人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步壓軸題專題05相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（原卷版+解析）

專題05相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例1．(分類討論)如圖，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA以3cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs．(1)當(dāng)時(shí)，求x的值．(2)△APQ與△CQB能否相似？若能，求出AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．例2．(角度相等)已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，AD⊥BC，垂足為D，F(xiàn)為AD中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)E為點(diǎn)P關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)．連接PQ、FQ、EF、AE．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0＜t＜4)，解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)PQ∥AE時(shí)，求t的值；(2)設(shè)四邊形AEPQ的面積為y(cm2)，試確定y與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使∠DFE＝∠AFQ？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練1】如圖，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度沿CA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止．(1)求經(jīng)過(guò)幾秒后，△PCQ的面積等于？(2)經(jīng)過(guò)幾秒，△PCQ與△ABC相似？【變式訓(xùn)練2】(一次函數(shù)與相似)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．點(diǎn)E是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，QP⊥EP交AB于點(diǎn)Q(保持點(diǎn)Q在x軸上方)，EF⊥EQ交AB于點(diǎn)F．(1)當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，求OE的長(zhǎng)．(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段OB上移動(dòng)時(shí)，設(shè)AQ＝n，OE＝m，求n關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式．(3)點(diǎn)E在射線OB上移動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)Q、E、F構(gòu)成的三角形與△OAB相似，求出點(diǎn)E的縱坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練3】如圖1，已知矩形的邊長(zhǎng)，．某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿以的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)：同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，沿方向以的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．(1)若是等腰直角三角形，則___________(直接寫出結(jié)果)．(2)是否存在時(shí)刻t，使以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖2，連接，試求的最小值．【變式訓(xùn)練4】(二次函數(shù)與相似)已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與y軸交于點(diǎn)C(0，﹣3)，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，﹣4)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，拋物線在第四象限的圖象上有一點(diǎn)M，求四邊形ABMC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)如圖2，直線CD交x軸于點(diǎn)E，若點(diǎn)P是線段EC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)P、E、O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．課后訓(xùn)練1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段AB運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿線段OC運(yùn)動(dòng)，連接OB，連接PQ與線段OB相交于點(diǎn)D，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)_____________，_____________(請(qǐng)用含的代數(shù)式表示)(2)當(dāng)時(shí)，求的值．(3)在P，Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，將矩形AOCB沿PQ折疊，點(diǎn)A，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)E，點(diǎn)F．①當(dāng)點(diǎn)F恰好落在線段OB上時(shí)，直接寫出此時(shí)的t值．②連接PF，連接OF，當(dāng)時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．2．如圖，拋物線的圖象與軸交于點(diǎn)，，與軸相交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)是軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于，以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．3．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B在直線上，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線，過(guò)原點(diǎn)O作直線l的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)C．(1)如圖，點(diǎn)B，C分別在第三、二象限內(nèi)，BC與AO相交于點(diǎn)D．①若，求證：．②若，求四邊形的面積．(2)是否存在點(diǎn)B，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求OB的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．如圖，在矩形中，，是對(duì)角線的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，射線交于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，在上取點(diǎn)，使，設(shè)，(1)連接，當(dāng)時(shí)，判斷四邊形是否為平行四邊形，并說(shuō)明理由．(2)當(dāng)時(shí)，若平行的某一邊，求的長(zhǎng)．(3)若，分別記和的面積為和，且．求的值．5．如圖1，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、C重合)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD于點(diǎn)E，連接PB，已知AD＝3，AB＝4，設(shè)AP＝m．(1)當(dāng)m＝1時(shí)，求PE的長(zhǎng)；(2)連接BE，試問(wèn)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，能否使得△PAB≌△PEB？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥PB交CD邊于點(diǎn)F，設(shè)CF＝n，試判斷5m+4n的值是否發(fā)生變化，若不變，請(qǐng)求出它的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是平行四邊形邊上一點(diǎn)，且．(1)如圖1，若，求證：；(2)若，．①如圖2，連接交于點(diǎn)，，求的值．②如圖3，點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．7．如圖，在矩形中，，，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，作，交邊于點(diǎn)．已知點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始，以的速度在線段上移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)為何值時(shí)，？(2)連接，設(shè)的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)連接，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使恰好將分成面積比為的兩部分？若存在，直接寫出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．已知，如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于點(diǎn)D，直線PM交BC于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)M，直線PM從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持PM⊥BC，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB，交AB于點(diǎn)Q，交AD于點(diǎn)N，連接QM，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t(s)(0＜t＜6)，解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)t為何值時(shí)，QM//BC？(2)設(shè)四邊形ANPM的面積為y(cm2)，試求出y與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形ANPM的面積是△ABC面積的？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)M在線段PQ的垂直平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．專題05相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例1．(分類討論)如圖，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA以3cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs．(1)當(dāng)時(shí)，求x的值．(2)△APQ與△CQB能否相似？若能，求出AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)能，AP＝cm或20cm【解析】(1)解：當(dāng)時(shí)，AP：AB＝AQ：AC，∵AP＝4x，AQ＝30－3x，∴，解得：x＝；(2)解：∵BA＝BC∴，①當(dāng)△APQ∽△CQB時(shí)，有，即：，解得：，∴(cm)，②當(dāng)△APQ∽△CBQ時(shí)，有，即：，解得：x＝5或x＝－10(舍去)，∴PA＝4x＝20(cm)，綜上所述，當(dāng)AP＝cm或20cm時(shí)，△APQ與△CQB相似．例2．(函數(shù)與相似)已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，AD⊥BC，垂足為D，F(xiàn)為AD中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)E為點(diǎn)P關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)．連接PQ、FQ、EF、AE．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0＜t＜4)，解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)PQ∥AE時(shí)，求t的值；(2)設(shè)四邊形AEPQ的面積為y(cm2)，試確定y與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使∠DFE＝∠AFQ？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，【詳解】解：(1)當(dāng)時(shí)，，，，，，，點(diǎn)E與點(diǎn)P關(guān)于AD對(duì)稱，，，，，，即，解得：，舍去，故，(2)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，，，，，，，，，解得，，由(1)可知，，四邊形，，，(3)存在，理由如下：當(dāng)時(shí)，三點(diǎn)共線，過(guò)點(diǎn)作，如圖，，，，，即，解得，，F(xiàn)為AD中點(diǎn)，，，，，，，即，解得(舍去，)．當(dāng)時(shí)，．【變式訓(xùn)練1】如圖，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度沿CA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止．(1)求經(jīng)過(guò)幾秒后，△PCQ的面積等于？(2)經(jīng)過(guò)幾秒，△PCQ與△ABC相似？【答案】(1)經(jīng)過(guò)4秒后，的面積等于(2)經(jīng)過(guò)秒或秒，與相似．【解析】(1)解：設(shè)經(jīng)過(guò)秒后，的面積的面積等于，則，，，，整理得，解得：，，經(jīng)過(guò)4秒后，的面積等于．(2)解：①設(shè)經(jīng)過(guò)秒后，，，解得；②設(shè)經(jīng)過(guò)秒后，，，解得；經(jīng)過(guò)秒或秒，與相似．【變式訓(xùn)練2】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．點(diǎn)E是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，QP⊥EP交AB于點(diǎn)Q(保持點(diǎn)Q在x軸上方)，EF⊥EQ交AB于點(diǎn)F．(1)當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，求OE的長(zhǎng)．(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段OB上移動(dòng)時(shí)，設(shè)AQ＝n，OE＝m，求n關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式．(3)點(diǎn)E在射線OB上移動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)Q、E、F構(gòu)成的三角形與△OAB相似，求出點(diǎn)E的縱坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)，，【解析】(1)∵PQ⊥AB，QP⊥EP，∴EP∥AB，∴∠OEP＝∠OBA，∠OPE＝∠OAB，∴△OEP∽△OBA，∴，即，解得．(2)如圖1，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥OA．∵，OB＝1，∴AB＝3．∴，，在Rt△AQN中，，．∵，∴．∵QN⊥OA，QP⊥EP，∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∴△QNP∽△POE，∴，即，整理得．(3)①如圖2，∠EFQ＝∠ABO時(shí)．過(guò)點(diǎn)E，Q分別作EM⊥FQ于點(diǎn)M，QN⊥OA于點(diǎn)N，則有△EBM∽△ABO，∴設(shè)BM＝m，BE＝3m．∵∠EBF＝∠ABO，∴∠EFQ＝∠EBF，∴EF＝EB＝3m．∵EM⊥FQ，∴BF＝2BM＝2m，∵，∴FQ＝9m，∴BQ＝7m，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為同理可得△EOP∽△PNQ，則，即，整理得，解得，(不合題意，舍去)．∴，∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為．②如圖3，點(diǎn)B，F(xiàn)重合，∠FQE＝∠FAO時(shí)．設(shè)BE＝m，則QN＝OE＝1－m，，同理可得△EOP∽△PNQ，則，即，整理得，解得，(不合題意，舍去)．∴，∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為．③如圖4，∠FQE＝∠ABO時(shí)．過(guò)點(diǎn)E，Q分別作EM⊥FQ于點(diǎn)M，QN⊥OA于點(diǎn)N，則有△EBM∽△ABO，∴．設(shè)BM＝m，BE＝3m．∵∠FQE＝∠ABO，∴EQ＝EB＝3m∵EM⊥FQ，∴BQ＝2BM＝2m，同理可得△EOP∽△PNQ，則，即，整理得，解得，(不合題意，舍去)．∴，∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為．綜上所述，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為，，【變式訓(xùn)練3】如圖1，已知矩形的邊長(zhǎng)，．某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿以的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)：同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，沿方向以的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．(1)若是等腰直角三角形，則___________(直接寫出結(jié)果)．(2)是否存在時(shí)刻t，使以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖2，連接，試求的最小值．【答案】(1)2；(2)存在，理由見(jiàn)解析；(3)15【解析】(1)∵，∴若是等腰直角三角形時(shí)，只有．根據(jù)題意可知，，則，∴，解得，故答案為：2．(2)∵，∴以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與相似分為兩種情況，①當(dāng)時(shí)，有，即，解得：；②當(dāng)時(shí)，有，即，解得：．當(dāng)或時(shí)，以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與相似；(3)如圖，取CN中點(diǎn)E，作E點(diǎn)關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，連接．作M點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接，．根據(jù)作圖可知，，∴，∴當(dāng)最小時(shí)最小，∵，∴的最小值為的長(zhǎng)，即的最小值為2的長(zhǎng)．如圖，連接并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)F，AB于點(diǎn)G．∵作E點(diǎn)關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，∴，．又∵E為中點(diǎn)，∴，G為AB中點(diǎn)，∴，．∵作M點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)，∴，∴．在中，，∵，∴時(shí)，最小，即．∴．【變式訓(xùn)練4】已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與y軸交于點(diǎn)C(0，﹣3)，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，﹣4)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，拋物線在第四象限的圖象上有一點(diǎn)M，求四邊形ABMC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)如圖2，直線CD交x軸于點(diǎn)E，若點(diǎn)P是線段EC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)P、E、O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)y＝(x﹣1)2﹣4(2)點(diǎn)M坐標(biāo)(，﹣)時(shí)，四邊形ABMC面積的最大值(3)存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣1，﹣2)或(﹣，﹣)【解析】(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a(x﹣1)2﹣4，將點(diǎn)C(0，﹣3)代入得：4a﹣4＝0，解得a＝1，∴拋物線表達(dá)式為：y＝(x﹣1)2﹣4；(2)連接BC，作MN∥y軸交BC于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)E，作CF⊥MN于點(diǎn)F，如圖，由(1)知，拋物線表達(dá)式為y＝(x﹣1)2﹣4＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，可解得x1＝﹣1，x2＝3，∴點(diǎn)A坐標(biāo)(﹣1，0)，點(diǎn)B坐標(biāo)(3，0)，設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝kx+b，將點(diǎn)B(3，0)，C(0，﹣3)代入得：，∴，∴直線BC表達(dá)式為y＝x﹣3，設(shè)M點(diǎn)(m，m2﹣2m﹣3)，則點(diǎn)N(m，m﹣3)，∴S四邊形ABMC＝S△ABC+S△BCM＝S△ABC+S△CMN+S△BMN＝+＝＝6+＝當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)M坐標(biāo)時(shí)，四邊形ABMC面積的最大值；(3)如圖，作PQ垂直x軸，設(shè)直線CD：y＝px+q，將點(diǎn)C，D分別代入得，，解得，∴直線BC：y＝﹣x﹣3，當(dāng)y＝0時(shí)，解得x＝﹣3，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為(﹣3，0)，∵OE＝OC＝OB＝3，∴∠OEC＝∠OBC＝45°，在Rt△OBC中，BC＝＝，①當(dāng)△BAC∽△EPO時(shí)，，即，解得EP＝，在Rt△EPQ中，∠OEC＝45°，∴sin45°＝，解得PQ＝2，∴EQ＝PQ＝2，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)(﹣1，﹣2)；②當(dāng)△BAC∽△EOP時(shí)，，即，解得EP＝，在Rt△EPQ中，∠OEC＝45°，∴sin45°＝，解得∴，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣1，﹣2)或時(shí)，點(diǎn)P、E、O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．課后訓(xùn)練1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段AB運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿線段OC運(yùn)動(dòng)，連接OB，連接PQ與線段OB相交于點(diǎn)D，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)_____________，_____________(請(qǐng)用含的代數(shù)式表示)(2)當(dāng)時(shí)，求的值．(3)在P，Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，將矩形AOCB沿PQ折疊，點(diǎn)A，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)E，點(diǎn)F．①當(dāng)點(diǎn)F恰好落在線段OB上時(shí)，直接寫出此時(shí)的t值．②連接PF，連接OF，當(dāng)時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】(1)t，6-2t；(2)；(3)①；②【詳解】解：(1)根據(jù)題意得：AP=t，CQ=2t，∵矩形ABCO的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，∴OC=AB=6，∴OQ=6-2t；(2)∵四邊形ABCO是矩形，∴AB∥OC，即BP∥OQ，∴，∵，∴，即，∵AP=t，∴BP=6-t，∴，解得：；(3)①如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OC于點(diǎn)M，則OM=AP=t，∵將矩形AOCB沿PQ折疊，點(diǎn)A，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)E，點(diǎn)F．∴PQ⊥OB，即∠ODQ=90°，∴∠DOQ+∠OQD=90°，在矩形AOCB中，頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，∠OCB=90°，AB∥OC，OC⊥OA，AB⊥OA，BC=OA=4，∴∠DOQ+∠OBC=90°，PM=AO=4，∴∠OBC=∠OQD，∵PM⊥OC，∴∠PMQ=∠OCB=90°，∴，∴，∵OQ=6-2t，∴MQ=6-2t-t=6-3t，∴，解得：；②如圖，設(shè)OF交PQ于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)F作GH⊥AB于點(diǎn)H交OC于點(diǎn)G，則GH⊥OC，在矩形AOCB中，∠A=90°，∴∠A=∠AHF=∠FGQ=90°，∴四邊形AOGH是矩形，∴AH=OG，HG=OA=4，∵將矩形AOCB沿PQ折疊，點(diǎn)A，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)E，點(diǎn)F．∴PQ垂直平分OF，∴OP=FP，F(xiàn)Q=OQ=6-2t，∴∠PFO=∠POF，∵，∴∠PFO=∠POF=45°，∴∠OPF=90°，∴∠APO+∠FPH=90°，∵∠APO+∠AOP=90°，∴∠FPH=∠AOP，∵∠A=∠PHF=90°，∴，∴FH=AP=t，PH=OA=4，∴OG=AH=4+t，F(xiàn)G=HG-FH=4-t，∴QG=OG-OQ=(4+t)-(6-2t)=3t-2，在中，由勾股定理得：，解得：或(舍去)，∴，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為．2．如圖，拋物線的圖象與軸交于點(diǎn)，，與軸相交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)是軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于，以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)或或．【詳解】解：(1)∵拋物線的頂點(diǎn)為，∴設(shè)拋物線解析式為，∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得a=-1，∴拋物線解析式為即，(2)把x=0代入，得y=0，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,2)，把y=0代入得，解得，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(-1,0)，∴OA=1，OC=2；設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為()∵點(diǎn)M是軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，∴MP=x，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C下方，△MPC∽△COA時(shí)，則，即，解得，其中x=0不合題意，舍去，此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C下方，△MPC∽△AOC時(shí)，則，即，解得，其中x=0不合題意，舍去，此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為；③如圖3當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C上方，△MPC∽△COA時(shí)，則，即，解得，其中x=0不合題意，舍去，此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為；④當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)上下方，△MPC∽△AOC時(shí)，則，即，解得，均不合題意，舍去；綜上所述，符合條件的M坐標(biāo)分別是或或．3．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B在直線上，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線，過(guò)原點(diǎn)O作直線l的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)C．(1)如圖，點(diǎn)B，C分別在第三、二象限內(nèi)，BC與AO相交于點(diǎn)D．①若，求證：．②若，求四邊形的面積．(2)是否存在點(diǎn)B，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求OB的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②；(2)存在，，4，9，1【詳解】解：(1)①證明：如圖1，∵，∴．∴，∴．而，∴．∵，∴．∴，∴．②如圖1，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H．由題意可知，在中，．設(shè)，．∵，∴，解得．∴．∵，∴，∴∴．∵，∴，∴，：∴．(2)過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，則有．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在第二象限內(nèi)，時(shí)，設(shè)∵，∴．又∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴，整理得，解得．∴．②如圖3，當(dāng)點(diǎn)C在第二象限內(nèi)，時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，則，∴．又∵，∴，而，∴，∴③當(dāng)點(diǎn)C在第四象限內(nèi)，時(shí)，與相交于點(diǎn)E，則有．(a)如圖4，點(diǎn)B在第三象限內(nèi)．在中，，∴∴，又∵，∴，而∴，∴∴，∴，∴(b)如圖5，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)．在中∴，∴．又∵，∴而，∴，∴∴，∴，∴綜上所述，的長(zhǎng)為，4，9，1．4．如圖，在矩形中，，是對(duì)角線的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，射線交于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，在上取點(diǎn)，使，設(shè)，(1)連接，當(dāng)時(shí)，判斷四邊形是否為平行四邊形，并說(shuō)明理由．(2)當(dāng)時(shí)，若平行的某一邊，求的長(zhǎng)．(3)若，分別記和的面積為和，且．求的值．【答案】(1)四邊形EDBC是平行四邊形，理由見(jiàn)詳解；(2)或；(3)．【詳解】解：(1)四邊形EDBC是平行四邊形，理由如下：∵四邊形是矩形，，∴，∴，∵是對(duì)角線的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴四邊形EDBC是平行四邊形；(2)由(1)及題意得：，①當(dāng)時(shí)，則，如圖所示：∴∠FCQ=45°，∴△FQC、△EDC都為等腰直角三角形，∴ED=DC=8，,∴，∵，∴，即，∴，∴AD=24-8=16；②當(dāng)時(shí)，如圖所示：作DH∥FC交AC于點(diǎn)H，∴，∴，∴，∵，DQ=CD-CQ=8-6=2，∴，∵DH∥EC，∴，∴AC=24，∴，綜上所述：或；(3)過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥CF于點(diǎn)N，如圖所示：∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴EO是∠AEC的角平分線，∴，∴，在Rt△CNQ中，，即，解得：，，∴，∴．5．如圖1，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、C重合)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD于點(diǎn)E，連接PB，已知AD＝3，AB＝4，設(shè)AP＝m．(1)當(dāng)m＝1時(shí)，求PE的長(zhǎng)；(2)連接BE，試問(wèn)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，能否使得△PAB≌△PEB？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥PB交CD邊于點(diǎn)F，設(shè)CF＝n，試判斷5m+4n的值是否發(fā)生變化，若不變，請(qǐng)求出它的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)PE＝；(2)不能，理由見(jiàn)解析；(3)不變，5m+4n＝16．【詳解】解：(1)連接BE，由已知：在Rt△ADC中，AC＝，當(dāng)AP＝m＝1時(shí)，PC＝AC﹣AP＝5﹣1＝4，∵PE⊥CD，∴∠PEC＝∠ADC＝90°，∵∠ACD＝∠PCE，∴△ACD∽△PCE，∴，即，∴PE＝；(2)如圖1，當(dāng)△PAB≌△PEB時(shí)，∴PA＝PE，∵AP＝m，則PC＝5﹣m，由(1)得：△ACD∽△PCE，∴，∴PE＝，由PA＝PE，即，解得：m＝，∴EC＝，∴BE＝，∴△PAB與△PEB不全等，∴不能使得△PAB≌△PEB；(3)如圖2，延長(zhǎng)EP交AB于G，∵BP⊥PF，∴∠BPF＝90°，∴∠EPF+∠BPG＝90°，∵EG⊥AB，∴∠PGB＝90°，∴∠BPG+∠PBG＝90°，∴∠PBG＝∠EPF，∵∠PEF＝∠PGB＝90°，∴△BPG∽△PFE，∴，由(1)得：△PCE∽△ACD，PE＝，∴，即，∴EC＝，∴BG＝EC＝，∴，∴5m+4n＝16．6．如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是平行四邊形邊上一點(diǎn)，且．(1)如圖1，若，求證：；(2)若，．①如圖2，連接交于點(diǎn)，，求的值．②如圖3，點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2)①；②28?16【詳解】解：(1)如圖1中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADC＝60°，∴△ABC，△ADC都是等邊三角形，∴∠CAD＝∠ACD＝60°，∵∠DPK＝∠B＝60°，∠CPD＝∠CPK＋∠DPK＝∠CAD＋∠ADP，∴∠ADP＝∠CPK，∴△DAP∽△PCK，∴；(2)①如圖2中，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥CD于M，PN⊥BC于N，連接PB．∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是正方形，∴∠PCD＝∠PCB，∵CP＝CP，CD＝CB，∴△PCD≌△PCB(SAS)，∴PB＝PD，∠PBK＝∠CDP，∵∠DPK＝90°，∠DCK＝90°，∴∠PKC＋∠CDP＝180°，∵∠PKC＋∠PKB＝180°，∴∠PKB＝∠CDP，∴∠PBK＝∠PKB，∴PB＝PK＝PD，∵PM⊥CD，PN⊥CB，∠PCM＝∠PCN，∴PM＝PN，∵PD＝PK，∠PMD＝∠PNK＝90°，∴Rt△PMD≌Rt△PNK(HL)，∴DM＝NK，∵PB＝PK，PN⊥BK，∴BN＝NK＝DM，設(shè)BN＝KN＝DM＝x，則CM＝4?x，CK＝4?2x，PC＝(4?x)，∵CE：PE＝4：5，∴EC=(4?x)，∵CK∥AD，∴，∵AC＝4∴AE＝4-(4?x)，∴，解得：x＝1或?2(舍棄)，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1是分式方程的根，∴EC=，PE=，∵∠PDE＝∠ECK＝45°，∠DEP＝∠CEK，∴△DEP∽△CEK，∴，∴DE?EK＝PE?EC＝×=；②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)K從B運(yùn)動(dòng)到C，點(diǎn)K的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為4．當(dāng)點(diǎn)K在線段CD上時(shí)，如圖4中，過(guò)點(diǎn)D作DO⊥AC于O，過(guò)點(diǎn)K作KJ⊥AC于J，設(shè)CK＝y(tǒng)，OP＝x．∵AC＝4，AD＝DC，DO⊥AC，∴OA＝OC＝2，∵∠KCJ＝45°，CK＝y(tǒng)，∴KJ＝CJ＝y(tǒng)，∵∠DOP＝∠DPK＝∠PJK＝90°，∴∠DPO＋∠ODP＝90°，∠DPO＋∠KPJ＝90°，∴△DOP∽△PJK，∴，∴，整理得，2x2?(4?y)x＋4y＝0，∵△≥0，∴(4?y)2?32y≥0，解得：y≤12?8或y≥12＋8(舍棄)，∴y的最大值為12?8，當(dāng)點(diǎn)P從O運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，點(diǎn)K的運(yùn)動(dòng)路徑是2CK＝24?16，∴點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，則點(diǎn)K的運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為28?16．7．如圖，在矩形中，，，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，作，交邊于點(diǎn)．已知點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始，以的速度在線段上移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)為何值時(shí)，？(2)連接，設(shè)的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)連接，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使恰好將分成面積比為的兩部分？若存在，直接寫出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)3；(2)；(3)或；(4