高等數(shù)學冪級數(shù)課件

16四月2024高等數(shù)學冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)的概念設為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項級數(shù)

.對若常數(shù)項級數(shù)收斂點,所有收斂點的全體稱為其收斂域;若常數(shù)項級數(shù)為定義在區(qū)間I上的函數(shù),稱收斂,發(fā)散,所有為其

為其發(fā)散點,

發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域.為級數(shù)的和函數(shù),并寫成若用令余項則在收斂域上有表示函數(shù)項級數(shù)前n項的和,即在收斂域上,函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)

稱它例如,函數(shù)項級數(shù)它的收斂域是它的發(fā)散域是或寫作有和函數(shù)二、冪級數(shù)及其收斂性1.定義:形如的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù),其中下面著重討論例如,冪級數(shù)冪級數(shù)的系數(shù).即是此種情形.的情形,即稱為幾何說明收斂發(fā)散發(fā)散2.收斂性:阿貝爾(1802–1829)挪威數(shù)學家,近代數(shù)學發(fā)展的先驅者.他在22歲時就解決了用根式解5次方程的不可能性問題,他還研究了更廣的一并稱之為阿貝爾群.在級數(shù)研究中,他得到了一些判斂準則及冪級數(shù)求和定理.論的奠基人之一,他的一系列工作為橢圓函數(shù)研究開拓了道路.數(shù)學家們工作150年.類代數(shù)方程,他是橢圓函數(shù)C.埃爾米特曾說:阿貝爾留下的思想可供后人發(fā)現(xiàn)這是一類交換群,正數(shù)R稱為收斂半徑(-R,R)稱為收斂區(qū)間規(guī)定收斂發(fā)散發(fā)散(－R,R)加上收斂的端點稱為收斂域.1)當

≠0時,2)當

＝0時,3)當

＝∞時,證:1)若

≠0,則根據(jù)比值審斂法可知:當原級數(shù)收斂;當原級數(shù)發(fā)散.即時,即時,系數(shù)模比值法（系數(shù)模根值法）2)若則根據(jù)比值審斂法可知,絕對收斂,3)若則對除x=0以外的一切x原級發(fā)散,對任意x原級數(shù)因此因此的收斂半徑為說明:據(jù)此定理因此級數(shù)的收斂半徑例1求下列冪級數(shù)的收斂域解收斂發(fā)散(2)解發(fā)散收斂故收斂域為(0,1]解級數(shù)收斂級數(shù)發(fā)散發(fā)散發(fā)散故原級數(shù)的收斂域為解:缺項不能應用定理2可直接利用修改后的比值判別法練習

求下列冪級數(shù)的收斂域三、冪級數(shù)的運算解:例2.

求級數(shù)的和函數(shù)解:解法2:解法1:例4.

的和函數(shù)解:解:級數(shù)的收斂半徑R＝+∞.例5.則的和函數(shù).因此得設解:內容小結1.求冪級數(shù)收斂域的方法1)對標準型冪級數(shù)先求收斂半徑,再討論端點的收斂性.2)對非標準型冪級數(shù)(缺項或通項為復合式)求收斂半徑時直接用修改后的比值法或根值法,2.冪級數(shù)的性質兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內可進行加、減與也可通過換元化為標準型再求.乘法運算.2)在收斂區(qū)間內冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內可逐項求導和求積分.思考與練習1.已知處條件收斂,問該級數(shù)收斂半徑是多少?答:根據(jù)Abel定理可知,級數(shù)在收斂,時發(fā)散.故收斂半徑為2.