專題11 新定義型幾何圖形問題(含答案)-備戰(zhàn)2024年中考復習重難點與壓軸題型專項突圍訓練

備戰(zhàn)2024年中考復習重難點與壓軸題型專項突圍訓練專題11新定義型幾何圖形問題【典型例題】1．(2021·甘肅張家川·九年級階段練習)定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形．根據(jù)以上定義，解決下列問題：(1)如圖1，正方形ABCD中E是CD上的點，將△BCE繞B點旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時點E的對應(yīng)點F在DA的延長線上，則四邊形BEDF填(“是”或“不是”)“直等補”四邊形；(2)如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補”四邊形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，過點B作BE⊥AD于E．①過C作CF⊥BF于點F，試證明：BE＝DE，并求BE的長；②若M是AD邊上的動點，求△BCM周長的最小值．【專題訓練】解答題1．(2021·浙江省寧波市實驗學校九年級期中)給出定義：有兩個內(nèi)角分別是它們對角的兩倍的四邊形叫做倍對角四邊形．(1)如圖1，在倍對角四邊形ABCD中，∠D＝2∠B，∠A＝2∠C，求∠B與∠C的度數(shù)之和；(2)如圖2，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，若邊AB上存在一點D，使得BD＝BO，∠OBA的平分線交OA于點E，連結(jié)DE并延長交AC于點F，∠AFE＝2∠EAF．求證：四邊形DBCF是倍對角四邊形；(3)如圖3，在(2)的條件下，過點D作DG⊥OB于點H，交BC于點G．當4DH＝3BG時，求△BGH與△ABC的面積之比．2．(2021·湖北黃岡·八年級期末)我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中所得的四邊形叫中點四邊形．(1)如圖1，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，中點四邊形EFGH是．(2)如圖2，點P是四邊形ABCD內(nèi)一點，且滿足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點．猜想中點四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想．(3)若改變(2)中的條件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他條件不變，直接寫出中點四邊形EFGH的形狀(不必證明)．3．(2021·江蘇·徐州市樹人初級中學八年級階段練習)定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“朋友三角形”．性質(zhì)：“朋友三角形”的面積相等．如圖1，在△ABC中，CD是AB邊上的中線．那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”，并且S△ACD=S△BCD應(yīng)用：如圖2，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=AD=4，BC=6，點E在BC上，點F在AD上，BE=AF，AE與BF交于點O．(1)求證：△AOB和△AOF是“朋友三角形”；(2)連接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四邊形CDOE的面積．4．(2021·浙江鄞州·一模)我們把三角形的一條高線關(guān)于與其共頂點的內(nèi)角平分線的對稱線段所在直線叫做該三角形的倍角高線．(1)如圖1，，分別為的高線和角平分線，若為的倍角高線．①根據(jù)定義可得______，______(填寫圖中某個角)；②若，求證：為等腰三角形．(2)如圖2，在鈍角中，為鈍角，，若，分別為的高線和角平分線，倍角高線交直線于點，若，，求線段的長．(3)在中，若，，倍角高線交直線于點，當為等腰三角形，且時，求線段的長．5．(2021·全國·九年級期末)類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．(1)如圖1，在四邊形中，平分，，請說明四邊形是“等鄰邊四邊形”；(2)如圖2，在中，，，，并將沿的平分線方向平移得到，連接，，要使平移后的四邊形是“等鄰邊四邊形”，應(yīng)平移多少距離？(即線段的長)？請直接寫出平移的距離；(3)如圖3，“等鄰邊四邊形”中，，，，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系(用含的等式表示)．6．(2021·吉林伊通·八年級期末)類比平行四邊形，我們學習箏形定義：兩組臨邊分別相等的四邊形叫做箏形，如圖①，若AD＝CD，AB＝CB，則四邊形ABCD是箏形．(1)在同一平面內(nèi)，△ABC與△ADE按如圖②所示放置，其中∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，BC與DE相交于點F．請你判斷四邊形ABFD是不是箏形，說明理由；(2)請你結(jié)合圖形①，寫出一個箏形的判斷方法；(定義除外)(3)如圖③，△OGH為等邊三角形，點G的坐標為(﹣1，0)，點P為直線y＝﹣x上的一點．在第四象限內(nèi)是否存在點P，使得以O(shè)、G、H、P為頂點的四邊形為箏形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．7．(2021·陜西·高新一中七年級期末)問題提出：(1)我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形，如圖，中，，，為上一點，當______時，與是偏等積三角形；問題探究：(2)如圖，與是偏等積三角形，，，且線段的長度為正整數(shù)，過點作交的延長線于點，求的長度；問題解決：(3)如圖，四邊形是一片綠色花園，、是等腰直角三角形，．①與是偏等積三角形嗎？請說明理由；②已知，的面積為．如圖，計劃修建一條經(jīng)過點的筆直的小路，在邊上，的延長線經(jīng)過中點．若小路每米造價600元，請計算修建小路的總造價．8．(2021·陜西·高新一中八年級期末)定義：有一組對邊相等且這一組對邊所在直線互相垂直的凸四邊形叫做“等垂四邊形”．【提出問題】(1)如圖①，四邊形與四邊形都是正方形，，求證：四邊形是“等垂四邊形”；【類比探究】(2)如圖②，四邊形是“等垂四邊形”，，連接，點，，分別是，，的中點，連接，，．試判定的形狀，并證明；【綜合運用】(3)如圖③，四邊形是“等垂四邊形”，，，則邊長的最小值為________．9．(2021·江蘇·高港實驗學校八年級階段練習)如圖1，在四邊形中，如果對角線和相交并且相等，那么我們把這樣的四邊形稱為等角線四邊形．(1)①在“平行四邊形、矩形、菱形”中，______一定是等角線四邊形(填寫圖形名稱)；②若、、、分別是等角線四邊形四邊、、、的中點，當對角線、還要滿足______時，四邊形是正方形．(2)如圖2，已知在中，，，，為平面內(nèi)一點．①若四邊形是等角線四邊形，且，求符合條件的等角線四邊形的面積．②設(shè)點是所在平面上的任意一點且，若四邊形是等角線四邊形，求出四邊形面積的最大值，并說明理由．10．(2021·湖北黃梅·八年級期末)我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中所得的四邊形叫中點四邊形．(1)如圖1，在四邊形中，點，，，分別為邊，，，的中點，中點四邊形是_______________．(2)如圖2，點P是四邊形內(nèi)一點，且滿足，，，點，，，分別為邊，，，的中點．猜想中點四邊形的形狀，并證明你的猜想．(3)若改變(2)中的條件，使，其他條件不變，直接寫出中點四邊形EFGH的形狀(不必證明)．11．(2021·浙江·杭州市十三中教育集團(總校)九年級開學考試)我們把有一組對角都是直角的四邊形，叫做“對直四邊形”．例如圖1，四邊形中，，那么四邊形就是對直四邊形．(1)在已經(jīng)學過的“①平行四邊形；②菱形；③矩形；④正方形”中，一定是對直四邊形是；(填序號)(2)如圖2，四邊形是對直四邊形，若，，，，，求四邊形的面積；(3)如圖3，在正方形中，點，，分別從點，，同時出發(fā)，并分別以每秒1，1，2個單位長度的速度，分別沿正方形的邊，，方向運動(保持，再分別過點，作，的垂線交于點，連結(jié)，．求證：四邊形為對直四邊形．12．(2021·山東濟南·三模)如圖(1)，P為ABC所在平面上一點，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點P叫做ABC的費馬點．(1)若點P是等邊三角形三條中線的交點，點P(填是或不是)該三角形的費馬點．(2)如果點P為銳角ABC的費馬點，且∠ABC＝60°．求證：ABP∽BCP；(3)已知銳角ABC，分別以AB、AC為邊向外作正ABE和正ACD，CE和BD相交于P點．如圖(2)①求∠CPD的度數(shù)；②求證：P點為ABC的費馬點．13．(2021·江蘇·揚州中學教育集團樹人學校一模)定義：有一組對角互余的四邊形叫做對余四邊形．(1)若四邊形ABCD是對余四邊形，則∠A與∠C的度數(shù)之和為；(2)如圖1，MN是⊙O的直徑，點A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于點D．求證：四邊形ABCD是對余四邊形；探究：(3)如圖2，在對余四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，探究線段AD，CD和BD之間有有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并說明理由．14．(2021·湖南長沙·八年級期中)【閱讀理解】：有一組對角互余的四邊形稱為對余四邊形．(1)若四邊形ABCD是對余四邊形，∠A＝60°，∠B＝130°，求∠D的度數(shù)．【問題探究】：(2)在四邊形ABCD中，AB＝AC，∠BAC＝90°．①如圖1，點E為BC邊上一點，AE＝AD，若四邊形ABED為對余四邊形，求證：BE＝CD；②如圖2，若BC＝，CD＝，AD＝，試判斷四邊形ABCD是否為對余四邊形，并說明理由；③如圖2，若四邊形ABCD是對余四邊形，當BD＝6，AD＝4時，求CD的長．15．(2021·福建·廈門市松柏中學八年級期中)定義：如圖，，，，四點分別在四邊形的四條邊上，若四邊形為菱形，我們稱菱形為四邊形的內(nèi)接菱形．(1)如圖，矩形，，點在線段上且，四邊形是矩形的內(nèi)接菱形，求的長度；(2)如圖，平行四邊形，，，點在線段上且，請你在圖中畫出平行四邊形的內(nèi)接菱形，點在邊上；(尺規(guī)作圖，保留痕跡)當最短時，請求出的長．備戰(zhàn)2024年中考復習重難點與壓軸題型專項突圍訓練專題11新定義型幾何圖形問題【典型例題】1．(2021·甘肅張家川·九年級階段練習)定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形．根據(jù)以上定義，解決下列問題：(1)如圖1，正方形ABCD中E是CD上的點，將△BCE繞B點旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時點E的對應(yīng)點F在DA的延長線上，則四邊形BEDF填(“是”或“不是”)“直等補”四邊形；(2)如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補”四邊形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，過點B作BE⊥AD于E．①過C作CF⊥BF于點F，試證明：BE＝DE，并求BE的長；②若M是AD邊上的動點，求△BCM周長的最小值．【答案】(1)是；(2)①證明見解析；BE=4；②【解析】【分析】(1)根據(jù)“直等補”四邊形的定義進行逐項證明即可得出結(jié)論；(2)①結(jié)合“直等補”四邊形的定義可推出四邊形DCFE為矩形，從而證明△AEB≌△BFC即可得出結(jié)論；②將C點沿AD對稱至P點，結(jié)合最短路徑問題求解即可．【詳解】(1)∵△BCE繞B點旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，∴旋轉(zhuǎn)角為90°，即：∠FBE=90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：BF=BE，∠F=∠BEC，∴∠F+∠BED=∠BEC+∠BED=180°，∴四邊形BEDF滿足“直等補”四邊形的定義，故答案為：是；(2)①根據(jù)“直等補”四邊形的定義，AB=AC，∴∠ABC=∠D=90°，∵BE⊥AD，CF⊥BE，∴四邊形DCFE為矩形，DE=CF，∵∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠FBC=90°，∴∠A=∠FBC，在△AEB與△BFC中，∴△AEB≌△BFC(AAS)，∴BE=CF，∴BE=DE；設(shè)BE=CF=x，則BF=BE-FE=BE-CD=x-1，在Rt△BCF中，即：，解得：，(舍去)，∴BE=4；②如圖所示，將C點沿AD對稱至P點，連接PD，BP，此時，與AD交于M點，即為所求使得△BMC周長最小的點，BP=BM+MC，此時作QP⊥PD于P點，交BE延長線于Q點，則四邊形QEDP為矩形，△QBP為直角三角形，由①可知，BE=DE=4，且PD=CD=QE=1，∴QB=BE+QE=5，QP=DE=4，∴，即：BM+MC的最小值為，∴△BCM周長的最小值為BM+MC+BC=．【點睛】本題考查新定義問題，綜合了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及最短路徑問題等，理解材料給出的定義，將新定義轉(zhuǎn)化為學過的知識點進行證明和計算是解題關(guān)鍵．【專題訓練】解答題1．(2021·浙江省寧波市實驗學校九年級期中)給出定義：有兩個內(nèi)角分別是它們對角的兩倍的四邊形叫做倍對角四邊形．(1)如圖1，在倍對角四邊形ABCD中，∠D＝2∠B，∠A＝2∠C，求∠B與∠C的度數(shù)之和；(2)如圖2，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，若邊AB上存在一點D，使得BD＝BO，∠OBA的平分線交OA于點E，連結(jié)DE并延長交AC于點F，∠AFE＝2∠EAF．求證：四邊形DBCF是倍對角四邊形；(3)如圖3，在(2)的條件下，過點D作DG⊥OB于點H，交BC于點G．當4DH＝3BG時，求△BGH與△ABC的面積之比．【答案】(1)120°；(2)見解析；(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，即可得出答案；(2)利用SAS證明△BED≌△BEO，得∠BDE＝∠BEO，連接OC，設(shè)∠EAF＝α，則∠AFE＝2α，則∠EFC＝180°?∠AFE＝180°?2α，可證∠EFC＝∠AOC＝2∠ABC即可；(3)過點O作OM⊥BC于M，由(1)知∠BAC＝60°，再證明△DBG∽△CBA，得，再根據(jù)4DH＝3BG，BG＝2HG，得DG＝GH，則＝，從而解決問題．【詳解】(1)解：在倍對角四邊形ABCD中，∠D＝2∠B，∠A＝2∠C，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴3∠B+∠3∠C＝360°，∴∠B+∠C＝120°，∴∠B與∠C的度數(shù)之和為120°；(2)證明：在△BED與△BEO中，，∴△BED≌△BEO(SAS)，∴∠BDE＝∠BEO，∵∠BOE＝2∠BCF，∴∠BDE＝2∠BCF連接OC，設(shè)∠EAF＝α，則∠AFE＝2α，∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣2α，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝α，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝180°﹣2α，∴∠EFC＝∠AOC＝2∠ABC，∴四邊形DBCF是倍對角四邊形；(3)解：過點O作OM⊥BC于M，∵四邊形DBCF是倍對角四邊形，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴BC＝2BM＝BO＝BD，∵DG⊥OB，∴∠HGB＝∠BAC＝60°，∵∠DBG＝∠CBA，∴△DBG∽△CBA，∴＝，∵4DH＝3BG，BG＝2HG，∴DG＝GH，∴＝，∵∴＝．【點睛】本題是新定義題，主要考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，讀懂題意，利用前面探索的結(jié)論解決新的問題是解題的關(guān)鍵．2．(2021·湖北黃岡·八年級期末)我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中所得的四邊形叫中點四邊形．(1)如圖1，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，中點四邊形EFGH是．(2)如圖2，點P是四邊形ABCD內(nèi)一點，且滿足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點．猜想中點四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想．(3)若改變(2)中的條件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他條件不變，直接寫出中點四邊形EFGH的形狀(不必證明)．【答案】(1)平行四邊形；(2)菱形，見解析；(3)正方形【解析】【分析】(1)連接BD，根據(jù)三角形中位線定理證明EH∥FG，EH=FG，根據(jù)平行四邊形的判定定理證明即可；(2)證明△APC≌△BPD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=BD，再證明EF=FG，根據(jù)菱形的判定定理證明結(jié)論；(3)證明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得到∠ACP=∠BDP，即可證明∠COD=∠CPD=90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠EHG=90°，根據(jù)正方形的判定定理證明即可．【詳解】解：(1)如圖1，連接BD，∵點E，H分別為邊AB，DA的中點，∴EH∥BD，EH=BD，∵點F，G分別為邊BC，CD的中點，∴FG∥BD，F(xiàn)G=BD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中點四邊形EFGH是平行四邊形，故答案為：平行四邊形；(2)結(jié)論：四邊形EFGH是菱形，理由：如圖2，連接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD(SAS)，∴AC=BD，∵點E，F(xiàn)，G分別為邊AB，BC，CD的中點，∴EF=AC，F(xiàn)G=BD，∴EF=FG，由(1)知中點四邊形EFGH是平行四邊形，∴平行四邊形EFGH是菱形；(3)結(jié)論：四邊形EFGH是正方形，理由：如圖2，設(shè)AC與BD交于點O．AC與PD交于點M，∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠DOC=90°，由(2)知中點四邊形EFGH是菱形，∴菱形EFGH是正方形．【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形中位線定理，學會添加常用輔助線．3．(2021·江蘇·徐州市樹人初級中學八年級階段練習)定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“朋友三角形”．性質(zhì)：“朋友三角形”的面積相等．如圖1，在△ABC中，CD是AB邊上的中線．那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”，并且S△ACD=S△BCD應(yīng)用：如圖2，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=AD=4，BC=6，點E在BC上，點F在AD上，BE=AF，AE與BF交于點O．(1)求證：△AOB和△AOF是“朋友三角形”；(2)連接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四邊形CDOE的面積．【答案】(1)見解析；(2)12【解析】【分析】(1)由AAS證明△AOF≌△EOB，得出OF=OB，AO是△ABF的中線，即可得出結(jié)論；(2)△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中點，則可以求得△ABE和梯形ABCD的面積，根據(jù)S四邊形CDOE=S梯形ABCD-2S△ABF即可求解．【詳解】(1)證明：∵AD∥BC，∴∠OAF=∠OEB，在△AOF和△EOB中，∴△AOF≌△EOB(AAS)，∴OF=OB，則AO是△ABF的中線．∴△AOB和△AOF是“朋友三角形”；(2)解：∵△AOF和△DOF是“朋友三角形”，∴S△AOF=S△DOF，∴AF=DF=2，∵△AOF≌△EOB，∴S△AOF=S△EOB，∵△AOB和△AOF是“朋友三角形”∴S△AOB=S△AOF，∴S△AOF=S△DOF=S△AOB=S△EOB∵S△FAB∴四邊形CDOE的面積=S梯形ABCD-2S△ABF【點睛】此題主要考查了新定義型問題，涉及梯形的性質(zhì)，三角形的面積，解這個題的關(guān)鍵是能根據(jù)已知題意和所學的定理進行推理．4．(2021·浙江鄞州·一模)我們把三角形的一條高線關(guān)于與其共頂點的內(nèi)角平分線的對稱線段所在直線叫做該三角形的倍角高線．(1)如圖1，，分別為的高線和角平分線，若為的倍角高線．①根據(jù)定義可得______，______(填寫圖中某個角)；②若，求證：為等腰三角形．(2)如圖2，在鈍角中，為鈍角，，若，分別為的高線和角平分線，倍角高線交直線于點，若，，求線段的長．(3)在中，若，，倍角高線交直線于點，當為等腰三角形，且時，求線段的長．【答案】(1)①，；②見解析；(2)；(3)BC為，，【解析】【分析】(1)①根據(jù)“三角形的倍角高線”的概念填空；②欲證明△ABE為等腰三角形，只需推知∠B=∠BAE即可；(2)如圖2，過點E作EG⊥AB交AB的延長線于點G，由(1)易得∠CAD=∠EAG，∠BAD=∠EBG=45°，令EG=x．根據(jù)tan∠ACD=3，易得BG=x，AG=3x，故AE=x，結(jié)合BE=x=2，故AE=2．(3)需要分類討論：情況一：∠BAC=90°；情況二：180°＞∠BAC＞90°；情況三：0＜∠BAC＜90°，根據(jù)“三角形的倍角高線”的概念、勾股定理，借助于方程進行解答．【詳解】(1)①根據(jù)題意可得：，；②，，，即．又平分，，，即，，即為等腰三角形．(2)過點作交的延長線于點，由(1)易得，令，易得，，又，．(3)情況一：，，為三角形的倍角高線，作，可得，，，情況二：，作，為的倍角高線，，，過作的垂線交的延長線于點，設(shè)，則，得：，情況三：，，作，為的倍角高線，，，設(shè)，，，得：，；綜上所述：為：BC為，，【點睛】考查了幾何變換綜合題，需要掌握“三角形的倍角高線”的概念，勾股定理，等式的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用等知識點，注意題中輔助線的作法是解題的難點．另外解答(3)題時，一定要分類討論，以防漏解或錯解．5．(2021·全國·九年級期末)類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．(1)如圖1，在四邊形中，平分，，請說明四邊形是“等鄰邊四邊形”；(2)如圖2，在中，，，，并將沿的平分線方向平移得到，連接，，要使平移后的四邊形是“等鄰邊四邊形”，應(yīng)平移多少距離？(即線段的長)？請直接寫出平移的距離；(3)如圖3，“等鄰邊四邊形”中，，，，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系(用含的等式表示)．【答案】(1)見解析；(2)2或或；(3)【解析】【分析】(1)如圖1中，作DF⊥BC于F，DE⊥BA交BA的延長線于E．證明△DEA≌△DFC(ASA)即可解決問題．(2)按鄰邊相等分四種情況分類討論，計算BB′．(3)通過旋轉(zhuǎn)相似把、、移到一個直角三角形，即可解決問題．【詳解】(1)如圖1中，作DF⊥BC于F，DE⊥BA交BA的延長線于E．∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE=DF，∠BED=∠BFD=90°，∵∠BAD+∠C=180°，∴∴△DEA≌△DFC(ASA)，∴DA=DC，∴四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”．(2)由平移可知：A′B′∥AB，且A′B′=AB，∴四邊形B′BAA′是平行四邊形．∴BB′=AA′當AB=AA′=2時，此時BB′=2；當A′C′=AA′=AC=時，BB′=；當A′C′=C′B=AC=時，延長A′B′交BC延長線于D．過C′作C′E⊥BC于E，設(shè)BD=x由于BC∥B′C′，∠ABC=90°∴∠A′DB=90°，△B′DB是直角三角形．∴四邊形B′DEC′為矩形∴C′E=B′D，B′C′=ED，又∵BB′是∠ABC的角平分線，∴∠B′BD=∠BB′D=45°，∴B′D=BD=x．∴C′E=CE=BD=x∴在Rt△BC′E中∴解得，而＞∴∴．當AB=C′B時Rt△ABC沿∠ABC的平分線BB′方向平移得到Rt△A′B′C′，∴∠C′B′B=180°-∠DB′B=135°，在鈍角△C′B′B中，∵C′B＞C′B′=4，AB=2，∴C′B＞C′B′＞AB．即C′B不可能等于AB．綜上所述：BB′=2或或時，四邊形A′BCC′是“等鄰邊四邊形”．故答案為2或或．(3)在CD右邊取一點E，使,，連AE、DE、CE，∴∴，∵∴CD=DE∵∴∴∴，∵∴∵∴即∴∴即．【點睛】本題是新定義類探究題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平移變換，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識．解決本題需利用新定義，逐一討論，解題中利用平移的性質(zhì)并構(gòu)造直角三角形是關(guān)鍵，學會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．6．(2021·吉林伊通·八年級期末)類比平行四邊形，我們學習箏形定義：兩組臨邊分別相等的四邊形叫做箏形，如圖①，若AD＝CD，AB＝CB，則四邊形ABCD是箏形．(1)在同一平面內(nèi)，△ABC與△ADE按如圖②所示放置，其中∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，BC與DE相交于點F．請你判斷四邊形ABFD是不是箏形，說明理由；(2)請你結(jié)合圖形①，寫出一個箏形的判斷方法；(定義除外)(3)如圖③，△OGH為等邊三角形，點G的坐標為(﹣1，0)，點P為直線y＝﹣x上的一點．在第四象限內(nèi)是否存在點P，使得以O(shè)、G、H、P為頂點的四邊形為箏形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)是，理由見解析；(2)①有一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形；②有一條對角線平分一組對角的四邊形是箏形；③如果AD＝CD，AC⊥BD，那么四邊形ABCD是箏形；④如果AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，那么四邊形ABCD為箏形；(3)存在，P(，﹣)【解析】【分析】(1)連接AF，證明Rt△ADF≌Rt△ABF(HL)即可；(2)答案不唯一，參考寫出一個即可：①有一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形；②有一條對角線平分一組對角的四邊形是箏形；③如果AD＝CD，AC⊥BD，那么四邊形ABCD是箏形；④如果AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，那么四邊形ABCD為箏形；(3)連接HP交x軸于M，設(shè)P(t，﹣t)，則有M是OG的中點，則有OM＝MG，由已知可得GO＝﹣1，則M(，0)，即可求P(，﹣)．【詳解】解：(1)四邊形ABFD是箏形，理由如下：連接AF，如圖②，在Rt△ADF和Rt△ABF中，∴Rt△ADF≌Rt△ABF(HL)，∴DF＝BF，∴四邊形ABFD是箏形；(2)①有一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形；②有一條對角線平分一組對角的四邊形是箏形；③如果AD＝CD，AC⊥BD，那么四邊形ABCD是箏形；④如果AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，那么四邊形ABCD為箏形；

(3)存在，理由：∵△OGH為等邊三角形，∴OH＝HG，∵四邊形OHGP為箏形，∴OP＝PG，連接HP交x軸于M，如圖③，則M是OG的中點，∴OM＝MG，∵P點在直線y＝﹣x上，設(shè)P(t，﹣t)，∵G(﹣1，0)，∴GO＝﹣1，∴M(，0)，∴P(，﹣)．【點睛】本題考查了箏形的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，以及正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用三角形全等、等邊三角形的性質(zhì)綜合解題是關(guān)鍵．7．(2021·陜西·高新一中七年級期末)問題提出：(1)我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形，如圖，中，，，為上一點，當______時，與是偏等積三角形；問題探究：(2)如圖，與是偏等積三角形，，，且線段的長度為正整數(shù)，過點作交的延長線于點，求的長度；問題解決：(3)如圖，四邊形是一片綠色花園，、是等腰直角三角形，．①與是偏等積三角形嗎？請說明理由；②已知，的面積為．如圖，計劃修建一條經(jīng)過點的筆直的小路，在邊上，的延長線經(jīng)過中點．若小路每米造價600元，請計算修建小路的總造價．【答案】(1)；(2)6；(3)①是偏等積三角形，理由見解析；②42000元【解析】【分析】(1)當時，則，證，再證與不全等，即可得出結(jié)論；(2)由偏等積三角形的定義得，則，再證，則，，得，然后由三角形的三邊關(guān)系求解即可；(3)①過作于，過作于，證，得，則，再證與不全等，即可得出結(jié)論；②過點作，交的延長線于，證得，得到，再證，得，由余角的性質(zhì)可證，然后由三角形面積和偏等積三角形的定義得，，求出，即可求解．【詳解】解：(1)當時，與是偏等積三角形，理由如下：設(shè)點到的距離為，則，，，，，，，，與不全等，與是偏等積三角形，故答案為：；(2)設(shè)點到的距離為，則，，與是偏等積三角形，，，，，，在和中，，，，，，線段的長度為正整數(shù)，的長度為偶數(shù)，在中，，，，即：，；(3)①與是偏等積三角形，理由如下：過作于，過作于，如圖3所示：則，、是等腰直角三角形，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，與不全等，與是偏等積三角形；②如圖4，過點作，交的延長線于，則，點為的中點，，在和中，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，．由①得：與是偏等積三角形，，，，修建小路的總造價為：(元)．【點睛】本題考查了新定義“偏等積三角形”的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形面積等知識；本題綜合性強，熟練掌握“偏等積三角形”的定義，證明△ACM≌△BCN和△ACN≌△CBE是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．8．(2021·陜西·高新一中八年級期末)定義：有一組對邊相等且這一組對邊所在直線互相垂直的凸四邊形叫做“等垂四邊形”．【提出問題】(1)如圖①，四邊形與四邊形都是正方形，，求證：四邊形是“等垂四邊形”；【類比探究】(2)如圖②，四邊形是“等垂四邊形”，，連接，點，，分別是，，的中點，連接，，．試判定的形狀，并證明；【綜合運用】(3)如圖③，四邊形是“等垂四邊形”，，，則邊長的最小值為________．【答案】(1)見解析；(2)△EFG是等腰直角三角形，理由見解析(3)【解析】【分析】(1)延長，交于點，先證，得，．結(jié)合，知，即可得．從而得證；(2)延長，交于點，由四邊形是“等垂四邊形”，知，，從而得，根據(jù)三個中點知，，，，，據(jù)此得，，．由可得答案；(3)延長，交于點，分別取，的中點，．連接，，，由及．可得答案．【詳解】解：(1)如圖①，延長，交于點，四邊形與四邊形都為正方形，，，．．．，．，，即，．．又，四邊形是“等垂四邊形”．(2)是等腰直角三角形．理由如下：如圖②，延長，交于點，四邊形是“等垂四邊形”，，，，點，，分別是，，的中點，，，，，，，．．是等腰直角三角形．(3)延長，交于點，分別取，的中點，．連接，，，則，由(2)可知．最小值為，故答案為：．【點睛】本題是四邊形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點．9．(2021·江蘇·高港實驗學校八年級階段練習)如圖1，在四邊形中，如果對角線和相交并且相等，那么我們把這樣的四邊形稱為等角線四邊形．(1)①在“平行四邊形、矩形、菱形”中，______一定是等角線四邊形(填寫圖形名稱)；②若、、、分別是等角線四邊形四邊、、、的中點，當對角線、還要滿足______時，四邊形是正方形．(2)如圖2，已知在中，，，，為平面內(nèi)一點．①若四邊形是等角線四邊形，且，求符合條件的等角線四邊形的面積．②設(shè)點是所在平面上的任意一點且，若四邊形是等角線四邊形，求出四邊形面積的最大值，并說明理由．【答案】(1)①矩形；②；(2)①；②18，理由見解析【解析】【分析】(1)①在“平行四邊形、矩形、菱形”中，只有矩形的對角線相等，所以矩形是等角線四邊形；②當時，四邊形是正方形，首先證明四邊形是菱形，再證明有一個角是直角即可；(2)①如圖2中，作于．根據(jù)計算，求出相關(guān)線段即可；②如圖3中，設(shè)與相交于點，連接，只要證明當且、、共線時，四邊形的面積最大即可．【詳解】解：(1)①在“平行四邊形、矩形、菱形”中，矩形的對角線相等，矩形一定是等角線四邊形，故答案為：矩形；②當時，四邊形是正方形．理由：如圖1，、、、分別是等角線四邊形四邊、、、的中點，，，，，，，四邊形是菱形，，，，，四邊形是正方形．故答案為：；(2)①如圖2，作于．在中，，，，，，，，四邊形是等角線四邊形，，在中，，．四邊形的面積為；②如圖3中，設(shè)與相交于點，連接，作于，于．則，，四邊形是等角線四邊形，，，即，當、重合時，即時，等號成立，，，即線段最大時，四邊形的面積最大，，，，的最大值為6，當、、共線時，取等號，四邊形的面積的最大值為．故答案為：18．【點睛】本題考查四邊形綜合題、中點四邊形、三角形中位線定理、正方形的判定和性質(zhì)、圓等知識，解題的關(guān)鍵是理解等角線四邊形的定義，學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題．10．(2021·湖北黃梅·八年級期末)我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中所得的四邊形叫中點四邊形．(1)如圖1，在四邊形中，點，，，分別為邊，，，的中點，中點四邊形是_______________．(2)如圖2，點P是四邊形內(nèi)一點，且滿足，，，點，，，分別為邊，，，的中點．猜想中點四邊形的形狀，并證明你的猜想．(3)若改變(2)中的條件，使，其他條件不變，直接寫出中點四邊形EFGH的形狀(不必證明)．【答案】(1)平行四邊形；(2)四邊形是菱形，證明見解析；(3)四邊形是正方形．【解析】【分析】(1)如圖1中，連接BD，根據(jù)三角形中位線定理可得：EH∥FG，，然后利用平行四邊形的判定定理即可證明；(2)四邊形EFGH是菱形．先證明，得到，再利用三角形中位線定理可得，根據(jù)菱形的判定定理即可證明；(3)四邊形EFGH是正方形，只要證明，利用，得，即可證明，然后根據(jù)正方形的判定定理即可得出結(jié)論．【詳解】(1)證明：如圖1中，連接BD，∵點E，H分別為邊AB，DA的中點，∴EH∥BD，，∵點F，G分別為邊BC，CD的中點，∴FG∥BD，，∴EH∥FG，，∴四邊形EFGH是平行四邊形；(2)解：如圖2中，連接，，∵，∴即，在和中，，∴，∴∵點，，分別為邊，，的中點，∴，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形；(3)四邊形EFGH是正方形，證明：如圖2中，設(shè)AC與BD交于點O，AC與PD交于點M，AC與EH交于點N．∵，∴，∵，∴，∵EH∥BD，AC∥HG，∴，∵四邊形是菱形，∴四邊形EFGH是正方形．【點睛】題目主要考查平行四邊形、菱形、正方形的判定定理及三角形的中位線的性質(zhì)，熟練掌握知識點并作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．11．(2021·浙江·杭州市十三中教育集團(總校)九年級開學考試)我們把有一組對角都是直角的四邊形，叫做“對直四邊形”．例如圖1，四邊形中，，那么四邊形就是對直四邊形．(1)在已經(jīng)學過的“①平行四邊形；②菱形；③矩形；④正方形”中，一定是對直四邊形是；(填序號)(2)如圖2，四邊形是對直四邊形，若，，，，，求四邊形的面積；(3)如圖3，在正方形中，點，，分別從點，，同時出發(fā)，并分別以每秒1，1，2個單位長度的速度，分別沿正方形的邊，，方向運動(保持，再分別過點，作，的垂線交于點，連結(jié)，．求證：四邊形為對直四邊形．【答案】(1)③④；(2)；(3)見解析．【解析】【分析】(1)根據(jù)平行四邊形，菱形，正方形和矩形的性質(zhì)進行逐一判斷即可；(2)連接，根據(jù)對直四邊形的定義得到，則由勾股定理得到即，由此進行求解即可；(3)延長交于點，先證明四邊形是正方形，得到，則可以證明四邊形是矩形，得到，然后證，得到，即可推出，由此證明即可．【詳解】(1)解：矩形的四個角都是直角，矩形符合“對直四邊形”的定義，矩形是“對直四邊形”；正方形的四個角都是直角，正方形符合“對直四邊形”的定義，正方形是“對直四邊形”；平行四邊形和菱形的對角不一定是直角，平行四邊形和菱形不符合“對直四邊形”的定義，平行四邊形和菱形不一定是“對直四邊形”．故答案為：③④．(2)解：如圖2，連接，四邊形是對直四邊形，且，．，，整理得，解得或舍棄)，，，，．(3)證明：如圖3，延長交于點．由題意得．四邊形是正方形，；，，，四邊形是正方形，，，四邊形是矩形，，；，，；，，，，，，四邊形為對直四邊形．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)鍵在于能夠準確讀懂題意了解對直四邊形的定義．12．(2021·山東濟南·三模)如圖(1)，P為ABC所在平面上一點，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點P叫做ABC的費馬點．(1)若點P是等邊三角形三條中線的交點，點P(填是或不是)該三角形的費馬點．(2)如果點P為銳角ABC的費馬點，且∠ABC＝60°．求證：ABP∽BCP；(3)已知銳角ABC，分別以AB、AC為邊向外作正ABE和正ACD，CE和BD相交于P點．如圖(2)①求∠CPD的度數(shù)；②求證：P點為ABC的費馬點．【答案】(1)是；(2)見解析；(3)①60°，②見解析【解析】【分析】(1)由等邊三角形的性質(zhì)證明可得同法可得：從而可得結(jié)論；(2)由為銳角ABC的費馬點，且∠ABC＝60°，證明∠PAB＝∠PBC，∠APB＝∠BPC＝120°，從而可得△ABP∽△BCP；(3)①如圖2所示：由△ABE與△ACD都為等邊三角形，證明△ACE≌△ADB(SAS)，利用全等三角形的性質(zhì)可得∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；②先證明△ADF∽△PCF，可得再證明△AFP∽△DFC．可得∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，再證明∠BPC＝120°，從而可得結(jié)論．【詳解】解：(1)如圖1所示：∵AB＝BC，BM是AC的中線，∴MB平分∠ABC．同理：AN平分∠BAC，PC平分∠BCA．∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABP＝30°，∠BAP＝30°．∴∠APB＝120°．同理：∠APC＝120°，∠BPC＝120°．∴P是△ABC的費馬點．故答案為：是．(2)為銳角ABC的費馬點，且∠ABC＝60°．∠APB＝∠BPC＝120°，∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，∴∠PAB＝∠PBC，∴△ABP∽△BCP．(3)如圖2所示：①∵△ABE與△ACD都為等邊三角形，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△ACE和△ABD中，∴△ACE≌△ADB(SAS)，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠4，∴∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；②證明：△ADF∽△PCF，∵∠AFP＝∠CFD，∴△AFP∽△DFC．∴∠APF＝∠ACD＝60°，∴∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，∴∠BPC＝120°，∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝120°，∴P點為△ABC的費馬點．【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，確定圖中隱含的全等三角形與相似三角形是解題的關(guān)鍵．13．(2021·江蘇·揚州中學教育集團樹人學校一模)定義：有一組對角互余的四邊形叫做對余四邊形．(1)若四邊形ABCD是對余四邊形，則∠A與∠C的度數(shù)之和為；(2)如圖1，MN是⊙O的直徑，點A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于點D．求證：四邊形ABCD是對余四邊形；探究：(3)如圖2，在對余四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，探究線段AD，CD和BD之間有有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并說明理由．【答案】(1)：90°或270°；(2)見解析；(3)AD2+CD2=BD2．理由見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)對余四邊形的定義解得即可；(2)根據(jù)對余四邊形的定義，說明∠BAD+∠BCD=90°即可；(3)將△BCD繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAF，連接FD，利用已知條件得出∠FAD=90°，利用勾股定理可得結(jié)論．【詳解】解：(1)∵四邊形ABCD是對余四邊形，∴∠A+∠C=90°或∠B+∠D=90°．∴∠A+∠C=90°或270°．故答案為：90°或270°；(2)證明：∵MN是⊙O的直徑，點A，B，C在⊙O上，∴∠BAM+∠BCN=90°．即∠BAD+∠BCD=90°．∴四邊形ABCD是對余四邊形；(3)猜想：線段AD，CD和BD之間的數(shù)量關(guān)系為：AD2+CD2=BD2．理由如下：∵AB=BC，∴將△BCD繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAF，連接FD，如圖，則△BCD≌△BAF，∠FBD=60°，∴BF=BD，AF=CD，∠BDC=∠BFA，∴△BFD為等邊三角形，∴BF=BD=DF，∵∠ADC=30°，∴∠ADB+∠BDC=30°，∴∠BFA+∠ADB=30°，∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF=180°，∴60°+30°+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠AFD+∠ADF=90°，∴∠FAD=90°，∴AD2+AF2=DF2．∴AD2+CD2=BD2．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)．本題是閱讀型題目，正確理解與運用題目中的定義是解題的關(guān)鍵．14．(2021·湖南長沙·八年級期中)【閱讀理解】：有一組對角互余的四邊形稱為對余四邊形．(1)若四邊形ABCD是對余四邊形，∠A＝60°，∠B＝130°，求∠D的度數(shù)．【問題探究】：(2)在四邊形ABCD中，AB＝AC，∠BAC＝90°．①如圖1，點E為BC邊上一點，AE＝AD，若四邊形ABED為對余四邊形，求證：BE＝CD；②如圖2，若BC＝，CD＝，AD＝，試判斷四邊形ABCD是否為對余四邊形，并說明理由；③如圖2，若四邊形ABCD是對余四邊形，當BD＝6，AD＝4時，求CD的長．【答案】(1)；(2)①證明見解析；②是，證明見解析；③2．【解析】【分析】(1)根據(jù)對余四邊形的定義解題；(2)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B=45°，再由四邊形ABED是對余四邊形解得∠ADE=45°，繼而證明△BAE≌△CAD據(jù)此解題；②作CH⊥AD，垂足為H，則∠AHC=∠DHC=90°，由正弦的定義解得AC=2，在Rt△AHC與Rt△DHC中，設(shè)DH=x，則AH=+1-x，由勾股定理解得DH的值，最后根據(jù)及對余四邊形的定義解題即可；③過點A作AD的垂線交DC的延長線于點F，連接BF，由四邊形ABCD是對余四邊形且∠ABC=45°得到∠ADF=45°，∠AFD=45°，繼而證明△BAF≌△CAD(SAS)，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等性質(zhì)解得∠BFD=90°，最后在Rt△BFD中利用勾股定理解題即可．【詳解】解：(1)∵四邊形ABCD是對余四邊形且∠A=60°∴∠C=90°-∠A=30°∴∠D=360°-∠A-∠B-∠C=140°；(2)①∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠B=45°∵四邊形ABED是對余四邊形∴∠ADE=45°又∵AE=AD∴∠AED=45°，∠EAD=90°∵∠BAC=∠EAD=90°∴∠BAE=∠CAD

∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD

∴△BAE≌△CAD

∴BE=CD；②作CH⊥AD，垂足為H，則∠AHC=∠DHC=90°∵∠ABC=45°，BC=∴AC=BC·sin∠ABC設(shè)DH=x，則AH=+1-x在Rt△AHC與Rt△DHC中，即，求得x=1，即DH=1∵∴∠ADC=45°∴∠ABC+∠ADC=90°∴四邊形ABCD是對余四邊形；③過點A作AD的垂線交DC的延長線于點F，連接BF，∵AF⊥AD∴∠DAF=90°=∠BAC∴∠BAF=∠CAD∵四邊形ABCD是對余四邊形且∠ABC=45°∴∠ADF=45°，∠AFD=45°∴AF=AD，DF=∵AB=AC，∠BAF=∠CAD，AF=AD∴△BAF≌△CAD(SAS)∴BF=CD，∠AFB=∠ADF=45°∴∠BFD=∠AFB+∠AFD=90°Rt△BFD中BF=∴CD=2．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，涉及正弦、余弦、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點，有難度，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．15．(2021·福建·廈門市松柏中學八年級期中)定義：如圖，，，，四點分別在四邊形的四條邊上，若四邊形為菱形，我們稱菱形為四邊形的內(nèi)接菱形．(1)如圖，矩形，，點在線段上且，四邊形是矩形的內(nèi)接菱形，求的長度；(2)如圖，平行四邊形，，，點在線段上且，請你在圖中畫出平行四邊形的內(nèi)接菱形，點在邊上；(尺規(guī)作圖，保留痕跡)當最短時，請求出的長．【答案】(1)3；(2)圖見解析，【解析】【分析】(1)連接HF，證明△DHG≌△BFE(AAS)，可得CG=3；(2)作CG=BE=2，根據(jù)對角線垂直平分作內(nèi)接菱形EFGH；當F與C重合，則A與H重合時，此時BF的長最小，就是BC的長，根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)和勾股定理計算可得結(jié)論．【詳解】(1)如圖，連接HF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，AD∥BC，AB=CD=5，∴∠DHF=∠HFB，∵四邊形EFGH是菱形，∴GH=EF，GH∥EF，∴∠GHF=∠HFE，∴∠DHF-∠GHF=∠BFH-∠HFE，即∠DHG=∠BFE，∴△DHG≌△BFE(AAS)，∴DG=BE=2，∴CG=CD-DG=5-2=3；(2)①如圖所示，作法：作DG=BE，連接EG，再作EG的垂直平分線，交AD、BC于H、F，得四邊形EFGH即為所求作的內(nèi)接菱形EFGH；如圖，當F與C重合，則A與H重合時，此時最小，則BF的長最小，過E作EP⊥BC于P，Rt△BEP中，∵∠B=60°，BE=2，∴∵四邊形EFGH是菱形，∴AE=EC=3，∴∴BC=即當BF的長最短時，BC的長為【點睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查新定義-四邊形ABCD的內(nèi)接菱形，基本作圖-線段的垂直平分線，菱形，熟練掌握基本作圖及平行四邊形、菱形和矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學復習重難點與壓軸題型專項突圍訓練(全國通用版)專題12一次函數(shù)與幾何綜合問題【典型例題】1．(2022·四川成都·九年級期末)如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸，y軸正半軸上，AO＝2BO，點C(3，0)(A點在C點的左側(cè))，連接AB，過點A作AB的垂線，過點C作x軸的垂線，兩條垂線交于點D，已知△ABO≌△DAC，直線BD交x軸于點E．(1)求直線AD的解析式；(2)直線AD有一點F，設(shè)點F的橫坐標為t，若△ACF與△ADE相似，求t的值；(3)如圖2，在直線AD上找一點G，直線BD上找一點P，直線CD上找一點Q，使得四邊形AQPG是菱形，求出G點的坐標．【專題訓練】選擇題1．(2022·山東龍口·七年級期末)對于函數(shù)y=-3x+1，下列結(jié)論正確的是(

)A．它的圖象必經(jīng)過點(1，3) B．y的值隨x值的增大而增大C．當x＞0時，y＜0 D．它的圖象與x軸的交點坐標為(，0)2．(2022·江蘇溧陽·八年級期末)如圖，直線與x軸、y軸交于A、B兩點，在y軸上有一點C(0，4)，動點M從A點發(fā)以每秒1個單位的速度沿x軸向左移動．當動到△COM與△AOB全等時，移的時間t是(

)A．2 B．4 C．2或4 D．2或63．(2022·陜西·輞川鄉(xiāng)初級中學八年級期末)數(shù)學課上，老師提出問題：“一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(3，2)，B(-1，-6)，由此可求得哪些結(jié)論？”小明思考后求得下列4個結(jié)論：①該函數(shù)表達式為y=2x-4；②該一次函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的增大而增大：③點P(2a，4a-4)在該函數(shù)圖象上；

④直線AB與坐標軸圍成的三角形的面積為8．其中錯誤的結(jié)論是()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．(2022·江蘇啟東·八年級期末)如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，點A，C，E的坐標分別為(0，4)，(8，0)，(8，2)，點P，Q是OC邊上的兩個動點，且PQ＝2，要使四邊形APQE的周長最小，則點P的坐標為(

)A．(2，0) B．(3，0) C．(4，0) D．(5，0)二、填空題5．(2022·江蘇濱湖·八年級期末)如圖，直線y＝﹣x+8與坐標軸分別交于A、B兩點，P是AB的中點，則OP的長為_____．6．(2021·山東濟陽·八年級期中)如圖，一次函數(shù)y＝x＋2的圖像與坐標軸分別交于A，B兩點，點P，C分別是線段AB，OB上的點，且∠OPC＝45°，PC＝PO，則點P的坐標為______．7．(2021·湖北陽新·模擬預(yù)測)如圖，直線AB的解析式為y＝﹣x+b分別與x，y軸交于A，B兩點，點A的坐標為(3，0)，過點B的直線交x軸負半軸于點C，且，在x軸上方存在點D，使以點A，B，D為頂點的三角形與△ABC全等，則點D的坐標為_____．8．(2022·山東龍口·七年級期末)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如圖所示放置，點A1，A2，A3，和點C1，C2，C3，…，分別在直線y＝kx+b(k＞0)和x軸上，已知點B1，B2，B3，B4的坐標分別為(1，1)，(3，2)，(7，4)，(15，8)，則Bn的坐標為_____三、解答題9．(2022·江蘇海州·八年級期末)已知直線l1經(jīng)過點A(3，2)和點B(0，5)，直線l2：y＝2x﹣4經(jīng)過點A且與y軸相交于點C．(1)求直線l1的函數(shù)表達式；(2)已知點M在直線l1上，過點M作MN//y軸，交直線l2于點N．若MN＝6，請求出點M的橫坐標．10．(2022·廣西·桂林市雁山中學九年級期末)如圖，已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸，y軸分別相交于A，B兩點，且與反比例函數(shù)y＝在第一象限的圖象交于點C，CD垂直于x軸，垂足為D．如果OA＝OB＝OD＝1，求：(1)點A、B、C的坐標；(2)這個反比例函數(shù)的表達式；(3)這個一次函數(shù)的表達式．11．(2022·江蘇溧陽·八年級期末)如圖，在平面直角坐標系中長方形AOBC的頂點A、B坐標分別為(0，8)、(10，0)，點D是BC上一點，將△ACD沿直線AD翻折，使得點C落在OB上的點E處，點F是直線AD與x軸的交點，連接CF．(1)點C坐標為____________；(2)求直線AD的函數(shù)表達式_______________________；(3)點P是直線AD上的一點，當△CFP是直角三角形時，請你直接寫出點P的坐標．12．(2021·遼寧沈陽·模擬預(yù)測)如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交，軸于、兩點，將沿直線折疊，使點落在點處．(1)求點A和點B的坐標；(2)求OC的長；(3)若點D沿射線BA運動，連接OD，當△CDB與△CDO面積相等時請直接寫出直線的函數(shù)表達式．13．(2022·福建寧德·八年級期末)如圖，已知直線經(jīng)過點，與x軸交于點B，點C在x軸上，且，直線與y軸交于點D．(1)求點A，B的坐標；(2)求直線的表達式；(3)若點P是線段上的一點，求與面積之差的最大值．14．(2022·廣東紫金·九年級期末)如圖1，在平面直角坐標系中，已知直線l：y＝kx+b與x軸交于點A，與y軸交于點B，與直線CD相交于點D，其中AC＝14，C(﹣6，0)，D(2，8)．(1)求直線l的函數(shù)解析式；(2)如圖2，點P為線段CD延長線上的一點，連接PB，當△PBD的面積為7時，將線段BP沿著y軸方向平移，使得點P落在直線AB上的P'處，求點P′到直線CD的距離；(3)若點E為直線CD上的一點，則在平面直角坐標系中是否存在點F，使以點A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為菱形？若存在，求出所有滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．15．(2022·浙江·九年級專題練習)如圖，在平面直角坐標系中，過點B(﹣6，0)的直線AB與直線OA相交于點A(﹣4，2)，動點N沿路線O→A→C運動．(1)求直線AB的解析式；(2)求OAC的面積；(3)當ONC的面積是OAC面積的時，求出這時點N的坐標．16．(2022·浙江·九年級專題練習)如圖，直線l1的函數(shù)表達式為y＝x+2，且l1與x軸交于點A，直線l2經(jīng)過定點B(4，0)，C(﹣1，5)，直線l1與l2交于點D．(1)求直線l2的函數(shù)表達式；(2)求△ADB的面積；(3)在x軸上是否存在一點E，使△CDE的周長最短？若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．17．(2022·江蘇宜興·八年級期末)已知：如圖，一次函數(shù)的圖像分別與x軸、y軸相交于點A、B，且與經(jīng)過x軸負半軸上的點C的一次函數(shù)y＝kx＋b的圖像相交于點D，直線CD與y軸相交于點E，E與B關(guān)于x軸對稱，OA＝3OC．(1)直線CD的函數(shù)表達式為______；點D的坐標______；(直接寫出結(jié)果)(2)點P為線段DE上的一個動點，連接BP．①若直線BP將△ACD的面積分為兩部分，試求點P的坐標；②點P是否存在某個位置，將△BPD沿著直線BP翻折，使得點D恰好落在直線AB上方的坐標軸上？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．18．(2022·遼寧龍港·八年級期末)如圖1，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為(4，0)，(0，4)，P為線段AB上的一點．(1)如圖1，若S△AOP＝6，求點P的坐標．(2)如圖2，若P為AB的中點，點M，N分別是OA，OB邊上的動點，點M從頂點A出發(fā)向點O運動，點N從頂點O同時出發(fā)向點B運動，且它們的速度都為1單位長度/秒，在點M，N運動的過程中，探究線段PM，PN之間的關(guān)系并證明．(3)如圖3，若P為線段AB上異于A，B的任意一點，過點B作BD⊥OP，分別交OP、OA于F，D兩點，E為OA上一點，且∠PEA＝∠BDO，探究線段OD與AE的關(guān)系并說明理由．19．(2022·四川簡陽·八年級期末)如圖，已知直線y=x-2分別與x軸，y軸交于A，B兩點，直線OG：y=kx(k＜0)交AB于點D．(1)求A，B兩點的坐標；(2)如圖1，點E是線段OB的中點，連接AE，點F是射線OG上一點，當OG⊥AE，且OF=AE時，①求EF的長；②在x軸上找一點P，使PE+PD的值最小，求出P點坐標．(3)如圖2，若k＝﹣，過B點BC∥OG，交x軸于點C，此時在坐標平面內(nèi)是否存在點M，使△BCM是以BC為腰的等腰直角三角形，若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學復習重難點與壓軸題型專項突圍訓練(全國通用版)專題12一次函數(shù)與幾何綜合問題【典型例題】1．(2022·四川成都·九年級期末)如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸，y軸正半軸上，AO＝2BO，點C(3，0)(A點在C點的左側(cè))，連接AB，過點A作AB的垂線，過點C作x軸的垂線，兩條垂線交于點D，已知△ABO≌△DAC，直線BD交x軸于點E．(1)求直線AD的解析式；(2)直線AD有一點F，設(shè)點F的橫坐標為t，若△ACF與△ADE相似，求t的值；(3)如圖2，在直線AD上找一點G，直線BD上找一點P，直線CD上找一點Q，使得四邊形AQPG是菱形，求出G點的坐標．【答案】(1)y＝2x﹣4(2)1或(3)G(，3﹣3)或G(，﹣3﹣3)【解析】【分析】(1)由△ABO≌△DAC，得到OC＝OA+AC＝OA+OB，再由已知求出AO＝2，OB＝1，即可得到A(2，0)，D(3，2)，用待定系數(shù)法求直線AD的解析式即可；(2)由題意可知只有△ACF∽△ADE和△ACF∽△AED兩種情況，此時F點必在x軸下方，分兩種情況求解即可；(3)設(shè)G(n，2n﹣4)，P(m，m+1)，Q(3，p)，AP、GQ為菱形對角線，AG＝AQ，列出方程組，解得n＝或n＝．(1)∵△ABO≌△DAC，∴AC＝OB，AO＝CD，∵C(3，0)，∴OC＝3，∵OC＝OA+AC＝OA+OB，又∵AO＝2BO，∴AO＝2，OB＝1，∴B(0，1)，A(2，0)，∴CD＝2，∴D(3，2)，設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴直線AD的解析式為y＝2x﹣4；(2)設(shè)BD的解析式為y＝ax+c，把B(0，1)，D(3，2)代入y＝ax+c，得，∴，∴BD的解析式為y＝x+1，令y=0，則x+1=0∴x=-3∴E(﹣3，0)，∴AE＝2+3=5，AD＝，ED＝2，AC＝1，∵F點在直線AD上，∴設(shè)F(t，2t﹣4)，∴AF＝|t﹣2|，∵∠DAC＝∠EDA+∠DEA，∴△ACF與△ADE相似時，只有△ACF∽△ADE和△ACF∽△AED兩種情況，此時F點必在x軸下方，∴t＜2，①當△ACF∽△ADE時，＝，∴＝，∴t＝3(舍)或t＝1；②當△ACF∽△AED時，＝，∴，∴t＝或t＝(舍)；綜上所述：t的值為1或；(3)設(shè)G(n，2n﹣4)，P(m，m+1)，Q(3，p)，∵四邊形AQPG是菱形，∴AP、GQ為菱形對角線，AG＝AQ，∴，解得n＝或n＝，∴G(，3﹣3)或G(，﹣3﹣3)．【點睛】本題是一次函數(shù)的綜合題，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，分類討論，準確地計算是解題的關(guān)鍵．【專題訓練】選擇題1．(2022·山東龍口·七年級期末)對于函數(shù)y=-3x+1，下列結(jié)論正確的是(

)A．它的圖象必經(jīng)過點(1，3) B．y的值隨x值的增大而增大C．當x＞0時，y＜0 D．它的圖象與x軸的交點坐標為(，0)【答案】D【解析】【分析】利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出一次函數(shù)y=-3x+1的圖象不經(jīng)過點(1，3)及一次函數(shù)y=-3x+1的圖象與x軸的交點坐標為(，0)；由k=-3＜0，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得出y的值隨x的增大而減??；代入x＞0可得出y＜1．【詳解】解：A．當x=1時，y=-3×1+1=-2，∴一次函數(shù)y=-3x+1的圖象不經(jīng)過點(1，3)，該選項不符合題意；B．∵k=-3＜0，∴y的值隨x的增大而減小，該選項不符合題意；C．∵當x=0時，y=-3×0+1=1，即經(jīng)過點(0，1)，且k=-3＜0，∴當x＞0時，y＜1，該選項不符合題意；D．當y=0時，-3x+1=0，解得：x=，∴一次函數(shù)y=-3x+1的圖象與x軸的交點坐標為(，0)．故選：D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及一次函數(shù)的性質(zhì)，逐一分析四個選項的正誤是解題的關(guān)鍵．2．(2022·江蘇溧陽·八年級期末)如圖，直線與x軸、y軸交于A、B兩點，在y軸上有一點C(0，4)，動點M從A點發(fā)以每秒1個單位的速度沿x軸向左移動．當動到△COM與△AOB全等時，移的時間t是(

)A．2 B．4 C．2或4 D．2或6【答案】D【解析】【分析】先求解的坐標，再利用全等三角形的性質(zhì)求解再結(jié)合軸對稱的性質(zhì)可得答案.【詳解】解：直線與x軸、y軸交于A、B兩點，令則令，則而當時，而如圖，當關(guān)于軸對稱時，此時此時故選：D【點睛】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟悉全等三角形的基本圖形是解本題的關(guān)鍵.3．(2022·陜西·輞川鄉(xiāng)初級中學八年級期末)數(shù)學課上，老師提出問題：“一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(3，2)，B(-1，-6)，由此可求得哪些結(jié)論？”小明思考后求得下列4個結(jié)論：①該函數(shù)表達式為y=2x-4；②該一次函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的增大而增大：③點P(2a，4a-4)在該函數(shù)圖象上；

④直線AB與坐標軸圍成的三角形的面積為8．其中錯誤的結(jié)論是()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【解析】【分析】已知一次函數(shù)過兩個點A(3，2)，B(-1，-6)，可以用待定系數(shù)法求出關(guān)系式；根據(jù)關(guān)系式可以判定一個點(已知坐標)是否在函數(shù)的圖象上；根據(jù)一次函數(shù)的增減性，可以判定函數(shù)值隨自變量的變化情況，當k＞0，y隨x的增大而增大；根據(jù)關(guān)系式可以求出函數(shù)圖象與x軸、y軸的交點坐標，進而可以求出直線AB與坐標軸圍成的三角形的面積，最后綜合做出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)一次函數(shù)表達式為y=kx+b，將A(3，2)，B(-1，-6)代入得：，解得：k=2，b=-4，∴關(guān)系式為y=2x-4，故結(jié)論①是正確的；由于k=2＞0，y隨x的增大而增大，故結(jié)論②也是正確的；點P(2a，4a-4)，其坐標滿足y=2x-4，因此該點在此函數(shù)圖象上；故結(jié)論③也是正確的；直線AB與xy軸的交點分別(2，0)，(0，-4)，因此與坐標軸圍成的三角形的面積為：×2×4=4≠8，故結(jié)論④是不正確的；因此，不正確的結(jié)論是④；故選：A．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象的點的坐標特征，以及依據(jù)關(guān)系式求出函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標，進而求出三角形的面積等知識點，在解題中滲透選擇題的排除法，驗證法．4．(2022·江蘇啟東·八年級期末)如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，點A，C，E的坐標分別為(0，4)，(8，0)，(8，2)，點P，Q是OC邊上的兩個動點，且PQ＝2，要使四邊形APQE的周長最小，則點P的坐標為(

)A．(2，0) B．(3，0) C．(4，0) D．(5，0)【答案】C【解析】【分析】先分析四邊形APQE的周長最小，則最小，如圖，把沿軸正方向平移2個單位長度得作關(guān)于軸的對稱點則連接交軸于則所以當重合時，最小，即最小，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解一次函數(shù)與軸的交點的坐標即可得到答案.【詳解】解：四邊形APQE的周長PQ＝2，是定值，所以四邊形APQE的周長最小，則最小，如圖，把沿軸正方向平移2個單位長度得則則作關(guān)于軸的對稱點則連接交軸于則所以當重合時，最小，即最小，設(shè)的解析式為：解得：所以的解析式為：令則則即故選C【點睛】本題考查的是利用軸對稱的性質(zhì)求解四邊形的周長的最小值時點的坐標，平移的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，掌握Q的位置使周長最小是解本題的關(guān)鍵.二、填空題5．(2022·江蘇濱湖·八年級期末)如圖，直線y＝﹣x+8與坐標軸分別交于A、B兩點，P是AB的中點，則OP的長為_____．【答案】5【解析】【分析】先求直線與兩軸的交點點A(6，0)，點B(0，8)，然后利用勾股定理求出AB，利用直角三角形斜邊中線性質(zhì)計算即可．【詳解】解：∵直線y＝﹣x+8與坐標軸分別交于A、B兩點，∴令x=0，y=8，令y=0，﹣x+8=0，解得x=6，∴點A(6，0)，點B(0，8)，∴OA=6，OB=8，在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理AB=，∵P是AB的中點，∠AOB=90°，∴OP=，故答案為：5．【點睛】本題考查一次函數(shù)與兩軸交點問題，勾股定理，直角三角形斜邊中線，掌握一次函數(shù)與兩軸交點問題，勾股定理，直角三角形斜邊中線是解題關(guān)鍵．6．(2021·山東濟陽·八年級期中)如圖，一次函數(shù)y＝x＋2的圖像與坐標軸分別交于A，B兩點，點P，C分別是線段AB，OB上的點，且∠OPC＝45°，PC＝PO，則點P的坐標為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)∠OPC＝45°，PC＝PO，證明∠BPC=∠AOP，從而證明△BPC≌△AOP，得到PB=AO=2，過點P作PD⊥y軸，求得PD，BD，DO，根據(jù)點所在象限即可確定點P的坐標．【詳解】∵一次函數(shù)y＝x＋2的圖像與坐標軸分別交于A，B兩點，∴A(-2，0)，B(0，2)，∴OA=OB，∴∠PAO=∠CBP=45°，∵∠OPC＝45°，PC＝PO，∴∠PCO=∠COP=67.5°，∴∠BPC=∠AOP=22.5°，∴△BPC≌△AOP，∴PB=AO=2，過點P作PD⊥y軸，垂注為D，則PD=BD==，∴DO=OB-BD=2-，∵點P在第二象限，∴點P(，)，故答案為：(，)．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標軸的交點，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，坐標與象限和線段之間的關(guān)系，熟練掌握一次函數(shù)與坐標軸的交點確定，靈活運用三角形全等的判定和性質(zhì)是接退的關(guān)鍵．7．(2021·湖北陽新·模擬預(yù)測)如圖，直線AB的解析式為y＝﹣x+b分別與x，y軸交于A，B兩點，點A的坐標為(3，0)，過點B的直線交x軸負半軸于點C，且，在x軸上方存在點D，使以點A，B，D為頂點的三角形與△ABC全等，則點D的坐標為_____．【答案】(4，3)或(3，4)【解析】【分析】求出的坐標，分平行軸，不平行軸兩種情況，求解計算即可．【詳解】解：將點A的坐標代入函數(shù)表達式得：0＝﹣3+b，解得：b＝3∴直線AB的表達式為：y＝﹣x+3，∴點B(0，3)∵OB：OC=3：1∴OC＝1，∴點C(﹣1，0)；①如圖，當BD平行x軸時，以點為頂點的三角形與全等，則四邊形為平行四邊形則BD＝AC＝1+3＝4，則點D(4，3)；②當BD不平行x軸時，則S△ABD＝S△ABD′，則點D、D′到AB的距離相等，∴直線DD′∥AB，設(shè)直線DD′的表達式為：y＝﹣x+n，將點D的坐標代入y＝﹣x+n中解得：n＝7，∴直線DD′的表達式為：y＝﹣x+7，設(shè)點D′(m，7﹣m)，∵A，B，D′為頂點的三角形與△ABC全等，則BD′＝BC＝，解得：m＝3，故點D′(3，4)；故答案為：(4，3)或(3，4)．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形全等，平行線的性質(zhì)，勾股定理等知識．解題的關(guān)鍵與難點在于分情況求解．8．(2022·山東龍口·七年級期末)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如圖所示放置，點A1，A2，A3，和點C1，C2，C3，…，分別在直線y＝kx+b(k＞0)和x軸上，已知點B1，B2，B3，B4的坐標分別為(1，1)，(3，2)，(7，4)，(15，8)，則Bn的坐標為_____【答案】(2n-1，2n-1)【解析】【分析】由圖和條件可知A1(0，1)A2(1，2)A3(3，4)，由此可以求出直線為y=x+1，Bn的橫坐標為An+1的橫坐標，縱坐標為An的縱坐標，又An的橫坐標數(shù)列為An=2n-1-1，所以縱坐標為(2n-1)，然后就可以求出Bn的坐標．【詳解】解：∵點B1(1，1)，B2(3，2)，∴A1(0，1)，A2(1，2)，A3(3，4)，∵直線y=kx+b(k＞0)經(jīng)過A1(0，1)，A2(1，2)，則，解得∴直線y=kx+b(k＞0)為y=x+1，∴Bn的橫坐標為An+1的橫坐標，縱坐標為An的縱坐標，又An的橫坐標為2n-1-1，所以縱坐標為2n-1，∴Bn的坐標為(2n-1，2n