專題02 不等式（解析版）

專題02不等式一、知識速覽二、考點速覽知識點1等式的基本性質(zhì)性質(zhì)文字表述性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性可逆2傳遞性同向3可加、減性可逆4可乘性同向5可除性同向知識點2不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?b<a可逆2傳遞性a>b，b>c?a>c同向3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0?ac>bca>b，c<0?ac<bcc的符號5同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向6正數(shù)同向可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向7正數(shù)乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正知識點3一元二次不等式的解集判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實根x1，x2(x1<x2)有兩相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??知識點4基本不等式1、重要不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時取號）.變形公式：2、基本不等式：（1）基本不等式成立的條件：（2）等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．（3）算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．3、利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，則（1）如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2eq\r(p).(簡記：積定和最小)（2）如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值eq\f(p2,4).(簡記：和定積最大)一、比較兩數(shù)（式）大小的方法1、作差法：（1）原理：設(shè)，則；；；（2）步驟：作差并變形判斷差與0的大小得出結(jié)論。（3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判斷差的符號的方向變形。2、作商法：（1）原理：設(shè)，則；；（2）步驟：作商并變形判斷商與1的大小得出結(jié)論。（3）注意：作商時各式的符號應(yīng)相同，如果均小于0，所得結(jié)果與“原理”中的結(jié)論相反，變形方法有分母（分子）有理化，指、對數(shù)恒等變形?！镜淅?】（2023秋·河南許昌·高三校考期末）已知，則（）A．B．C．D．與的大小無法判斷【答案】A【解析】因為，所以，故.故選：A.【典例2】（2022秋·河北石家莊·高三開學(xué)考試）若實數(shù)，，滿足，，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為實數(shù)，，滿足，，，所以，∴；又，∴；∴．故選：A．二、利用待定系數(shù)法求代數(shù)式的取值范圍已知，，求的取值范圍第一步：設(shè)；第二步：經(jīng)過恒等變形，求得待定系數(shù)；第三步：再根據(jù)不等式的同向可加性即可求得的取值范圍?！镜淅?】（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考期末）已知，，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，所以，則，又，所以，，由不等式的性質(zhì)得：，則的取值范圍為.故選：D.【典例2】（2022秋·湖南長沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因，而，則，即，，所以的取值范圍是.故選：A三、解一元二次不等式的步驟第一步：先看二次項系數(shù)是否為正，若為負，則將二次項系數(shù)化為正數(shù)；第二步：寫出相應(yīng)的方程，計算判別式：①時，求出兩根，且（注意靈活運用因式分解和配方法）；②時，求根；③時，方程無解第三步：根據(jù)不等式，寫出解集.【典例1】（2023春·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知全集，集合，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，即，解得，所以，由，解得或，所以或，所以，所以.故選：A【典例2】（2022秋·陜西西安·高三西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解不等式：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）可化為，即，解得，∴原不等式的解集為.（2），∴原不等式的解集為.（3）∴原不等式的解集為.四、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系2、配湊法：湊出“和為定值”或“積為定值”，直接使用基本不等式。3、代換法：代換法適用于條件最值中，出現(xiàn)分式的情況類型1：分母為單項式，利用“1”的代換運算，也稱乘“1”法；類型2：分母為多項式時方法1：觀察法適合與簡單型，可以讓兩個分母相加看是否與給的分子型成倍數(shù)關(guān)系；方法2：待定系數(shù)法，適用于所有的形式，如分母為與，分子為，設(shè)∴，解得：4、消元法：當(dāng)題目中的變元比較多的時候，可以考慮削減變元，轉(zhuǎn)化為雙變量或者單變量問題。5、構(gòu)造不等式法：尋找條件和問題之間的關(guān)系，通過重新分配，使用基本不等式得到含有問題代數(shù)式的不等式，通過解不等式得出范圍，從而求得最值。【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的最大值為.【答案】【解析】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.故答案為：.【典例2】（2022秋·浙江紹興·高三紹興一中?？茧A段練習(xí)）已知，，，則的最小值是（）A．2B．C．D．【答案】D【解析】，，，即有且，將代入得，令，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值，即的最小值是.故選：D.【典例3】（2023·海南海口·海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）（多選）已知，，且，則（）A．的最大值為B．的最小值為4C．的最小值為2D．的最大值為4【答案】AC【解析】對于A項，因為，，，由基本不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，故A正確；對于B項，根據(jù)基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，故B錯誤；對于C項，根據(jù)基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故C正確；對于D項，根據(jù)基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，的最小值為4，故D不正確.故選：AC.五、不等式恒成立與能成立問題一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：1、，2、，3、，4、，【典例1】（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）正實數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】因為不等式恒成立，所以，因為，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號是成立的，所以，所以，即，解得.故答案為：【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且，若不等式恒成立，則的最大值為．【答案】【解析】當(dāng)時，不成立，所以.由得.因為，，所以，解得，即.所以，令，則，于是.令，，則.由對勾函數(shù)的圖象知，在上單調(diào)遞減，故.所以，即的最大值為.故答案為：.【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式.若不等式對于恒成立，求實數(shù)x的取值范圍【答案】【解析】由題知，設(shè)，當(dāng)時，恒成立.當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得且，或且，則.所以的取值范圍是.易錯點1忽視不等式性質(zhì)成立的條件點撥：在使用不等式的基本性質(zhì)進行推理論證時一定要注意前提條件，如不等式兩端同時乘以或同時除以一個數(shù)、式，兩個不等式相乘、一個不等式兩端同時n次方時，一定要注意使其能夠這樣做的條件．【典例1】（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）（多選）,則下列命題中，正確的有（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BD【解析】對于A：若，則無意義，故A錯誤；對于B：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B正確；對于C：由于不確定的符號，故無法判斷，例如，則，故C錯誤；對于D：若，則，所以，故D正確；故選：BD.【典例2】（2023·湖南永州·統(tǒng)考三模）（多選）已知，下列命題為真命題的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BD【解析】對于A項，，因為，所以，所以，所以，即：，故A項錯誤；對于B項，，因為，所以，，所以，即：，故B項正確；對于C項，，因為，所以，，，所以，即：，故C項錯誤；對于D項，因為，又因為，所以，，所以，即：，故D項正確.故選：BD易錯點2忽視不等式中參數(shù)的取值范圍點撥：對于最高項系數(shù)含參數(shù)的問題，一定要注意討論當(dāng)最高項系數(shù)為零時，是否符合題意?！镜淅?】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列不等式證明過程正確的是（）A．若，則B．若x＞0，y＞0，則C．若x＜0，則D．若x＜0，則【答案】D【解析】∵可能為負數(shù)，如時，，∴A錯誤；∵可能為負數(shù)，如時，，∴B錯誤；∵，如時，，∴C錯誤；∵，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立，∴D正確．故選：D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）下面結(jié)論錯誤的是（）A．不等式與成立的條件是相同的.B．函數(shù)的最小值是2C．函數(shù)，的最小值是4D．“且”是“”的充分條件【答案】ABC【解析】不等式成立的條件是；成立的條件是，A錯；由于，故函數(shù)無最小值，B錯；由于時無解，故的最小值不為4，C錯；當(dāng)且時，，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；而“”的充要條件是“”，因為且推不出且，所以D正確.故答案為：ABC易錯點3忽視基本不等式應(yīng)用的條件點撥：（1）利用基本不等式a＋b≥2ab以及變式ab≤a+b22等求函數(shù)的最值時，務(wù)必注意a，b為正數(shù)(或a，b非負（2）對形如y＝ax＋bx(a，b>0)的函數(shù)，在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時，一定要注意ax，b【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知命題p：“?x∈，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．－1<a<2B．a(chǎn)≥1C．a(chǎn)<－1D．－1≤a<2【答案】D【解析】當(dāng)a＝－1時，3>0成立；當(dāng)a≠－1時，需滿足，解得－1<a<2.綜上所述，－1≤a<2，故選：D【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）不等式的解集為，則的取值范圍是.【答案】【解析】∵不等式的解集為，∴恒成立.①當(dāng)，即時，不等式化為，解得：，不是對任意恒成立，舍去；②當(dāng)，即時，對任意，要使，只需且，解得：.綜上，實數(shù)m的取值范圍是.故答案為：易錯點4解分數(shù)不等式忽略分母不為零點撥：解含有分數(shù)的不等式,在去分母時要注意分母不為零的限制條件,防止出現(xiàn)增解,如【典例1】（2023·上海普陀·曹楊二中?？寄M預(yù)測）不等式的解集是．【答案】【解析】因為，所以，解得或，所以不等式的解集是.故答案為：【典例2】（2023·全國·高三對口高考）下列不等式中與不等式同解的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不等式等價于且，即得且，不等式的解集為.等價于的解集為,A錯；等價于,的解集為,B錯；等價于，且，的解集為，C錯；等價于即，的解集為,故D正確；故選：D.易錯點5連續(xù)使用均值不等式忽略等號能否同時成立點撥：連續(xù)使用均值不等式求最值或范圍,要注意判斷每個等號成立的條件，檢驗等號能否同時成立.【典