柱面錐面旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面

關(guān)于柱面錐面旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面第一節(jié)柱面認(rèn)識柱面第2頁,共41頁，2024年2月25日，星期天定義平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫柱面的母線.設(shè)柱面的準(zhǔn)線為母線的方向數(shù)為X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則過點(diǎn)M1的母線方程為第3頁,共41頁，2024年2月25日，星期天且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0(3)從（2）（3）中消去x1,y1,z1得F(x,y,z)=0這就是以（1）為準(zhǔn)線，母線的方向數(shù)為X，Y，Z的柱面的方程。第4頁,共41頁，2024年2月25日，星期天柱面舉例拋物柱面平面第5頁,共41頁，2024年2月25日，星期天從柱面方程看柱面的特征：（其他類推）實(shí)例橢圓柱面母線//軸雙曲柱面母線//軸拋物柱面母線//軸

只含yx,而缺z的方程0),(=yxF，在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z軸的柱面，其準(zhǔn)線為xoy面上曲線C.第6頁,共41頁，2024年2月25日，星期天定理一個(gè)關(guān)于x,y,z的齊次方程總表示頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的錐面。齊次方程：設(shè)λ為實(shí)數(shù)，對于函數(shù)f(x,y,z)，如果有f(tx,ty,tz)=tλf(x,y,z)則稱f(x,y,z)為λ的齊次函數(shù)，f(x,y,z)=0稱為齊次方程。例如，方程x2+y2-z2=0圓錐面又如，方程x2+y2+z2=0原點(diǎn)（虛錐面）第7頁,共41頁，2024年2月25日，星期天第二節(jié)錐面認(rèn)識錐面第8頁,共41頁，2024年2月25日，星期天錐面1、定義在空間，通過一定點(diǎn)且與定曲線相交的一族直線所產(chǎn)生的曲面稱為錐面，這些直線都稱為錐面的母線，定點(diǎn)稱為錐面的頂點(diǎn)，定曲線稱為錐面的準(zhǔn)線。2、錐面的方程設(shè)錐面的準(zhǔn)線為頂點(diǎn)為A(x0,y0,z0)，如果M1(x1,y1,z1)為準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，則錐面過點(diǎn)M1的母線為：第9頁,共41頁，2024年2月25日，星期天且有F1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=0（3）從（2）（3）中消去參數(shù)x1,y1,z1得三元方程F(x,y,z)=0這就是以（1）為準(zhǔn)線，以A為頂點(diǎn)的錐面方程。例1、求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線為的錐面的方程。答：（二次錐面）第10頁,共41頁，2024年2月25日，星期天第三節(jié)旋轉(zhuǎn)曲面認(rèn)識旋轉(zhuǎn)曲面第11頁,共41頁，2024年2月25日，星期天旋轉(zhuǎn)曲面一、定義:

以一條平面曲線C繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面,這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸.曲線C稱為放置曲面的母線oC緯線經(jīng)線第12頁,共41頁，2024年2月25日，星期天Logo所以過M1的緯圓的方程為：當(dāng)點(diǎn)M1跑遍整個(gè)母線C時(shí)，就得到所有的緯圓，這些緯圓就生成旋轉(zhuǎn)曲面。又由于M1在母線上，所以又有：從（3）（4）的四個(gè)等式中消去參數(shù)x1,y1,z1,得到一個(gè)三元方程：F(x,y,z)=0這就是以C為母線，L為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。第13頁,共41頁，2024年2月25日，星期天二、旋轉(zhuǎn)曲面的方程在空間坐標(biāo)系中，設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線為：旋轉(zhuǎn)直線為：其中P0(x0,y0,z0)為軸L上一定點(diǎn)，X，Y，Z為旋轉(zhuǎn)軸L的方向數(shù)。設(shè)M1(x1,y1,z1)為母線C上的任意點(diǎn)，則M1的緯圓總可以看成是過M1且垂直于旋轉(zhuǎn)軸L的平面與以P0為中心，|P0M1|為半徑的球面的交線。第14頁,共41頁，2024年2月25日，星期天例1、求直線繞直線x=y=z旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：設(shè)M1(x1,y1,z1)是母線上的任意點(diǎn)，因?yàn)樾D(zhuǎn)軸通過原點(diǎn)，所以過M1的緯圓方程是：又由于M1在母線上，所以又有：即x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程：2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0。第15頁,共41頁，2024年2月25日，星期天三、母線在坐標(biāo)面而旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面：

已知yoz面上一條曲線C,方程為f(y,z)=0,曲線C繞z

軸旋轉(zhuǎn)一周就得一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面.設(shè)M1(0,y1`,z1)是C上任意一點(diǎn),則有f(y1,z1)=0當(dāng)C繞z軸旋轉(zhuǎn)而M1隨之轉(zhuǎn)到M(x,y,z)時(shí),有將z1=z,代入方程F(y1,z1)=0,

第16頁,共41頁，2024年2月25日，星期天得旋轉(zhuǎn)曲面的方程:即第17頁,共41頁，2024年2月25日，星期天規(guī)律：當(dāng)坐標(biāo)平面上的曲線C繞此坐標(biāo)平面的一個(gè)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時(shí)，要求該旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要將曲線C在坐標(biāo)面里的方程保留和旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標(biāo)，而以其它兩個(gè)坐標(biāo)平方和的平方根來代替方程中的另一坐標(biāo)。有規(guī)律，更容易！第18頁,共41頁，2024年2月25日，星期天解

圓錐面方程第19頁,共41頁，2024年2月25日，星期天例2:求直線z=ay繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程.zxyz=ay解:將y用代入直線方程,得平方得:z2=a2(x2+y2)該旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面,其頂點(diǎn)在原點(diǎn).第20頁,共41頁，2024年2月25日，星期天例3

將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．旋轉(zhuǎn)雙曲面（單葉）（雙葉）第21頁,共41頁，2024年2月25日，星期天例4、將圓繞Z軸旋轉(zhuǎn)，求所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)該曲面稱為圓環(huán)面。第22頁,共41頁，2024年2月25日，星期天旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面（長形）（短形）第23頁,共41頁，2024年2月25日，星期天第四節(jié)二次曲面認(rèn)識二次曲面第24頁,共41頁，2024年2月25日，星期天二次曲面的定義：三元二次方程相應(yīng)地平面被稱為一次曲面．討論二次曲面性狀的平面截痕法：用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌．以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面．一、基本內(nèi)容所表示的曲面稱之為二次曲面．a(chǎn)x2+by2+cz2+dxy+exz+

fyz+gx+hy+iz+j=0第25頁,共41頁，2024年2月25日，星期天CompanyLogozoxyO2

用平面z=k去截割(要求|k|c),得橢圓當(dāng)|k|c

時(shí),|k|越大,橢圓越小;當(dāng)|k|=c時(shí),橢圓退縮成點(diǎn).二.幾種常見二次曲面.（一）橢球面1

用平面z=0去截割,得橢圓第26頁,共41頁，2024年2月25日，星期天CompanyLogo3

類似地,依次用平面x=0,平面y=0截割,得橢圓:特別:當(dāng)a=b=c時(shí),方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原點(diǎn)o,半徑為a的球面.第27頁,共41頁，2024年2月25日，星期天（二）雙曲面單葉雙曲面（1）用坐標(biāo)面與曲面相截截得中心在原點(diǎn)的橢圓.第28頁,共41頁，2024年2月25日，星期天CompanyLogo與平面的交線為橢圓.當(dāng)變動(dòng)時(shí)，這種橢圓的中心都在軸上.（2）用坐標(biāo)面與曲面相截截得中心在原點(diǎn)的雙曲線.實(shí)軸與軸相合，虛軸與軸相合.第29頁,共41頁，2024年2月25日，星期天雙曲線的中心都在軸上.與平面的交線為雙曲線.實(shí)軸與軸平行,虛軸與軸平行.實(shí)軸與軸平行,虛軸與軸平行.截痕為一對相交于點(diǎn)的直線.第30頁,共41頁，2024年2月25日，星期天截痕為一對相交于點(diǎn)的直線.（3）用坐標(biāo)面，與曲面相截均可得雙曲線.第31頁,共41頁，2024年2月25日，星期天單葉雙曲面圖形

xyoz平面的截痕是兩對相交直線.第32頁,共41頁，2024年2月25日，星期天雙葉雙曲面xyo第33頁,共41頁，2024年2月25日，星期天（三）拋物面（與同號）橢圓拋物面用截痕法討論：（1）用坐標(biāo)面與曲面相截截得一點(diǎn)，即坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)原點(diǎn)也叫橢圓拋物面的頂點(diǎn).第34頁,共41頁，2024年2月25日，星期天與平面的交線為橢圓.當(dāng)變動(dòng)時(shí)，這種橢圓的中心都在軸上.與平面不相交.（2）用坐標(biāo)面與曲面相截截得拋物線第35頁,共41頁，2024年2月25日，星期天與平面的交線為拋物線.它的軸平行于軸頂點(diǎn)（3）用坐標(biāo)面，與曲面相截均可得拋物線.同理當(dāng)時(shí)可類似討論.第36頁,共41頁，2024年2月25日，星期天zxyoxyzo橢圓拋物面的圖形如下：第37頁,共41頁，2024年2月25日，星期天特殊地：當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)樾D(zhuǎn)拋物面（由面上的拋物線繞它的軸旋轉(zhuǎn)而成的）與平面的交線為圓.當(dāng)變動(dòng)時(shí)，這種圓的中心都在軸上.第38頁,共41頁，2024年2月25日，星期天（與同號）雙曲拋物面（馬鞍面）用截痕法討論：設(shè)圖形如下：xyzo第39頁,共41頁，20