，得求臨界點，得因此又因為.所以是唯一的臨界點，因而是全局極小點.當(dāng),即高等于2倍的直徑時，制作飲料罐時所用的材料最省.驗證和進一步的分析：有人測量過頂蓋的厚度確實為其他材料厚度的3倍.如果易拉罐的半徑為3厘米,則其體積為按照計算,V=365立方厘米,可以算得r=3.074厘米.下面只是一種可能的考慮.粗略的計算,可以把飲料罐的體積看成兩部分,一是上底半徑為3厘米，下底半徑為3.3厘米,高為1厘米的錐臺,二是半徑為3.3厘米,高為10.2厘米的正圓柱體.它們的體積分別為31.2立方厘米和349立方厘米總共為380.2立方厘米.然后,我們再來通過測量重量或容積(怎么測量?)來驗證.我們可以認為1立方厘米的水和飲料的重量都是1克.