人教版九年級數(shù)學(xué)上冊同步練習(xí) 第26課 切線長定理（原卷版+解析）

第26課切線長定理目標導(dǎo)航目標導(dǎo)航課程標準1.了解切線長定義；理解切線的判定和性質(zhì)；理解三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心的定義；2.掌握切線長定理；利用切線長定理解決相關(guān)的計算和證明.知識精講知識精講知識點01切線的判定定理和性質(zhì)定理1．切線的判定定理：

經(jīng)過半徑的并且的直線是圓的切線.

要點詮釋：切線的判定方法：(1)定義：直線和圓有唯一公共點時，這條直線就是圓的切線；(2)定理：和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；(3)判定定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.(切線的判定定理中強調(diào)兩點：一是直線與圓，二是直線與過交點的半徑，缺一不可).

2．切線的性質(zhì)定理：

圓的切線.

要點詮釋：切線的性質(zhì)：(1)切線和圓只有一個公共點；(2)切線和圓心的距離等于圓的半徑；(3)切線垂直于過切點的半徑；(4)經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點；(5)經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心.知識點02切線長定理1．切線長：

經(jīng)過圓外一點作圓的切線，的長，叫做這點到圓的切線長.

要點詮釋：

切線長是指圓外一點和切點之間的線段的長，不是“切線的長”的簡稱.切線是直線，而非線段.

2．切線長定理：

從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的相等，這一點和圓心的連線平分.

要點詮釋：

切線長定理包含兩個結(jié)論：相等和相等.

3．圓外切四邊形的性質(zhì)：圓外切四邊形的相等.知識點02三角形的內(nèi)切圓1．三角形的內(nèi)切圓：

與三角形各邊的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.

2．三角形的內(nèi)心：

三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形的交點，叫做三角形的內(nèi)心.

要點詮釋：

(1)任何一個三角形都內(nèi)切圓，但任意一個圓都有個外切三角形；

(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).

(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)能力拓展能力拓展考法01切線長定理【典例1】如圖，等腰三角形中，，．以為直徑作⊙O交于點，交于點，，垂足為，交的延長線于點．求證：直線是⊙O的切線.【即學(xué)即練1】已知：如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直徑．求證：BC和⊙O相切．【典例2】已知：如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點為B，OC平行于弦AD，求證：DC是⊙O的切線．

【即學(xué)即練2】已知：∠MAN=30°，O為邊AN上一點，以O(shè)為圓心、2為半徑作⊙O，交AN于D、E兩點，設(shè)AD=，⑴如圖⑴當取何值時，⊙O與AM相切；⑵如圖⑵當為何值時，⊙O與AM相交于B、C兩點，且∠BOC=90°．考法02三角形的內(nèi)切圓【典例3】已知四邊形ABCD中，AB∥CD，⊙O為內(nèi)切圓，E為切點．(Ⅰ)如圖1，求∠AOD的度數(shù)；(Ⅱ)如圖1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的長；(Ⅲ)如圖2，若F是AD的中點，在(Ⅱ)中條件下，求FO的長．考法03與相切有關(guān)的計算與證明【典例4】已知如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點E，連接EO并延長交BC的延長線于點D，點F為BC的中點，連接EF．(1)求證：EF是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為3，∠EAC=60°，求AD的長．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列說法中，不正確的是()A．三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點B．銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的內(nèi)心都在三角形內(nèi)部C．垂直于半徑的直線是圓的切線D．三角形的內(nèi)心到三角形的三邊的距離相等2．△ABC的三邊長分別為a、b、c，它的內(nèi)切圓的半徑為r，則△ABC的面積為()A．(a＋b＋c)r B．2(a＋b＋c) C．(a＋b＋c)r D．(a＋b＋c)r3．如圖，點P在⊙O外，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點，∠P=50°，則∠AOB等于()A．150° B．130° C．155° D．135°4．如圖所示，⊙O的外切梯形ABCD中，如果AD∥BC，那么∠DOC的度數(shù)為()A．70° B．90° C．60° D．45°5．如圖，是的切線，切點為A，PA=2,∠APO=30°，則的半徑為OOPAA．1 B.C.2 D.46．如圖:⊙O是△ABC的內(nèi)切圓,D、E、F是切點，若∠DEF=50o，則∠A等于()

A．40o B．50o C．80o D．100o7．如圖，一圓內(nèi)切于四邊形ABCD，且AB=16，CD=10，則四邊形ABCD的周長為________．8．如圖，已知⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∠BAC=50o，則∠BOC為____________度．題組B能力提升練1．如圖，直徑分別為CD、CE的兩個半圓相切于點C，大半圓M的弦與小半圓N相切于點F，且AB∥CD，AB=4，設(shè)、的長分別為、，線段ED的長為，則的值為___2．已知：如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的半圓O交AB于F，E是BC的中點.求證：直線EF是半圓O的切線.3．在△ABC中，以AB為直徑作⊙O，⊙O交BC的中點D，過點D作DE⊥AC，垂足為E．求證：(1)DE是⊙O的切線；(2)AB＝AC．4．如圖所示，PA、PB是⊙O的切線，切點分別是A、B，Q為⊙O上一點，過Q點作⊙O的切線，交PA、PB于E、F點，已知PA=8cm，求：△PEF的周長．?5．我們知道，與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，則三角形可以稱為圓的外切三角形．如圖1，與的三邊分別相切于點則叫做的外切三角形.以此類推，各邊都和圓相切的四邊形稱為圓外切四邊形．如圖2，與四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA分別相切于點則四邊形叫做的外切四邊形．(1)如圖2，試探究圓外切四邊形的兩組對邊與之間的數(shù)量關(guān)系，猜想：(橫線上填“>”，“<”或“=”)；(2)利用圖2證明你的猜想(寫出已知，求證，證明過程)；(3)用文字敘述上面證明的結(jié)論：；(4)若圓外切四邊形的周長為相鄰的三條邊的比為，求此四邊形各邊的長．題組C培優(yōu)拔尖練1．聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心．例：已知，則點為的準外心(如圖)．如圖，為正三角形的高，準外心在高上，且，求的度數(shù)．如圖，若為直角三角形，，，，準外心在邊上，試探究的長．2．如圖所示，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC=BD，連接AC，過點D作DE⊥AC于E．(1)求證：AB=AC；(2)求證：DE為⊙O的切線．3．閱讀理解：在平面直角坐標系中，若兩點P、Q的坐標分別是P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則P、Q這兩點間的距離為|PQ|=．如P(1，2)，Q(3，4)，則|PQ|==2．對于某種幾何圖形給出如下定義：符合一定條件的動點形成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡．如平面內(nèi)到線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線．解決問題：如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx+交y軸于點A，點A關(guān)于x軸的對稱點為點B，過點B作直線l平行于x軸．(1)到點A的距離等于線段AB長度的點的軌跡是；(2)若動點C(x，y)滿足到直線l的距離等于線段CA的長度，求動點C軌跡的函數(shù)表達式；問題拓展：(3)若(2)中的動點C的軌跡與直線y=kx+交于E、F兩點，分別過E、F作直線l的垂線，垂足分別是M、N，求證：①EF是△AMN外接圓的切線；②為定值．4．如圖，AB是⊙O的直徑，弦AC與BD交于點E，且AC＝BD，連接AD，BC．(1)求證：△ADB≌△BCA；(2)若OD⊥AC，AB＝4，求弦AC的長；(3)在(2)的條件下，延長AB至點P，使BP＝2，連接PC．求證：PC是⊙O的切線．第26課切線長定理目標導(dǎo)航目標導(dǎo)航課程標準1.了解切線長定義；理解切線的判定和性質(zhì)；理解三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心的定義；2.掌握切線長定理；利用切線長定理解決相關(guān)的計算和證明.知識精講知識精講知識點01切線的判定定理和性質(zhì)定理1．切線的判定定理：

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

要點詮釋：切線的判定方法：(1)定義：直線和圓有唯一公共點時，這條直線就是圓的切線；(2)定理：和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；(3)判定定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.(切線的判定定理中強調(diào)兩點：一是直線與圓有一個交點，二是直線與過交點的半徑垂直，缺一不可).

2．切線的性質(zhì)定理：

圓的切線垂直于過切點的半徑.

要點詮釋：切線的性質(zhì)：(1)切線和圓只有一個公共點；(2)切線和圓心的距離等于圓的半徑；(3)切線垂直于過切點的半徑；(4)經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點；(5)經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心.知識點02切線長定理1．切線長：

經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.

要點詮釋：

切線長是指圓外一點和切點之間的線段的長，不是“切線的長”的簡稱.切線是直線，而非線段.

2．切線長定理：

從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

要點詮釋：

切線長定理包含兩個結(jié)論：線段相等和角相等.

3．圓外切四邊形的性質(zhì)：圓外切四邊形的兩組對邊之和相等.知識點02三角形的內(nèi)切圓1．三角形的內(nèi)切圓：

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.

2．三角形的內(nèi)心：

三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心.

要點詮釋：

(1)任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；

(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).

(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.能力拓展能力拓展考法01切線長定理【典例1】如圖，等腰三角形中，，．以為直徑作⊙O交于點，交于點，，垂足為，交的延長線于點．求證：直線是⊙O的切線.【答案與解析】如圖，連結(jié)OD、，則．∴．∵，∴．∴是的中點．∵是的中點，∴．∵于F．∴．∴是⊙O的切線．【總結(jié)升華】連半徑，證垂直.【即學(xué)即練1】已知：如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直徑．求證：BC和⊙O相切．【答案】作OE⊥BC，垂足為E，∵AB∥DC，∠B=90°，

∴OE∥AB∥DC，

∵OA=OD，

∴EB=EC，

∴BC是⊙O的切線．

【典例2】已知：如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點為B，OC平行于弦AD，求證：DC是⊙O的切線．

【答案與解析】連接OD．∵OA=OD，∴∠1=∠2．

∵AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．

因此∠3=∠4．

又∵OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．

∴∠OBC=∠ODC．

∵BC是⊙O的切線，∴∠OBC=90°，

∴∠ODC=90°，∴DC是⊙O的切線．【總結(jié)升華】因為AB是直徑，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要證明DC是⊙O的切線，而DC和⊙O有公共點D，所以可連接OD，只要證明DC⊥OD．也就是只要證明∠ODC=∠OBC.而這兩個角分別是△ODC和△OBC的內(nèi)角，所以只要證△ODC≌△OBC．這是不難證明的．【即學(xué)即練2】已知：∠MAN=30°，O為邊AN上一點，以O(shè)為圓心、2為半徑作⊙O，交AN于D、E兩點，設(shè)AD=，⑴如圖⑴當取何值時，⊙O與AM相切；⑵如圖⑵當為何值時，⊙O與AM相交于B、C兩點，且∠BOC=90°．【答案】(1)設(shè)AM與⊙O相切于點B，并連接OB，則OB⊥AB；在△AOB中，∠A=30°，則AO=2OB=4，所以AD=AO-OD，即AD=2．x=AD=2.(2)過O點作OG⊥AM于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=，∵OG⊥BC，∴BG=CG=，∴OG=，∵∠A=30°∴OA=，∴x=AD=－2考法02三角形的內(nèi)切圓【典例3】已知四邊形ABCD中，AB∥CD，⊙O為內(nèi)切圓，E為切點．(Ⅰ)如圖1，求∠AOD的度數(shù)；(Ⅱ)如圖1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的長；(Ⅲ)如圖2，若F是AD的中點，在(Ⅱ)中條件下，求FO的長．【答案與解析】解：(Ⅰ)∵⊙O為四邊形ABCD的內(nèi)切圓，∴AD、AB、CD為⊙O的切線，∴OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC，∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°，∴∠ODA+∠OAD=90°，∴∠AOD=90°；(Ⅱ)在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD==10(cm)，∵AD切⊙O于E，∴OE⊥AD，∴OE?AD=OD?OA，∴OE==(cm)；(Ⅲ)∵F是AD的中點，∴FO=AD=×10=5(cm)．【總結(jié)升華】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，也考查了切線長定理．考法03與相切有關(guān)的計算與證明【典例4】已知如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點E，連接EO并延長交BC的延長線于點D，點F為BC的中點，連接EF．(1)求證：EF是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為3，∠EAC=60°，求AD的長．【答案與解析】證明：(1)如圖1，連接FO，∵F為BC的中點，AO=CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直徑，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直線垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE為⊙O的切線；(2)如圖2，∵⊙O的半徑為3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．【總結(jié)升華】本題是一道綜合性很強的習(xí)題，考查了切線的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)等，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列說法中，不正確的是()A．三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點B．銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的內(nèi)心都在三角形內(nèi)部C．垂直于半徑的直線是圓的切線D．三角形的內(nèi)心到三角形的三邊的距離相等【答案】C【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)心的性質(zhì)得出A、B、D正確；根據(jù)切線的判定定理得出C不正確；即可得出結(jié)果．【詳解】由三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點，故可知A正確；

由三角形內(nèi)心的概念，可知銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的內(nèi)心都在三角形內(nèi)部，故可知B正確；經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，故可知C不正確；由三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點，可知三角形的內(nèi)心到三角形的三邊的距離相等，故可知D正確．

故選C．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)心與性質(zhì)、切線的判定定理；熟練掌握三角形的內(nèi)心性質(zhì)與切線的判定定理是解決問題的關(guān)鍵．2．△ABC的三邊長分別為a、b、c，它的內(nèi)切圓的半徑為r，則△ABC的面積為()A．(a＋b＋c)r B．2(a＋b＋c) C．(a＋b＋c)r D．(a＋b＋c)r【答案】A【分析】首先根據(jù)題意畫出圖，觀察發(fā)現(xiàn)三角形ABC的內(nèi)切圓半徑，恰好是三角形ABC內(nèi)三個三角形的高，因而可以通過面積S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC來計算．【詳解】如圖，可得S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=ABr+BCr+ACr=(AB+BC+AC)r=(a+b+c)r，故選A.【點睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．解決本題的關(guān)鍵是將求△ABC轉(zhuǎn)化為求S△AOB、S△BOC、S△AOC．3．如圖，點P在⊙O外，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點，∠P=50°，則∠AOB等于()A．150° B．130° C．155° D．135°【答案】B【詳解】試題分析：根據(jù)切線的性質(zhì)可得：∠OAP=∠OBP=90°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理可得：∠AOB+∠P+∠OAP+∠OBP=360°，則∠AOB=360°－90°－90°－50°=130°．考點：切線的性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和4．如圖所示，⊙O的外切梯形ABCD中，如果AD∥BC，那么∠DOC的度數(shù)為()A．70° B．90° C．60° D．45°【答案】B【分析】由于AD、DC、CB都是⊙O的切線，根據(jù)切線長定理知：∠ADO=∠CDO，∠DCO=∠BCO；而AD∥BC，則2∠ODC和2∠OCD互補，由此可求得∠DOC的度數(shù)．【詳解】∵DA、CD、CB都與⊙O相切，

∴∠ADO=∠ODC，∠OCD=∠OCB；

∵AD∥BC，

∴∠ADC+∠BCD=180°；

∴∠ODC+∠OCD=90°，即∠DOC=90°；

故選B．【點睛】此題主要考查的是切線長定理及平行線的性質(zhì)，準確的確定角的關(guān)系是解題關(guān)鍵．5．如圖，是的切線，切點為A，PA=2,∠APO=30°，則的半徑為OOPAA．1 B.C.2 D.4【答案】C【解析】解：連接AO，則∠OAP=90°，又因為∠APO=30°，所以AO=1/2PO，設(shè)AO=x，則PO=2X，根據(jù)勾股定理，(2X)2-X2=(2)2解得x=2，即半徑為2，故選C。6．如圖:⊙O是△ABC的內(nèi)切圓,D、E、F是切點，若∠DEF=50o，則∠A等于()

A．40o B．50o C．80o D．100o【答案】C【詳解】連接OD、OF；∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴OD⊥AB，OF⊥AC；又∵⊙O中，∠DOF=2∠DEF=100°，四邊形DOFA中，∠ODA=∠OFA=90°，∴∠A=180°-∠DOF=80°，故選C．7．如圖，一圓內(nèi)切于四邊形ABCD，且AB=16，CD=10，則四邊形ABCD的周長為________．【答案】52【分析】利用圓外切四邊形的性質(zhì)定理可以得出，四邊形的周長是對邊和的2倍，即可得．【詳解】根據(jù)圓外切四邊形的性質(zhì)定理可以得出，四邊形的周長是對邊和的2倍，∴AB+BC+CD+AD=52故填：52【點睛】此題主要考查了圓外切四邊形的性質(zhì)，對邊和相等．8．如圖，已知⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∠BAC=50o，則∠BOC為____________度．【答案】115°【解析】試題分析：由三角形內(nèi)切定義可知OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分線，所以可得到關(guān)系式∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)，把對應(yīng)數(shù)值代入即可求得∠BOC的值．解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分線，∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°﹣50°)=65°，∴∠BOC=180°﹣65°=115°．考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．題組B能力提升練1．如圖，直徑分別為CD、CE的兩個半圓相切于點C，大半圓M的弦與小半圓N相切于點F，且AB∥CD，AB=4，設(shè)、的長分別為、，線段ED的長為，則的值為___【答案】8π【解析】過M作MG⊥AB于G，連MB，NF，根據(jù)垂徑定理及勾股定理可得的值，再根據(jù)兩個半圓相切的性質(zhì)即可求得結(jié)果．2．已知：如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的半圓O交AB于F，E是BC的中點.求證：直線EF是半圓O的切線.【答案】證明見解析.【分析】連接OF，CF，由直徑所對的圓周角是直角可得∠AFC=∠BFC=90°，然后由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到EF=EC，進而得到∠EFC=∠ECF，然后利用等量代換求證∠EFO=90°，得出OF⊥EF即可得證.【詳解】證明：如圖，連接OF，CF，∵AC是直徑，∴∠AFC=90°，∴∠BFC=90°，又∵E是BC的中點，∴EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵OC=OF，∴∠OFC=∠FCO，∵∠ACB=∠FCO+∠ECF=90°，∴∠EFC+∠OFC=90°，即∠EFO=90°，∴OF⊥EF，∴EF是⊙O的切線.【點睛】本題考查圓的切線證明，熟練掌握“連半徑，證垂直”和“作垂直，證半徑”是解決此類問題的關(guān)鍵.3．在△ABC中，以AB為直徑作⊙O，⊙O交BC的中點D，過點D作DE⊥AC，垂足為E．求證：(1)DE是⊙O的切線；(2)AB＝AC．【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】(1)連接OD，根據(jù)題意可得OD是△ABC的中位線，即OD∥AC，進而可證DE⊥OD，根據(jù)切線的判定即可得證；(2)連接AD，根據(jù)圓周角定理可得∠ADB＝90°，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可得證.【詳解】證明：(1)連接OD，∵O是AB的中點，D是BC的中點，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線；(2)連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵D是BC的中點，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC．【點睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，中位線等知識點，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識點.4．如圖所示，PA、PB是⊙O的切線，切點分別是A、B，Q為⊙O上一點，過Q點作⊙O的切線，交PA、PB于E、F點，已知PA=8cm，求：△PEF的周長．?【答案】16cm.【分析】直接利用切線長定理進而求出PA=PB，EA=EQ，F(xiàn)B=FQ，即可得出答案．【詳解】解：∵PA、PB是⊙O的切線，切點分別是A、B，Q為⊙O上一點，過Q點作⊙O的切線，交PA、PB于E、F點，∴PA=PB，EA=EQ，F(xiàn)B=FQ，∵PA=8cm，∴△PEF的周長為：PE+EF+PF=PA+PB=8+8=16(cm)【點睛】考查了切線長定理，根據(jù)題意得出PE+EF+PF=PA+PB是解題關(guān)鍵．5．我們知道，與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，則三角形可以稱為圓的外切三角形．如圖1，與的三邊分別相切于點則叫做的外切三角形.以此類推，各邊都和圓相切的四邊形稱為圓外切四邊形．如圖2，與四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA分別相切于點則四邊形叫做的外切四邊形．(1)如圖2，試探究圓外切四邊形的兩組對邊與之間的數(shù)量關(guān)系，猜想：(橫線上填“>”，“<”或“=”)；(2)利用圖2證明你的猜想(寫出已知，求證，證明過程)；(3)用文字敘述上面證明的結(jié)論：；(4)若圓外切四邊形的周長為相鄰的三條邊的比為，求此四邊形各邊的長．【答案】(1)=；(2)答案見解析；(3)圓外切四邊形的對邊之和相等；(4)4；10；12；6【分析】(1)根據(jù)圓外切四邊形的定義猜想得出結(jié)論；(2)根據(jù)切線長定理即可得出結(jié)論；(3)由(2)可得出答案；(4)根據(jù)圓外切四邊形的性質(zhì)求出第四邊，利用周長建立方程求解即可得出結(jié)論．【詳解】(1)∵⊙O與四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA分別相切于點E，F(xiàn)，G，H，∴猜想AB＋CD＝AD＋BC，故答案為：＝．(2)已知：四邊形ABCD的四邊AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F(xiàn)，E，H，求證：AD＋BC＝AB＋CD，證明：∵AB，AD和⊙O相切，∴AG＝AH，同理：BG＝BF，CE＝CF，DE＝DH，∴AD＋BC＝AH＋DH＋BF＋CF＝AG＋BG＋CE＋DE＝AB＋CD，即：圓外切四邊形的對邊和相等．(3)由(2)可知：圓外切四邊形的對邊和相等．故答案為：圓外切四邊形的對邊和相等；(4)∵相鄰的三條邊的比為2：5：6，∴設(shè)此三邊為2x，5x，6x，根據(jù)圓外切四邊形的性質(zhì)得，第四邊為2x＋6x?5x＝3x，∵圓外切四邊形的周長為32，∴2x＋5x＋6x＋3x＝16x＝32，∴x＝2，∴此四邊形的四邊的長為2x＝4，5x＝10，6x＝12，3x＝6．即此四邊形各邊的長為：4，10，12，6．【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了新定義圓的外切四邊形的性質(zhì)，四邊形的周長，切線長定理，理解和掌握圓外切四邊形的定義是解本題的關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練1．聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心．例：已知，則點為的準外心(如圖)．如圖，為正三角形的高，準外心在高上，且，求的度數(shù)．如圖，若為直角三角形，，，，準外心在邊上，試探究的長．【答案】∠APB=90°；(2)PA=或6．【解析】【分析】(1)利用分類討論：①若PB=PC，②若PA=PC，③若PA=PB，進而求出即可；

(2)利用分類討論：①若PB=PA，②若PA=PC，③若PC=PB，進而求出即可．【詳解】(1)①若PB=PC，連結(jié)PB，則∠PCB=∠PBC．

∵CD為等邊三角形的高．∴AD=BD，∠PCB=30°，

∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB．

與已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC．

②若PA=PC，連結(jié)PA，則∠PCA=∠PAC．

∵CD為等邊三角形的高．∴AD=BD，∠PCA=30°，

∴∠PAD=∠PAC=30°，∴PD=DA=AB．

與已知PD=AB矛盾，∴PA≠PC．

③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，

∴∠BPD=45°，

故∠APB=90°；

(2)①若PB=PA，設(shè)PA=x，

∵∠C=90°，AB=13，BC=5，

∴AC=12，則CP=12-x，

∴x2=(12-x)2+52，

∴解得：x=，即PA=．

②若PA=PC，則PA=6．

③若PC=PB，由圖知，在Rt△PBC中，不可能，

故PA=或6．【點睛】考查了勾股定理以及三角形外心的性質(zhì)等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．2．如圖所示，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC=BD，連接AC，過點D作DE⊥AC于E．(1)求證：AB=AC；(2)求證：DE為⊙O的切線．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；【分析】(1)連接AD，根據(jù)中垂線定理不難求得AB=AC；(2)要證DE為⊙O的切線，只要證明∠ODE=90°即可．【詳解】(1)連接AD；∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°．又∵DC=BD，∴AD是BC的中垂線．∴AB=AC．(2)連接OD；∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC．∴∠ODE=∠CED．又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切線．考點：切線的判定3．閱讀理解：在平面直角坐標系中，若兩點P、Q的坐標分別是P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則P、Q這兩點間的距離為|PQ|=．如P(1，2)，Q(3，4)，則|PQ|==2．對于某種幾何圖形給出如下定義：符合一定條件的動點形成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡．如平面內(nèi)到線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線．解決問題：如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx+交y軸于點A，點A關(guān)于x軸的對稱點為點B，過點B作直線l平行于x軸．(1)到點A的距離等于線段AB長度的點的軌跡是；(2)若動點C(x，y)滿足到直線l的距離等于線段CA的長度，求動點C軌跡的函數(shù)表達式；問題拓展：(3)若(2)中的動點C的軌跡與直線y=kx+交于E、F兩點，分別過E、F作直線l的垂線，垂足分別是M、N，求證：①EF是△AMN外接圓的切線；②為定值．【答案】(1)x2+(y﹣)2=1；(2)動點C軌跡的函數(shù)表達式y(tǒng)=x2；(3)①證明見解析；②證明見解析.【詳解】【分析】(1)利用兩點間的距離公式即可得出結(jié)論；(2)利用兩點間的距離公式即可得出結(jié)論；(3)①先確定出m+n=2k，mn=﹣1，再確定出M(m，﹣)，N(n，﹣)，進而判斷出△AMN是直角三角形，再求出直線AQ的解析式為y=﹣x+，即可得出結(jié)論；②先確定出a=mk+，b=nk+，再求出AE=ME=a+=mk+1，AF=NF=b+=nk+1，即可得出結(jié)論．【詳解】(1)設(shè)到點A的距離等于線段AB長度的點D坐標為(x，y)，∴AD2=x2+(y﹣)2，∵直線y=kx+交y軸于點A，∴A(0