第19講 相似三角形專(zhuān)題之母子三角形 (解析版)

第19講相似三角形之母子三角形【知識(shí)點(diǎn)睛】其中：∠A是公共角其中：∠A是公共角AB是公共邊BD與BC是對(duì)應(yīng)邊當(dāng)∠ABD=∠ACB時(shí)△ABD∽△ACB性質(zhì)：聯(lián)系應(yīng)用：切割線(xiàn)定理：如圖，PB為圓O切線(xiàn)，B為切點(diǎn)，則：△PAB∽△PBC得：在Rt△在Rt△ACB與Rt△ADC中，當(dāng)∠ABC=∠ACD時(shí)，有Rt△ACB∽R(shí)t△ADC∽R(shí)t△CDB射影定理：☆：有關(guān)射影定理圖形常見(jiàn)的三個(gè)應(yīng)用方向：☆：有關(guān)射影定理圖形常見(jiàn)的三個(gè)應(yīng)用方向：等積法（求斜邊上的高）同角的余角相等（得∠A=∠BCD）射影定理在圓中因?yàn)橹睆剿鶎?duì)圓周角=90°，轉(zhuǎn)化得此圖形，進(jìn)而利用以上3個(gè)結(jié)論！☆：“母子△”與“阿氏圓”☆：“母子△”與“阿氏圓”阿氏圓的基本原理就是構(gòu)造母子三角形，之后再結(jié)合兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短求解最后結(jié)果。母子相似證明題一般思路方法：由線(xiàn)段乘積相等轉(zhuǎn)化成線(xiàn)段比例式相等；分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線(xiàn)段乘積相等；第②步不成立，則選擇替換掉線(xiàn)段比例式中的個(gè)別線(xiàn)段，之后再重復(fù)第三步；【類(lèi)題訓(xùn)練】1．如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，有下列條件：①∠A＝∠BCD；②∠A+∠BCD＝∠ADC；③；④BC2＝BD?BA．其中能判斷△ABC是直角三角形的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】根據(jù)題目中①②③④給出的條件分別判定△BCD∽△BAC或△ABC∽△ACD即可求得∠ACB＝90°，計(jì)算能求證△BCD∽△BAC或△ABC∽△ACD的個(gè)數(shù)即可解題．【解答】解：①∵∠A＝∠BCD，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，故本命題成立；②條件不足，無(wú)法求證∠ACB＝90°，故本命題錯(cuò)誤；③∵BD：CD＝BC：AC，∠ADC＝∠CDB＝90°，∴Rt△ADC∽R(shí)t△CDB，（因?yàn)槎加幸粋€(gè)直角，斜邊直角邊成比例）∴∠ACD＝∠B；∵∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD，∴∠ACB＝90°；故本命題正確；④∵BC2＝BD×BA，∴＝，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴∠ACB＝90°，故本命題成立，故選：D．2．如圖，在矩形ABCD中，BD＝2．對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線(xiàn)，交AC于點(diǎn)E，AE＝3CE．則DE2的值為（）A．4 B．2 C． D．4【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠ADC＝90°，AC＝BD＝2，從而求出AE，CE的長(zhǎng)，然后根據(jù)射影定理證明△ADE∽△DCE，從而可得DE2＝AE?CE，即可解答．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝2，∵AE＝3CE，∴AE＝AC＝，CE＝AC＝，∵∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CED＝90°，∴∠ADE+∠DAC＝90°，∴∠ADE＝∠ACD，∴△ADE∽△DCE，∴＝，∴DE2＝AE?CE＝×＝，故選：C．3．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠ACD＝3∠BCD，E為斜邊AB的中點(diǎn)，則＝（）A． B． C． D．【分析】利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到∠BCD＝∠A＝22.5°，利用三角形的外角的性質(zhì)得到∠CED＝45°，利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，得到AE＝CE＝BE＝AB，設(shè)CD＝DE＝x，則CE＝，AD＝（+1）x，代入化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝3∠BCD，∴∠BCD＝22.5°，∠ACD＝67.5°．∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠B＝90°﹣∠BCD＝67.5°，∴∠A＝90°﹣∠B＝22.5°，∴∠BCD＝∠A＝22.5°．∵∠ACB＝90°，E為斜邊AB的中點(diǎn)，∴AE＝CE＝BE＝AB．∴∠ECA＝∠A＝22.5°，∴∠CED＝∠A+∠ECA＝45°，∵CD⊥AB，∴CD＝DE．設(shè)CD＝DE＝x，則CE＝，∴AE＝x，∴AD＝AE+DE＝（+1）x，∴＝+1．故選：B．4．在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在BC上，且BE＝DE，若EC＝4，，則⊙O的半徑為（）A． B．2 C． D．【分析】連接CD，DO，根據(jù)已知∠ACB＝90°，可得∠OCD+∠DCE＝90°，∠B+∠A＝90°，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠A＝∠ADO，∠B＝∠BDE，從而可得∠ADO+∠BDE＝90°，進(jìn)而可得∠ODC+∠EDC＝90°，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠ODC＝∠OCD，從而可得∠EDC＝∠DCE，進(jìn)而可得ED＝EC＝BE＝4，最后根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ADC＝90°，從而可得∠BDC＝90°，再利用射影定理可得BC2＝BD?BA，從而求出BA的長(zhǎng)，再在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，即可解答．【解答】解：連接CD，DO，∵∠ACB＝90°，∴∠OCD+∠DCE＝90°，∠B+∠A＝90°，∵OA＝OD，EB＝ED，∴∠A＝∠ADO，∠B＝∠BDE，∴∠ADO+∠BDE＝90°，∴∠ODE＝180°﹣（∠ADO+∠BDE）＝90°，∴∠ODC+∠EDC＝90°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠DCE，∴ED＝EC，∴ED＝EC＝BE＝4，∴BC＝BE+EC＝8，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝90°，∴∠BDC＝∠ACB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BDC∽△BCA，∴＝，∴＝，∴BA＝，∴AC＝＝＝，∴⊙O的半徑為，故選：C．5．如圖，∠DCB＝∠A，CD＝4，BD＝2，∠CDB＝120°，則△ABC的面積為．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)∠CDB＝120°求出∠CDE＝60°，然后在Rt△CDE中求出ED，CE的長(zhǎng)，再在Rt△CEB中求出BC的長(zhǎng)，利用已知條件證得△DBC∽△CBA，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出AB的長(zhǎng)，最后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，∴∠CED＝90°，∵∠CDB＝120°，∴∠CDE＝60°，∴∠ECD＝30°，∴，由勾股定理得：，∴BE＝BD+ED＝2+2＝4，在Rt△CEB中，由勾股定理得：，∵∠DCB＝∠A，又∵∠DBC＝∠CBA，∴△DBC∽△CBA，∴，即，解得：BA＝14，∴．故答案為：．6．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上，BD＝CD＝2DE，且∠C+∠CDE＝45°，若AD＝6，則BC的長(zhǎng)為8．【分析】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和已知條件證出∠BDE＝90°，作DF⊥BC于F，則BF＝CF，△DEF∽△BED∽△BDF，得出＝＝＝，設(shè)EF＝x，則DF＝2x，BF＝CF＝4x，得出BC＝8x，DE＝x，得出CD＝BD＝2x，AC＝6+2x，證明△CDF∽△CBA，得出＝，代入計(jì)算即可得出結(jié)果．【解答】解：∵∠A＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠C，∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝2∠C，∵∠C+∠CDE＝45°∴2∠C+∠CDE＝90°，∴∠ADB+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，作DF⊥BC于F，如圖所示：則BF＝CF，△DEF∽△BED∽△BDF，∴＝＝＝，設(shè)EF＝x，則DF＝2x，BF＝CF＝4x，∴BC＝8x，DE＝x，∴CD＝BD＝2x，AC＝6+2x，∵∠DFC＝∠A＝90°，∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴＝，即＝，解得：x＝，∴BC＝8；故答案為：8．7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似解答即可；（2）根據(jù)已知易證△ACD∽△CBD，然后進(jìn)行解答即可．【解答】（1）證明：∵＝，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴∠ACD＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠BDC，∵∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴＝，∴CD＝．8．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D是斜邊AC的中點(diǎn)，連接DB，線(xiàn)段AE⊥線(xiàn)段BD交BC于點(diǎn)E，交DB于點(diǎn)G，垂足為點(diǎn)G．（1）求證：EB2＝EG?EA；（2）聯(lián)結(jié)CG，若∠CGE＝∠DBC，求證：BE＝CE．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得結(jié)論；（2）由直角三角形的性質(zhì)得BD＝AC＝CD，再由相似三角形的判定與性質(zhì)可得EC2＝GE?EA，結(jié)合（1）的結(jié)論可得答案．【解答】證明：（1）∵AE⊥BD，∴∠BGE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BGE＝∠ABE，∵∠BEG＝∠AEB，∴△ABE∽△BGE，∴＝，即EB2＝EG?EA；（2）在Rt△ABC中，點(diǎn)D是斜邊AC的中點(diǎn)，∴BD＝AC＝CD，∴∠DBC＝∠DCB，∵∠CGE＝∠DBC，∴∠CGE＝∠DCB，∵∠GEC＝∠GEC，∴△GEC∽△CEA，∴＝，∴EC2＝GE?EA，由（1）知EB2＝EG?EA，∴EC2＝EB2，∴BE＝CE．9．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線(xiàn)段BD，AC上，連結(jié)AD，EF交于點(diǎn)G，∠CEF＝2∠CAD．（1）求證：△ABC∽△EFC．（2）若BE＝2DE，＝，求的值．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠C，∠CAB＝2∠CAD，根據(jù)題意不難證明△ABC∽△EFC；（2）過(guò)點(diǎn)F作FH∥BC，交AD于點(diǎn)H，）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BD＝CD，則DE＝，易證明△AHF∽△ADC，則，易證明△HFG∽△DEG，則，將DE＝，代入即可求解．【解答】（1）證明：∵△ABC為等腰三角形，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴∠CAB＝2∠CAD，∵∠CEF＝2∠CAD，∴∠CEF＝∠CAB，在△ABC和△EFC中，，∴△ABC∽△EFC；（2）過(guò)點(diǎn)F作FH∥BC，交AD于點(diǎn)H，∵△ABC為等腰三角形，AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∵BE＝2DE，∴，即DE＝，∵HF∥BC，∴△AHF∽△ADC，∴，∵＝，∴，∴，∵HF∥BC，∴△HFG∽△DEG，∴，由上述知，DE＝，，∴＝．10．已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，AE∥BC，BE與AD、AC分別相交于點(diǎn)F、G，AF2＝FG?FE．（1）求證：△CAD∽△CBG；（2）聯(lián)結(jié)DG，求證：DG?AE＝AB?AG．【分析】（1）通過(guò)證明△FAG∽△FEA，可得∠FAG＝∠E，由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠E＝∠EBC＝∠FAG，且∠ACD＝∠BCG，可證△CAD∽△CBG；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得＝，且∠DCG＝∠ACB，可證△CDG∽△CAB，可得＝，由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例可得＝，可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AF2＝FG?FE．∴＝，∵∠AFG＝∠EFA，∴△FAG∽△FEA，∴∠FAG＝∠E，∵AE∥BC，∴∠E＝∠EBC，∴∠EBC＝∠FAG，∵∠ACD＝∠BCG，∴△CAD∽△CBG；（2）∵△CAD∽△CBG，∴＝，∵∠DCG＝∠ACB，∴△CDG∽△CAB，∴＝，∵AE∥BC，∴＝，∴＝，∴＝，∴DG?AE＝AB?AG．11．已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，BD⊥DC，且BD2＝AD?BC，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)．（1）求證：AD∥BC；（2）作BE⊥DM，垂足為點(diǎn)E，并交CD于點(diǎn)F．求證：2AD?DM＝DF?DC．【分析】（1）由∠BAD＝∠BDC＝90°，BD2＝AD?BC即得△ABD∽△DCB，然后利用相似三角形的性質(zhì)和平行線(xiàn)的判定即可求解；（2）利用已知條件證明△BDF∽△CDB，然后利用相似三角形的性質(zhì)和直角三角形中斜邊上中線(xiàn)的性質(zhì)即可證明．【解答】證明：（1）∵BD⊥DC，∴∠BDC＝90°，∴∠A＝∠BDC，而B(niǎo)D2＝AD?BC，∴△ABD∽△DCB，∴∠ADC＝∠DBC，∴AD∥BC；（2）解：∵BE⊥DM，∴∠DBF+∠BDM＝90°，而∠BDM+∠MDC＝90°，∴∠DBE＝∠MDC，又M是邊BC的中點(diǎn)，∴DM＝BM＝CM＝BC，∴∠MDC＝∠DCM，∴∠DBE＝∠DCM，∴△BDF∽△CDB，∴BD2＝DF?DC，而B(niǎo)D2＝AD?BC，∴AD?BC＝DF?DC，∴2AD?DM＝DF?DC．12．如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑作⊙O交AC于點(diǎn)D，取BC中點(diǎn)E，連接DE并延長(zhǎng)，與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，連接BD．（1）求證：DF是⊙O的切線(xiàn)；（2）如果，求tanA．【分析】（1）連接OD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ADB＝90°，從而可得∠BDC＝90°，然后利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)可得ED＝EB，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠ODB＝∠OBD，最后根據(jù)∠ABC＝90°，從而可求出∠ODF＝90°，即可解答；（2）根據(jù)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可得△BDE的面積＝△DEC的面積，然后設(shè)△ABD的面積為y，△BDE的面積＝△DEC的面積＝x，再根據(jù)已知可得y＝4x，從而可得＝＝2，進(jìn)而可得AD＝2CD，再CD＝a，則AD＝2CD＝2a，最后證明△ADB∽△BDC，利用相似三角形的性質(zhì)求出BD的長(zhǎng)，再在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】（1）證明：連接OD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝90°，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴ED＝EB＝BC，∴∠EDB＝∠DBC，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠DBC＝90°，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB+∠BDE＝90°，∴∠ODF＝90°，∵OD是⊙O的半徑，∴DF是⊙O的切線(xiàn)；（2）解：∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴△BDE的面積＝△DEC的面積，設(shè)△ABD的面積為y，△BDE的面積＝△DEC的面積＝x，∵，∴＝，∴y＝4x，∴＝＝＝2，∴＝2，設(shè)CD＝a，則AD＝2CD＝2a，∵∠A+∠ABD＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠ABD＝∠C，∵∠ADB＝∠CDB＝90°，∴△ADB∽△BDC，∴＝，∴＝，∴BD＝a或BD＝﹣a（舍去），在Rt△ABD中，tanA＝＝＝，∴tanA的值為．13．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，AD＝16，AB＝6，BC＝24．點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AD運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，每秒移動(dòng)a個(gè)單位，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿CB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，每秒移動(dòng)b個(gè)單位．運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．若其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)也停止．（1）請(qǐng)求出CD的值；（2）若存在某時(shí)刻使DQ垂直平分PC，求a：b的值；（3）若a＝1，b＝3，何時(shí)PQ上存在點(diǎn)M，使得∠AMB＝90°．【分析】（1）過(guò)D作DH⊥BC于H，則四邊形ABHD是矩形，得BH＝AD＝16，DH＝AB＝6，則CH＝BC﹣BH8，再由勾股定理求出CD的長(zhǎng)；（2）設(shè)AP＝ax，CQ＝bx，則DP＝10﹣ax，BQ＝24﹣bx，若DQ垂直平分PC，由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得PD＝CD，PQ＝CQ，再證△DPE≌△QCE（ASA），得PD＝CQ，然后求出bx＝10，ax＝6，即可得出結(jié)論；（3）以AB為直徑作圓O，若PQ上存在點(diǎn)M，使得∠AMB＝90°，則PQ與圓O有公共點(diǎn)，即PQ與圓O相交或相切，當(dāng)圓O與PQ相切于M時(shí)，OM⊥PQ，OM＝OA＝3，易證AD、BC都是圓O的切線(xiàn)，得出PM＝PA＝x，QM＝QB＝24﹣3x，∠OPQ＝∠OPA，∠OQP＝∠OQB，再證明∠POQ＝90°，得出OM2＝MP?MQ（射影定理），即32＝x（24﹣3x），解得x＝4±，當(dāng)圓O與PQ相交于M時(shí)，0≤x＜4﹣或4+＜x≤8，即可得出結(jié)果．【解答】解：（1）如圖1，過(guò)D作DH⊥BC于H，則四邊形ABHD是矩形，∴BH＝AD＝16，DH＝AB＝6，∴CH＝BC﹣BH＝24﹣16＝8，在Rt△CDH中，由勾股定理得：CD＝＝＝10；（2）由（1）得：CD＝10，設(shè)AP＝ax，CQ＝bx，則DP＝AD﹣AP＝16﹣ax，BQ＝BC﹣CQ＝24﹣bx，設(shè)CP與DQ交于點(diǎn)E，如圖2所示：∵DQ垂直平分PC，∴PD＝CD，PQ＝CQ，∵AD∥BC，∴∠DPE＝∠QCE，在△DPE和△QCE中，，∴△DPE≌△QCE（ASA），∴PD＝CQ，∴PD＝CD＝PQ＝CQ，∴bx＝16﹣ax＝10，∴bx＝10，ax＝6，∴＝＝＝，∴a：b＝3：5；（3）∵BC＝24，b＝3，∴x≤8，如圖，以AB為直徑作圓O，∵∠AMB＝90°，∴點(diǎn)M在圓O上，若PQ上存在點(diǎn)M，使得∠AMB＝90°，則PQ與圓O有公共點(diǎn)，∴PQ與圓O相交或相切，當(dāng)圓O與PQ相切于M時(shí)，OM⊥PQ，OM＝OA＝AB＝3，∵∠BAD＝∠ABQ＝90°，∴AD⊥OA，BC⊥OB，∴AD、BC都是圓O的切線(xiàn)，∴PM＝PA＝x，QM＝QB＝24﹣3x，∠OPQ＝∠OPA，∠OQP＝∠OQB，∵AD∥BC，∴∠APQ+∠BQP＝180°，∴∠OPQ+∠OQP＝×180°＝90°，∴∠POQ＝180°﹣90°＝90°，∵OM⊥PQ，∴OM2＝MP?MQ（射影定理），即32＝x（24﹣3x），解得：x＝4±；當(dāng)圓O與P