高等數(shù)學(xué)冪級(jí)數(shù)課件

16四月2024高等數(shù)學(xué)冪級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念設(shè)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

.對(duì)若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂點(diǎn),所有收斂點(diǎn)的全體稱為其收斂域;若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為定義在區(qū)間I上的函數(shù),稱收斂,發(fā)散,所有為其

為其發(fā)散點(diǎn),

發(fā)散點(diǎn)的全體稱為其發(fā)散域.為級(jí)數(shù)的和函數(shù),并寫成若用令余項(xiàng)則在收斂域上有表示函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和,即在收斂域上,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是x的函數(shù)

稱它例如,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔泻秃瘮?shù)二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性1.定義:形如的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù),其中下面著重討論例如,冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)的系數(shù).即是此種情形.的情形,即稱為幾何說明收斂發(fā)散發(fā)散2.收斂性:阿貝爾(1802–1829)挪威數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者.他在22歲時(shí)就解決了用根式解5次方程的不可能性問題,他還研究了更廣的一并稱之為阿貝爾群.在級(jí)數(shù)研究中,他得到了一些判斂準(zhǔn)則及冪級(jí)數(shù)求和定理.論的奠基人之一,他的一系列工作為橢圓函數(shù)研究開拓了道路.數(shù)學(xué)家們工作150年.類代數(shù)方程,他是橢圓函數(shù)C.埃爾米特曾說:阿貝爾留下的思想可供后人發(fā)現(xiàn)這是一類交換群,正數(shù)R稱為收斂半徑(-R,R)稱為收斂區(qū)間規(guī)定收斂發(fā)散發(fā)散(－R,R)加上收斂的端點(diǎn)稱為收斂域.1)當(dāng)

≠0時(shí),2)當(dāng)

＝0時(shí),3)當(dāng)

＝∞時(shí),證:1)若

≠0,則根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng)原級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)原級(jí)數(shù)發(fā)散.即時(shí),即時(shí),系數(shù)模比值法（系數(shù)模根值法）2)若則根據(jù)比值審斂法可知,絕對(duì)收斂,3)若則對(duì)除x=0以外的一切x原級(jí)發(fā)散,對(duì)任意x原級(jí)數(shù)因此因此的收斂半徑為說明:據(jù)此定理因此級(jí)數(shù)的收斂半徑例1求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域解收斂發(fā)散(2)解發(fā)散收斂故收斂域?yàn)?0,1]解級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散發(fā)散故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)榻?缺項(xiàng)不能應(yīng)用定理2可直接利用修改后的比值判別法練習(xí)

求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算解:例2.

求級(jí)數(shù)的和函數(shù)解:解法2:解法1:例4.

的和函數(shù)解:解:級(jí)數(shù)的收斂半徑R＝+∞.例5.則的和函數(shù).因此得設(shè)解:內(nèi)容小結(jié)1.求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法1)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)先求收斂半徑,再討論端點(diǎn)的收斂性.2)對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)(缺項(xiàng)或通項(xiàng)為復(fù)合式)求收斂半徑時(shí)直接用修改后的比值法或根值法,2.冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)兩個(gè)冪級(jí)數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與也可通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求.乘法運(yùn)算.2)在收斂區(qū)間內(nèi)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)和求積分.思考與練習(xí)1.已知處條件收斂,問該級(jí)數(shù)收斂半徑是多少?答:根據(jù)Abel定理可知,級(jí)數(shù)在收斂,時(shí)發(fā)散.故收斂半徑為2.