2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考版）2.10 函數(shù)的圖象

§2.10函數(shù)的圖象

【考試要求】1.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析

法)表示函數(shù)2會畫簡單的函數(shù)圖象.3.會運用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個數(shù)與

不等式解的問題.

■落實主干知識

【知識梳理】

1.利用描點法作函數(shù)圖象的方法步驟:列表、描點、連線.

2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

(1)平移變換

(2)對稱變換

①y=/(x)關(guān)于謝對稱，

V="/（X）.

關(guān)于y軸對稱人、

②y=/W

關(guān)于原點對稱，、

③尸外)-----------=一D.

④3>0,且a手［).包匕'型;y=log/3>0,且aK1).

(3)翻折變換

Z7X、保留X軸上方圖象_

Oy-/U)將x軸下方圖象翻折上也切?

小，、保留)軸右側(cè)圖象，并作其小

②產(chǎn)危)關(guān)于，軸對稱的圖象”產(chǎn)血.

【常用結(jié)論】

1.左右平移僅僅是相對X而言的，即發(fā)生變化的只是X本身，利用“左加右減”進行操作.如

果X的系數(shù)不是1,需要把系數(shù)提出來，再進行變換.

2.函數(shù)圖象自身的對稱關(guān)系

(1)若函數(shù)y=/(x)的定義域為R,且有火a+x)=/S—x),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線苫=人芋

對稱.

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(a,6)成中心對稱Q/(a+x)=28—加一x)Q/(x)=28—*2“一x).

3.兩個函數(shù)圖象之間的對稱關(guān)系

(1)函數(shù)y=_/(x)與y=/(2a—x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

(2)函數(shù)y=/(x)與y=2萬一人2a-x)的圖象關(guān)于點(“，份對稱.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

⑴函數(shù))=|/明為偶函數(shù).(X)

(2)函數(shù)y=/(l-x)的圖象，可由y=/(—x)的圖象向左平移1個單位長度得到.(X)

(3)當(dāng)xe(O,+8)時，函數(shù))，=|/(x)|與了=川動的圖象相同.(X)

(4)函數(shù)y=y(x)的圖象關(guān)于y軸對稱即函數(shù)y=_/(x)與'=火一x)的圖象關(guān)于y軸對稱.(X)

【教材改編題】

1.函數(shù))，=1一士的圖象是()

cD

答案B

解析將函數(shù)＞=一5的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，即得到y(tǒng)=l

』的圖象,故選B-

2.函數(shù)人x)=ln(x+l)的圖象與函數(shù)gOOMr-?+d的圖象的交點個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析由于函數(shù)次x)=ln(x+l)的圖象是由函數(shù)y=lnx的圖象向左平移1個單位長度得到的,

函數(shù)g(x)=f-4X+4=(X-2)2,故函數(shù)g(x)的對稱軸為X=2,頂點坐標(biāo)為(2,0),開口向上，

所以作出兀r),g(x)的圖象如圖所示，

故函數(shù)7U)與g(x)的圖象有兩個交點.

3.函數(shù))，=/&)的圖象與)，=^的圖象關(guān)于y軸對稱，再把)，=大尤)的圖象向右平移1個單位長

度后得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則g(x)=.

答案e^+l

解析：/(x)=er,

g(x)=e"-"=e"'L

■探究核心題型

題型一作函數(shù)圖象

例1作出下列各函數(shù)的圖象:

(l)y=|log2(x+l)|;

(3)y=f—2|x|一1.

解(1)將函數(shù)y=log加的圖象向左平移1個單位長度，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去,

即可得到函數(shù)y=|log2(x+1)|的圖象，如圖①所示.

(2)原函數(shù)解析式可化為y=2+±,故函數(shù)圖象可由函數(shù)y=:的圖象向右平移1個單位長度,

X1X

再向上平移2個單位長度得到，如圖②所示.

%2—2x—1,x20,

(3)因為>=,且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點法作出［0,+8)上的圖象，再根

JT+IX—1,x<0,

據(jù)對稱性作出(-8,0)上的圖象，最后得函數(shù)圖象如圖③所示.

思維升華函數(shù)圖象的常見畫法及注意事項

⑴直接法：對于熟悉的基本函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點，直接作圖.

(2)轉(zhuǎn)化法：含有絕對值符號的，去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫.

(3)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、伸縮、翻折、對稱得到，則

可利用圖象變換作圖.

(4)畫函數(shù)的圖象一定要注意定義域.

跟蹤訓(xùn)練1作出下列各函數(shù)的圖象:

(l)y=x—|x—1|：(2)y=(；)&(3)y=[k>g2X—1|.

[1,xN1,

解(1)根據(jù)絕對值的意義，可將函數(shù)式化為分段函數(shù)y=_可見其圖象是由兩

[NX1,X、1,

(2)作出的圖象，保留了=6｝的圖象中x20的部分，加上y=g)的圖象中x>0部分

關(guān)于y軸的對稱部分，即得>=9)兇的圖象，如圖②實線部分所示.

(3)先作出y=log2X的圖象，再將其圖象向下平移一個單位長度，保留x軸上方的部分，將x

軸下方的圖象翻折到x軸上方，即得y=|logM-l|的圖象，如圖③所示.

題型二函數(shù)圖象的識別

4

例2(1)(2023?許昌質(zhì)檢)函數(shù)兀v)=y=0'2yM的圖象大致為()

解析由解析式知，定義域為MxWO},

2二+11+22t

K—x)=2-x-ln|—x\=2.v-InM=/x),

故y=4hi兇為偶函數(shù),排除D；

0”2P

又火1)=0,?/(})=一量＜°，排除A,C.

⑵(2022.全國乙卷)如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間［-3,3］上的大致圖象，則該函數(shù)

是()

一丁+3%

A-尸7+1

_2xcosxc2sinx

C?產(chǎn)苗7

答案A

解析對于選項B,當(dāng)x=l時，y=0,與圖象不符，故排除B；對于選項D,當(dāng)x=3時，y

=1sin3>0,與圖象不符，故排除D；對于選項C,當(dāng)0<x芍時，0<cosx<l,故尸筆詈

〈異［W1,與圖象不符，所以排除C.故選A.

思維升華識別函數(shù)的圖象的主要方法

(1)利用函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、定義域等判斷.

(2)利用函數(shù)的零點、極值點等判斷.

(3)利用特殊函數(shù)值判斷.

跟蹤訓(xùn)練2(1)(2022.呂梁模擬)函數(shù)；(x)=22*黃sin的x大致圖象為()

CD

答案A

解析因為兀0=拜)，所以?r)的定義域為R,

—sinx

又式-x)=—5=-/(x)，所以/(X)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除C選項;

因為:<1與所以0勺⑴=?-^=,sin1<|,排除B,D選項.

2+2、

1_]xW]

(2)(2023?泉州模擬)已知函數(shù)於)=則函數(shù)），=Ai-x）的圖象大致為（）

10g2X,X>1,

答案B

QX1_IxW]

解析函數(shù),

10g2X,X>1,

e-v—1,x20,

所以y=g(x)=/(l-x)=

log2(l—X),x<0,

所以當(dāng)x=0時，g（0）=e°-l=0,

故選項A,C錯誤；

當(dāng)x20時，g（x）=er—1單調(diào)遞減，

故選項D錯誤，選項B正確.

題型三函數(shù)圖象的應(yīng)用

命題點1利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)

例3（多選）已知函數(shù)人x）=告，則下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)應(yīng)r）的圖象關(guān)于點（1,2）成中心對稱

B.函數(shù)人r）在（一8,1）上單調(diào)遞減

C.函數(shù)式x）的圖象上至少存在兩點4,B,使得直線AB〃x軸

D.函數(shù)大幻的圖象關(guān)于直線x=l對稱

答案AB

解析因為加）=￡7=」2（~r—^1）—+2=W7+2,所以該函數(shù)圖象可以由y=彳?的圖象向右平移

X\XIX1兀

1個單位長度，向上平移2個單位長度得到，所以函數(shù)人x）的圖象關(guān)于點（1,2）成中心對稱，在

（―8,1）上單調(diào)遞減，A,B正確，D錯誤；易知函數(shù)4x）的圖象是由的圖象平移得到

的，所以不存在兩點A,B使得直線AB〃x軸，C錯誤.

命題點2利用圖象解不等式

例4（2023?商丘模擬）已知定義在R上的奇函數(shù)火x）在［0,+8）上的圖象如圖所示，則不等

式直工）>4（處的解集為（）

A.(一卷0)U(<2,2)

B.-2)U(2,+8)

C.(―0°.一2)U(一6，0)U(啦，2)

D.(-2,-^2)0(0,&)U(2,+0°)

答案C

解析根據(jù)奇函數(shù)的圖象特征,作出火x）在（一8,o）上的圖象，如圖所示,

由X2/(X)>2/(X),得(X2—2次助>0,

[?-2>0,y-2<o,

則或

hx)>o心)<0,

解得x<—2或啦<x<2或一也<r<0,

故不等式的解集為（一8,—2）U（一啦，0）U（啦，2）.

命題點3利用圖象求參數(shù)的取值范圍

\2X~\\,后2,

例5已知函數(shù)火x）=若關(guān)于x的方程7U）一機=0恰有兩個不同的實數(shù)解,

-x+5,x>2,

則實數(shù)，"的取值范圍是（)

A.(0,1)B.[0,1)

C.(l,3)U{0}D.[l,3)U{0}

答案D

解析因為關(guān)于x的方程段）一根=0恰有兩個不同的實數(shù)解，所以函數(shù)了=/3）與y=，"的圖

象有兩個交點，

作出函數(shù)圖象，如圖所示，

所以當(dāng),“G[l,3)U{0}時，函數(shù))，=氏0與？=〃?的圖象有兩個交點，所以實數(shù)機的取值范圍是

[l,3)U{0}.

思維升華當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解或用代數(shù)法求解比較困難，但其對應(yīng)函數(shù)的圖象

可作出時，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為圖象的位置關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合思想求解.

跟蹤訓(xùn)練3(1)把函數(shù)1x)=ln|x—3的圖象向左平移2個單位長度，所得函數(shù)在(0,+8)上

單調(diào)遞增，則〃的最大值為()

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析把函數(shù),/(x)=ln|x—a|的圖象向左平移2個單位長度，得到函數(shù)g(x)=ln|x+2-a|的圖象,

則函數(shù)g(x)在(a—2,+8)上單調(diào)遞增，

又因為所得函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以a-2W0,即aW2.

所以a的最大值為2.

(2)已知函數(shù)7(x)=|x—2|+1,g(x)=fcv.若方程_/(x)=g(x)有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的

取值范圍是.

答案

解析先作出函數(shù)/(x)=|x—2|+1的圖象，如圖所示，當(dāng)直線g(x)=&與直線A8平行時斜率

為1,當(dāng)直線g(x)=fcv過點A時，斜率為/故負x)=g(x)有兩個不相等的實數(shù)根時，實數(shù)人

的取值范圍為弓，1)

課時精練

C基礎(chǔ)保分練

1.為了得到函數(shù)y=2「3-l的圖象，只需把函數(shù)y=2,的圖象()

A.向右平移3個單位長度,再向下平移1個單位長度

B.向左平移3個單位長度,再向下平移1個單位長度

C.向右平移3個單位長度,再向上平移1個單位長度

D.向左平移3個單位長度,再向上平移1個單位長度

答案A

解析將函數(shù)y=2,的圖象向右平移3個單位長度得到y(tǒng)=2廠3的圖象，再向下平移1個單位

長度得到丁=2廠3—1的圖象.

2.（2022?全國甲卷）函數(shù)y=（3，-3r>cosx在區(qū)間一壬上的圖象大致為（）

CD

答案A

解析方法一(特值法)

取x=1,則y=(3—g)cos1=1cos1>0；

取x=—1,則y=(g—3)cos(-1)

Q

=-geosl<0.結(jié)合選項知選A.

方法二令y=/U),

則y(一%)=(3r—3v)cos(-X)

=-(3X—3feesx=—fix),

所以函數(shù)y=(3*—3r)cosX是奇函數(shù)，

排除B,D；

取x=l,貝Ijy=(3—；)cos1=1cosl>0,排除C,故選A.

3.（2023?黑龍江模擬）已知某個函數(shù)的圖象如圖所示，則下列解析式中與此圖象最為符合的是

ln|工一1|

B，

A.8)=x/)=ln|x-l|

x—2

D,「x)=x(Ll)

答案A

解析對于B選項,函數(shù)式x)=M為有意義,則解得xWO且xWl且xW2,

,ln|x-l|^O,

故不滿足，錯誤;

對于C選項，函數(shù)/(x)==7有意義，則僅|一1#0,解得xW±l,故不滿足，錯誤;

I入I1

對于D選項，當(dāng)xG(O,D時，火》)=；；［?］)>0,故不滿足，錯誤.

故根據(jù)排除法得兀0=羋R

與此圖象最為符合.

4.若函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=-/(x+l)的圖象大致為()

答案C

解析要想由)，=%)的圖象得到y(tǒng)=-A尤+1)的圖象，需要先作出)，=/(x)的圖象關(guān)于x軸對

稱的圖象y=一兀0,然后向左平移1個單位長度得到y(tǒng)=-/(x+l)的圖象，根據(jù)上述步驟可

知C正確.

5.已知府)是定義在［-5,5］上的偶函數(shù)，當(dāng)一5WxWO時，_/(x)的圖象如圖所示，則不等式覆

<0的解集為()

A.(一兀，-2)U(0,2)U(jt,5]

B.(一兀，-2)U(jt,5]

C.[-5,-2)U(0,7t)U(7t,5]

D.[-5,-2)U(jt,5]

答案A

解析因為火x)是定義在[—5,5]上的偶函數(shù)，觀察圖象結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)得

段)>0的解集為[-5,-2)U(2,5],大力<0的解集為(一2,2),

當(dāng)xC[-5,5]時，sinx>0的解集為[-5,—兀)U(0,jt),sinx<0的解集為(一兀，0)U(TC,5],

麻）>0,/於）<0,

不等式翳<0等價于或isinx>0,

[sinx<0

危）>0,

由解得XG（一“，-2）U（7t,5],

[smx<0,

依x）<0,

由.八解得xe（o,2）,

[sinx>0,

所以不等式品<0的解集為(一兀，-2)U(0,2)UE，5].

f_3工

_.八方程1|=2—則下列判斷正確的

{—eAr+Lx<0,

是()

A.函數(shù)段)的圖象關(guān)于直線x=|對稱

B.函數(shù)段)在區(qū)間(3,+8)上單調(diào)遞增

C.當(dāng)相6(1,2)時，方程有3個不同的實數(shù)根

D.當(dāng)機e(—1,0)時，方程有4個不同的實數(shù)根

答案BD

解析對于選項A,負4)=4,1)=1—e,

顯然函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱；

對于選項B,3x的圖象是開口向上的拋物線，所以函數(shù)式x)在區(qū)間(3,+8)上單調(diào)

遞增；

作出函數(shù)y=l/(x)—II的圖象，如圖所示，

對于選項C,當(dāng)〃ZW(1,2)時，2—,〃e(o,l),結(jié)合圖象可知方程|/(x)—l|=2-"?(/nGR)有2個

不同的實數(shù)根；

對于選項D,當(dāng)〃?W(—1,0)時，2—膽6(2,3),結(jié)合圖象可知方程|/(x)—1|=2—，w(mGR)有4

個不同的實數(shù)根.

7.將函數(shù)凡r)的圖象先向左平移一個單位長度，再向上平移一個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖

象，若g(x)為奇函數(shù)，則共0)+犬2)=.

答案一2

解析由函數(shù)_/u)的圖象先向左平移一個單位長度，再向上平移一個單位長度得到函數(shù)g(x)

的圖象，可得g(x)=/(x+l)+l,

故yu)=g(x—1)—1，

所以人0)+7(2)=g(_l)_l+g(l)_]=—g(l)+g(l)_2=_2.

%+1

8.(2023?衡水質(zhì)檢)函數(shù)段)==[的圖象與直線y=fcx+l交于不同的兩點(xi，力)，(如小)，

則％+丫2=.

答案2

r—I-11

解析因為.人幻='-=1+1,所以7U)的圖象關(guān)于點(0』)對稱，而直線y="+l過(0,1)點，

故兩圖象的交點(X],yi),(X2,>2)關(guān)于點(0,1)對稱，所以即)，]+竺=2.

居xWO,

9.已知函數(shù)於)=，1—x

~~,x>0.

(1)畫出函數(shù)/U)的圖象；

(2)當(dāng)lx)》2時，求實數(shù)x的取值范圍.

x2,xWO,

解(1)由題得兀t)=h其圖象如圖所示，

--1,x>0,

x>0,

xWO,

(2)由題可得，或'h1—rx.在，

解得xW—也或0aWg,

所以實數(shù)x的取值范圍為(-8,一啦］U(0,1.

x2+2x,x<0,

10.已知凡r)=2,cj是定義在R上的奇函數(shù).

~x^+2x,x^O

(1)請畫出的大致圖象并在圖象上標(biāo)注零點；

(2)已知若函數(shù)人x)在區(qū)間［-1,。-2］上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍;

(3)若函數(shù)<p(x)=J(x)—ex,求e(x)的零點個數(shù).

解(1)根據(jù)題意，列表如下，

(2)由(1)的函數(shù)圖象可知，要使犬x)在［-1,“一2］上單調(diào)遞增，則一l<a—2W1,即l<aW3,

故a的取值范圍為l<aW3.

(3)9(X)=/(X)—e'.的零點即為網(wǎng)與y=e*圖象交點的橫坐標(biāo)，

又)，=?，在R上單調(diào)遞增，值域為(0,+°°),

結(jié)合(1)的圖象，易知犬》)與>=^的困象在(-8,0)有一個交點，即夕(x)只有一個零點.

N綜合提升練

11.(多選)函數(shù)共幻=三托的圖象如圖所示，貝11()

(X十C)

A.a>0B.b<0

C.c>0D.ahc<0

答案AB

解析函數(shù)的定義域為{x|x￥-c},

由圖可知一c>0,則c<0,

b

由圖可知人0）=不<0,所以/?<0,

由/（x）=0,得av+〃=0,x——

由圖可知一，），得沁所以。>0,

綜上，tf>0,h<0,c<0.

12.（2023?濟南模擬）若平面直角坐標(biāo)系內(nèi)A,8兩點滿足：（1）點A,B都在y（x）的圖象上；

（2）點A,8關(guān)于原點對稱，則對稱點對（A,8）是函數(shù)應(yīng)r）的一個“和諧點對”，（A,B）與（B,

X2+2X,X<0,

A）可看作一個''和諧點對”.已知函數(shù)式x）=<2、則段）的“和諧點對”有（）

￡，X20,

A.1個B.2個

C.3個D.4個

答案B

解析作出函數(shù)>=f+24》<0）的圖象關(guān)于原點對稱的圖象（如圖中的虛線部分），看它與函數(shù)

丫=康2020）的圖象的交點個數(shù)即可，觀察圖象可得交點個數(shù)為2,

即於）的