中考數(shù)學(xué)解題技巧 2幾何最值之將軍飲馬問題

專題2幾何最值之將軍飲馬問題專題2幾何最值之將軍飲馬問題知識導(dǎo)航知識導(dǎo)航方法技巧方法技巧“將軍飲馬”問題主要利用構(gòu)造對稱圖形解決求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，會與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結(jié)合，在近年的中考和競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn)．【抽象模型】如圖，在直線上找一點P使得PA+PB最??？【模型解析】作點A關(guān)于直線的對稱點A’，連接PA’，則PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB當(dāng)A’、P、B三點共線的時候，PA’+PB=A’B，此時為最小值（兩點之間線段最短）題型精講題型精講題型一：兩定一動模型模型作法結(jié)論當(dāng)兩定點A、B在直線l異側(cè)時，在直線l上找一點P，使PA＋PB最小．連接AB交直線l于點P，點P即為所求作的點．PA＋PB的最小值為AB當(dāng)兩定點A、B在直線l同側(cè)時，在直線l上找一點P，使得PA＋PB最?。鼽cB關(guān)于直線l的對稱點B'，連接AB'交直線l于點P，點P即為所求作的點．PA＋PB的最小值為AB'當(dāng)兩定點A、B在直線l同側(cè)時，在直線l上找一點P，使得最大．連接AB并延長交直線l于點P，點P即為所求作的點．的最大值為AB當(dāng)兩定點A、B在直線l異側(cè)時，在直線l上找一點P，使得最大．作點B關(guān)于直線I的對稱點B'，連接AB'并延長交直線l于點P，點P即為所求作的點．的最大值為AB'當(dāng)兩定點A、B在直線l同側(cè)時，在直線l上找一點P，使得最?。B接AB，作AB的垂直平分線交直線l于點P，點P即為所求作的點．的最小值為0【例1】如圖，點C的坐標(biāo)為（3，y），當(dāng)△ABC的周長最短時，求y的值．【解析】解：解：（1）作A關(guān)于x=3的對稱點A′，連接A′B交直線x=3與點C．∵點A與點A′關(guān)于x=3對稱，∴AC=A′C．∴AC+BC=A′C+BC．當(dāng)點B、C、A′在同一條直線上時，A′C+BC有最小值，即△ABC的周長有最小值．∵點A與點A′關(guān)于x=3對稱，∴點A′的坐標(biāo)為（6，3）．設(shè)直線BA′的解析式y(tǒng)=kx+b，將點B和點A′的坐標(biāo)代入得：k＝，b＝?．∴y=x-．將x=3代入函數(shù)的解析式，∴y的值為【例2】如圖，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一點，且DM＝3，N是AC上的一動點，求|DN－MN|的最小值與最大值．【解析】解：當(dāng)ND=NM時，即N點DM的垂直平分線與AC的交點，|DN-MN|=0，

因為|DN-MN|≤DM，當(dāng)點N運動到C點時取等號，此時|DN-MN|=DM=3，

所以|DN-MN|的最小值為0，最大值為3【例3】如圖1（注：與圖2完全相同），在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點三點,,．（1）求拋物線的解析式和對稱軸；（2）是拋物線對稱軸上的一點，求滿足的值為最小的點坐標(biāo)（請在圖1中探索）；（3）在第四象限的拋物線上是否存在點，使四邊形是以為對角線且面積為的平行四邊形？若存在，請求出點坐標(biāo)，若不存在請說明理由.（請在圖2中探索）【答案】（1），函數(shù)的對稱軸為：；（2）點；（3）存在，點的坐標(biāo)為或．【解析】解：根據(jù)點,的坐標(biāo)設(shè)二次函數(shù)表達式為：，∵拋物線經(jīng)過點，則，解得：，拋物線的表達式為：，函數(shù)的對稱軸為：；連接交對稱軸于點，此時的值為最小，設(shè)BC的解析式為：，將點的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達式：得：解得：直線的表達式為：，當(dāng)時，，故點；存在，理由：四邊形是以為對角線且面積為的平行四邊形，則，點在第四象限，故：則，將該坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達式得：，解得：或，故點的坐標(biāo)為或．題型二：一定兩動模型模型作法結(jié)論點P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點D，OA邊上找點C，使得△PCD周長最小．分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P′、P″，連接P′P″，交OA、OB于點C、D，點C、D即為所求．△PCD周長的最小值為P′P″點P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點D，OA邊上找點C，使得PD＋CD最?。鼽cP關(guān)于OB的對稱點P′，過P′作P′C⊥OA交OB于D，點C、點D即為所求．PD＋CD的最小值為P′C【例4】如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，∠AOB=30°，OP=8，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，則△PMN周長的最小值為___________．【分析】△PMN周長即PM+PN+MN的最小值，此處M、N均為折點，分別作點P關(guān)于OB、OA對稱點P’、P’’，化PM+PN+MN為P’N+MN+P’’M．當(dāng)P’、N、M、P’’共線時，得△PMN周長的最小值，即線段P’P’’長，連接OP’、OP’’，可得△OP’P’’為等邊三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．【例5】如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，且∠AOB＝40°，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，當(dāng)△PMN周長取最小值時，則∠MPN的度數(shù)為（）A．140° B．100° C．50° D．40°【解答】解：分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P1、P2，連接P1P2，交OA于M，交OB于N，則OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得MP＝P1M，PN＝P2N，則△PMN的周長的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故選：B．【例6】如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點，連接DF，過點E作EH⊥DF，垂足為H，EH的延長線交DC于點G．（1）猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）過點H作MN∥CD，分別交AD，BC于點M，N，若正方形ABCD的邊長為10，點P是MN上一點，求△PDC周長的最小值．【答案】（1）結(jié)論：CF=2DG，理由見解析；（2）△PCD的周長的最小值為10+2．【詳解】（1）結(jié)論：CF=2DG．理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴==，∴CF=2DG．（2）作點C關(guān)于NM的對稱點K，連接DK交MN于點P，連接PC，此時△PDC的周長最短．周長的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．由題意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，∴EH=2DH=2，∴HM==2，∴DM=CN=NK==1，在Rt△DCK中，DK===2，∴△PCD的周長的最小值為10+2．【例7】如圖，拋物線y=ax2﹣5ax+c與坐標(biāo)軸分別交于點A，C，E三點，其中A（﹣3，0），C（0，4），點B在x軸上，AC=BC，過點B作BD⊥x軸交拋物線于點D，點M，N分別是線段CO，BC上的動點，且CM=BN，連接MN，AM，AN．（1）求拋物線的解析式及點D的坐標(biāo)；（2）當(dāng)△CMN是直角三角形時，求點M的坐標(biāo)；（3）試求出AM+AN的最小值．【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+x+4；D點坐標(biāo)為（3，5）；（2）M點的坐標(biāo)為（0，）或（0，）；（3）AM+AN的最小值為．【詳解】（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣5ax+c得，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+4；∵AC=BC，CO⊥AB，∴OB=OA=3，∴B（3，0），∵BD⊥x軸交拋物線于點D，∴D點的橫坐標(biāo)為3，當(dāng)x=3時，y=﹣×9+×3+4=5，∴D點坐標(biāo)為（3，5）；（2）在Rt△OBC中，BC==5，設(shè)M（0，m），則BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，∵∠MCN=∠OCB，∴當(dāng)時，△CMN∽△COB，則∠CMN=∠COB=90°，即，解得m=，此時M點坐標(biāo)為（0，）；當(dāng)時，△CMN∽△CBO，則∠CNM=∠COB=90°，即，解得m=，此時M點坐標(biāo)為（0，）；綜上所述，M點的坐標(biāo)為（0，）或（0，）；（3）連接DN，AD，如圖，∵AC=BC，CO⊥AB，∴OC平分∠ACB，∴∠ACO=∠BCO，∵BD∥OC，∴∠BCO=∠DBC，∵DB=BC=AC=5，CM=BN，∴△ACM≌△DBN，∴AM=DN，∴AM+AN=DN+AN，而DN+AN≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)點A、N、D共線時取等號），∴DN+AN的最小值=，∴AM+AN的最小值為．題型三：兩定兩動模型模型作法結(jié)論點P、Q在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點D，OA邊上找點C，使得四邊形PQDC周長最小．分別作點P、Q關(guān)于OA、OB的對稱點P′、Q′，連接P′Q′，分別交OA、OB于點C、D，點C、D即為所求．PC＋CD＋DQ的最小值為P′Q′，所以四邊形PQDC周長的最小值為PQ＋P′Q′【例8】如圖，在矩形中，，，為的中點，若為邊上的兩個動點，且，若想使得四邊形的周長最小，則的長度應(yīng)為__________.【答案】【詳解】解：如圖，在AD上截取線段AF=DE=2，作F點關(guān)于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點．

∵E為CD的中點，∴CE=2∴GH=DF=5，EH=2+4=6，∠H=90°，

∵BC//GH∴,

∴,∴，

∴CQ=，∴BP=CB-PQ-CQ=7-2-．

故答案為．【例9】如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點P到直線l1的距離為6，點Q到直線l2的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動點A，直線l2上有一動點B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時PA+BQ=______．【答案】16．【詳解】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，連接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此時PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四邊形ABCP是平行四邊形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案為16．題型四：兩定點一定長模型作法結(jié)論BBAld如圖，在直線l上找M、N兩點(M在左)，使得AM＋MN＋NB最小，且MN＝d.BBAlMNA′A"將A向右平移d個單位到A′，作A′關(guān)于l的對稱點A"，連接A"B與直線l交于點N，將點N向左平移d個單位即為M，點M，N即為所求.AM＋MN＋NB的最小值為A"B＋dAABl2l1如圖，l1∥l2，l1、l2間距離為d，在l1、l2分別找M、N兩點，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB最?。瓵ABl2l1A′NM將A向下平移d個單位到A，連接A′B交直線l2于點N，過點N作MN⊥l1，連接AM.點M、N即為所求．AM＋MN＋NB的最小值為A'B＋d.【例10】在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC如圖所示，點A在x軸正半軸上，點C在y軸正半軸上，且OA＝6，OC＝4，D為OC中點，點E、F在線段OA上，點E在點F左側(cè)，EF＝2.當(dāng)四邊形BDEF的周長最小時，求點E的坐標(biāo)．【解析】如圖，將點D向右平移2個單位得到D'(2，2)，作D'關(guān)于x軸的對稱點D"(2，－2)，連接BD"交x軸于點F，將點F向左平移2個單位到點E，此時點E和點F為所求作的點，且四邊形BDEF周長最小.理由：∵四邊形BDEF的周長為BD＋DE＋EF＋BF，BD與EF是定值.∴BF＋DE最小時，四邊形BDEF周長最小，∵BF＋ED＝BF＋FD'＝BF＋FD"＝BD"設(shè)直線BD"的解析式為y＝kx＋b，把B(6，4)，D"(2，－2)代入，得6k＋b＝4，2k＋b＝－2，解得k＝EQ\F(3,2)，b＝－5，∴直線BD"的解析式為y＝EQ\F(3,2)x－5．令y＝0，得x＝EQ\F(10,3)，∴點F坐標(biāo)為(EQ\F(10,3)，0)．∴點E坐標(biāo)為(EQ\F(4,3)，0)．【例11】村莊A和村莊B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸彼此平行，要架設(shè)一座與河岸垂直的橋，橋址應(yīng)如何選擇，才使A與B之間的距離最短？AABl2l1【解答】設(shè)l1和l2為河岸，作BD⊥l2，取BB'等于河寬，連接AB'交l1于C1，作C1C2⊥l2于C2，則A→C1→C2→B為最短路線，即A與B之間的距離最短.提分作業(yè)提分作業(yè)1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，點F是AC的中點，點E是AD上的動點，則CE+EF的最小值為A．3 B．4 C． D．【解析】此處E點為折點，可作點C關(guān)于AD的對稱，對稱點C’在AB上且在AB中點，化折線段CE+EF為C’E+EF，當(dāng)C’、E、F共線時得最小值，C’F為CB的一半，故選C．2．如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC于點D，M、N分別是BD，BC上的動點，則CM+MN的最小值是A． B．2 C． D．4【解析】此處M點為折點，作點N關(guān)于BD的對稱點，恰好在AB上，化折線CM+MN為CM+MN’．因為M、N皆為動點，所以過點C作AB的垂線，可得最小值，選C．3．如圖，在正方形ABCD中，AB=9，點E在CD邊上，且DE=2CE，點P是對角線AC上的一個動點，則PE+PD的最小值是（）A． B． C．9 D．【答案】A【詳解】解：如圖，連接BE，設(shè)BE與AC交于點P′，∵四邊形ABCD是正方形，∴點B與D關(guān)于AC對稱，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最?。碢在AC與BE的交點上時，PD+PE最小，為BE的長度．∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=CD=3，∴BE==．故選A．4．如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE＝2，AB＝8，P是AC上一動點，則PB+PE的最小值_____．【答案】10【詳解】解：如圖：連接DE交AC于點P，此時PD＝PB，PB+PE＝PD+PE＝DE為其最小值，∵四邊形ABCD為正方形，且BE＝2，AB＝8，∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝8，AE＝AB-BE＝6，在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，得DE＝＝＝10．∴PB+PE的最小值為10．故答案為10．5．如圖，∠AOB的邊OB與x軸正半軸重合，點P是OA上的一動點，點N（3，0）是OB上的一定點，點M是ON的中點，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，則點P的坐標(biāo)為______．【答案】（，）．【詳解】解：作N關(guān)于OA的對稱點N′，連接N′M交OA于P，則此時，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等邊三角形，∵點M是ON的中點，∴N′M⊥ON，∵點N（3，0），∴ON=3，∵點M是ON的中點，∴OM=1.5，∴PM=，∴P（，）．故答案為：（，）．6．如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE＝2，當(dāng)EF＋CF取得最小值時，則∠ECF的度數(shù)為多少？【答案】∠ECF＝30o【解析】過E作EM∥BC，交AD于N，如圖所示：∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，∵AD是BC邊上的中線，△ABC是等邊三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM＝AE，∴E和M關(guān)于AD對稱，連接CM交AD于F，連接EF，則此時EF＋CF的值最小，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60o，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝∠ACB＝30o.7．在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點O在坐標(biāo)原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，A(3，0)，B(0，4)，D為邊OB的中點．（1）若E為邊OA上的一個動點，求△CDE的周長最小值；（2）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF＝1，當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標(biāo)．【解析】(1)如圖，作點D關(guān)于x軸的對稱點D'，連接CD'與x軸交于點E，連接DE，由模型可知△CDE的周長最?。咴诰匦蜲ACB中，OA＝3，OB＝4，D為OB的中點，∴D(0，2)，C(3，4)，D'(0，－2).設(shè)直線CD'為y＝kx＋b，把C(3，4)，D'(0，－2)代入，得3k＋b＝4，b＝－2，解得k＝2，b＝－2，∴直線CD'為y＝2x－2.令y＝0，得x＝1，∴點E的坐標(biāo)為(1，0).∴OE＝1，AE＝2.利用勾股定理得CD＝EQ\R(,13)，DE＝EQ\R(,5)，CE＝2EQ\R(,5)，∴△CDE周長的最小值為EQ\R(,13)＋3EQ\R(,5)．(2)如圖，將點D向右平移1個單位得到D'(1，2)，作D'關(guān)于x軸的對稱點D″(1，－2)，連接CD″交x軸于點F，將點F向左平移1個單位到點E，此時點E和點F為所求作的點，且四邊形CDEF周長最小．理由：∵四邊形CDEF的周長為CD＋DE＋EF＋CF，CD與EF是定值，∴DE＋CF最小時，四邊形BDEF周長最小，∴DE＋CF＝D'F＋CF＝FD″＋CF＝CD″，設(shè)直線CD″的解析式為y＝kx＋b，把C(3，4)，D(1，－2)代入，得3k＋b＝4，k＋b＝－2，解得k＝3，b＝－5．∴直線CD″的解析式為y＝3x－5，令y＝0，得x＝EQ\F(5,3)，∴點F坐標(biāo)為(EQ\F(5,3)，0)，∴點E坐標(biāo)為(EQ\F(2,3)，0)．8．如圖所示拋物線過點，點，且（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；（2）點在直線上的兩個動點，且，點在點的上方，求四邊形的周長的最小值；（3）點為拋物線上一點，連接，直線把四邊形的面積分為3∶5兩部分，求點的坐標(biāo).【答案】（1），對稱軸為直線；（2）四邊形的周長最小值為；（3）【詳解】（1）∵OB=OC，∴點B（3，0），則拋物線的表達式為：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，故-3a=3，解得：a=-1，故拋物線的表達式為：y=-x2+2x+3…①；對稱軸為：直線（2）ACDE的周長=AC+DE+CD+AE，其中AC=、DE=1是常數(shù)，故CD+AE最小時，周長最小，取點C關(guān)于函數(shù)對稱點C（2，3），則CD=C′D，取點A′（-1，1），則A′D=AE，故：CD+AE=A′D+DC′，則當(dāng)A′、D、C′三點共線時，CD+AE=A′D+DC′最小，周長也最小，四邊形ACDE的周長的最小值=AC+DE+CD+AE=+1+A′D+DC′=+1+A′C′=+1+；（3）如圖，設(shè)直線CP交x軸于點E，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，又∵S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，則BE：AE，=3：5或5：3，則AE=或，即：點E的坐標(biāo)為（，0）或（，0），將點E、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直線CP的表達式為：y=-2x+3或y=-6x+3…②聯(lián)立①②并解得：x=4或8（不合題意值已舍去），故點P的坐標(biāo)為（4，-5）或（8，-45）．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊交軸于點，軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，點的坐標(biāo)為，．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）點為軸上一動點，當(dāng)?shù)闹底钚r，求出點的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）【詳解】解：（1）∵是矩形，∴，∵，∴，∴，又∵軸，∴，∴，∵∴，即把點代入的得，∴反比例函數(shù)的解析式為：．答：反比例函數(shù)的解析式為：．（2）過點作垂足為，∵，，∴，∴，∴，則點關(guān)于軸的對稱點，直線與軸的交點就是所求點，此時最小，設(shè)直線AB1的