2023-2024學年江蘇省鎮(zhèn)江市高一年級下冊期中際聯(lián)考數(shù)學試題（含答案）

2023-2024學年江蘇省鎮(zhèn)江市高一下冊期中際聯(lián)考數(shù)學試題

一、單選題

1.已知點A點3)1(4,T),則與他同向的單位向量為()

3_44_33443

A.，-B.，-c.D.

55555555,5

【正確答案】A

【分析】先求出A8,然后直接除以模長即可.

■?I~AB34

【詳解】48=(3,-4),,耳=小2+(-4)-=5,故與與4B同向的單位向量為.網(wǎng)

55-5

故選：A

21

2.已知sincr-cos/7=-§,cosa+sin/=§,則sin(a-0的值為()

A-4c-iD-

【正確答案】D

【分析】分別對已知兩個等式兩邊平方相加，化簡后利用兩角差的正弦公式可求得結果.

、21

【詳解】因為sina-cos/?=--,coscr+sin^=-,

所以(sina-cos〃y=《,(cosa+siny?)2=g,

4j

所以sin2a-2sinacos￡+cos2/?=—,cos2a+2cosasin+sin2f3=-,

所以sin2a-2sinacosp+cos2(3+cos2a+2cosasin/?+sin2尸=看,

所以2-2sinacos￡+2cosasin=~

2-2(sinacosp-cosasin=

513

所以2_2sin(a_〃)=],解得sin(a_￡)=/

故選：D

3.在一ABC中，。為4分別是內角A,3,C所對的邊，若〃=逐的=巫,4=30,則邊c=()

A.加B.25/5C.2石或厲D.石或2石

【正確答案】D

【分析】先根據(jù)正弦定理算出8,從而得到C,繼續(xù)用正弦定理求c.

,>/5_715冋

【詳解】依題意，由正弦定理：/一=亠得下=而后,解得4118=叱，故8=120或

sinAsinB2

8=60,經(jīng)檢驗均符合題意.

C_y/5

當B=60時，則C=90,由正弦定理，-77=^^7得？=丁，解得c=2石;

smCsmA—

當8=120時，則C=30=A,此時“MC為等腰三角形滿足c=a=君.

綜上，c=6或2右.

故選：D

Esin20…上口/

4.已知tan。=3,川1+sin26+cos26的值疋)

3

A-BC.D

.3-I4-T

【正確答案】C

sin0cos0

【分析】由二倍角的正弦、余弦公式化簡可得分子分母同時除以COS20,

sin^cos0+cos120'

代入即可得出答案.

sin262sin6cos6

【詳解】

1+sin20+cos20l+2sin0cos^+2cos2^-1

2sin<9costan。3

2sin6cos6+2cos2。tan^+14

故選：C.

，()

5.已知w=iw=百,。+8=6,1,則〃+〃與的夾角是()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【正確答案】C

【分析】根據(jù)已知求得|“+b|=2,平方可得a/=0,繼而求出"=2,根據(jù)向量的夾角

公式即可求得答案.

【詳解】由4+。=(6,1)可得|4+勿=小(6)2+12=2,

貝力”+加2=4".了+2?山+『=4，即得1+2〃/+3=4,故〃為=0，

則la-bl、/一方心+沢=4,.]〃一加=2,

故8s〈“+上。-力=3+辦（"-6）==三=-丄,

\a+b\\a-b\\a+b^a-b\2x22

由于0。4（a+6,a-力4180。，故〈a+b,a-6〉=120。，

故選：C.

6.在中，。厶c分別是內角A8,C所對的邊，且滿足%C=*,2bcosA=c,則

ac

一43c的形狀是（）

A.等腰直角三角形B.等腰鈍角三角形

C.等邊三角形D.以上結論均不正確

【正確答案】C

【分析】利用余弦定理化簡已知條件，由此確定正確答案.

【詳解】由于力cosA=c>0,所以A為銳角，

,222

由余弦定理得2bX"+C-—=cb2=a2a=bt則B為銳角.

2bc

222222

r..a+b-cb+c-a

由4=笑一以及余弦定理得-lab—_—2bc—a2+b2-c2_b2+c2-a2,

ClC-，2-2

acac

〃—r~—〃2

=亠=-由于后一/=0,所以^-,2=0,即b=c,

a~c

所以。=%=c,所以三角形ABC是等邊三角形.

故選：C

7.函數(shù)/（x）=cosx（sinx+>/5cosx）,x￡[0,勻的最大值與最小值的和為（）

4

A1+6n34-2-73「3+35/3八7

222

【正確答案】B

【分析】化簡/（X）,得/.（x）=sin（2x+g）+岑，再利用正弦函數(shù)的性質可求得最大值和最

小值，從而可解.

［詳解］/(x)=cosx(sinx+6cosx)=cos%sin+6cos2x

=sin(2x+71D+E

=-sin2x+—cos2x+

22232

因為xe畤，所以2若嗚泳

>

所以丄4sin(2x+M?l,Bpl+^<sinf2x+-|+—<1+—,

213丿22I3丿22

所以當2x+1=費，即x=：時，+

當2x+5=5，即x*時,/(x)1ra'=1+等’

所以“初―=3+等+［1+斎=三

故選：B

8.如圖，梯形A8C。頂點8,C在以AD為直徑的半圓上，4)=2米，若電熱絲由三條線段

A8,BC,C。這三部分組成，在4B,CD上每米可輻射1單位熱量，在8C上每米可輻射2單位

熱量，當電熱絲輻射的總熱量最大時，8c的長度為()

6436

【正確答案】B

［分析］根據(jù)圓的對稱性和余弦定理以及倍角公式化簡即可求解.

取AO中點0,

連接。8,連接0C,

根據(jù)圓的對稱性知ZAOB=ZCOD,

設，ZAOB=ZCOD=0,

則有，ZBOC^n-20,

由余弦定理得AB2=『+F-2xlxlcos(9=2-2cosa

[H)aCD2=l2+l2-2xlxlcos6?=2-2cos6>,

fiC2=l2+l2-2xlx1cos(7t-2。)=2+2cos2，,

所以AB=《2一2cos夕=J2(l—cos0)=,2l-(l-2sin2^)=2sin|,

同理CZ)=j2-2cos6=j2(l-cos6)=卜l-(l-2sin2^)=2sin*

BC=y/2+2cos20=J2(l+cos26)=^2(2cos20)=2cos9,

nn

電熱絲輻射的總熱量為Ix2sin]+lx2sin2+2x2cose,

0n

令/(^)=1x2sin—+1x2sin—+2x2cos0,

所以/(e)=4sin/+4cose,

即于⑹=4(sin]+1-2sii?]),

^人?si?n—0=r,

則f(0)=4(-2,+r+l)是關于，的二次函數(shù)，

當電熱絲輻射的總熱量最大時，r=：,

4

即nnsi?n—=r,

2

此時BC=2cos0=2(l-2sin2

24

故選：B.

二、多選題

9.下列等式成立的有（）

1._V2

A.sin275-cos275-B.—sin15+-—cos15

2222

5兀

tan

「sin15-cosl5_6

D-2+6

,25兀

sin15+cos1531-tan——

24

【正確答案】AC

【分析】對于A,逆用倍角余弦公式即可判斷；對于B,利用輔助角公式即可判斷；對于C,

5兀

tan—]苗

利用輔助角公式即可判斷；對于D,逆用倍角正切公式可得——2^=-tan-J,再用和

1-tan2—212

24

角正切公式即可判斷.

【詳解】對于A,sin275-cos275=-cos150°=cos30°=—,A正確；

2

對于B,—sin15+^^cosl5=cos60°sin15+sin60°cos15=sin75°w—B錯誤;

222

丄

sin15-cosl5_V2sin(15°-45°)_sin30°一擊=一￥'c正確;

對于C,

sin15+cos15&sin(15°+45°)sin60°

571

tan—

1

對于D,24—tan

i2571

1-tan--2

24

兀兀1V3

itan—+tan—.1+——。戸

L46_I3_2+j3

—A----------------------------------------——X-------------=~—-----------------D錯誤.

21-tan71xtan712"立

463

故選：AC

10.設點M是.43C所在平面內一點，則下列說法正確的是（）

A.AM=—AB+—AC,則點M是邊BC的中點

22

B.若AM=2AB-AC，則點"是邊8c的三等分

C.若AM=-8M—CM,則點M是邊一ABC的重心

D.AM=xAB+yAC,且x+y=g,貝％M3c的面積是ABC面積的g

【正確答案】AC

【分析】對A,根據(jù)中點的性質即可判斷：對B,根據(jù)向量的運算得到AM=2MD，即可判

斷；對C,根據(jù)重心的性質即可判斷；對D,根據(jù)三點共線的性質即可求解.

II1111

【詳解】對于A,由AM=JAB+5AC,得5AM-5AB即8M=MC，

因此點M是邊8c的中點，故A正確；

對于B,AM=2AB-ACAM-AB=AB-AC,:.BM=CB,

則點”在邊CB的延長線上，所以B不正確;

A

對于C,設BC中點。，則AM=-BM-GW,AM=M8+MC=2M￡>,

由重心性質可知C正確；

對于D,AM=xAB+yAC且x+y=；=>3AM=3xAB+3yAC,3x+3y=1'

設AE=3AM,所以AE=3xA8+3yAC,3x+3)，=l,可知B,C,E三點共線，

所以亠MBC的面積是_ABC面積的(，故D不正確.

11.下列說法正確的有()

A.3a,4，使sin(a+6)=sina+sin尸B.Vtz,夕，有

sin(a+尸)sin(c-/?)=sin2a-sin2￡

C.3a,P,使cos(a+0=cosa+cos/7D.Va,夕，有

cos(a+〃)cos(a-〃)=cos2a-cos2/3

【正確答案】ABC

【分析】根據(jù)取特值法，易知A,C正確，D錯誤；根據(jù)兩角和與差的正弦公式展開可知

B正確.

7T7T

【詳解】取a=/7=。，易知A正確D錯誤；取a=q,尸=一事，C正確；

因為sin(a+P)sin(a一4)=(sinacos/}+cosasin尸)(sinacos0-cosasin/3)

=sin2acos2/7-cos2asin2〃=sin2a(l-sin?y?)-^l-sin2tzjsin20

=sin2a-sin2/7,故B正確,

故選：ABC.

本題主要考查兩角和與差的正弦公式，余弦公式的理解和應用，屬于基礎題.

12.在.A8C中，AB=7,AC=5,8c=3,點。在線段AB上，下列結論正確的是()

A.若CO是高，則CO=RB.若?！跏侵芯€，則。。=巫

2

c.若8是角平分線，則CD#

D.若CO=3,則。是線段A8的三等分點

O

【正確答案】BC

【分析】分別求CD為高線，中線,角平分線及等分線時C￡＞的長.

【詳解】由題，cosC=^^C32+52-72r所以。吟

2x3x5

若C。是高，5A/tflC=^x7xCD=^x3x5xsin^,得CD=曲叵,故A錯誤;

19

若C￡>是中線，CD=^CA+CB),所以C02=；x25+9+2x5x3x

T

所以cn=晅，故B正確;

若CD是角平分線，則Swo+$BCD=SABC

2112

若。為線段A5的三等分點，CD=-CA+-CB^CD=-CA^-CB,

CD2=-x25+-x9+-x5x3x(-l)=—,^CD2=-x25+-x9+-x5x3x(-l)=—,

9992999929

故選：BC.

根據(jù)。在AB的位置，可用C4，CB表示CD,用向量方法解決平面幾何問題是常用思路.

三、填空題

13.已知”=(-3,4),6=(5,2),貝(1213力=.

【正確答案】(-21,2)

【分析】利用平面向量的坐標運算法則計算即可.

【詳解】解：已知￡=(-3,4),6=(5⑵，

則2a=(-6,8)，3b=(15,6)，

所以2,3方=(-21,2),

故答案為.（一21,2）

14.設AA8C中，。厶c分別是內角A,B,C所對的邊，且厶=3,c=l,A=23,則。=.

【正確答案】

【分析】根據(jù)正弦定理，余弦定理和二倍角的正弦公式即可求解.

ab

【詳解】由正弦定理得

sinAsinB

又A=26,

所以一一=—

sin28sinB

b

所以

2sinBcosBsinB

結合〃=3得。=6cosB,

由余弦定理以及人3,1得c°s八手六a2k9-

2a

Q~+1—9

所以〃=6

2a

整理得，?2=12,

所以a=2A/3.

故答案為.26

15.己知攵＞0,在直角三角形ABC中，AB=（2,3）,AC=（1,攵），則實數(shù)2的值是.

【正確答案】?或列Ml

32

uuu

【分析】先求出8C=（T,A-3）.然后分為A為直角，B為直角，C為直角，三種情況，分別

根據(jù)向量垂直的坐標表示，列出方程，求出女的值，舍去不滿足的女值，即可得出答案.

LllBlLILUULUU

【詳解】由已知可得,BC=AC-AB=（l,k）-（2,3）=（-l,k-3）.

UUUULM12

若A為直角，則有AB-AC=（2,3）??）=2+3A=0,解得&=一§＜0,舍去；

uimuuuii

若B為直角，則有A8-3C=（2,3＞（T#-3）=-2+3%-9=0,解得左=§；

uuiuuuti24./TQ

若C為直角，則有AC.BC=(l,%).(_l,Z_3)=-l+%2—3%=0,解得％=(舍去負值),

所以《=先~叵.

2

綜上所述，厶=日或"=三變.

故/=弓或叵.

四、雙空題

16.已知a,/?e(0,7t),且1211夕/2”是方程戸-5犬+6=0的兩根，則a+?的值是

；cos(a_/?)的值是.

【正確答案】學/親述幺夜

441010

【分析】根據(jù)韋達定理，兩角和的正切公式、兩角差的余弦公式化簡求解即可.

【詳解】由題意,tan?+tan/7=5,tan?-tan/?=6,

/tana+tan>351

/.tan(cr+/?)=---------------=-----=-1,

1-tanatanp1-6

7TTT

又tana>0,tan/?>0,故0<a<一,()<〃<一,

22

37r

故0<a+?<兀，:.a+p=-

4t

由tanatan/?=6=sinasinB=6cosacosy?,

立

cos(a+P)=cos號-2，

金

兩式聯(lián)立可得，sinasin〃==g,cosacos/?

,

竝10

逑

一

+-

105

嚕

玩

故

一4

五、解答題

53

17.已知a,夕都是銳角，cos(a+^)=—,sin(a-/?)=-.

⑴求cos2a的值；

(2)求cos4薩的值.

【正確答案】（1）-豊

65

⑷—I-

10

【分析】（1）先確定a-6，a+Z?的取值范圍，再利用同角三角函數(shù)的平方關系，求得

cos（a-/?）和sin（a+6）的值，然后根據(jù)加=（a-0+（a+0,并結合兩角和的余弦公式，得

解;

4

（2）由cos（a-￡）=g,結合二倍角的余弦公式，即可得出答案.

【詳解】（1）解：因為a與夕都是銳角,

所以卦a+,e(O,兀)，

53

又cos(a+/7)=—,sin(?-/?)=—,

所以a-夕a+,

所以cos(a-尸)=^l-sin2(a-y?)=[,sin(cr+/?)=y]\-sin2(a+J3)=,

4531216

所以cos2a=cos[(a-/)+(a+/?)]=—X----------X——=

51351365

（2）因為cos（"戸）=',a-p￡（0,/}

所以8$（。-￡）=2<^［三4-1=（,解得：cos三2=九叵（負值舍去）.

I2丿〉210

應從①8號②.3伝強這兩個條件中任選一個，補充到下面問題中，并解答.在M3C

中，a,6,c分別是內角A,B,C所對的邊且sin?A=sir)2B+sin2C+sinBsinC.

（1）求角A的大??；

⑵若荘而，且一，求sinC的值及A4BC的面積.

【正確答案】（1）市27r

（2）V6->/29-36

4,4

【分析】（1）由已知條件結合正弦定理可得儲=厶2+02+秘，再利用余弦定理可求出角A；

⑵若選①，則可求出角，再利用正弦定理求出sinC的值，然后利用三角形的面積公式求出

結果；若選②，則先根據(jù)正弦定理求出sin8的值，然后利用三角形的面積公式求出結果.

【詳解】(1)因為sin2A=sin2B4-sin2C4-sinBsinC,

由正弦定理得/=6+/2+姐

得cosA=——,

2

又0<A<7C,

2

所以A兀.

JT2

(2)選擇①時：B=-,A=-TI,

/^_^2

故sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=---------

根據(jù)正弦定理三=b

sinAsinB

故。=3,

坨c1厶.廠9-3\/3

故S=—absinC=----------?

24

若選②：

由〃=3>/5sinB及正弦定理-^7二,

SIILAsinn

3亞sinB_限

得一忑一—而

T

解得sinB=也~,

2

所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=瓜.“

根據(jù)正弦定理號=纟，得。=3,

sinAsinn

Q1厶?廠9-35/J

故S=—absinC=---------?

24

UUD1uur

19.如圖，在矩形A3CO中，點E在邊A3上，且AE=eE3,M是線段CE上一動點.

⑴若“是線段CE的中點，AM=mAB+nAD^求帆十"的值;

uuLILIULUUUUU1LILU1

⑵若AD=2,CACE=\G，求(2M4+MB)?MC的最小值.

7

【正確答案】(i)!

6

⑵一6

【分析】（1）由已知，用AB,AD表示AM,然后利用向量的基本定理可求〃?，〃,即可;

(2)根據(jù)題意，由數(shù)量積的計算公式可得10=CACE=^AB2+AD\變形可得卜@=3,進

而計算可得|詞的值，進而由向量數(shù)量積的計算公式可得(2MA+MB\MC=-3|ME|]MC\,

結合基本不等式的性質分析可得答案.

【詳解】(1)若M是線段CE的中點，

貝I]有AM=gAC+gAE=；(48+A￡>)+g{gA8)=|48+gA￡),

2]7

故加+〃=—+—=—.

326

(2)CACE=[-(AB+AD)]|^-AD-^A^^AB2+^ABAD+AD',

又因為ABC￡)是矩形，所以於紀=(),

2-2.2

所以C4-CE=—AB-+A。-,

3

又C4CE=10，,4=2,

22

所以§厶"+4=10,

解得A8?=9，

所以卜q=3,

進而得\CE\=V22+22=272,

因為AE=^EB,

所以ME-MA=^MB-ME),

21

故ME=-MA+-MB,

33

因止匕2AM+MB=3ME,

ME+MC\CE

則卜AM+MB>MC=3MEWC=一3J~L=-6.

22

當且僅當M為EC中點時取等號,

即(2MA+MB〉MC的最小值為-6.

2/Z

20.已知向量〃=(cosa,sina),Z?=(cos^,sin/7),.

(1)求cos(a—夕)的值；

(2)若0<a</,-1</?<0,且sin-=一《，求的值.

【正確答案】(1)；3

少、56\/3+33

(/丿TT

130

【分析】(1)先求出a-力=(cosa-cos夕,sin。一sin/),求出自一0=-2cos(cr-/7)+2,結

合已知即可得出答案；

(2)先求出0<。-〃<兀，然后根據(jù)正余弦關系求得cos/?=gsins(cr-^)=-,進而根

據(jù)兩角的正余弦公式，求得sina以及cosa的值.最后根據(jù)兩角差的正弦公式，展開代入計算,

即可得出答案.

【詳解】(1)因為a—/?=(cosa—cosAsina—sin/7),

所以

|Frp2/\2

a-0=(cosa-cos/^)~+(sincr-sin/3丫

=cos2a+cos2p-2cosacosp+sin2a+sin2/7-2sinasin/?=—2cos(a—/7)+2.

因為卜/=［手)=i,所以一2cosm")+2=1,

所以cos(a_￡)=j.

jrIT

(2)因為0<a<5，--<^<0,所以Ova-尸<兀.

因為$抽尸=_值，cos(a-')=m,

所以cosp=-Jl-sin2fi=Y|,sin(a-=^l-cos2(a->0)=g,

4123-533

所以sina=sin[(a-/7)+4]=sin(a-4)cos/?+cos(a-￡)sinp—x-----F—x——=

51351365

3124-556

cosa=cos[(?-/7)+/7]=cos(a-y3)cos>0-sin(a-/7)sinJ3—x一—x——

51351365

2兀,2n27t.走*準=56畐33

所以sin-----asin—cosa-cos—sina

333265I2丿65130

21.在.ABC中，。也c分別是內角4,8,C所對的邊，若(30—c)cosA—acosC=0.

⑴求cos4；

⑵若a=2石，且的面積S“BC=30，求8A的值；

2

(3)若方=3,且sin3sinC=],求ABC的周長.

【正確答案】(1):

(2)6立

⑶6+26

【分析】(1)由余弦定理統(tǒng)一為邊，再由余弦定理求解即可；

(2)由面積公式及余弦定理化簡，解得。=c=3,由數(shù)量積公式計算即可得解；

(3)根據(jù)三角恒等變換求出cos3cosC=；,再由兩角差的余弦公式求出B=C,再由余弦

定理求。即可得解.

【詳加畢】(1)(3￡>-c)cosA-tzcosC=0

2

/.(3/?-c)x6+J"+”=。,

2bcZab

b2+c2-a2=-bc,

3

...8SA/?—=變」

2bc2bc3

(2)由cosA=!，可得sin4=?

33

S&ABC=gbcsinA=3^2,

:.hc=9,

.a2=b2+c2-IbccosA,

22

:.b+c=18,解得b=c=39

:.cosB=a'+C"~b=—,sinB

lac3I

BABC=acsinB=2>/3x3x—=60.

3

12

(3),cosA=-cos(B+C)=sinBsinC-cosBcos