高數(shù)下第十一章曲線積分與曲面積分課件

第十一章曲線積分1一、對弧長的曲線積分的概念1.定義函數(shù)f(x,y)在曲線弧上對弧長的曲線積分22.存在條件：3.推廣34.性質(zhì)45、對弧長曲線積分的計(jì)算定理5注意:6例1解7例2解例3解8例3解由對稱性,知9練習(xí)題10練習(xí)題答案11二、對坐標(biāo)的曲線積分的概念定義:

函數(shù)P(x,y)在有向曲線弧L上對坐標(biāo)x的曲線積分類似地定義122.存在條件：3.組合形式134.推廣145.性質(zhì)即對坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).156、對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算定理161718例1解1920例2解21問題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同.22例3解2324問題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同.25(4)兩類曲線積分之間的聯(lián)系：其中（可以推廣到空間曲線上）26思考題27思考題解答曲線方向由參數(shù)的變化方向而定.2829練習(xí)題答案301、區(qū)域連通性的分類

設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復(fù)連通區(qū)域.復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域DD三、格林公式312.格林公式定理132邊界曲線L的正向:當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)域D總在他的左邊.3334xyoLAB

3536解37xyoLyxo38xyo(注意格林公式的條件)39

若區(qū)域

如圖為復(fù)連通域，試描述格林公式中曲線積分中L的方向。思考題40思考題解答由兩部分組成外邊界：內(nèi)邊界：41Gyxo四、第二類曲線積分與路徑無關(guān)的條件BA1.定義：如果在區(qū)域G內(nèi)有422.曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理243兩條件缺一不可有關(guān)定理的說明：44定理34546解47解4849四、小結(jié)與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條件等價(jià)命題505152練習(xí)題答案53五、對面積的曲面積分1.定義542.對面積的曲面積分的性質(zhì)553、計(jì)算法則56則57例1解5859解依對稱性知：606162練習(xí)題6364練習(xí)題答案65六、對坐標(biāo)的曲面積分1.曲面的側(cè)(假設(shè)曲面是光滑的)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)66曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.曲面的投影問題:672、概念及性質(zhì)68類似可定義69存在條件:組合形式:70性質(zhì):713、計(jì)算法7273注意:對坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).74解7576練習(xí)題77練習(xí)題答案78七、高斯公式79Gauss公式的實(shí)質(zhì)

表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.由兩類曲面積分之間的關(guān)系知80解81(利用柱面坐標(biāo)得)82使用Guass公式時(shí)應(yīng)注意:8384解空間曲面在面上的投影域?yàn)榍娌皇欠忾]曲面