第9章 分式（教師版）

2023-2024學(xué)年滬科新版數(shù)學(xué)七年級下冊章節(jié)知識講練1.理解分式的概念，能求出使分式有意義、分式無意義、分式值為0的條件.2．了解分式的基本性質(zhì)，掌握分式的約分和通分法則．3．掌握分式的四則運算．4．結(jié)合分析和解決實際問題，討論可以化為一元一次方程的分式方程，掌握這種方程的解法，體會解方程中的化歸思想．知識點01：分式的有關(guān)概念及性質(zhì)【高頻考點精講】1．分式一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.【易錯點剖析】分式中的分母表示除數(shù)，由于除數(shù)不能為0，所以分式的分母不能為0，即當(dāng)B≠0時，分式才有意義.2.分式的基本性質(zhì)

（M為不等于0的整式）.

3．最簡分式分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式.如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化簡.知識點02：分式的運算【高頻考點精講】1．約分利用分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子和分母的公因式約去，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.2．通分利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值，把異分母的分式化為同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分．3．基本運算法則分式的運算法則與分?jǐn)?shù)的運算法則類似,具體運算法則如下:（1）加減運算；同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.；異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.（2）乘法運算，其中是整式，.兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.（3）除法運算，其中是整式，.兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后，與被除式相乘.（4）乘方運算分式的乘方，把分子、分母分別乘方.

4.分式的混合運算順序先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號先算括號里面的.知識點03：分式方程【高頻考點精講】1．分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的關(guān)鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．3．分式方程的增根問題增根的產(chǎn)生：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，方程中未知數(shù)允許取值的范圍擴大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值為0，那么就會出現(xiàn)不適合原方程的根－－－增根.【易錯點剖析】因為解分式方程可能出現(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗根．驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解.知識點04：分式方程的應(yīng)用

列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似，但要稍復(fù)雜一些．解題時應(yīng)抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進(jìn)行求解.檢測時間：120分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.55一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填寫在括號內(nèi)）1．（2分）（2023秋?集美區(qū)期末）下列分式的值與相等的是（）A． B． C． D．解：A.＝﹣，因此選項A不符合題意；B.，因此選項B不符合題意；C.＝，因此選項C符合題意；D.＝y(tǒng)，因此選項D不符合題意．故選：C．2．（2分）（2023秋?鼓樓區(qū)校級期末）關(guān)于x的分式方程的解是負(fù)數(shù)，則字母m的取值范圍是（）A．m＜﹣3，且m≠﹣4 B．m＜﹣3 C．m＞﹣3 D．m＞﹣3，且m≠﹣4解：方程兩邊都乘以x+1，得4x﹣m＝3x+3，解得x＝m+3，又∵分式方程的解為負(fù)數(shù)，∴m+3＜0，即m＜﹣3，而分式方程的增根x＝﹣1，當(dāng)x＝﹣1時，m＝﹣4，因此m的取值范圍為m＜﹣3且m≠﹣4．故選：A．3．（2分）（2023秋?東莞市期末）如果把分式中x、y的值都變?yōu)樵瓉淼?倍，則分式的值（）A．變?yōu)樵瓉淼?倍 B．不變 C．變?yōu)樵瓉淼?D．變?yōu)樵瓉淼?倍解：∵分式中的x與y都擴大為原來的2倍，∴分式中的分子擴大為原來的4倍，分母擴大為原來的2倍，∴分式的值擴大為原來的2倍，故A正確．故選：A．4．（2分）（2023秋?定州市期末）如果把分式中的a，b都擴大為原來的5倍，那么分式的值（）A．?dāng)U大為原來的5倍 B．?dāng)U大為原來的25倍 C．縮小為原來的 D．不變解：設(shè)＝m，將a，b都擴大為原來的5倍后，＝＝×＝5m，所以分式的值擴大為原來的5倍，故選：A．5．（2分）（2023秋?唐縣期末）張老師和李老師住在同一個小區(qū)，離學(xué)校3000米．某天早晨，張老師和李老師分別于7點10分，7點15分離家騎自行車上班，剛好在校門口遇上．已知李老師騎車的速度是張老師的1.2倍，為了求他們各自騎自行車的速度，設(shè)張老師騎自行車的速度是x米/分，則可列得方程為（）A． B． C． D．解：設(shè)張老師騎自行車的速度是x米/分，由題意得：，故選：A．6．（2分）（2023秋?廬江縣期末）若x、y的值均擴大為原來的3倍，則下列分式的值保持不變的是（）A． B． C． D．解：A選項中，，與原式不相等，故不符合題意；B選項中，，與原式不相等，故不符合題意；C選項中，，與原式不相等，故不符合題意；D選項中，，與原式相等，故符合題意，故選：D．7．（2分）（2023秋?竹溪縣校級期末）若關(guān)于x的不等式組的解集為x≥a，且關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的個數(shù)是（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個解：；解不等式①得，x＞1，解不等式②得，x≥a，∵不等式組的解集為x≥a，∴a＞1，，去分母得，x+3﹣a＝2（x﹣1），解得x＝5﹣a，∵分式方程的解為非負(fù)數(shù)，且5﹣a≠1，∴5﹣a≥0且a≠4，∴a≤5且a≠4，綜上可知，a的取值范圍為1＜a≤5且a≠4，∴所有滿足條件的整數(shù)為2，3，5，共有3個，故選：B．8．（2分）（2023春?昭平縣期末）下列運算不正確的是（）A．a(chǎn)﹣3?a7＝a4 B．（a﹣3）﹣2＝a6 C． D．a(chǎn)?a3+a2?a2＝2a4解：A．a(chǎn)﹣3?a7＝a4，故此選項不符合題意；B．（a﹣3）﹣2＝a6，故此選項不符合題意；C．，故此選項符合題意；D．a(chǎn)?a3+a2?a2＝a4+a4＝2a4，故此選項不符合題意．故選：C．9．（2分）（2023春?重慶期中）已知整式M＝2﹣3x，N＝3x+1，則下列說法：①若2M+3N＝4，則x＝1；②若不等式組的解集為a＜x＜b，則5a+b＝3；③若x為整數(shù)，且也為整數(shù)，則x＝0或x＝2．④若，則2022x﹣674y+1686＝2023；其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：①若2M+3N＝4，則2（2﹣3x）+3（3x+1）＝4，解得x＝﹣1，故①錯誤；②∵不等式組的解集為0＜x＜3，∴a＝0，b＝3，5a+b＝3，故②正確；③∵x為整數(shù)，且＝＝﹣1+也為整數(shù)，∴3x+1＝±1或±7，解得x＝0或2，故③正確；④若，則＝y(tǒng)，∴6x﹣2y＝1，∴2022x﹣674y+1686＝337（6x﹣2y）+1686＝337+1686＝2023，故④正確；其中正確的個數(shù)有3個．故選：C．10．（2分）（2022?渝中區(qū)校級模擬）已知關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為x＞2，且關(guān)于y的分式方程＝1﹣的解為正整數(shù)，則所有滿足條件的所有整數(shù)a的和為（）A．2 B．5 C．6 D．9解：∵不等式組的解集為x＞2，∴a﹣2≤2．∴a≤4．關(guān)于y的分式方程＝1﹣的解為y＝．∵y＝3是原分式方程的增根，∴≠3．∴a≠3．∵關(guān)于y的分式方程＝1﹣的解為正整數(shù)，∴為正整數(shù)．∴a＝2，4，7．∵a≤4，∴a＝2，4．∴所有滿足條件的所有整數(shù)a的和為：2+4＝6．故選：C．二、填空題（本大題共10小題，每題2分，共20分．不需寫出解答過程，請將正確答案填寫在橫線上）11．（2分）（2023秋?崇川區(qū)期末）已知y＞3，則＝3﹣y．解：原式＝＝3﹣y．故答案為：3﹣y．12．（2分）（2023秋?鐵鋒區(qū)期末）如果分式的值為零，那么x的值為﹣1．解：∵|x|﹣1＝0且（x﹣1）（x﹣2）≠0，∴x＝﹣1．故答案為：﹣1．13．（2分）（2022秋?鄒城市期末）若分式方程無解，則m的值為1．解：關(guān)于x的分式方無解即是x＝1，將方程可轉(zhuǎn)化為x＝m，當(dāng)x＝1時，m＝1．故答案為1．14．（2分）（2022秋?寧津縣期末）關(guān)于x的方程x＝a的兩個解為x1＝a，x2＝；x+＝a的兩個解為x1＝a，x2＝；x+＝a+的兩個解為x1＝a，x2＝．則關(guān)于x的方程x+＝a的兩個解分別為x1＝a，x2＝．解：觀察題目中所給式子與解的關(guān)系，關(guān)于x的方程x+＝a可化為：x﹣2+＝a﹣2+，∴x﹣2＝a﹣2，即x1＝a，或x﹣2＝，即x2＝，∴方程的兩個解分別為x1＝a，x2＝，故答案為：a，．15．（2分）（2023秋?濰坊期末）對于代數(shù)式m，n，定義運算“?”：m?n＝，例如：4?2＝，若（x﹣1）?（x+2）＝，則A+2B＝4．解：（x﹣1）?（x+2）＝＝，＝+＝＝＝，∵＝，∴A+B＝2，2A﹣B＝﹣2，解得A＝0，B＝2，∴A+2B＝0+2×2＝4，故答案為：4．16．（2分）（2023秋?連山區(qū)期末）已知3a﹣b＝0（b≠0），則分式的值為3．解：∵3a﹣b＝0∴3a＝b，將3a＝b代入分式，得到＝＝3故答案為：3．17．（2分）（2023秋?涼州區(qū)期末）若關(guān)于x的分式方程+＝2有增根，則m的值為﹣1．解：方程兩邊都乘（x﹣3），得2﹣x﹣m＝2（x﹣3）∵原方程增根為x＝3，∴把x＝3代入整式方程，得2﹣3﹣m＝0，解得m＝﹣1．故答案為：﹣1．18．（2分）（2023?渝中區(qū)校級開學(xué)）剛放寒假，某書店開始銷售《駱駝祥子》、《海底兩萬里》兩種書籍，已知銷售24本《駱駝祥子》和30本《海底兩萬里》收入3690元，銷售36本《駱駝祥子》和20本《海底兩萬里》收入3660元．兔年春節(jié)過后發(fā)現(xiàn)兩種書籍均有部分輕度損壞，書店決定對有損壞的書籍進(jìn)行打八折促銷，張老師根據(jù)實際需求購買了兩種書籍，且每種書籍都既購買了原價版又購買了折扣版，共花費6255元，其中購買《駱駝祥子》打折書籍的本數(shù)是購買所有書籍本數(shù)的，則張老師購買《海底兩萬里》原價版書籍20本．解：設(shè)《駱駝祥子》的售價為x元，《海底兩萬里》的售價為y元，則，解得，設(shè)原價購買《駱駝祥子》a1本，打折購買《駱駝祥子》a2本，原價購買《海底兩萬里》b1本，打折購買《海底兩萬里》b2本，則，整理得：，∴16a2+5b1+20×4a2＝2085，∴5b1+96a2＝2085，得，∵a2，b1均為正整數(shù)，且4a2＝a1+b1+b2，即4a2＞b1，∴（舍去）或（舍去）或r（舍去）或，故答案為：20．19．（2分）（2021秋?寧遠(yuǎn)縣期末）若關(guān)于x的方程＝+1無解，則a的值是3或1．解：去分母，得：ax＝3+x﹣1，整理，得：（a﹣1）x＝2，當(dāng)x＝1時，分式方程無解，則a﹣1＝2，解得：a＝3；當(dāng)整式方程無解時，a＝1，故答案為：3或1．20．（2分）（2017春?叢臺區(qū)校級月考）有一項工程，若甲、乙合作10天可以完成，甲單獨工作13天后，因某原因離開了，此后由乙來接替，乙三天后完成了這項工程，則甲的工作效率是乙的倍．解：設(shè)乙單獨做x天完成，則乙每天完成總工作量的，故甲每天完成總工作量的（﹣），則13×（﹣）+3×＝1，解得：x＝，檢驗得：x＝是原方程根，則﹣＝．所以＝，即甲的工作效率是乙的倍．故答案為：．三、解答題（本大題共8小題，共60分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）21．（6分）（2023秋?浉河區(qū)期末）（1）計算：（x﹣1）（x+1）﹣（x+1）2．（2）解方程：．解：（1）原式＝x2﹣1﹣（x2+2x+1）＝x2﹣1﹣x2﹣2x﹣1＝﹣2x﹣2；（2）去分母得：2x＝3x﹣3x+3，解得：x＝，檢驗：把x＝代入得：3（x﹣1）≠0，∴x＝是分式方程的解．22．（6分）（2023秋?隴西縣校級期末）先化簡，然后從﹣2，﹣1，0，1，2中選擇一個恰當(dāng)?shù)臄?shù)代入求值．解：原式＝，根據(jù)分式有意義的條件，可知a≠2，a≠﹣2，a≠3，即當(dāng)a＝﹣1時，原式＝，當(dāng)a＝0時，原式＝，當(dāng)a＝1時，原式＝﹣1．即化簡的結(jié)果為：，分式的值為或或﹣1．23．（8分）（2023?霞山區(qū)校級一模）某社區(qū)準(zhǔn)備建造A，B兩類攤位共80個，每個A類攤位的占地面積比每個B類攤位的占地面積多2平方米，建A類攤位每平方米的費用為40元，建B類攤位每平方米的費用為30元，用60平方米建A類攤位的個數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個數(shù)的．（1）求每個B類攤位占地面積．（2）要求建A類攤位的數(shù)量不少于26個，且建造兩類攤位的總費用不超過18320元．①共有哪幾種建造方案？②最少費用是18040元．解：（1）設(shè)每個B類攤位占地面積為x平方米，則每個A類攤位占地面積為（x+2）平方米，依題意得：＝×，解得：x＝6，經(jīng)檢驗，x＝6是原方程的解，且符合題意．答：每個B類攤位占地面積為6平方米．（2）每個A類攤位的建造費用為40×（6+2）＝320（元），每個B類攤位的建造費用為30×6＝180（元）．①設(shè)建造m個A類攤位，則建造（80﹣m）個B類攤位，依題意得：，解得：26≤m≤28．又∵m為整數(shù)，∴m可以為26，27，28，∴共有3種建造方案，方案1：建造26個A類攤位，54個B類攤位；方案2：建造27個A類攤位，53個B類攤位；方案3：建造28個A類攤位，52個B類攤位．②建造方案1所需費用為320×26+180×54＝8320+9720＝18040（元）；建造方案2所需費用為320×27+180×53＝8640+9540＝18180（元）；建造方案3所需費用為320×28+180×52＝8960+9360＝18320（元）．∵18040＜18180＜18320，∴最少費用是18040元．故答案為：18040．24．（8分）（2022秋?邯山區(qū)校級期末）某服裝店購進(jìn)一批甲、乙兩種款型時尚T恤衫，甲種款型共用了7800元，乙種款型共用了6400元．甲種款型的件數(shù)是乙種款型件數(shù)的1.5倍，甲種款型每件的進(jìn)價比乙種款型每件的進(jìn)價少30元．（1）甲、乙兩種款型的T恤衫各購進(jìn)多少件？（2）商店進(jìn)價提高50%標(biāo)價銷售，銷售一段時間后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店決定對乙款型按標(biāo)價的五折降價銷售，很快全部售完，求售完這批T恤衫商店共獲利多少元？解：（1）設(shè)乙種款型的T恤衫購進(jìn)x件，則甲種款型的T恤衫購進(jìn)1.5x件，根據(jù)題意：+30＝，解得：x＝40，經(jīng)檢驗，x＝40是原方程的解，且符合題意，∴1.5x＝60．答：甲種款型的T恤衫購進(jìn)60件，乙種款型的T恤衫購進(jìn)40件．（2）6400÷40＝160（元），160﹣30＝130（元），∴130×（1+50%）×60+160×（1+50%）×40×+160×（1+50%）××40×﹣7800﹣6400＝4700（元）．答：售完這批T恤衫商店共獲利4700元．25．（8分）（2023秋?長沙縣期末）為順利通過“文明城市”驗收，某市擬對城區(qū)部分排水主干道公用設(shè)施全面更新改造，為響應(yīng)城市建設(shè)的需要，需在一個月內(nèi)完成工程，現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊有意承包這項工程，經(jīng)調(diào)查知道，乙工程隊單獨完成此項工程的時間是甲工程隊單獨完成此項工程時間的1.5倍，若甲、乙兩工程隊合作只需12天完成．（1）甲、乙兩個工程隊單獨完成此項工程各需多少天？（2）若甲工程隊每天的工程費用是4萬元，乙工程隊每天的工程費用是3萬元，現(xiàn)提供以下三種方案，請你選擇其中一種方案，既能按時完工，又能使工程費用最少．方案一：甲工程隊單獨完成；方案二：乙工程隊單獨完成；方案三：甲、乙工程隊合作完成．解：（1）設(shè)甲工程隊單獨完成該工程需x天，則乙工程隊單獨完成該工程需1.5x天，根據(jù)題意得：+＝1，解得：x＝20，經(jīng)檢驗，x＝20是原方程的解，且符合題意，∴1.5x＝1.5×20＝30（天），答：甲工程隊單獨完成該工程需20天，乙工程隊單獨完成該工程需30天；（2）∵甲、乙兩工程隊均能在規(guī)定的一個月內(nèi)單獨完成，∴有如下三種方案：方案一：甲工程隊單獨完成．所需費用為：4×20＝80（萬元）；方案二：乙工程隊單獨完成．所需費用為：3×30＝90（萬元）；方案三：甲乙兩隊合作完成．所需費用為：（4+3）×12＝84（萬元）．∵90＞84＞80，∴選擇甲工程隊承包該項工程，既能按時完工，又能使工程費用最少．26．（8分）（2023秋?濱海新區(qū)期末）某公司購買了一批A、B型芯片，其中A型芯片的單價比B型芯片的單價少9元，已知該公司用3120元購買A型芯片的條數(shù)與用4200元購買B型芯片的條數(shù)相等．設(shè)該公司購買的A型芯片的單價為x元．（1）根據(jù)題意，用含x的式子填寫下表：單價（元）數(shù)量（條）總費用（元）A型芯片x3120B型芯片x+94200（2）根據(jù)題意列出方程，求該公司購買的A、B型芯片的單價各為多少元？解：（1）由題意得：A型芯片的條數(shù)為條，B型芯片單價為（x+9）元，則B型芯片的條數(shù)為條；故答案為：；x+9，；（2）由題意得：＝，解得：x＝26，經(jīng)檢驗，x＝26是原方程的解，且符合題意，∴x+9＝35．答：A型芯片的單價為26元/條，B型芯片的單價為35元/條．27．（8分）（2023春?嘉興期末）甲、乙兩小區(qū)準(zhǔn)備安裝A、B兩款智能快遞柜，每個B款能滿足快遞需求人數(shù)比A款多20人．已知甲