第33講 簡(jiǎn)單的三角恒等變換（教師版）-高一數(shù)學(xué)同步講義

第11講簡(jiǎn)單的三角恒等變換

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.會(huì)運(yùn)用三角函數(shù)的正弦、余弦、正切

的和與差、二倍角公式進(jìn)行三角函數(shù)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)運(yùn)用三角函數(shù)的相關(guān)公式進(jìn)

式的化簡(jiǎn)與求值.行簡(jiǎn)單的三角恒等變換，并能解決與三角函數(shù)有關(guān)的計(jì)

2.會(huì)運(yùn)用相應(yīng)的三角函數(shù)公式進(jìn)行三角算、化簡(jiǎn)、證明等問(wèn)題.

函數(shù)式的證明.

趣知識(shí)精講

率'知識(shí)點(diǎn)

以上稱之為半角公式，符號(hào)由3所在象限決定.

2

2.積化和差與和差化積公式(不要求記憶)

(1)和差化積公式:

a+Ba-B

sina+sin夕=2sin-------cos--------

22

a+/3.a-B

sina-sin"=2cos-------sin--------

22

cosa+cos〈=2cos"'cos。J；

ex+J3.cc-B

cosa-cospD=-2sin—^-sin-?

(2)和差化積公式：

sinacos尸=g［sin(a+夕)+sin(oj?)］；

cosasinfi=-［sin(?+^)-sin(a-^)］；

2

cosacosB=—|cos(a+S)+cos(a-/0］；

2

sinasinp=~—［cos(a+夕)-cos(a-份］.

2

3.輔助角公式

asinx+bcosx-yla2+b2sin(x+m),其中cos<p=l"一二,sinm=—j=^=.

其中。稱為輔助角，它的終邊所在象限由點(diǎn)(〃，h)決定.

4.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與證明

(1)化簡(jiǎn)原則

①一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過(guò)看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，再使用公式.

②二看“函數(shù)名”，看函數(shù)名之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦

③三看式子“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”“遇

到根式一般要升幕”等.

(2)化簡(jiǎn)要求

①使三角函數(shù)式的項(xiàng)數(shù)最少、次數(shù)最低、角與函數(shù)名稱的種類最少；

②式子中的分母盡量不含三角函數(shù)；

③盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)等.

(3)化簡(jiǎn)方法

①異名化同名、異次化同次、異角化同角、弦切互化；

②"1”的代換，三角公式的正用、逆用.

(4)化簡(jiǎn)技巧

①角的代換：常用拆角、拼角技巧，例如，

2a=(a+￡)+(a-6)；

a=(a+3)-[i=(a-B)+/?；

p=^JL-^P-=(a+2夕)-(a+夕)；

a-(a-y)+(y-^?)；

15*45?！?0。；

—兀+(x=兀----(，—兀a)、等-.

424

②公式變換

tana士tan￡=tan(a邛)(1.tanatanfi)；

萬(wàn)itana+tmBtana-tan/?1

tanatanp=1----------------=---------------1；

tan(a+〃)tan(a-/7)

?32sinacosa2tancr

sin2a=----------=--------；

sin-tz+cos~a1+tan-a

八cos2a-sin2a1-tan2a

cos2a=——--------------=-------------.

cos'a+sirra1+tan-a

③常值代換

l=sin2cr+cos2a；1=sin90°；1=tan45°；\/5=tan6O°等.

(即學(xué)即練1】tan70°+tan50。一小tan70°tan50°的值為()

A.小C.-乎D.—

【答案】D

..,tan700+tan50°r-,

【解析】因m為tan120°=j_匕]]7()。匕1150°=一小，mBPtan700+tan50°-\prtan700tan50°=~\pr.

【即學(xué)即練2】已知Gsinx+cos戶2〃-3,則。的取值范圍是()

A.—<a<—B.a<—

2~~2~2

C.—D.——

22~~2

【答案】A

【解析】?*,\^sirLr+cosx=2?-3,/.—siav+—COSA-6Z--,即sin(x+—)=a~—.再由一Igsin(JV+—)<1,

222626

可得T飛解得』ME』，故選A.

222

【即學(xué)即練3]函數(shù)y=cos2x-sin2x的一條對(duì)稱軸為()

7t

c.D.X=----

4

【答案】C

【解析】v=cos2x-sin2x=0x(cos2x--^sin2x)=>/2(cos—cos2x-sin—sin2x)=>/2cos(2x+—),

22444

令2人，+四二既可得該函數(shù)的對(duì)稱軸為.懺幺-二4￡Z,結(jié)合選項(xiàng)可知，當(dāng)上0時(shí)，函數(shù)的一條對(duì)稱軸為4-二，

4288

故選C.

［即學(xué)即練4】，腰i=_______.

?1—\3tan10

【答案】I

..,..-sin10。_______sin100cos10。________2sin10°cos100_____sin20_________

件1-V3tanIO。」8s10。一小sin心一破四10。—坐sin］0。［4sin(30-10)-4'

【即學(xué)即練5］已知sin2a=1，則2cos?(a--)=.

44

【答案】-

4

【解析】'/sin2a=—,/.2cos2(cr--)=1+cos|2a-—|=l+sin2a=l+—=—.故答案為：—.

44{2J444

【即學(xué)即練6】已知銳角。，夕滿足(tana-1)(tan^l)=2,貝U。+夕的值為.

【答案】—

4

【解析】由(tana-l)(tan//-l)=2,可得：Umatan/ManaTan//+l=2,tan(a+夕)=1ana+tan'匕

1-tanatan/3

3IT3IT

;銳角a,B，:.a+BR(0,兀)，：.a+/i=—.故答案為：—.

44

【即學(xué)即練7】?已知sin2a=1，則2cos2(a--)=.

44

【答案】-

4

【解析】Vsin2a=—?2cos2(a--)=1+cosf2or--=1+sin2a=1+—=—.故答案為：—.

44I2；444

］兀

【即學(xué)即練8］若sina+cosa=—,(―,兀)則sina-cosa=.

52

7

【答案】-

5

【解析】根據(jù)題意,sina+cosa=—?則有(sina+cosa)2=l+2sinacosa=—,

525

24

變形可得2sinacosa=—,

則(sina-cosa)2=1-2sinacosa=l+——=——,變形可得sina-cosa=±—；

25255

77

又由a是第二象限角，則sina>0,且cosa<0,貝ijsina-cosa=—.故答案為：一.

55

【即學(xué)即練9]已知sina+sin/?=；,cosa+cos/?=；,則tan(a+在)的值為

24

【答案】—

7

【解析】由sina+sinp=,，得2sin竺2cos里二幺=,，

4224

ElJcostz+cos^=-,得2cos里土2cose—―=-.兩式相除，得tana+1,

322324

2tana+'B

則tan(a+/7)=2=—.故答案為：—?

I1-tan2——atB-77

2

2cos2--sin<9-l

【即學(xué)即練10］已知tan0=-2,則----------------

V2sinp+^

【答案】-3

［解析］已知tan0=-2，

2ccq2———1

.?cossincosg-sing1-tan^3

11]--------------------------=--------------------------------------------=-------------------=-------------=--------

而“。+無(wú)〕gsinecosMgcosesin71sinO+cos。1+tanO1-2

<4)44

故答案為：-3.

【即學(xué)即練11】函數(shù)〃x)=&cosxsin卜一(xe0,(的最大值是()

A.2B.-1C.0D.1

【答案】C

【分析】

TTTT

利用三角恒等變換化簡(jiǎn)f(x)，根據(jù)xw0,-，求他2x-￡,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)訂算可得.

L4J4

【詳解】

解:f(x)=5/2cosxsinfx--)=\/2cosx^—(sinx-cosx)

\4；2

c冗

sinxcosx-cos2x=-sin2x--cos2x--=—sin2x------

22224

xe

2x--G7171sinf2x--^-je也也

44,42'2

所以〃x)?—1,0]

故選：C

【即學(xué)即練12]^a=-coS4°-^-sin4,b=2t叫2,-sin40,則°,b,c大小關(guān)系正確的是（）

22\+tan2l2\2

A.c<h<aB.a<h<cC.a<c<hD.b<c<a

【答案】D

【分析】

利用二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)三個(gè)數(shù)，通過(guò)三角函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

【詳解】

1/o

解：a=—cos4°-sin4°=sin(30°-4°)=sin26°,

sin12。

2tanI2。=：cosl2。=2sinI2°cosl2°=S^24。/l-sin40

1+tan2120(sinl2°Ysin2120+cos212°，"...->字°=Vsin225°=sin25°

+lcosl2°J

因?yàn)閟in26°>sin25。>sin240,所以a>c>6

故選：D

R能力拓展

考法01

1.三角函數(shù)的化簡(jiǎn)

（1）化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的要求:

①能求出值的應(yīng)求出值；

②使三角函數(shù)的種類盡量少；

③使式子中的項(xiàng)數(shù)盡量少；

④盡量使分母不含三角函數(shù)；

⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù).

（2）化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的技巧：

①變角：通過(guò)觀察不同三角函數(shù)式所包含的角的差異，借助于“拆湊角”（如用特殊角表示一般角，用己

知角表示所求角等）、“消角”（如異角化同角，復(fù)角化單角等）來(lái)減少角的個(gè)數(shù)，消除角與角之間的差

異.

②變名（即式子中不同函數(shù)之間的變換）：通過(guò)觀察角的三角函數(shù)種類的差異，借助于“切化弦弦切互

化”等進(jìn)行函數(shù)名稱的變換.

③變式（即式子的結(jié)構(gòu)形式的變換）：通過(guò)觀察不同的三角:

函數(shù)結(jié)構(gòu)形式的差異，借助于以下兒種途徑進(jìn)行變換

（a）常值代換，如“1”的代換.

（b）變形公式，如tana?tan夕=四吆一則2-1.

tan（。一月）

aa

「1-cos2a21+cos2a

（c）升降幕公式，如1+cosa=2cos2Q；1-cosa=2sin2y；sin~a=------------；cosa=-------------；smotcos

22

a=-sin2a.

2

2cos2a-l

【典例1］化簡(jiǎn):

_/兀/兀、

2tan(一a)sm-(+a)

44

【答案】1

cos2cr-sin2a

【解析】解法一:原式二

c1-tana/.兀兀.、2

2x---------(sin—cosa+cos一sma)

1+tana44

(cos2a-sin%)(l+tana)

(1-tana)(cosa+sina)?

2?2\zisina、

(zcosa-sma)(1+-)

cosa

“sma...、2

(1--------)(cosa+sina)

cosa

=1.

cos2a

解法二:原式=

cos2acos2a

7TTTTT

2sin(--cr)cos(4-a)sin(--2a)

cos2a

------=1.

cos2a

...八、sinll00sin20°

［典例2］求值：(1)—；---------；-----；

cos*21550-sin2155°

(2)V3tanl20-3

sinl2°(4cos2120-2)

【答案】（1）(2)-473.

2

-sin40°.

3fsin70°sin20°cos20°sin20°21

【解析】（I）原式=------------=-------------=

cos310°cos50°sin40°2

A"-3

（2）原式=cos12°

sinl2°(4cos2120-2)

6sinl2。-3cos12。

2sinl20cosl2°(2cos2120-1)

1C

2V3(-sinl2°--cosl2°)

22_________

sin24°cos24°

2V3sin(12°-60°)

-sin48°

2

=-4-\/3.

兀71

【典例3】已知sin（a+4=io,：(l)cosa的值;(2)sin

【解析】（1）由sin（a+：j=xy,得sinacos^+cosasin：=化簡(jiǎn)得sina+cosa=g,①

10,

3

又sin2a+cos2a=1,且cosa=一亍

⑵若,兀)，cosa=-|,.-.sin?4

7413'24

/.cos2a=1-2sin9-a=-石，sin2a=2sinacos?=2x-x|

25'

.07t八.兀近117也

sin2acos^—cos2asin^=^y*x|

（卷+電50?

【名師點(diǎn)睛】給值求值：即給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”,

使相關(guān)角相同或具有某種關(guān)系.

【典例4】(1)已知cosa=；,cos(a—￡)=冷若則夕=.

【答案】|

【解析】由cosa=：,0<a<^,得sina=41—COS2Q=71—(；)?=4^3

7.

由0V夕得0<a—￡<與，又cos(a—6)=?.".sin(a—/?)=-Jl-COS2(a-y9)=3s

14,

由尸=a-(a一夕)得coscos[a-(a-p)]=cosacos(a-/?)+sinasin(a-

?療(0,g,：

(2)若疝-sinnsin^=cos2cos2，則.的值是()

L」3333

A.-B.-C.-D.-

6432

【答案】D

【解析】因?yàn)橐籹in2sin七=cos2cos生,所以cos土cos把+sin▲sin把=0,所以cos(2-勺?]=0.

33333333k33J

即8sx=0.乂因?yàn)閤w[0,冗]，所以五=].故選D.

【名師點(diǎn)睛】給值求角：“給值求角”實(shí)質(zhì)上可轉(zhuǎn)化為“給值求值”，即通過(guò)求角的某個(gè)三角函數(shù)值來(lái)求角(注

意角的范圍).在選取函數(shù)時(shí)，遵循以下原則：

(1)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù).

(2)已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù).若角的范圍是(0,選正、余弦函數(shù)皆可；若角的范圍是(0,

兀)，選余弦函數(shù)：若角的范圍為(苫，勺，選正弦函數(shù).

(3)謹(jǐn)記“給值求角”問(wèn)題口訣:

求角大小象限定，函數(shù)轉(zhuǎn)化標(biāo)準(zhǔn)型.

考法02

三角函數(shù)的證明

恒等式包括有條件的恒等式和無(wú)條件的恒等式兩種.

(1)無(wú)條件的恒等式證明，常用綜合法(由因?qū)Ч?和分析法(執(zhí)果索因)，證明的形式有化繁為簡(jiǎn),

左右歸一，變更論證等無(wú)論采用什么證明方式和方法，都要認(rèn)真分析等式兩邊三角函數(shù)式的特點(diǎn)、角度

和函數(shù)關(guān)系，找出差異，尋找證明突破口；

(2)有條件的恒等式證明，常常先觀察條件及欲證式中左右兩邊三角函數(shù)式的區(qū)別和聯(lián)系，靈活地使

用條件變形得證.

【典例5】求證：sina+sin5=2sin'；gcos°?2.

【答案】證明詳見解析.

【解析】令4二"上),b=3~~—,則ft=a-b

22

sin(a+b)=sinacosb+cos4sinb

sin(a—力)=sinacos/>-cos?sin/?

兩式相加得:

sin(〃+b)+sin(a-b)=2sin?cos/7

a+8a-B

/.sina+sin/?=2sin-------cos.......-

22

【典例6】已知銳角a,4滿足tan(a-，)=sin2￡,求證：2tan2夕=tana+tan//.

【答案】證明詳見解析.

tana-tan/

【解析】*?'tan(a-￡)=sin2)S,tan(a-/7)=

1+tanciftany?

2sin/7cosy?_2tan尸

sin2￡=2sin/?cos/?=

sin2/7+cos?尸1+tan2/?’

.tana-tan夕_2tan/?'去分母整理得…g喑箸

1+tanatan41+tan2/7

3tan/?+tan/+tan尸-tan3/?_2x2tan夕

tana+tan4==2tan2/7.

1一tan%1-tan2/?

/?2tan2/?=tana+tan^.

考法03

輔助角公式的應(yīng)用

利用輔助角公式將含有兩種三角函數(shù)的函數(shù)式化成含有一種三角函數(shù)的形式:

asina+bcosa=J。2+/72sin(a+g)(其中sin^=ba

/「，COSCP=>).

y!a2+b2\Ja2+h2

這是研究三角函數(shù)性質(zhì)的非常重要的思想方法，也是歷年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容.

【典例7】已知函數(shù)/(x)--cos(2x+—)+sin2x(g夕＜兀)，求f(x)的值域.

【答案】[0,1].

【解析】函數(shù)/(x)=yCOS(2A-+-)+sin2x

6

石

=一1-cos2x

2(cos2xcos—sinZrsin—)+

662

73

一l-lcos2x

=2(—cos2r--sin2x)+

2222

石

;----sin2x+-

-442

=1(l2x-^sin2x)1

C0S+一

2222

1/c7C、1

=—cos(2x+—)+一，

232

IT1jrj

由一10cos(2x+—)<1,得叱―cos(2x+—)+—<1,

3232

???/a)的值域?yàn)閇o,i].

【典例8】函數(shù)/(x)=sin2x+6sinxcosx+；,則下列結(jié)論正確的是(

)

A.〃x)的最大值為1

B.y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(V，o)對(duì)稱

C..f(x)在上單調(diào)遞增

D.y=〃x)的圖象關(guān)于直線》=答對(duì)稱

【答案】C

【分析】

利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為/(x)=sin(2x-2)+l,利用正弦型函數(shù)的有界性可判斷A選項(xiàng)的正

誤，利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可判斷BD選項(xiàng)的正誤，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

\.2仄,11-COS2xV3._1后.c1c1

r(x)=sinx+V3sinxcosx+—=-------+——sm2x+—=——sm2x——cos2x+1

',222222

=sin(2x-f+l.

對(duì)于A選項(xiàng)，/(x)_=1+1=2,A錯(cuò)；

對(duì)于BD選項(xiàng)，/(￡)=sin/r+l=l,所以，函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)［1,1)對(duì)稱，BD均錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)一工工時(shí)，

所以，“X)在上單調(diào)遞增，C對(duì).故選：C.

163_

rfi分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.若tana=2tan1,)

A.—5B.-3C.3D.5

【答案】B

【分析】

利用誘導(dǎo)公式，再利用兩角和差的正弦公式展開，然后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，最后代入

計(jì)算可得.

【詳解】

tancr=2tan—

.7i.nn

-sinacos——cosasm——tana—tan一

55_55&=一3

.n.n71、TC71

sinacos——cosasm—tana-tan2tan—tan一

55555

故選：B

2.若cos(a+?4rife式

則sin[2a-()

5

c2424

B.—D.

2525

【答案】A

【分析】

設(shè)a+&=x,即可根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式求出sin(2a-3

6

【詳解】

-TT4

設(shè)a+^=x,所以a=x——，cosx=—

665

故sin12a一看7

25

故選：A.

2cos3x4-2cos2x-2cos2—

3.已知函數(shù)/(尤)=----------------------則函數(shù)/(x)的最小正周期是()

2cos2—

2

A.-B.〃C.2萬(wàn)D.47r

2

【答案】B

【分析】

先利用降基公式把函數(shù)中的角統(tǒng)一為X,然后對(duì)分子分解因式化簡(jiǎn)，約分后再利用降幕公式化簡(jiǎn)，最后利用

周期公式可求得結(jié)果

【詳解】

32oX

2cos'x+2cos'x-2cos"—

/W=----------------------------------1

2cos2—

2

_2cos3x+2cos2x-(1+cosx)

l+cosx

_2cos2x(l+cosx)-(1+cosx)

1+COSX

=2COS2X-1

=cos2x

所以f(x)的最小正周期為手=%，

故選：B

4.則&+4的大小是()

33131

A.——71B.—71C.—71D.一〃■或一九

44444

【答案】C

【分析】

先利用同角三角函數(shù)的關(guān)系，求解COS6COS/7,再由兩角和的余弦公式得到

cos(a+尸)=cosacos/?-sin?sin(5-,結(jié)合a+，的范圍即得解

【詳解】

由題意a，/故a+〃e(O,%)且cosa>0,cos￡>0

/.cosa=Vl-sin2a=-^^-,cos/?=Jl-.2n3M

-sinp=-------

10

V2

/.cos(a+〃)=cosacos戶一sinasin(3=

2

jr

由于cos(a+/7)>0,故a+/?e(o,5)

c萬(wàn)

a+'=]

故選：c

6.已知sin《+])=“則cosa+G

sina的值為()

A.—B.!C.2D.-1

42

【答案】B

【分析】

利用輔助角公式求得正確答案.

【詳解】

「.11=2sinf?+—1=—.

cosa+V3sintz=2[-^-sina+^cosa16j2

故選：B

4

7.cos咚-sin1的化簡(jiǎn)結(jié)果為()

22

A.cos-B.cosaC.cos2aD.cos4a

2

【答案】B

【分析】

用平方差公式進(jìn)行因式分解,再結(jié)合二倍角公式和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可得到答案.

【詳解】

aY2a.2a)

4a.4a/2a.2

cos----sin—=cos-—+sin「一cos-----sin"—=cosa

22I22JI22)

故選：B.

8.函數(shù)/(x)=cosx-sin(x+，

的對(duì)稱軸方程為()

A.x=-k7t-\-—^keZ)B.x=-k7T--(kGZ)

2828V7

C.x=k7i-￥—[keZ)D.x=k7t-—^keZ)

【答案】A

【分析】

首先化簡(jiǎn)/(X)解析式，然后利用整體代入法求得對(duì)稱軸方程.

【詳解】

+￥，其對(duì)稱軸滿足

22x)=gsin[2x+?

/(x)=—sinxcosx+—cosx=—sin2x+—(1+COS

')2244'4

2x+^=kTT+^^kGZ),即X=(%]+((A￡Z).

故選：A

9.函數(shù)/(x)=cos[5-x卜os[?+J|-正支愛至+弓，則f(x)的最小正周期和最大值分別為()

113

--加

A.4B.2D.2

【答案】B

【分析】

化簡(jiǎn)已知得/(x)=；sin(2x-1),即得函數(shù)的最小正周期和最大值.

【詳解】

W：函數(shù)fM=COS(y-X)sin(y-X)-GJ+C；2x+手

1.,2萬(wàn)今、百今1石G1/1、「6o1-oGO1?C冗、

=-sin(----2x)----cos2x=—?——cos2x—?(——)sin2x----cos2x=—sin2x----cos2x=—sin(2x---)

232222224423

則/(X)的最小正周期為27長(zhǎng)r=/，最大值為i

故選：B

10.已知函數(shù)f(x)=sinx-cosx,則下列結(jié)論中正確的是()

A.“X)的最小正周期為乃B.“X)的最大值為2

C./(x)在區(qū)間(0牛上單調(diào)遞增D.的圖象關(guān)于x=:對(duì)稱

【答案】C

【分析】

由/(x)=sinx-cosx=&sin(x-?),根據(jù)三角函數(shù)圖象性質(zhì)結(jié)合選項(xiàng)一一判斷即可.

【詳解】

由/(x)=sinx-cosx=夜sin(x-?)

對(duì)A項(xiàng)/(x)的最小正周期為21，故A錯(cuò)；

對(duì)B項(xiàng)〃x)的最大值為0,故B錯(cuò)；

對(duì)C項(xiàng)當(dāng)切時(shí)，有-f<x—￡<］，因?yàn)閥=sinx在上單調(diào)遞增，

k4J442V42J

所以〃x)在區(qū)間(0,3)上單調(diào)遞增正確：

對(duì)D.項(xiàng)，當(dāng)尤=(時(shí)，有嚀=岳陪-￡|=0,所以x=(不是〃x)的對(duì)稱軸，故D錯(cuò).

故選：C

11.設(shè)函數(shù)/(x)=\/Jsin2x-cos2x,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.〃x)的一個(gè)周期為一萬(wàn)

B.y=/(x)的圖像關(guān)于直線*=-^對(duì)稱

c.y=/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)后,0)對(duì)稱

D.“X)在［0,2萬(wàn)］有3個(gè)零點(diǎn)

【答案】D

【分析】

利用輔助角公式化簡(jiǎn)/(x),再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可

【詳解】

f(x)=>/3sin2x-cos2x=2sin(2x-5),

對(duì)A,最小周期為r=與=",故一%也為周期，故A正確；

對(duì)B,當(dāng)x=-2時(shí)，2'-1=-1為、=5皿》的對(duì)稱軸，故B正確；

662

rrjr

對(duì)C,當(dāng)時(shí)，2x--=0,又(0,0)為y=2sinx的對(duì)稱點(diǎn)，故C正確；

126

對(duì)D,/(x)=0則2sin(2x-2)=0=2x-^=Z%,(keZ),解得x=g萬(wàn)+',(女eZ),故在［0,2%］內(nèi)有

x4,善粵，黑共四個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤故選：D

12121212

12.已知角且點(diǎn)(cos2a,cos2a)在直線y=-x上，則tan［a+?)=()

A.-3-2V2B.-1

c.3-2V2D.3+2近

【答案】A

【分析】

根據(jù)點(diǎn)在線上，以及a的范圍，求出tana的值，然后用正切和公式求出tan(a+?)的值

【詳解】

解：因?yàn)辄c(diǎn)(cos?a,cos2a)在直線y=一不上，代入可得：cos2a=-cos?a，，即2cos?a-ln-cos?a，解得

cos%」

3

叫0,外

??.cosa=立，sine=g^$，

33

sinarr

tana=-------=72

cosa

7T

tana+tan—r:,.

tana+—---------------g=業(yè)*=_3一2五.

I41-tancrtan-1-&

4

故選：A.

13.設(shè)函數(shù)函x)=5^sin(；x+5)+cos］；x+則y=/(x)()

A.在(0,聿)單調(diào)遞增，且其圖象關(guān)于直線x=?對(duì)稱

B.在(0,。)單調(diào)遞增，且其圖象關(guān)于直線x=g對(duì)稱

C.在(0總單調(diào)遞減，且其圖象關(guān)于直線x=?對(duì)稱

D.在(0,單調(diào)遞減，且其圖象關(guān)于直線x=(對(duì)稱

【答案】B

【分析】

利用輔助角公式可得f(x)=2sin(；x+。)，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

?ny;?n/?/、_\/3.I17CI1(17VJ.,...171、

由題設(shè)，f(x)=2[r—sm—x+—+-cos—x+—]=2sin(—x+—),

2126j2126)23

上，可知：＞=/(%)在(o,9]I二遞增；

x=g時(shí)，：x+g=與，顯然不是y=〃x)對(duì)稱軸，

62312

X=g時(shí)，：x+?=T，此時(shí)sin(：x+g)=l,x=g是y=/(x)對(duì)稱軸.

故選：B

14.在ABC中，若cosA=;，貝ijsin?"；,+cos2A=()

A.--B.—C.,

993

【答案】A

【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式即可求解.

［詳解］sin2-----+cos2A

2

l-cos(B+C)八..

=------------L+2cos27A-1

2

1+cosA

+2COS2A-1

2

=一1.故選：A

15.若函數(shù)/(x)=cos(x-7)+cos卜+2)+sinx+m的最大值為1.則實(shí)數(shù)加二(

)

A.1B.-1C.3D.-3

【答案】B

【分析】首先利用三角恒等變換公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.

【詳解】fM=cos(x--)+cos(x+—)+sinx+m

66

=^cosx+lsinx+^cosx-lsinx+sinx+w

2222

=\/3cosx+sinx4-w=2sin(x+-1-)+w,

B|J/(x)=2sin(x+y)+w,

當(dāng)x+2=2k7v+—(A:eZ),即x=2%乃+工(攵wZ)時(shí)，

326

函數(shù)的最大值為2+/=1,解得機(jī)=一1.故選：B.

題組B能力提升練

?—065r.i.(九c八

1.已知tan—+cot—=—,則sin—+20)

22212

7724

A.——B.——cD.

2525-w25

【答案】B

【分析】

將tang+cotg2中的切變弦，通分后用倍角公式可得sin。，再由sin仔+2。］=cos20=1-2sir?6計(jì)算即

可.

【詳解】

,00

zjA<sin-cos—4-

&力」§夕5g2

解：由tan大+cot7二不得---萬(wàn)+

夕.02

222cos—sin

22

.o0r6

sin--+cos'—

即二-5

即一產(chǎn)2sin。2

co4s—.sin—

22

sinJ=一,

5

sin|-+26||=cos26>=l-2sin26>=l-2x—=

[2)25