2023屆山西省晉中市祁縣中學(xué)高三第二次數(shù)學(xué)試題模擬考試

2023屆山西省晉中市祁縣中學(xué)高三第二次數(shù)學(xué)試題模擬考試

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3,請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知命題p：若a>l,b>c>\,則log〃a<log,。；命題g：土式0,小》）,使得2與<log^/”，則以下命題為真

命題的是（）

APMB.p^(F)C.(-TP)A^D.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足:zi=3+4i（i為虛數(shù)單位），則三（)

4+3/B.4-3iC.-4+3zD.-4-3/

3.20世紀(jì)產(chǎn)生了著名的“3x+1”猜想：任給一個(gè)正整數(shù)x,如果x是偶數(shù)，就將它減半；如果x是奇數(shù)，則將它乘3

加1,不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1.如圖是驗(yàn)證“3x+l”猜想的一個(gè)程序框圖，若輸入正整數(shù)

加的值為40,則輸出的〃的值是（）

r^n

A.8B.9C.10D.11

4.已知拋物線y2=2px（p>0）經(jīng)過點(diǎn)M（2,2⑹，焦點(diǎn)為口，則直線帆的斜率為（）

V26

A.272D.-2夜

4

5.單位正方體A5CD-4與G2,黑、白兩螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段白螞蟻爬

地的路線是441一小。1—“，黑螞蟻爬行的路線是43-3%-一，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段與第i段

所在直線必須是異面直線（ieM）.設(shè)白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處，這時(shí)黑、白兩螞

蟻的距離是（）

A.1B.0C.73D.0

6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

4x-y..2,

7.不等式,的解集記為。，有下面四個(gè)命題：P1：V（x,y）eD,2y-%,5；p,：Xx,y）GD,2y-x..2；

d+X，3

P3：V（x,y）eO,2y-%,2；區(qū)e22y-x..4.其中的真命題是（）

A.P|，P2B.P2，P3c.P\,P3D.P”P4

8.函數(shù)y=/（x）在區(qū)間上的大致圖象如圖所示，則/⑴可能是（）

A./(x)=ln|sinx|

B./(x)=In(cosx)

C./(x)=-sin|tanx|

D./(x)=一tan|cosx|

9.已知函數(shù)/(x)=sin2至x—Jisin生xcos工x,則/⑴+/⑵+...+/(2020)的值等于()

444

A.2018B.1009C.1010D.2020

10.設(shè)過定點(diǎn)M(0,2)的直線/與橢圓c：與+尸=1交于不同的兩點(diǎn)2，Q,若原點(diǎn)。在以PQ為直徑的圓的外部,

則直線/的斜率攵的取值范圍為()

11.函數(shù)/(x)=Asin(azr+0)(A>0,6y>0,|^|<^)的部分圖象如圖所示，則公。的值分別為()

*llxr

~612

A.2,0

集合｛2,0,1,9｝的真子集的個(gè)數(shù)是(

A.13B.14C.15D.16

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/(x)=cos2x+a(sinx-cosx)+3x+2019在［0,兀］上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)“值范圍為.

14.某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、8原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A

原料2千克，8原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，

要求每天消耗4B原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的

最大利潤(rùn)是__________元.

15.已知函數(shù),〃x)=",若關(guān)于x的方程〃力+/(-x)=0恰有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)”的取值范

21nx-6x,x>0

16.二項(xiàng)式("L—2x］的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為，含/項(xiàng)的系數(shù)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知〃,bw(0,+oo),。(1一/?)=)(。-1),/(X)=|2X+1|+|X-2|.

(1)求/+b2的最小值；

(2)若對(duì)任意。⑦€(0,+8),都有/(幻＜4(4+。2),求實(shí)數(shù)X的取值范圍.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=e*-x,g(x)=(x+4)ln(x+k)-x.

(D若左=1,/'(f)=g'(f),求實(shí)數(shù)，的值.

(2)若a,beR：/(a)+g?之/(O)+g(O)+M,求正實(shí)數(shù)k的取值范圍.

19.(12分)在AA8C中，內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知人=工，從+c?一走訪c=/.

33

(1)求a的值；

(2)若b=l,求AABC的面積.

20.(12分)如圖，在四棱錐。一ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，NDAB=60°,ZADP=90°,平面ADP±

平面ABCO,點(diǎn)尸為棱PD的中點(diǎn).

(I)在棱A3上是否存在一點(diǎn)E,使得平面PCE,并說明理由；

(D)當(dāng)二面角。-的余弦值為之時(shí)，求直線依與平面ABC。所成的角.

4

21.（12分）已知直線/的參數(shù)方程為”“。為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)

1

y=-t

I2

系，曲線。的極坐標(biāo)方程為。=2cos6.

（1）求直線/的普通方程和曲線。的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P（g,O）,直線/與曲線。交于A6兩點(diǎn)，求+的值.

22.（10分）十八大以來，黨中央提出要在2020年實(shí)現(xiàn)全面脫貧，為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，國(guó)家對(duì)“新農(nóng)合”（新型農(nóng)村合

作醫(yī)療）推出了新政，各級(jí)財(cái)政提高了對(duì)“新農(nóng)合”的補(bǔ)助標(biāo)準(zhǔn).提高了各項(xiàng)報(bào)銷的比例，其中門診報(bào)銷比例如下：

表1：新農(nóng)合門診報(bào)銷比例

醫(yī)院類別村衛(wèi)生室鎮(zhèn)衛(wèi)生院二甲醫(yī)院三甲醫(yī)院

門診報(bào)銷比例60%40%30%20%

根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，李村一個(gè)結(jié)算年度門診就診人次情況如下:

表2：李村一個(gè)結(jié)算年度門診就診情況統(tǒng)計(jì)表

醫(yī)院類別村衛(wèi)生室鎮(zhèn)衛(wèi)生院二甲醫(yī)院三甲醫(yī)院

一個(gè)結(jié)算年度內(nèi)各門

診就診人次占李村總70%10%15%5%

就診人次的比例

如果一個(gè)結(jié)算年度每人次到村衛(wèi)生室、鎮(zhèn)衛(wèi)生院、二甲醫(yī)院、三甲醫(yī)院門診平均費(fèi)用分別為50元、100元、200元、

500元.若李村一個(gè)結(jié)算年度內(nèi)去門診就診人次為2000人次.

（I）李村在這個(gè)結(jié)算年度內(nèi)去三甲醫(yī)院門診就診的人次中，60歲以上的人次占了80%,從去三甲醫(yī)院門診就診的人

次中任選2人次，恰好2人次都是60歲以上人次的概率是多少？

（D）如果將李村這個(gè)結(jié)算年度內(nèi)門診就診人次占全村總就診人次的比例視為概率，求李村這個(gè)結(jié)算年度每人次用于

門診實(shí)付費(fèi)用（報(bào)銷后個(gè)人應(yīng)承擔(dān)部分）X的分布列與期望.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

先判斷命題P，4的真假，進(jìn)而根據(jù)復(fù)合命題真假的真值表，即可得答案.

【詳解】

,1,111

=---工，loS(a=；------,因?yàn)閎>c>\,所以。<108?。<108,*,所以------>------即命題p

log*log/log〃clog*

為真命題；畫出函數(shù)y=2'和y=log3X圖象，知命題g為假命題，所以pA(ry)為真.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查真假命題的概念，以及真值表的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是判斷出命題〃國(guó)的真假，難度較易.

2,A

【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算求出工，再根據(jù)共輸復(fù)數(shù)的概念即可求解.

【詳解】

3+4i3z-4

由zi=3+4i,則z=」^="^=4—3i,

i-1

所以［=4+3、

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共扼復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

3、C

【解析】

列出循環(huán)的每一步，可得出輸出的〃的值.

【詳解】

一40

n=\,輸入加=40,〃=1+1=2,m=1不成立，加是偶數(shù)成立，則，”=—=20；

2

20

〃=2+1=3,m二1不成立,m是偶數(shù)成立,則機(jī)=，=10；

2

E10匚

〃=3+1=4,m=1不成立,m是偶數(shù)成立，則/〃二不■=5；

2

〃=4+1=5,m=1不成立,用是偶數(shù)不成立,則加=3x5+1=16；

f16

〃=5+1=6,加二1不成立,m是偶數(shù)成立，則加=—=8；

2

8

7?=6+1=7,m二1不成立,m是偶數(shù)成立，則nlm=—=44；

2

則根=3=2；

〃=7+1=8,機(jī)二1不成立,m是偶數(shù)成立，

2

-2?

〃=8+1=9,加=1不成立，m是偶數(shù)成立，則"2=—=1;

2

根=成立，

/t=9+l=10,1跳出循環(huán)，輸出〃的值為1().

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4、A

【解析】

先求出，，再求焦點(diǎn)產(chǎn)坐標(biāo)，最后求叱的斜率

【詳解】

解：拋物線產(chǎn)=2沖(〃>0)經(jīng)過點(diǎn)M(2,2&)

(2何=2px2,〃=2,

F。，。)，kMF=2>/2,

故選：A

【點(diǎn)睛】

考查拋物線的基礎(chǔ)知識(shí)及斜率的運(yùn)算公式，基礎(chǔ)題.

5、B

【解析】

根據(jù)規(guī)則，觀察黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過幾段后又回到起點(diǎn)，得到每爬1步回到起點(diǎn)，周期為L(zhǎng)計(jì)算黑螞蟻爬完2020段

后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn)以及計(jì)算白螞蟻爬完2020段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn)，即可計(jì)算出它們的距離.

【詳解】

由題意，白螞蟻爬行路線為

即過1段后又回到起點(diǎn)，

可以看作以1為周期，

由2020+6=3364,

白螞蟻爬完2020段后到回到C點(diǎn)；

同理，黑螞蟻爬行路線為AB-B31TBici—GOi-50—04,

黑螞蟻爬完2020段后回到Di點(diǎn)，

所以它們此時(shí)的距離為0.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，考查空間想象與推理能力，屬于中等題.

6、A

【解析】

觀察可知，這個(gè)幾何體由兩部分構(gòu)成，：一個(gè)半圓柱體，底面圓的半徑為1,高為2；一個(gè)半球體，半徑為1,按公式計(jì)

算可得體積。

【詳解】

設(shè)半圓柱體體積為匕，半球體體積為匕，由題得幾何體體積為

14]5乃

23

V=V+V）=^-X1X2X-+-X^X1X-=一，故選A。

122323

【點(diǎn)睛】

本題通過三視圖考察空間識(shí)圖的能力，屬于基礎(chǔ)題。

7、A

【解析】

作出不等式組表示的可行域，然后對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一分析可得結(jié)果.

【詳解】

作出可行域如圖所示，當(dāng)x=l,y=2時(shí)，（2y—x）,3=3,即2y—x的取值范圍為（—8,3],所以

V（尤,y）GD,2y-x,,5,/?,為真命題;

3(x,y)eD,2y-x..2,p2為真命題；p3,p4為假命題.

故選：A

此題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關(guān)鍵，屬于中檔題.

8、B

【解析】

根據(jù)特殊值及函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；

【詳解】

解：當(dāng)x=0時(shí)，sinO=O,WsinO|無意義，故排除A；

又cosO=l,則./X0)=—tan|cosO|=-tanlwO,故排除D；

對(duì)于C,當(dāng)時(shí)，卜anx|>0,所以/。)=一$布1311才不單調(diào)，故排除C；

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式，這類問題利用特殊值與排除法是最佳選擇，屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解析】

首先，根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)所求函數(shù)的周期性，得到其周期為4,然后借助于三角函

數(shù)的周期性確定其值即可.

【詳解】

解：/(x)=sin2—x-^sin—xcos—x.

444

=—（1-cos—x）----sin—x

2222

,,714、1

=-sin（—x+—）+-,

262

fM=-sin（yX+a+；，

T=—=4

???/（X）的周期為￡,

2

八1）=￥，52）=1'〃3）=W，/（4）=0,

/（l）+/（2）+/（3）+/（4）=2.

.,?/（1）+/（2）++/（2020）

=505x[/（l）+/（2）+/（3）+/（4）]

=505x2

=1010.

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等知識(shí)，掌握輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，屬于

中檔題.

10、D

【解析】

設(shè)直線/：y=kx+2,P（x”y）,。（巧,必），由原點(diǎn)。在以尸。為直徑的圓的外部，可得OP-OQ〉（），聯(lián)立直線

/與橢圓C方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求得答案.

【詳解】

顯然直線x=0不滿足條件，故可設(shè)直線/：y=kx+2,

上+』

P（X，y），。（芍,必），由‘2』一，得。+2公產(chǎn)+8米+6=0,

y=阮+2

△=64&2-24（1+2/）＞0,

二解得女〉如或左＜一如，

22

8k6

.?％+X-j-9X,X-j-大9

1-1+2女21-\+2k2

n

Q<ZPOQ<^,

???OPOQ>Q,

xx

OPOQ=XyX2+X%=\2+（處+2）（Ax2+2）

60+父）16k210-2k2

（1+女2）X]A：2+2A：（X[+々）+4+4=>0,

\+2k21+2公l+2k2

?.?解得一石＜上＜6，

二直線/的斜率Z的取值范圍為左J-石，-L，石

22

I"/「7

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題解題關(guān)鍵是掌握橢圓的基礎(chǔ)知識(shí)和圓錐曲線與直線交點(diǎn)問題時(shí)，通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組，通過韋達(dá)定

理建立起目標(biāo)的關(guān)系式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

11、D

【解析】

由題意結(jié)合函數(shù)的圖象，求出周期T,根據(jù)周期公式求出。，求出A,根據(jù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，求出。，即可求

得答案

【詳解】

,十ME4.—r—3T1TIJi3"

由函數(shù)圖象可知：—=\—

41264

T=719

「.69=2,A=l

函數(shù)的圖象過點(diǎn)瑩,1

1=sin（^2x—+

式n.71

<--則0

H2o

故選O

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是y=Asin（&x+。）的圖像的運(yùn)用，在解答此類題目時(shí)一定要挖掘圖像中的條件，計(jì)算三角函數(shù)的周

期、最值，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求出結(jié)果

12、C

【解析】

根據(jù)含有〃個(gè)元素的集合，有2"個(gè)子集，有2"-1個(gè)真子集，計(jì)算可得；

【詳解】

解：集合｛2,0,1,9｝含有4個(gè)元素，則集合｛2,0,1,9）的真子集有元一1=15（個(gè)），

故選:C

【點(diǎn)睛】

考查列舉法的定義，集合元素的概念，以及真子集的概念，對(duì)于含有〃個(gè)元素的集合，有2"個(gè)子集，有2"-1個(gè)真子

集，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、

2

【解析】

由/'（x）20在[0,兀]上恒成立可求解.

【詳解】

fr（x）=-2sin2x+〃（cosx+sinx）+3,

令/=cosx+sinx=0sin(x+工)，Vxe[0,^],/.rG[-1,V2],

4

又*=l+sin2x,sin2x=1—f2>從而/'(x)=-2廣+〃+5,令g(/)=-2廣+。/+5,

g(-l)=-2—Q+520解得-旦aK3.

問題等價(jià)于g⑺N0在/G[-1,用時(shí)恒成立,

g(V2)=-4+V2a+5>02

故答案為:4,3].

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的單調(diào)性，解題關(guān)鍵是問題轉(zhuǎn)化為了'（X）20恒成立，利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)易求解.

14、1元

【解析】

設(shè)分別生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品為x桶，丁桶，利潤(rùn)為Z元

X

x+2y<12

則根據(jù)題意可得2x+y<12

x,y>0且x,yeN

目標(biāo)函數(shù)z=300x+400y,作出可行域，如圖所示

作直線43x+4y=0,然后把直線向可行域平移,

由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=300x+400y的截距最大，此時(shí)z最大,

x+2y^12x=4

可得《,即A(4,4)

2x+2〔)=4

此時(shí)z最大z=300x4+400x4=2800,

即該公司每天生產(chǎn)的甲4桶，乙4桶，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為1.

【點(diǎn)睛】本題考查用線性規(guī)劃知識(shí)求利潤(rùn)的最大值，根據(jù)條件建立不等式關(guān)系，以及利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解是

解決本題的關(guān)鍵.

15、(-2,0)

【解析】

設(shè)g(x)=/(x)+/(T),判斷g(X)為偶函數(shù)，考慮X>0時(shí)，g(X)的解析式和零點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單

調(diào)性，作函數(shù)大致圖象，即可得到。的范圍.

【詳解】

設(shè)g(x)=/(x)+/(—X),

則g(x)在(F,0)D((),M)是偶函數(shù)，

當(dāng)x>()時(shí)，g(x)=21nx-6x+3x2--+1,

由g(x)=0得a=2xlnx—6/+3x3+x，

=2xlnx—6x2+3x，+x,

2

〃'(x)=21nx-12x+9f+3,//(x)=—+181220,

X

故函數(shù)/?'(x)在((),+a)增，而"(1)=0,

所以〃(x)在(0,1)減，在(1,m)增，〃。)=—2,

當(dāng)Xf+OO時(shí)，〃(x)f+oo,當(dāng)無-0+時(shí)，A(x)->0-,

因此g(x)的圖象為

因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-2,0).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，涉及構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合

思想方法，以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力和推理能力，屬于難題.

16、1240

【解析】

將x=l代入二項(xiàng)式可得展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，寫出二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，令x的指數(shù)為2,求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可

得出一項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】

將x=1代入二項(xiàng)式(工_可得展開式各項(xiàng)系數(shù)和為(1-2)6=1.

/1\6八、?

二項(xiàng)式--2x\的展開式通項(xiàng)為&=C：」?(—2。=C；?(―2丫?V-6,

IX/IX1

令2廠一6=2,解得r=4,因此，展開式中含V項(xiàng)的系數(shù)為16C；=16X15=240.

故答案為：1；240.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

7

17>(1)2；(2)一

【解析】

(D化簡(jiǎn)4(1一。)=優(yōu)。-1)得」-+二=1,所以",展開后利用基本不等式求最小值

2a2b'\2a2b)

即可；

(2)由(1),原不等式可轉(zhuǎn)化為|2x+l|+|x-2區(qū)8,討論去絕對(duì)值即可求得x的取值范圍.

【詳解】

(1)V?,/?e(0,+co),a(\-b)=b(a-1),

ci+b=Icih,---1---=1.

2a2b

/.a2+b2=(a2=-2+《+二+2(2+公

\\2alb)4|_a2b2(ab)_

當(dāng)且僅當(dāng)耳=《且2=：即a=O=l時(shí)，(a2+b2),=2.

a2b2ab'，min

(2)由(1)知，(/+。2)=2,

對(duì)任意a,be(0,-KO),都有/(x)<4(/+〃)，

/?/(x)<8,即12x+11+1%―2區(qū)8.

①當(dāng)2x+l<0時(shí)，有—2x—l—x+248,

71

解得—<x<――；

32

②當(dāng)2x+lN0,x—2W0時(shí)，有2x+l—x+2<8,

解得-

2

③當(dāng)x—2>0時(shí)，W2x+l+x-2<8,

解得2<x<3；

工7

綜上，—4x?3,

3

7

...實(shí)數(shù)K的取值范圍是一耳,3.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查基本不等式的運(yùn)用和求解含絕對(duì)值的不等式，考查學(xué)生的分類思想和計(jì)算能力，屬于中檔題.

18、(1)1(2)k31

【解析】

⑴求得和g'(x),由1=1,/'?)=g'⑺，得。-燉+1)-1=0,令刈=e-n(r+l)_l,令導(dǎo)數(shù)求

得函數(shù)的單調(diào)性，利用0(。<夕(0)=0,即可求解.

(2)解法一:令〃(x)=/(x)-陵+g㈤一〃O)—g(O),利用導(dǎo)數(shù)求得〃(x)的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為〃(x"〃(lnS+l)),

令《x)=(x+Z)ln(x+@—(x+l)ln(x+l)-他次(%>0),利用導(dǎo)數(shù)得到f(x)的單調(diào)性，分類討論，即可求解.

解法二：可利用導(dǎo)數(shù)，先證明不等式，ex-x-l>0,x-l>lnx,x-xlnx-l<0,

令〃(x)=g(x)-辦+/(a)-/(O)-g(O)(%〉0),利用導(dǎo)數(shù)，分類討論得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

【詳解】

(1)由題意，Wf\x)=exg'(x)=ln(x+k),

由后=1,/"(，)=g'(r)..?①，得d_ln(r+l)_]=0,

令0(r)=e'_ln(/+l)-l,則=/,

因?yàn)??！?/)=)+］占『>0,所以夕'(。在(—1,+8)單調(diào)遞增,

又“(0)=0,所以當(dāng)—1<%<0時(shí)，夕(。單調(diào)遞增;

當(dāng)x>()時(shí)，0'(。<(),單調(diào)遞減；

所以/(1)<0(0)=0,當(dāng)且僅當(dāng)/=0時(shí)等號(hào)成立.

故方程①有且僅有唯一解f=0,實(shí)數(shù)f的值為L(zhǎng)

(2)解法一：令〃(x)=/(x)-Z?x+g(/?)-/(O)-g(O)(x>0),

所以當(dāng)x>如9+1)時(shí),〃'(x)>0,ZJ(X)單調(diào)遞增;

當(dāng)0<x<ln(/?+l)時(shí)，/z(x)單調(diào)遞減;

故/z(x)NZz(In(b+l))=/(ln(Zj+l))+g(Zj)-/(O)-g(O)-Z?ln(^+l)

=(Z?+Z)ln(/?+Z)—(h+l)ln(/?+l)-0n&.

令f(x)=(x+A)ln(x+%)—(x+l)ln(x+l)—AhM(x>0),

則?x)=ln(x+Z)_ln(x+l).

⑴若攵>1時(shí)，f(x)>0,f(x)在(0,+s)單調(diào)遞增，

所以4%)>《0)=0,滿足題意.

(ii)若左=1時(shí)，/'(%)=(),滿足題意.

(iii)若0<左<1時(shí)，f(x)<0,《X)在(0,48)單調(diào)遞減,

所以f(x)<《0)=0.不滿足題意.

綜上述：k>\.

解法二：先證明不等式，ex-x-l>0,x-i>\nx,x-xlnx-1<0...(*).

令=-x—\,

則當(dāng)x?0時(shí)，d(x)=e*-l",9(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x?0時(shí),^(x)=^-l<0,夕(x)單調(diào)遞減,

所以O(shè)(x)20(O)=O,即e*—x-l20(xeR).

變形得，ex>x+\,所以x>-l時(shí)，x>ln(x+l),

所以當(dāng)無>()時(shí)，x-1>lnx.

又由上式得，當(dāng)x>0時(shí)，--l>ln—,l-x>-xlnx,x-xlnx-1<0.

xx

因此不等式(*)均成立.

令〃(x)=g(x)-辦+/(a)-/(o)-g(o)(x〉0),

貝!J〃'(x)=ln(x+攵)-a,

⑴若a>l睢時(shí)，當(dāng)x>e"-Z時(shí)，〃'⑺>0,〃(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)0<x<e"-左時(shí)，〃'(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減；

故〃=gk“一Zr)-a(e“一Zr)+/(a)—/(O)—g(O)

=(k-l)a+Zs—1—kink.

(ii)若0<a<lM時(shí)，”(%)“,〃(x)在(0,”)單調(diào)遞增,

所以〃(x)>〃(O)=/(a)—〃O)=ea-a-l.

因此，①當(dāng)0<441時(shí)，此時(shí)lnZ<0,a>lnk,h(x)>(k-l)a+/c-l-kln/c>0,

^-1>0,

則需《

k—\—kink>0,

由(*)知，"ZlnZ-lWO,(當(dāng)且僅當(dāng)左=1時(shí)等號(hào)成立)，所以％=1.

②當(dāng)攵>1時(shí)，此時(shí)InZ>0,a>0,

則當(dāng)a>lnA時(shí)，〃(x)2(Z-l)a+Z-l-ZdnA>(Z—l)lnZ+Z—1一勿冰

=—1M+Z—1>()(由(*)知)；

當(dāng)OcaVlnA時(shí),h(x)>ea-a-l>0(由(*)知).故對(duì)于任意a>0,/z(x)>0.

綜上述：k>\.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于

恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參

數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

19、(1)6；(2)—.

2

【解析】

(1)由〃+。2-正。*=",利用余弦定理可得2機(jī)。osA=Y3aOc,結(jié)合A=￡可得結(jié)果；

333

iTTTT

(2)由正弦定理sinBnq,B=~,利用三角形內(nèi)角和定理可得C=7,由三角形面積公式可得結(jié)果.

262

【詳解】

(1)由題意，得/+/一。2=旦兒.

3

,:IT+c2—a2=2bccosA?

.A/3,

??2/?ccosA=—abc，

3

;A=1,a-2>/3cosA=#.

(2),:a=6

由正弦定理二,可得sinB=L.

sinAsmB2

_71

Va>b,:?B=—,

6

7T

.**C=Ti—A—B=—.

2

,?S&ABC=2"bsmC=-?

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函數(shù)，屬于中檔題.對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：(1)

1222

a2=b2+c2-2bccosA；(2)cosA=+C,同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、

2bc

三角函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，還需要記住30",45",60”等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.

20、(1)見解析(2)60°

【解析】

(I)取PC的中點(diǎn)Q,連結(jié)EQ、FQ,得到故AE//FQ且AE=FQ,進(jìn)而得到A尸//EQ,利用線面平行的判

定定理，即可證得Ab//平面PEC.

(H)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)ED=a,求得平面EBC的法向量為〃z,和平面OR7的法向量

n,利用向量的夾角公式，求得a=g,進(jìn)而得到NP3D為直線PB與平面A3QD所成的角，即可求解.

【詳解】

(I)在棱AB上存在點(diǎn)E,使得AE//平面PCE,點(diǎn)E為棱A3的中點(diǎn).

理由如下：取尸。的中點(diǎn)Q,連結(jié)EQ、FQ,由題意，F(xiàn)QI/DC支FQ=9D,

4￡//8且4￡=，8,故AE//EQ且AE=FQ.所以，四邊形AEQ尸為平行四邊形.

2

所以，AF//EQ,又EQ，平面PEC,AF_L平面PEC,所以，AF//平面PEC.

(D)由題意知AABZ)為正三角形，所以EDLAB,亦即EZ)，C￡),

又NAZ)P=9O°,所以PDJ_A￡),且平面AOP_L平面ABC。，平面ADPc平面ABC￡>=AD,

所以PD_L平面ABC。，故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)e=a,則由題意知。(0,0,0),網(wǎng)0,0,a),C(0,2,0),B(百,1,0),

FC=(0,2,-A),CB=(x/3,-l,0),

設(shè)平面FBC的法向量為〃?=(x,y,z),

m-FC=02y-az=02>/3

則由<得令x=l,則>=百,z=-----

m-CB=Q\/3x-y=0a

所以取〃?,顯然可取平面DEC的法向量〃=(1,0,0),

由于產(chǎn)。,平面ABCD,所以在平面ABC。內(nèi)的射影為

所以NPBD為直線PB與平面ABCD所成的角，

易知在中，tanNPBD=?=a=y^,從而NP%>=60°,

所以直線PB與平面ABCD所成的角為60°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和直線與平面所成角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理

能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)

成，著重考查了分析問題和解答問題的能力.