平均變化率與瞬時(shí)變化率(課件)高二數(shù)學(xué)（北師大版2019選擇性）

2.1平均變化率與瞬時(shí)變化率1.1平均變化率

實(shí)例1：物體從某一時(shí)刻開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)S表示此物體經(jīng)過時(shí)間t走過的路程，顯然s是時(shí)間t的函數(shù)，表示為s=s(t).

在運(yùn)動(dòng)的過程中測(cè)得了一些數(shù)據(jù)，見表2-1.

物體在0s到2s和10s到13s這兩段時(shí)間內(nèi)，哪一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)得快？如何刻畫物體運(yùn)動(dòng)的快慢？解:通常用平均速度(即路程相對(duì)于時(shí)間的平均變化率)來比較運(yùn)動(dòng)的快慢.在0s到2s這段時(shí)間內(nèi)，物體的平均速度為

=3(m/s)；在10s到13s這段時(shí)間內(nèi)，物體的平均速度為

=4(m/s).顯然，物體在后一段時(shí)間比前一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)得快.實(shí)例2：某病人吃完退燒藥，他的體溫變化如圖.

比較時(shí)間x從0min到20min和從20min到30min體溫的變化情況，哪段時(shí)間體溫變化較快？如何刻畫體溫變化的快慢？解:根據(jù)圖象可以看出：當(dāng)時(shí)間x從0min到20min時(shí)，體溫y從39℃變?yōu)?8.5℃,下降了0.5℃；當(dāng)時(shí)間x從20min到30min時(shí)，體溫y從38.5℃變?yōu)?8℃,下降了0.5℃.兩段時(shí)間下降了相同的體溫，而后一段時(shí)間比前一段短，所以體溫從20min到30min這段時(shí)間下降得比從0min到20min這段時(shí)間快.也可以比較在這兩段時(shí)間內(nèi)，體溫的平均變化率（單位時(shí)間內(nèi)體溫的平均變化量),

于是,當(dāng)時(shí)間x從0min變到20min時(shí)，體溫y相對(duì)于時(shí)間x的平均變化率為

（℃/min）；

當(dāng)時(shí)間x從20min變到30min時(shí)，體溫y相對(duì)于時(shí)間x的平均變化率為

（℃/min）；

這里出現(xiàn)了負(fù)號(hào)，它表示體溫下降了.顯然，絕對(duì)值越大，下降得越快.

因此,體溫從20min到30min這段時(shí)間下降得比0min到20min這段時(shí)間要快.

oxy容易看出點(diǎn)B,C之間的曲線較點(diǎn)A,B之間的曲線更加“陡峭”.如何量化陡峭程度呢？該比值近似量化B,C之間這一段曲線的陡峭程度.稱該比值為曲線在B,C之間這一段的平均變化率.●B●A●C交流與討論通常我們把自變量的變化x2-x1稱作自變量x的改變量，記作△x,函數(shù)值的變f(x2)-f(x1)稱作函數(shù)值y的改變量,記作△y.這樣，函數(shù)的平均變化率就可以表示為函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比，即用它來刻畫函數(shù)值在區(qū)間［x1,x2]上變化的快慢.這里Δx看作是對(duì)于x1的一個(gè)“增量”可用x1+Δx代替x2同樣Δy=f(x2)-f(x1)抽象概括：平均變化率

對(duì)一般的函數(shù)y=f(x)來說，當(dāng)自變量x從x1變?yōu)閤2時(shí)，函數(shù)值從f(x1)變?yōu)閒(x2),它在區(qū)間［x1,x2]的

平均變化率1、式子中△x、△y的值可正、可負(fù)，但的△x值不能為0，△y

的值可以為02、若函數(shù)f(x)為常函數(shù)時(shí)，△y=0理解3、變式:觀察函數(shù)f(x)的圖象平均變化率表示什么?xyoBx2f(x2)Ax1f(x1)f(x2)-f(x1)x2-x1直線AB的斜率y=f(x)思考直線AB的斜率AB思考思考：函數(shù)y=f(x)，從x1到x2的平均變化率=的幾何意義是什么？ΔyΔxf(x2)–f(x1)x2–x1答：連接函數(shù)圖象上對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)的割線的斜率例1

求函數(shù)f(x)=x2

+1的平均變化率。解：△y=f(x+△x)-f(x)=2△x·x+(△x)2例2、已知函數(shù)f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分別計(jì)算在區(qū)間[-3，-1]，[0，5]上f(x)及g(x)的平均變化率.

思考:一次函數(shù)y=kx+b在區(qū)間[m,n]上的平均變化率有什么特點(diǎn)？

一般地，一次函數(shù)f(x)=kx+b（k≠0）在任意區(qū)間[m,n](m<n)上的平均變化率等于k.練習(xí)1.已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點(diǎn)A(-1,-2)及臨近一點(diǎn)B(-1+Δx,-2+Δy),則Δy/Δx=()A.3B.3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2D.3-Δx

D3.求y=x2在x=x0附近的平均變化率.

A△x+2x0小結(jié)：1.函數(shù)的平均變化率2.求函數(shù)的平均變化率的步驟:(1)求函數(shù)的增量：Δy=f(x2)-f(x1);(2)計(jì)算平均變化率：1.2瞬時(shí)變化率

上面用平均速度刻畫了物體在一段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的快慢.在實(shí)際中，還常常要考慮物體在某一瞬間的速度.比如，我們看到汽車在行駛過程中不斷變化的速度表，每個(gè)時(shí)刻指針指向的數(shù)字就是汽車在該時(shí)刻的瞬時(shí)速度.

如何求瞬時(shí)速度呢?實(shí)例1：一個(gè)小球從高空自由下落，其下落的高度h(單位:m)與時(shí)間t(單位:S)的函數(shù)關(guān)系為其中，g為重力加速度(g取9.8m/s2).估算小球在t=5s這個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度.分析

當(dāng)時(shí)間t從t0變到t1時(shí)，根據(jù)平均速度公式可以求出從5s到6s這段時(shí)間內(nèi)小球的平均速度

有時(shí)用它來近似表示小球在t=5s這個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度.為了提高精度，可以縮短時(shí)間間隔，如求出5s到5.1s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度

用它來近似表示小球在t=5s這個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度，這樣更接近實(shí)際情況.

如果時(shí)間間隔進(jìn)一步縮短,那么可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s這個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度.【解析】將時(shí)間間隔每次縮短為上次的，計(jì)算出相應(yīng)的平均速度,得到表2-2.當(dāng)Δt趨近于0時(shí),平均速度有什么變化趨勢(shì)?

可以看岀，當(dāng)時(shí)間t1趨于t0=5s時(shí),平均速度趨于49m/s,因此，可以認(rèn)為小球在t0=5s這個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度為49m/s.從上面的分析和計(jì)算可以看岀，瞬時(shí)速度為49m/s的物理意義是:如果小球保持這一時(shí)刻的速度進(jìn)行運(yùn)動(dòng),每秒將要運(yùn)動(dòng)49m.

同學(xué)們可以動(dòng)手計(jì)算當(dāng)t1從“左側(cè)”趨近于t0=5s時(shí)的平均速度.實(shí)例2：如圖2-2,一根質(zhì)量分布不均勻的合金棒，長為10m.設(shè)x(單位:m)表示OX這段棒的長以,y(單位:kg)表示OX這段棒的質(zhì) 量，它們滿足以下函數(shù)關(guān)系：

估計(jì)該合金棒在x=2m處的線密度(物理學(xué)的“線密度”定義為單位長度的質(zhì)量).【解析】由，可以計(jì)算出相應(yīng)的平均線密度，得到表2-4.可以看出，當(dāng)x1趨于x0=2m時(shí)，平均線密度趨于0.707kg/m.與實(shí)例1類似，同學(xué)們也可以動(dòng)手計(jì)算當(dāng)乃從“左側(cè)”趨近于x0=2m時(shí)的平均線密度,會(huì)發(fā)現(xiàn)也趨于0.707kg/m.據(jù)此，可以認(rèn)為合金棒在x0=2m處的線密度約為0.707kg/m.從上面的分析和計(jì)算可以看出，線密度為0.707kg/m的物理意義是:如果有1m長的這種線密度的質(zhì)量均勻的合金棒，其質(zhì)量將為0.707kg.實(shí)例1和實(shí)例2都是通過減小自變量的改變量（為計(jì)算方便選取，也可以選取等）,用平均變化率“逼近"瞬時(shí)變化率.

抽象概括：瞬時(shí)變化率

×√√√鞏固提升2．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律s(t)＝t2＋3，則從3到3.3內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的平均速度為(

)A．6.3B．36.3C．3.3D．9.3答案：A

3．如果質(zhì)點(diǎn)M按照規(guī)律s＝3t2運(yùn)動(dòng)，則在t＝3時(shí)的瞬時(shí)速度為(

)A．6B．18C．54D．81答案：B

4．函數(shù)f(x)＝8x－6在區(qū)間[m，n]上的平均變化率為________．8

例3：在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時(shí)間t（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

hto1.運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度怎樣表示?2.函數(shù)f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率怎樣表示?例4求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程.因此,切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.1、先利用直線斜率的定義求出割線的斜率；2.求出當(dāng)△x趨近于0時(shí)切線的斜率；3、然后利用點(diǎn)斜式求切線方程.求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟:易錯(cuò)辨析不能正確識(shí)圖致誤例5

A，B兩機(jī)關(guān)單位開展節(jié)能活動(dòng)，活動(dòng)開始后兩機(jī)關(guān)的用電量W1(t)，W2(t)與時(shí)間t(天)的關(guān)系如圖所示，則一定有(

)A．兩機(jī)關(guān)單位節(jié)能效果一樣好B．A機(jī)關(guān)單位比B機(jī)關(guān)單位節(jié)能效果好C．A機(jī)關(guān)單位的用電量在[0，t0]上的平均變化率比B機(jī)關(guān)單位的用電量在[0，t0]上的平均變化率大D．A機(jī)關(guān)單位與B機(jī)關(guān)單位自節(jié)能以來用電量總是一樣大答案：B解析：由題可知，A機(jī)關(guān)單位所對(duì)應(yīng)的圖象比較陡峭，B機(jī)關(guān)單位所對(duì)應(yīng)的圖象比較平緩，且用電量在[0，t0]上的平均變化率都小于0，故一定有A機(jī)關(guān)單位比B機(jī)關(guān)單位節(jié)能效果好．故選B.1．如圖，函數(shù)y＝f(x)在A，B兩點(diǎn)間的平均變化率等于(

)A．1B．－1C．2D．－2答案：B

當(dāng)堂檢測(cè)2．一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為s＝5－3t2，則在一段時(shí)間[1，1＋Δt]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為(