復(fù)合材料力學(xué)課件第06章-層合平板的彎曲屈曲和振動

第六章層合平板的彎曲、

屈曲與振動回總目錄§6.2

層合平板的彎曲§6.1

引言§6.3

層合平板的屈曲§6.4

層合平板的振動§6.5

層合板中耦合影響的簡單討論2021/10/10星期日1本章研究的層合平板是各種復(fù)合材料層合板中最簡單又應(yīng)用最廣泛的一種，其限制是：每層單層板是正交各向異性的，但材料主方向不一定與層合板坐標(biāo)軸一致；材料是線彈性的，且層合板是等厚度的。板的厚度與其長度和寬度相比很小，即為薄板。不考慮體積力§6.1引言2021/10/10星期日2d)與層合板理論的假設(shè)相同，對于薄層合板有下列基體假設(shè)：(1)即近似為平面應(yīng)力狀態(tài)，只考慮和。

(2)采用直法線假設(shè)，橫向剪應(yīng)變以及近似為零,即固有的中面法線不變形。這與有矛盾，但通常忽略不計(jì)。以及是的線性函數(shù)。(3)位移和與板厚相比較很小，應(yīng)變與1相比很小,且略去轉(zhuǎn)動慣量。2021/10/10星期日3這些假設(shè)表明：討論的是小應(yīng)變和小撓度問題；另外假設(shè)限于正交各向異性材料，只分析經(jīng)典層合板理論而不考慮層間應(yīng)力和橫向剪切影響。2021/10/10星期日4§6.2層合平板的彎曲問題是在橫向載荷

作用下求解

合板的撓度、變形和應(yīng)力。圖6-1層合平板的幾何尺寸2021/10/10星期日5圖6-2作用于板上的力和力偶2021/10/10星期日6一、平衡方程層合板的合力和合力矩與中應(yīng)變與曲率有下列關(guān)系2021/10/10星期日7式中有2021/10/10星期日8從層合板中取一元素其上作用合力和合力矩，如圖6-3,從層合板中取一板元素圖6-3板元素受力圖2021/10/10星期日9不計(jì)體積力，用合力和合力矩表示的平衡方程為x方向平衡y方向平衡z方向平衡繞y軸力矩平衡繞x軸力矩平衡2021/10/10星期日10由上式后三式綜合得將第四章的剛度矩陣和(6.1)代入(6.2)和(6.3)可得到用表示的平衡方程2021/10/10星期日11上述三個方程是相互耦合的,必須聯(lián)立求解引進(jìn)下列算子2021/10/10星期日122021/10/10星期日13

其中算子和含有系數(shù)，反映拉伸、彎曲的耦合效應(yīng)；分別反映拉伸、剪切耦合和彎曲、扭轉(zhuǎn)耦合。這時平衡方程式(6.4),(6.5),(6.6)可簡單表示為當(dāng)層合板對稱于中面時，則式(6.4)、式(6.5)與式(6.6)相互獨(dú)立，由式(6.6)得出2021/10/10星期日14對稱層合板彎曲的平衡方程為用式(6.7)表示，則為與的方程相互獨(dú)立，可分別求解。2021/10/10星期日15

式(6.9)表示，它與均勻材料各向異性板的方程形式一樣，只是在時有所不同。

如果是特殊正交各向異性層合板，由于，平衡方程簡化為此式與正交各向異性均勻材料板方程形式一樣。2021/10/10星期日16，平衡方程為如果各層均為各向同性材料，但每層材料不一定相同，則這與各向同性板方程形式完全一樣。2021/10/10星期日17二、邊界條件

非對稱層合板的一般情況，需要聯(lián)合求解平面問題和彎曲問題。相應(yīng)地，在邊界條件中也要同時規(guī)定平面邊界條件和彎曲邊界條件，對于四階微分方程，每邊需要有4個邊界條件。8種可能類型的簡支和固支邊界條件一般分類如下：2021/10/10星期日181.簡支邊界條件(用s表示)式中符號意義見圖6-4，n,t分別表示法線和切線。2021/10/10星期日192.固支邊界條件(用c表示)矩形板的4邊，每邊可用上述8種邊界條件的任一種表示，因此可能范圍很大，如果再考慮自由邊界條件，則每邊有12種可能的邊界條件，這里只討論四邊簡支的矩形層合板。2021/10/10星期日20圖6-4邊界條件符號意義2021/10/10星期日21三、簡支層合板的彎曲

考慮一四邊簡支并承受分布橫向載荷作用的矩形層合板，如果6-5所示：圖6-5四邊簡支矩形層合板2021/10/10星期日22

用雙三角級數(shù)解，將橫向載荷展開為：

一般來說，為任意正整數(shù)，可由下式求出

對于均布載荷，可得出2021/10/10星期日23下面分別討論幾個特殊層合板情況的解1.特殊正交各向異性層合板這里指特殊正交各向異性材料單層板或?qū)ΨQ于中面的多層特殊正交各向異性層合板，由于

又

既不存在拉-彎耦合，也不存在拉剪和彎扭耦合，板的撓度只由下面的平衡方程描述

這里指特殊正交各向異性材料單層板或?qū)ΨQ于中面的多層特殊正交各向異性層合板，由于

這里指特殊正交各向異性材料單層板或?qū)ΨQ于中面的多層特殊正交各向異性層合板，由于

2021/10/10星期日24簡支邊界條件為由于在微分方程中不出現(xiàn)，故邊界條件很簡單。設(shè)撓度為2021/10/10星期日25滿足上述邊界條件，將此式代入方程可得代入式可得的精確解，對于均布載荷有解代入式可得的精確解，對于均布載荷有解2021/10/10星期日26由可求應(yīng)變和應(yīng)力，注意式中只用表示層合板的剛度。2.對稱角鋪設(shè)層合板層合板對稱，。這類層合板不為零，其基本方程為(6.8)2021/10/10星期日27邊界條件為由于存在，撓度的表達(dá)式不能象那樣用雙三角級數(shù)展開，否則和將出現(xiàn)正弦和余弦奇次函數(shù)，變量不能分離，此外撓度展開式也不能滿足邊界條件，因此只能用近似解法——瑞利-利茨法(Rayleigh-Ritz)2021/10/10星期日28應(yīng)變能將第四章剛度表達(dá)式第二式代入上式2021/10/10星期日29外力所做的功為層合板總勢能為2021/10/10星期日30仍選取(6.14)的表達(dá)式，它滿足位移邊界條件，即但不滿足力的邊界條件，即這時可用最小勢能原理，將表達(dá)式代入表達(dá)式，由最小勢能原理

如果選取則由上式得到49個線性代數(shù)方程，可解得49個未知量。2021/10/10星期日31對于受均布載荷作用的方板(a=b),當(dāng)和其精確解層合板最大撓度為時，得到如果忽略和,即把對稱角鋪設(shè)近似地作為即把對稱角鋪設(shè)近似地作為即把對稱角鋪設(shè)近似地作為2021/10/10星期日323.反對稱正交鋪設(shè)層合板反對稱正交鋪設(shè)層合板的拉伸剛度有彎曲、拉伸耦合剛度有彎曲剛度有。與特殊正交各向異性層合板的特殊正交各向異性層合板，最最大撓度為和2021/10/10星期日33相比，出現(xiàn)，因此平衡方程是聯(lián)立的，即2021/10/10星期日34選擇S2簡支邊界條件2021/10/10星期日35選取下列位移函數(shù)它滿足平衡方程(6.19)和邊界條件(9.20)，所以是精確解。如果橫向載荷q取雙三角級數(shù)第一項(xiàng)，即2021/10/10星期日364.反對稱角鋪設(shè)層合板這種層合板，拉彎耦合有基本微分方程為2021/10/10星期日37選取式邊界條件S32021/10/10星期日382021/10/10星期日39它們滿足平衡方程和邊界條件，因此是精確解。取位移函數(shù)如下總之，求得位移函數(shù)后通過幾何方程和物理方程可進(jìn)一步確定各應(yīng)變和應(yīng)力分量，在計(jì)算應(yīng)力時，按各層剛度情況逐層進(jìn)行計(jì)算。2021/10/10星期日40§6.3層合平板的屈曲層合薄板的屈曲是指在平面內(nèi)壓縮和剪切載荷作用下，當(dāng)載荷增加到一定值時產(chǎn)生有橫向撓度的另一種平衡狀態(tài)，此時屬于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)，通常稱板發(fā)生屈曲，相應(yīng)于產(chǎn)生屈曲的載荷值稱為臨界載荷。理論上講，板的屈曲形式和臨界載荷值有無窮多個，但實(shí)際應(yīng)用只需求得其中最小的一個臨界載荷值，并稱為屈曲載荷。2021/10/10星期日41一、屈曲方程和邊界條件假設(shè)屈曲以前是薄膜應(yīng)力狀態(tài)，不考慮拉彎耦合影響，當(dāng)薄板受平面載荷時，由薄膜狀態(tài)進(jìn)入屈曲狀態(tài)，控制微分方程為2021/10/10星期日42式中表示從屈曲前的平衡狀態(tài)開始的變分，依次是力和力矩的變分，為位移的變分。其中合力和合力矩的變分與應(yīng)變變分的關(guān)系仍用式2021/10/10星期日43用位移表示的屈曲方程與彎曲方程相似(除用變分符號外)，但二者有本質(zhì)不同，彎曲問題數(shù)學(xué)上屬邊界值問題，而屈曲問題屬求特征值問題。其本質(zhì)是求引起屈曲的最小載荷，而屈曲后的變形大小是不確定的。屈曲問題的所有邊界條件都是其齊次的，即皆為零，這樣邊界條件為2021/10/10星期日44簡支固支2021/10/10星期日456.3.2.在平面載荷作用下四邊簡支層合板的屈曲考慮沿著方向作用均勻平面力的四邊簡支矩形層合板如圖所示，現(xiàn)分別討論一下幾種情況。圖6-6均布單向平面壓力下簡支矩形層合板2021/10/10星期日461.特殊正交各向異性層合板這種層合板沒有拉彎耦合、拉剪耦合和彎扭耦合，即，對于板的屈曲載荷問題，只有一個屈曲方程來描述邊界條件為四邊簡支2021/10/10星期日47上述四階微分方程和相應(yīng)其次邊界條件的解與前面彎曲問題的一樣，可選取它滿足邊界條件，式中和分別是和方向屈曲半波數(shù)，將(6.27)代入(6.26)，得到顯然當(dāng)時，有最小值，所以臨界屈曲載荷為2021/10/10星期日48不同下的最小值并不明顯，它隨不同剛度和板的長寬比而變化。2.對稱角鋪設(shè)層合板此時，屈曲方程為2021/10/10星期日49邊界條件為與討論彎曲問題時類似，由于存在不能得到封閉解，可得到一類似瑞利-里茨解，取此式只滿足位移的邊界條件，不滿足力的邊界條件，因而其結(jié)果是緩慢地收斂到真實(shí)解。2021/10/10星期日503.反對稱正交鋪設(shè)層合板由于存在拉彎耦合，屈曲方程式聯(lián)立的,即2021/10/10星期日51取S2簡支邊界條件為選取2021/10/10星期日52滿足全部邊界條件，將(6.32)代入(6.30)得到精確解為其中2021/10/10星期日53注意，若則若則方程(6.33)化成特殊正交各向異性層合板的解式(6.28)。式(6.33)是的復(fù)雜函數(shù)，因此必須從包括全部和值的研究過程(即求出式(6.33)表示的最小屈曲載荷，而不是由對于和的一階偏導(dǎo)數(shù)等于零的方法求得。2021/10/10星期日54§6.4層合平板的振動對于板的振動問題，主要是求解板的固有頻率和振型，這里限于討論自由振動，與屈曲問題類似，板的個固有頻率理論上有無窮多個，其中最低的頻率稱為板的基頻，與屈曲問題不同的是工程上除基頻外，有時也需要求出其他更高階的頻率值，另外，往往需要了解相應(yīng)于各階頻率的振型。一、振動方程和邊界條件考慮到板的運(yùn)動慣性力，振動方程為2021/10/10星期日55其中表示從平衡狀態(tài)其的變分，撓度不只是而且時間的函數(shù)，是板的單位體積質(zhì)量，是加速度?？紤]無橫向載荷并略去平面載荷，板的自由振動方程為2021/10/10星期日56邊界條件和屈曲問題一樣。二、簡支層合板的自由振動考慮一四邊簡支矩形層合板在慣性力作用下的自由振動。1.特殊正交各向異性層合板其剛度系數(shù)振動頻率和振型由下列振動方程描述2021/10/10星期日57邊界條件為選取將此問題分為時間和空間兩部分，為使式(6.38)滿足方程(6.36)和邊界條件(6.37)，進(jìn)一步選取2021/10/10星期日58即將上式代入方程(6.36)，得式中各頻率對應(yīng)于不同振型，當(dāng)時得到基頻。2021/10/10星期日59例如