第30講 解答題中的新定義（原卷版）

第30講解答題中的新定義【中考真題練與模擬練】1．（2022秋?黃浦區(qū)期末）圭表（如圖1）是我國古代度量日影長度的天文儀器，它包括一根直立的桿（稱為“表”）和一把南北方向水平放置且與桿垂直的標(biāo)尺（稱為“圭”）．當(dāng)正午的陽光照射在“表”上時(shí)，“表”的影子便會(huì)投射在“圭”上．我國古代很多地區(qū)通過觀察“表”在“圭”上的影子長度來測算二十四節(jié)氣，并以此作為指導(dǎo)農(nóng)事活動(dòng)的重要依據(jù)．例如，我國古代歷法將一年中白晝最短的那一天（當(dāng)日正午“表”在“圭”上的影子長度為全年最長）定為冬至；白晝最長的那一天（當(dāng)日正午“表”在“圭”上的影子長度為全年最短）定為夏至．某地發(fā)現(xiàn)一個(gè)圭表遺跡（如圖2），但由于“表”已損壞，僅能測得“圭”上記錄的夏至線與冬至線間的距離（即AB的長）為11.3米．現(xiàn)已知該地冬至正午太陽高度角（即∠CBD）為35°34′，夏至正午太陽高度角（即∠CAD）為82°26′，請(qǐng)通過計(jì)算推測損壞的“表”原來的高度（即CD的長）約為多少米？（參考數(shù)據(jù)見表，結(jié)果精確到個(gè)位）αsinαcosαtanα35°34′0.580.810.7282°26′0.990.137.5（注：表中三角比的值是近似值）2．（2019?上海）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線y＝x2﹣2x，其頂點(diǎn)為A．（1）寫出這條拋物線的開口方向、頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，并說明它的變化情況；（2）我們把一條拋物線上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫做這條拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”．①試求拋物線y＝x2﹣2x的“不動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)；②平移拋物線y＝x2﹣2x，使所得新拋物線的頂點(diǎn)B是該拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，且四邊形OABC是梯形，求新拋物線的表達(dá)式．3．（2021?黃浦區(qū)二模）如果拋物線C1：y＝ax2+bx+c與拋物線C2：y＝﹣ax2+dx+e的開口方向相反，頂點(diǎn)相同，我們稱拋物線C2是C1的“對(duì)頂”拋物線．（1）求拋物線y＝x2﹣4x+7的“對(duì)頂”拋物線的表達(dá)式；（2）將拋物線y＝x2﹣4x+7的“對(duì)頂”拋物線沿其對(duì)稱軸平移，使所得拋物線與原拋物線y＝x2﹣4x+7形成兩個(gè)交點(diǎn)M、N，記平移前后兩拋物線的頂點(diǎn)分別為A、B，當(dāng)四邊形AMBN是正方形時(shí)，求正方形AMBN的面積．（3）某同學(xué)在探究“對(duì)頂”拋物線時(shí)發(fā)現(xiàn)：如果拋物線C1與C2的頂點(diǎn)位于x軸上，那么系數(shù)b與d，c與e之間的關(guān)系是確定的，請(qǐng)寫出它們之間的關(guān)系．4．（2021?上海模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖）中，二次函數(shù)f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1（其中a是常數(shù)，且a≠0）的圖象是開口向上的拋物線．（1）求該拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）我們將橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做“整點(diǎn)”，將拋物線f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1與y軸的交點(diǎn)記為A，如果線段OA上的“整點(diǎn)”的個(gè)數(shù)小于4，試求a的取值范圍；（3）如果f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）這四個(gè)函數(shù)值中有且只有一個(gè)值大于0，試寫出符合題意的一個(gè)函數(shù)解析式；結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．5．（2021?浦東新區(qū)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們把以拋物線y＝x2上的動(dòng)點(diǎn)A為頂點(diǎn)的拋物線叫做這條拋物線的“子拋物線”．如圖，已知某條“子拋物線”的二次項(xiàng)系數(shù)為，且與y軸交于點(diǎn)C．設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m（m＞0），過點(diǎn)A作y軸的垂線交y軸于點(diǎn)B．（1）當(dāng)m＝1時(shí)，求這條“子拋物線”的解析式；（2）用含m的代數(shù)式表示∠ACB的余切值；（3）如果∠OAC＝135°，求m的值．6．（2022?黃浦區(qū)校級(jí)二模）如果三角形中一個(gè)內(nèi)角α的兩條夾邊中有一條邊上的中線長恰好等于這條邊的長，那么稱這個(gè)三角形為“奇異三角形”，角α叫做“奇異角”，這條邊叫做“角α的奇異邊”．（1）如圖1，已知在△ABC中，∠C＝90°，，求證：△ABC是“奇異三角形”；（2）已知△DEF是“奇異三角形”，DE＝2，∠D＝60°，當(dāng)DE是“∠D的奇異邊”時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D2上作出△DEF并求出DF的長；（不必寫作法，保留作圖痕跡）（3）如圖3，已知在邊長為a的正方形ABCD中，點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以相同的速度分別沿折線AB﹣BC和AD﹣DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)P所經(jīng)過的路程為S，當(dāng)△APQ為“奇異三角形”時(shí)，求的值．7．（2020?金山區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）和B（0，3），其頂點(diǎn)為C．（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）我們把坐標(biāo)為（