小學(xué)奧數(shù)五年級(jí)舉一反三

五年級(jí)數(shù)學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)資料姓名：__________________-第1講平均數(shù)(一)一、知識(shí)要點(diǎn)把幾個(gè)不相等的數(shù)，在總數(shù)不變的條件下，通過(guò)移多補(bǔ)少，使它們完全相等，求得的相等的數(shù)就是平均數(shù)。如何靈活運(yùn)用平均數(shù)的數(shù)量關(guān)系解答一些稍復(fù)雜的問(wèn)題呢？下面的數(shù)量關(guān)系必須牢記：平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量×平均數(shù)二、精講精練【例題1】有4箱水果，已知蘋(píng)果、梨、橘子平均每箱42個(gè)，梨、橘子、桃平均每箱36個(gè)，蘋(píng)果和桃平均每箱37個(gè)。一箱蘋(píng)果多少個(gè)？【思路導(dǎo)航】（1）1箱蘋(píng)果＋1箱梨＋1箱橘子=42×3=136（個(gè)）；（2）1箱桃＋1箱梨＋1箱橘子=36×3=108（個(gè)）（3）1箱蘋(píng)果＋1箱桃=37×2=72（個(gè)）由（1）（2）兩個(gè)等式可知：1箱蘋(píng)果比1箱桃多126－108=18（個(gè)），再根據(jù)等式（3）就可以算出：1箱桃有（74－18）÷2=28（個(gè)），1箱蘋(píng)果有28＋18=46（個(gè)）。1箱蘋(píng)果和1箱桃共有多少個(gè)：37×2=74（個(gè)）1箱蘋(píng)果比1箱桃多多少個(gè)：42×3－36=18（個(gè)）1箱蘋(píng)果有多少個(gè)：28＋18=46（個(gè)）練習(xí)1：1.一次考試，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分。問(wèn)：甲、丁各得多少分？2.甲、乙、丙、丁四人稱(chēng)體重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、丁三人共重126千克，丙、丁二人的平均體重是40千克。求四人的平均體重是多少千克？3.甲、乙、丙三個(gè)小組的同學(xué)去植樹(shù)，甲、乙兩組平均每組植樹(shù)18棵，甲、丙兩組平均每組植樹(shù)17棵，乙、丙兩組平均每組植樹(shù)19棵。三個(gè)小組各植樹(shù)多少棵？【例題2】一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92分；男生平均每人90.5分。求這個(gè)班男生有多少人？【思路導(dǎo)航】女生每人比全班平均分高92－91.2=0.8（分），而男生每人比全班平均分低91.2－90.5=0.7（分）。全體女生高出全班平均分0.8×21=16.8（分），應(yīng)補(bǔ)給每個(gè)男生0.7分，16.8里包含有24個(gè)0.7，即全班有24個(gè)男生。練習(xí)2：1.兩組學(xué)生進(jìn)行跳繩比賽，平均每人跳152下。甲組有6人，平均每人跳140下，乙組平均每人跳160下。乙組有多少人？2.有兩塊棉田，平均每畝產(chǎn)量是92.5千克，已知一塊地是5畝，平均每畝產(chǎn)量是101.5千克；另一塊田平均每畝產(chǎn)量是85千克。這塊田是多少畝？3.把甲級(jí)和乙級(jí)糖混在一起，平均每千克賣(mài)7元，乙知甲級(jí)糖有4千克，平均每千克8元；乙級(jí)糖有2千克，平均每千克多少元？【例題3】某3個(gè)數(shù)的平均數(shù)是2.如果把其中一個(gè)數(shù)改為4，平均數(shù)就變成了3。被改的數(shù)原來(lái)是多少？【思路導(dǎo)航】原來(lái)三個(gè)數(shù)的和是2×3=6，后來(lái)三個(gè)數(shù)的和是3×3=9，9比6多出了3.是因?yàn)榘涯莻€(gè)數(shù)改成了4。因此，原來(lái)的數(shù)應(yīng)該是4－3=1。練習(xí)3：1.已知九個(gè)數(shù)的平均數(shù)是72.去掉一個(gè)數(shù)之后，余下的數(shù)的平均數(shù)是78。去掉的數(shù)是多少？2.有五個(gè)數(shù)，平均數(shù)是9。如果把其中的一個(gè)數(shù)改為1.那么這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)為8。這個(gè)改動(dòng)的數(shù)原來(lái)是多少？3.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)，在一次考試中四人的平均分是90分?？墒牵自诔?jǐn)?shù)時(shí)，把自己的分錯(cuò)抄成了87分，因此，算得四人的平均分是88分。求甲在這次考試中得了多少分？【例題4】五一班同學(xué)數(shù)學(xué)考試平均成績(jī)91.5分，事后復(fù)查發(fā)現(xiàn)計(jì)算成績(jī)時(shí)將一位同學(xué)的98分誤作89分計(jì)算了。經(jīng)重新計(jì)算，全班的平均成績(jī)是91.7分，五一班有多少名同學(xué)？【思路導(dǎo)航】98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成績(jī)上升91.7－91.5=0.2（分）。9里面包含有幾個(gè)0.2.五一班就有幾名同學(xué)。練習(xí)4：1.五（1）班有40人，期中數(shù)學(xué)考試，有2名同學(xué)去參加體育比賽而缺考，全班平均分為92分。缺考的兩位同學(xué)補(bǔ)考均為100分，這次五（1）班同學(xué)期中考試的平均分是多少分？2.某班的一次測(cè)驗(yàn)，平均成績(jī)是91.3分。復(fù)查時(shí)發(fā)現(xiàn)把張靜的89分誤看作97分計(jì)算，經(jīng)重新計(jì)算，該班平均成績(jī)是91.1分。問(wèn)全班有多少同學(xué)？3.五個(gè)數(shù)的平均數(shù)是18，把其中一個(gè)數(shù)改為6后，這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)是16。這個(gè)改動(dòng)的數(shù)原來(lái)是多少？【例題5】把五個(gè)數(shù)從小到大排列，其平均數(shù)是38。前三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是27，后三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是48。中間一個(gè)數(shù)是多少？【思路導(dǎo)航】先求出五個(gè)數(shù)的和：38×5=190，再求出前三個(gè)數(shù)的和：27×3=81.后三個(gè)數(shù)的和：48×3=144。用前三個(gè)數(shù)的和加上后三個(gè)數(shù)的和，這樣，中間的那個(gè)數(shù)就算了兩次，必然比190多，而多出的部分就是所求的中間的一個(gè)數(shù)。練習(xí)5：1.甲、乙、丙三人的平均年齡為22歲，如果甲、乙的平均年齡是18歲，乙、丙的平均年齡是25歲，那么乙的年齡是多少歲？2.十名參賽者的平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分。那么第5人和第6人的平均分是多少分？3.下圖中的○內(nèi)有五個(gè)數(shù)A、B、C、D、E，□內(nèi)的數(shù)表示與它相連的所有○中的平均數(shù)。求C是多少？第2講平均數(shù)二、精講精練【例題1】小明前幾次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)是84分，這次要考100分，才能把平均成績(jī)提高到86分。問(wèn)這是他第幾次測(cè)驗(yàn)？【思路導(dǎo)航】100分比86分多14分，這14分必須填補(bǔ)到前幾次的平均分84分中去，使其平均分成為86分。每次填補(bǔ)86－84=2（分），14里面有7個(gè)2.所以，前面已經(jīng)測(cè)驗(yàn)了7次，這是第8次測(cè)驗(yàn)。練習(xí)1：1.老師帶著幾個(gè)同學(xué)在做花，老師做了21朵，同學(xué)平均每人做了5朵。如果師生合起來(lái)算，正好平均每人做了7朵。求有多少個(gè)同學(xué)在做花？2.一位同學(xué)在期中測(cè)驗(yàn)中，除了數(shù)學(xué)外，其它幾門(mén)功課的平均成績(jī)是94分，如果數(shù)學(xué)算在內(nèi)，平均每門(mén)95分。已知他數(shù)學(xué)得了100分，問(wèn)這位同學(xué)一共考了多少門(mén)功課？3.兩組同學(xué)進(jìn)行跳繩比賽，平均每人跳152次。甲組有6人，平均每人跳140次，如果乙組平均每人跳160次，那么，乙組有多少人？【例題2】小亮在期末考試中，政治、語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、自然五科的平均成績(jī)是89分，政治、數(shù)學(xué)兩科平均91.5分，政治、英語(yǔ)兩科平均86分，英語(yǔ)比語(yǔ)文多10分。小亮的各科成績(jī)是多少分？【思路導(dǎo)航】因?yàn)檎Z(yǔ)文、英語(yǔ)兩科平均分84分，即語(yǔ)文＋英語(yǔ)=168分，而英語(yǔ)比語(yǔ)文多10分，即英語(yǔ)－語(yǔ)文=10分，所以，語(yǔ)文是（168－10）÷2=79分，英語(yǔ)是79＋10=89分。又因?yàn)檎?、英語(yǔ)兩科平均86分，所以政治是86×2－89=83分；而政治、數(shù)學(xué)兩科平均分91.5分，數(shù)學(xué)是91.5×2－83=100分；最后根據(jù)五科的平均成績(jī)是89分可知，自然分是89×5－（79＋89＋83＋100）=94分。練習(xí)2：1.甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是82.甲、乙兩數(shù)的平均數(shù)是86，乙、丙兩數(shù)的平均數(shù)是77。乙數(shù)是多少？甲、丙兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？2.小華的前幾次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)是80分，這一次得了100分，正好把這幾次的平均分提高到85分。這一次是他第幾次測(cè)驗(yàn)？3.五個(gè)數(shù)排一排，平均數(shù)是9。如果前四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是7，后四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是10，那么，第一個(gè)數(shù)和第五個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？【例題3】?jī)傻叵嗑?60千米，一艘汽艇順?biāo)腥绦枰?0小時(shí)，已知這條河的水流速度為每小時(shí)6千米。往返兩地的平均速度是每小時(shí)多少千米？【思路導(dǎo)航】用往返的路程除以往返所用的時(shí)間就等于往返兩地的平均速度。顯然，要求往返的平均速度必須先求出逆水行全程時(shí)所用的時(shí)間。因?yàn)?60÷10=36（千米）是順?biāo)俣龋瞧У撵o水速度與水流速度的和，所以，此汽艇的靜水速度是36－6=30（千米）。而逆水速度=靜水速度－水流速度，所以汽艇的逆水速度是30－6=24（千米）。逆水行全程時(shí)所用時(shí)間是360÷24=15（小時(shí)），往返的平均速度是360×2÷（10＋15）=28.8（千米）。練習(xí)3：1.甲、乙兩個(gè)碼頭相距144千米，汽船從乙碼頭逆水行駛8小時(shí)到達(dá)甲碼頭，已知汽船在靜水中每小時(shí)行駛21千米。求汽船從甲碼頭順流行駛幾小時(shí)到達(dá)乙碼頭？2.一艘客輪從甲港駛向乙港，全程要行165千米。已知客輪的靜水速度是每小時(shí)30千米，水速每小時(shí)3千米。現(xiàn)在正好是順流而行，行全程需要幾小時(shí)？3.甲船逆水航行300千米，需要15小時(shí)，返回原地需要10小時(shí)；乙船逆水航行同樣的一段水路需要20小時(shí)，返回原地需要多少小時(shí)？【例題4】幼兒園小班的20個(gè)小朋友和大班的30個(gè)小朋友一起分餅干，小班的小朋友每人分10塊，大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均數(shù)多2塊。求一共分掉多少塊餅干？【思路導(dǎo)航】只要知道了大、小班小朋友分得的平均數(shù)，再乘（30＋20）人就能求出餅干的總塊數(shù)。因?yàn)榇蟀嗟男∨笥衙咳吮却?、小班小朋友的平均?shù)多2塊，30個(gè)小朋友一共多2×30=60（塊），這60塊平均分給20個(gè)小班的小朋友，每人可得60÷20=3（塊）。因此，大、小班小朋友分得平均塊數(shù)是10＋3=13（塊）。一共分掉13×（30＋20）=650（塊）。練習(xí)4：1.數(shù)學(xué)興趣小組里有4名女生和3名男生，在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，女生的平均分是90分，男生的平均分比全組的平均分高2分，全組的平均分是多少分？2.兩組同學(xué)跳繩，第一組有25人，平均每人跳80下；第二組有20人，平均每人比兩組同學(xué)跳的平均數(shù)多5下，兩組同學(xué)平均每人跳幾下？3.一個(gè)技術(shù)工帶5個(gè)普通工人完成了一項(xiàng)任務(wù)，每個(gè)普通工人各得120元，這位技術(shù)工人的收入比他們6人的平均收入還多20元。問(wèn)這位技術(shù)工得多少元？【例題5】王強(qiáng)從A地到B地，先騎自行車(chē)行完全程的一半，每小時(shí)行12千米。剩下的步行，每小時(shí)走4千米。王強(qiáng)行完全程的平均速度是每小時(shí)多少千米？【思路導(dǎo)航】求行完全程的平均速度，應(yīng)該用全程除以行全程所用的時(shí)間。由于題中沒(méi)有告訴我們A地到B地間的路程，我們可以設(shè)全程為24千米（也可以設(shè)其他數(shù)），這樣，就可以算出行全程所用的時(shí)間是12÷12＋12÷4=4（小時(shí)），再用24÷4就能得到行全程的平均速度是每小時(shí)6千米。練習(xí)5：1.小明去爬山，上山時(shí)每小時(shí)行3千米，原路返回時(shí)每小時(shí)行5千米。求小明往返的平均速度。2.運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行長(zhǎng)跑訓(xùn)練，他在前一半路程中每分鐘跑150米，后一半路程中每分鐘跑100米。求他在整個(gè)長(zhǎng)跑中的平均速度。3.把一份書(shū)稿平均分給甲、乙二人去打，甲每分鐘打30個(gè)字，乙每分鐘打20個(gè)字。打這份書(shū)稿平均每分鐘打多少個(gè)字？第3講長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)一、知識(shí)要點(diǎn)同學(xué)們都知道，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=（長(zhǎng)＋寬）×2.正方形的周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×4。長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)公式只能用來(lái)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)的長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)。如何應(yīng)用所學(xué)知識(shí)巧求表面上看起來(lái)不是長(zhǎng)方形或正方形的圖形的周長(zhǎng)，還需同學(xué)們靈活應(yīng)用已學(xué)知識(shí)，掌握轉(zhuǎn)化的思考方法，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的圖形，以便計(jì)算它們的周長(zhǎng)。二、精講精練【例題1】有5張同樣大小的紙如下圖（a）重疊著，每張紙都是邊長(zhǎng)6厘米的正方形，重疊的部分為邊長(zhǎng)的一半，求重疊后圖形的周長(zhǎng)?！舅悸穼?dǎo)航】根據(jù)題意，我們可以把每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的一半同時(shí)向左、右、上、下平移（如圖b），轉(zhuǎn)化成一個(gè)大正方形，這個(gè)大正方形的周長(zhǎng)和原來(lái)5個(gè)小正方形重疊后的圖形的周長(zhǎng)相等。因此，所求周長(zhǎng)是18×4=72厘米。練習(xí)1:1.下圖由8個(gè)邊長(zhǎng)都是2厘米的正方形組成，求這個(gè)圖形的周長(zhǎng)。2.下圖由1個(gè)正方形和2個(gè)長(zhǎng)方形組成，求這個(gè)圖形的周長(zhǎng)。3.有6塊邊長(zhǎng)是1厘米的正方形，如例題中所說(shuō)的這樣重疊著，求重疊后圖形的周長(zhǎng)。【例題2】一塊長(zhǎng)方形木板，沿著它的長(zhǎng)度不同的兩條邊各截去4厘米，截掉的面積為192平方厘米?，F(xiàn)在這塊木板的周長(zhǎng)是多少厘米？【思路導(dǎo)航】把截掉的192平方厘米分成A、B、C三塊（如圖），其中AB的面積是192－4×4=176（平方厘米）。把A和B移到一起拼成一個(gè)寬4厘米的長(zhǎng)方形，而此長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是這塊木板剩下部分的周長(zhǎng)的一半。176÷4=44（厘米），現(xiàn)在這塊木板的周長(zhǎng)是44×2=88（厘米）。練習(xí)2：1.有一個(gè)長(zhǎng)方形，如果長(zhǎng)減少4米，寬減少2米，面積就比原來(lái)減少44平方米，且剩下部分正好是一個(gè)正方形。求這個(gè)正方形的周長(zhǎng)。2.有兩個(gè)相同的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)是8厘米，寬是3厘米，如果按下圖疊放在一起，這個(gè)圖形的周長(zhǎng)是多少？3.有一塊長(zhǎng)方形廣場(chǎng)，沿著它不同的兩條邊各劃出2米做綠化帶，剩下的部分仍是長(zhǎng)方形，且周長(zhǎng)為280米。求劃去的綠化帶的面積是多少平方米？【例題3】已知下圖中，甲是正方形，乙是長(zhǎng)方形，整個(gè)圖形的周長(zhǎng)是多少？【思路導(dǎo)航】從圖中可以看出，整個(gè)圖形的周長(zhǎng)由六條線段圍成，其中三條橫著，三條豎著。三條橫著的線段和是（a＋b）×2.三條豎著的線段和是b×2。所以，整個(gè)圖形的周長(zhǎng)是（a＋b）×2＋b×2.即2a＋4b。練習(xí)3：1.有一張長(zhǎng)40厘米，寬30厘米的硬紙板，在四個(gè)角上各剪去一個(gè)同樣大小的正方形后準(zhǔn)備做一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒，求被剪后硬紙板的周長(zhǎng)。2.一個(gè)長(zhǎng)12厘米，寬2厘米的長(zhǎng)方形和兩個(gè)正方形正好拼成下圖（1）所示長(zhǎng)方形，求所拼長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。3.求下面圖形（圖2）的周長(zhǎng)（單位：厘米）。圖（1）圖（2）圖（1）圖（2）【例題4】下圖是邊長(zhǎng)為4厘米的正方形，求正方形中陰影部分的周長(zhǎng)。【思路導(dǎo)航】我們把陰影部分周長(zhǎng)中左邊的5條線段全部平移到左邊，其和正好是4厘米。再把下面的線段全部平移到下面，其和也正好是4厘米。因此，陰影部分的周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)是4厘米的正方形的周長(zhǎng)是相等的。練習(xí)4：1.求下面圖形的周長(zhǎng)（單位：厘米）。2.在（）里填上“＞”、“＜”或“=”。甲的周長(zhǎng)（）乙的周長(zhǎng)3.下圖中的每一小段的長(zhǎng)度都相等，求圖形的周長(zhǎng)。【例題5】如下圖，陰影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米，求最大的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)?！舅悸穼?dǎo)航】根據(jù)題意可知，最大長(zhǎng)方形的寬就是正方形的邊長(zhǎng)。因?yàn)锽C=EF，CF=DE，所以，AB＋BC＋CF=AB＋FE＋ED=9＋6=15（厘米），這正好是最大長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的一半。因此，最大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是（9＋6）×2=30（厘米）。練習(xí)5：1.下面三個(gè)正方形的面積相等，剪去陰影部分的面積也相等，求原來(lái)正方形的周長(zhǎng)發(fā)生了什么變化？（單位：厘米）2.下面是一個(gè)零件的平面圖，圖中每條短線段都是5厘米，零件長(zhǎng)35厘米，高30厘米。這個(gè)零件的周長(zhǎng)是多少厘米？3.有兩個(gè)相同的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)7厘米，寬3厘米，如下圖重疊著，求重疊圖形的周長(zhǎng)。

第4講長(zhǎng)方形、正方形的面積一、知識(shí)要點(diǎn)長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，正方形的面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)。掌握并能運(yùn)用這兩個(gè)面積公式，就能計(jì)算它們的面積。但是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們常常會(huì)遇到一些已知條件比較隱蔽、圖形比較復(fù)雜、不能簡(jiǎn)單地用公式直接求出面積的題目。這就需要我們切實(shí)掌握有關(guān)概念，利用“割補(bǔ)”、“平移”、“旋轉(zhuǎn)”等方法，使復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為普通的求長(zhǎng)方形、正方形面積的問(wèn)題，從而正確解答。二、精講精練【例題1】已知大正方形比小正方形邊長(zhǎng)多2厘米，大正方形比小正方形的面積大40平方厘米。求大、小正方形的面積各是多少平方厘米？【思路導(dǎo)航】從圖中可以看出，大正方形的面積比小正方形的面積大出的40平方厘米，可以分成三部分，其中A和B的面積相等。因此，用40平方厘米減去陰影部分的面積，再除以2就能得到長(zhǎng)方形A和B的面積，再用A或B的面積除以2就是小正方形的邊長(zhǎng)。求到了小正方形的邊長(zhǎng)，計(jì)算大、小正方形的面積就非常簡(jiǎn)單了。練習(xí)1：1.有一塊長(zhǎng)方形草地，長(zhǎng)20米，寬15米。在它的四周向外筑一條寬2米的小路，求小路的面積。2.正方形的一組對(duì)邊增加30厘米，另一組對(duì)邊減少18厘米，結(jié)果得到一個(gè)與原正方形面積相等的長(zhǎng)方形。原正方形的面積是多少平方厘米？3.把一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)增加5分米，寬增加8分米后，得到一個(gè)面積比原長(zhǎng)方形多181平方分米的正方形。求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少分米？【例題2】一個(gè)大長(zhǎng)方形被兩條平行于它的兩條邊的線段分成四個(gè)較小的長(zhǎng)方形，其中三個(gè)長(zhǎng)方形的面積如下圖所求，求第四個(gè)長(zhǎng)方形的面積?！舅悸穼?dǎo)航】因?yàn)锳E×CE=6，DE×EB=35，把兩個(gè)式子相乘AE×CE×DE×EB=35×6，而CE×EB=14，所以AE×DE=35×6÷14=15。練習(xí)2：1.下圖一個(gè)長(zhǎng)方形被分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，其中三個(gè)長(zhǎng)方形的面積分別是24平方厘米、30平方厘米和32平方厘米，求陰影部分的面積。2.下面一個(gè)長(zhǎng)方形被分成六個(gè)小長(zhǎng)方形，其中四個(gè)長(zhǎng)方形的面積如圖所示（單位：平方厘米），求A和B的面積。3.下圖中陰影部分是邊長(zhǎng)5厘米的正方形，四塊完全一樣的長(zhǎng)方形的寬是8厘米，求整個(gè)圖形的面積?！纠}3】把20分米長(zhǎng)的線段分成兩段，并且在每一段上作一正方形，已知兩個(gè)正方形的面積相差40平方分米，大正方形的面積是多少平方分米？【思路導(dǎo)航】我們可以把小正方形移至大正方形里面進(jìn)行分析。兩個(gè)正方形的面積差40平方分米就是圖中的A和B兩部分，如圖。如果把B移到原來(lái)小正方形的上面，不難看出，A和B正好組成一個(gè)長(zhǎng)方形，此長(zhǎng)方形的面積是40平方分米，長(zhǎng)20分米，寬是40÷20=2（分米），即大、小兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相差2分米。因此，大正方形的邊長(zhǎng)就是（20+2）÷2=11（分米），面積是11×11=121（平方分米）。練習(xí)3：1.一塊正方形，一邊劃出1.5米，另一邊劃出10米搞綠化，剩下的面積比原來(lái)減少了1350平方米。這塊地原來(lái)的面積是多少平方米？2.一個(gè)正方形，如果它的邊長(zhǎng)增加5厘米，那么，面積就比原來(lái)增加95平方厘米。原來(lái)正方形的面積是多少平方厘米？3.有一個(gè)正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米寬的小路，路面面積是80平方米。求草坪的面積?！纠}4】有一個(gè)正方形ABCD如下圖，請(qǐng)把這個(gè)正方形的面積擴(kuò)大1倍，并畫(huà)出來(lái)?！舅悸穼?dǎo)航】由于不知道正方形的邊長(zhǎng)和面積，所以，也沒(méi)有辦法計(jì)算出所畫(huà)正方形的邊長(zhǎng)或面積。我們可以利用兩個(gè)正方形之間的關(guān)系進(jìn)行分析。以正方形的四條邊為準(zhǔn)，分別作出4個(gè)等腰直角三角形，如圖中虛線部分，顯然，虛線表示的正方形的面積就是原正方形面積的2倍。練習(xí)4：1.四個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方形和一個(gè)小正方形組成了一個(gè)大正方形，如果大、小正方形的面積分別是49平方米和4平方米，求其中一個(gè)長(zhǎng)方形的寬。2.正圖的每條邊都垂直于與它相鄰的邊，并且28條邊的長(zhǎng)都相等。如果此圖的周長(zhǎng)是56厘米，那么，這個(gè)圖形的面積是多少？3.正圖中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)4厘米，求長(zhǎng)方形EFGD的面積?！纠}5】有一個(gè)周長(zhǎng)是72厘米的長(zhǎng)方形，它是由三個(gè)大小相等的正方形拼成的。一個(gè)正方形的面積是多少平方厘米？【思路導(dǎo)航】三個(gè)同樣大小的正方形拼成的長(zhǎng)方形，它的周長(zhǎng)是原正方形邊長(zhǎng)的8倍，正方形的邊長(zhǎng)為72÷8=9（厘米），一個(gè)正方形的面積就是9×9=81（平方厘米）。練習(xí)5：1.五個(gè)同樣大小的正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是36厘米，求每個(gè)正方形的面積是多少平方厘米？2.有一張長(zhǎng)方形紙，長(zhǎng)12厘米，寬10厘米。從這張紙上剪下一個(gè)最大的正方形后，剩下部分的周長(zhǎng)是多少厘米？3.有一個(gè)小長(zhǎng)方形，它和一個(gè)正方形拼成了一個(gè)大長(zhǎng)方形ABCD（如下圖），已知大長(zhǎng)方形的面積是35平方厘米，且周長(zhǎng)比原來(lái)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)多10厘米。求原來(lái)小長(zhǎng)方形的面積。第5講分類(lèi)數(shù)圖形一、知識(shí)要點(diǎn)我們?cè)跀?shù)數(shù)的時(shí)候，遵循不重復(fù)、不遺漏的原則，不能使數(shù)出的結(jié)果準(zhǔn)確。但是在數(shù)圖形的個(gè)數(shù)的時(shí)候，往往就不容易了。分類(lèi)數(shù)圖形的方法能夠幫助我們找到圖形的規(guī)律，從而有秩序、有條理并且正確地?cái)?shù)出圖形的個(gè)數(shù)。二、精講精練【例題1】下面圖形中有多少個(gè)正方形？【思路導(dǎo)航】圖中的正方形的個(gè)數(shù)可以分類(lèi)數(shù)，如由一個(gè)小正方形組成的有6×3=18個(gè)，2×2的正方形有5×2=10個(gè)，3×3的正方形有4×1=4個(gè)。因此圖中共有18＋10＋4=32個(gè)正方形。練習(xí)1：1.下圖中共有多少個(gè)正方形？2.下圖中共有多少個(gè)正方形？3.下圖中共有多少個(gè)正方形，多少個(gè)三角形？【例題2】下圖中共有多少個(gè)三角形？【思路導(dǎo)航】為了保證不漏數(shù)又不重復(fù)，我們可以分類(lèi)來(lái)數(shù)三角形，然后再把數(shù)出的各類(lèi)三角形的個(gè)數(shù)相加。（1）圖中共有6個(gè)小三角形；（2）由兩個(gè)小三角形組合的三角形有3個(gè)；（3）由三個(gè)小三角形組合的三角形有4個(gè)；（4）由六個(gè)小三角形組合的三角形有1個(gè)。所以共有6＋3＋4＋1=14個(gè)三角形。練習(xí)2：1.下面圖中共有多少個(gè)三角形？2.數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個(gè)三角形。3.數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個(gè)三角形？【例題3】數(shù)出下圖中所有三角形的個(gè)數(shù)。【思路導(dǎo)航】和三角形AFG一樣形狀的三角形有5個(gè)；和三角形ABF一樣形狀的三角形有10個(gè)；和三角形ABG一樣形狀的三角形有5個(gè)；和三角形ABE一樣形的三角形有5個(gè)；和三角形AMD一樣形狀的三角形有5個(gè)，共35個(gè)三角形。練習(xí)3：數(shù)出下面圖形中分別有多少個(gè)三角形?！纠}4】如下圖，平面上有12個(gè)點(diǎn)，可任意取其中四個(gè)點(diǎn)圍成一個(gè)正方形，這樣的正方形有多少個(gè)？【思路導(dǎo)航】把相鄰的兩點(diǎn)連接起來(lái)可以得到下面圖形，從圖中可以看出：（1）最小的正方形有6個(gè)；（2）由4個(gè)小正方形組合而成的正方形有2個(gè)；（3）中間還可圍成2個(gè)正方形。所以共有6＋2＋2=10個(gè)。練習(xí)4：1.下圖中共有8個(gè)點(diǎn)，連接任意四點(diǎn)圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，一共能?chē)啥嗌賯€(gè)長(zhǎng)方形？2.下圖中共有6個(gè)點(diǎn)，連接其中的三點(diǎn)圍成一個(gè)三角形，一共能?chē)啥嗌賯€(gè)三角形？3.下圖中共有9個(gè)點(diǎn)，連接其中的四個(gè)點(diǎn)圍成一個(gè)梯形，一共能?chē)啥嗌賯€(gè)梯形？【例題5】數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少個(gè)三角形？【思路導(dǎo)航】我們可以分類(lèi)來(lái)數(shù)：1.單一的小三角形有16個(gè)；2.兩個(gè)小三角形組合的有10個(gè)；3.四個(gè)小三角形組合的有8個(gè)；4.八個(gè)小三角形組合的有2個(gè)。所以，圖中一共有16＋10＋8＋2=36個(gè)三角形。練習(xí)5：1.圖中共有（）個(gè)三角形。2.圖中共有（）個(gè)三角形。3.圖中共有（）個(gè)正方形。 第6講尾數(shù)和余數(shù)一、知識(shí)要點(diǎn)自然數(shù)末位的數(shù)字稱(chēng)為自然數(shù)的尾數(shù)；除法中，被除數(shù)減去商與除數(shù)積的差叫做余數(shù)。尾數(shù)和余數(shù)在運(yùn)算時(shí)是有規(guī)律可尋的，利用這種規(guī)律能解決一些看起來(lái)無(wú)從下手的問(wèn)題。二、精講精練【例題1】寫(xiě)出除213后余3的全部?jī)晌粩?shù)?！舅悸穼?dǎo)航】因?yàn)?13=210＋3.把210分解質(zhì)因數(shù)：210=2×3×5×7，所以，符號(hào)題目要求的兩位數(shù)有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21.5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42.一共有7個(gè)兩位數(shù)。練習(xí)1：1.寫(xiě)出除109后余4的全部?jī)晌粩?shù)。2.178除以一個(gè)兩位數(shù)后余數(shù)是3.適合條件的兩位數(shù)有哪些？3.寫(xiě)出除1290后余3的全部三位數(shù)。【例題2】（1）125×125×125×……×125[100個(gè)25]積的尾數(shù)是幾？（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100個(gè)（21×26）]積的尾數(shù)是幾？【思路導(dǎo)航】（1）因?yàn)閭€(gè)位5乘5，積的個(gè)位仍然是5，所以不管多少個(gè)125相乘，個(gè)位還是5；（2）每個(gè)括號(hào)里21乘26積的個(gè)位是6，我們只要分析100個(gè)6相乘，積的尾數(shù)是幾就行了。因?yàn)閭€(gè)位6乘6，積的個(gè)位仍然是6，所以不管多少個(gè)（21×26）連乘，積的個(gè)位還是6。練習(xí)2：1.21×21×21×……×21[50個(gè)21]積的尾數(shù)是幾？2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200個(gè)1.5]積的尾數(shù)是幾？3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000個(gè)（12×63）]積的尾數(shù)是幾？【例題3】（1）4×4×4×…×4[50個(gè)4]積的個(gè)位數(shù)是幾？（2）9×9×9×…×9[51個(gè)9]積的個(gè)位數(shù)是幾？【思路導(dǎo)航】（1）我們先列舉前幾個(gè)4的積，看看個(gè)位數(shù)在怎樣變化，1個(gè)4個(gè)位就是4；4×4的個(gè)位是6；4×4×4的個(gè)位是4；4×4×4×4的個(gè)位是6……由此可見(jiàn)，積的尾數(shù)以“4，6”兩個(gè)數(shù)字在不斷重復(fù)出現(xiàn)。50÷2=25沒(méi)有余數(shù)，說(shuō)明50個(gè)4相乘，積的個(gè)位是6。（2）用上面的方法可以發(fā)現(xiàn)，51個(gè)9相乘時(shí)，積的個(gè)位是以“9，1”兩個(gè)數(shù)字不斷重復(fù)，51÷2=25……1.余數(shù)是1.說(shuō)明51個(gè)9本乘積的個(gè)位是9。練習(xí)3：1.24×24×24×…×24[2001個(gè)24]，積的尾數(shù)是多少？2.1×2×3×…×98×99，積的尾數(shù)是多少？3.94×94×94×…×94[102個(gè)94]－49×49×…×49[101個(gè)49]，差的個(gè)位是多少？【例題4】把1/7化成小數(shù)，那么小數(shù)點(diǎn)后面第100位上的數(shù)字是多少？【思路導(dǎo)航】因?yàn)?/7≈0.142857142857……，化成的小數(shù)是一個(gè)無(wú)限循環(huán)小數(shù)，循環(huán)節(jié)“142857”共有6個(gè)數(shù)字。由于100÷6=16……4，所以，小數(shù)點(diǎn)后面的第100位是第17個(gè)循環(huán)節(jié)的第4個(gè)數(shù)字，是8。練習(xí)4：1.把1/11化成小數(shù)，求小數(shù)點(diǎn)后面第2001位上的數(shù)字。2.5/7寫(xiě)成循環(huán)小數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)后第50個(gè)數(shù)字是幾？3.有一串?dāng)?shù)：5、8、13、21、34、55、89……，其中，從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)恰好是前兩個(gè)數(shù)的和。在這串?dāng)?shù)中，第1000個(gè)數(shù)被3除后所得的余數(shù)是多少？【例題5】555…55[2001個(gè)5]÷13.當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是幾？【思路導(dǎo)航】如果用除法硬除顯然太麻煩，我們可以先用豎式來(lái)除一除，看一看余數(shù)在按怎樣的規(guī)律變化。從豎式中可以看出，余數(shù)是按3、9、4、6、0、5這六個(gè)數(shù)字不斷重復(fù)出現(xiàn)。2001÷6=333……3.所以，當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是4。練習(xí)5：1.444…4÷6[100個(gè)4]，當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是幾？2.當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)各是幾？（1）666…6÷4[100個(gè)6]（2）444…4÷74[200個(gè)4]（3）888…8÷7[200個(gè)8]（4）111…1÷7[50個(gè)1]第7講一般應(yīng)用題（一）一、知識(shí)要點(diǎn)一般復(fù)合應(yīng)用題往往是有兩組或兩組以上的數(shù)量關(guān)系交織在一起，有的已知條件是間接的，數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，敘述的方式和順序也比較多樣。因此，一般應(yīng)用題沒(méi)有明顯的結(jié)構(gòu)特征和解題規(guī)律可循。解答一般應(yīng)用題時(shí)，可以借助線段圖、示意圖、直觀演示手段幫助分析。在分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系時(shí)，我們可以從條件出發(fā)，逐步推出所求問(wèn)題（綜合法）；也可以從問(wèn)題出發(fā)，找出必須的兩個(gè)條件（分析法）。在實(shí)際解時(shí)，可以根據(jù)題中的已知條件，靈活運(yùn)用這兩種方法。二、精講精練【例題1】五年級(jí)有六個(gè)班，每班人數(shù)相等。從每班選16人參加少先隊(duì)活動(dòng)，剩下的同學(xué)相當(dāng)于原來(lái)4個(gè)班的人數(shù)。原來(lái)每班多少人？【思路導(dǎo)航】從每班選16人參加少先隊(duì)活動(dòng)，6個(gè)班共選16×6=96（人）。剩下的同學(xué)相當(dāng)于原來(lái)4個(gè)班的人數(shù)，那么，96人就相當(dāng)于原來(lái)（6－4）個(gè)班人人數(shù)，所以，原來(lái)每班96÷2=48（人）。練習(xí)1：1.五個(gè)同學(xué)有同樣多的存款，若每人拿出16元捐給“希望工程”后，五位同學(xué)剩下的錢(qián)正好等于原來(lái)3人的存款數(shù)。原來(lái)每人存款多少？2.把一堆貨物平均分給6個(gè)小組運(yùn)，當(dāng)每個(gè)小組都運(yùn)了68箱時(shí)，正好運(yùn)走了這堆貨物的一半。這堆貨物一共有多少箱？3.老師把一批樹(shù)苗平均分給四個(gè)小隊(duì)栽，當(dāng)每隊(duì)栽了6棵時(shí)，發(fā)現(xiàn)剩下的樹(shù)苗正好是原來(lái)每隊(duì)分得的棵數(shù)。這批樹(shù)苗一共有多少棵？【例題2】某車(chē)間按計(jì)劃每天應(yīng)加工50個(gè)零件，實(shí)際每天加工56個(gè)零件。這樣，不僅提前3天完成原計(jì)劃加工零件的任務(wù)，而且還多加工了120個(gè)零件。這個(gè)車(chē)間實(shí)際加工了多少個(gè)零件？【思路導(dǎo)航】如果按原計(jì)劃的天數(shù)加工，加工的零件就會(huì)比原計(jì)劃多56×3＋120=288（個(gè)）。為什么會(huì)多加工288個(gè)呢？是因?yàn)槊刻於嗉庸ち?6－50=6（個(gè)）。因此，原計(jì)劃加工的天數(shù)是288÷6=48（天），實(shí)際加工了50×48＋120=1520（個(gè)）零件。練習(xí)2：1.汽車(chē)從甲地開(kāi)往乙地，原計(jì)劃每小時(shí)行40千米，實(shí)際每小時(shí)多行了10千米，這樣比原計(jì)劃提前2小時(shí)到達(dá)了乙地。甲、乙兩地相距多少千米？2.小明騎車(chē)上學(xué)，原計(jì)劃每分鐘行200米，正好準(zhǔn)時(shí)到達(dá)學(xué)校，有一天因下雨，他每分鐘只能行120米，結(jié)果遲到了5分鐘。他家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？3.加工一批零件，原計(jì)劃每天加工80個(gè)，正好按期完成任務(wù)。由于改進(jìn)了生產(chǎn)技術(shù)，實(shí)際每天加工100個(gè)，這樣，不僅提前4天完成加工任務(wù)，而且還多加工了100個(gè)。他們實(shí)際加工零件多少個(gè)？【例題3】甲、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工6個(gè)零件，乙中途停了15天沒(méi)有加工。40天后，乙所加工的零件個(gè)數(shù)正好是甲的一半。這時(shí)兩人各加工了多少個(gè)零件？【思路導(dǎo)航】甲工作了40天，而乙停止了15天沒(méi)有加工，乙只加工了25天，所以他加工的零件正好是甲的一半，也就是甲20天加工的零件和乙25天加工的零件同樣多。由于甲每天比乙多加工6個(gè)，20天一共多加工6×20=120（個(gè)）。這120個(gè)零件相當(dāng)于乙25-20=5（天）加工的個(gè)數(shù)，乙每天加工120÷（25-20）=24（個(gè)）。乙一共加工了24×25=600（個(gè)），甲一共加工了600×2=1200（個(gè)）練習(xí)3：1.甲、乙二人加工一批帽子，甲每天比乙多加工10個(gè)。途中乙因事休息了5天，20天后，甲加工的帽子正好是乙加工的2倍，這時(shí)兩人各加工帽子多少個(gè)？2.甲、乙兩車(chē)同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開(kāi)出，甲車(chē)每小時(shí)比乙車(chē)多行20千米。途中乙因修車(chē)用了2小時(shí)，6小時(shí)后甲車(chē)到達(dá)兩地中點(diǎn)，而乙車(chē)才行了甲車(chē)所行路程的一半。A、B兩地相距多少千米？3.甲、乙兩人承包一項(xiàng)工程，共得工資1120元。已知甲工作了10天，乙工作了12天，且甲5天的工資和乙4天的工資同樣多。求甲、乙每天各分得工資多少元？【例題4】服裝廠要加工一批上衣，原計(jì)劃20天完成任務(wù)。實(shí)際每天比計(jì)劃多加工60件，照這樣做了15天，就超過(guò)原計(jì)劃件數(shù)350件。原計(jì)劃加工上衣多少件？【思路導(dǎo)航】由于每天比計(jì)劃多加工60件，15天就比原計(jì)劃的15天多加工60×15=900（件），這時(shí)已超過(guò)計(jì)劃件數(shù)350件，900件中去掉這350件，剩下的件數(shù)就是原計(jì)劃（20－15）天中的工作量。所以，原計(jì)劃每天加工上衣（900－350）÷（20－15）=110（件），原計(jì)劃加工110×20=2200（件）。練習(xí)4：1.用汽車(chē)運(yùn)一堆煤，原計(jì)劃8小時(shí)運(yùn)完。實(shí)際每小時(shí)比原計(jì)劃多運(yùn)1.5噸，這樣運(yùn)了6小時(shí)就比原計(jì)劃多運(yùn)了3噸。原計(jì)劃8小時(shí)運(yùn)多少?lài)嵜海?.汽車(chē)從甲地開(kāi)往乙地，原計(jì)劃10小時(shí)到達(dá)。實(shí)際每小時(shí)比原計(jì)劃多行15千米，行了8小時(shí)后，發(fā)現(xiàn)已超過(guò)乙20千米。甲、乙兩地相距多少千米？3.小明看一本書(shū)，原計(jì)劃8天看完。實(shí)際每天比原計(jì)劃少看了4頁(yè)。這樣，用10天才看完了這本書(shū)。這本書(shū)一共有多少頁(yè)？【例題5】王師傅原計(jì)劃每天做60個(gè)零件，實(shí)際每天比原計(jì)劃多做20個(gè)，結(jié)果提前5在完成任務(wù)。王師傅一共做了多少個(gè)零件？【思路導(dǎo)航】按實(shí)際做法再做5天，就會(huì)超產(chǎn)（60＋20）×5=400（個(gè)）。為什么會(huì)超產(chǎn)400個(gè)呢？是因?yàn)槊刻於嗌a(chǎn)了20個(gè)，400里面有幾個(gè)20，就是原計(jì)劃生產(chǎn)幾天。400÷20=20（天），因此，王師傅一共做了60×20=1200（個(gè)）零件。練習(xí)5：1.食堂準(zhǔn)備了一批煤，原計(jì)劃每天燒0.8噸，實(shí)際每天比原計(jì)劃節(jié)約了0.1噸，這樣比原計(jì)劃多燒了2天。這批煤一共有多少?lài)崳?.造紙廠生產(chǎn)一批紙，計(jì)劃每天生產(chǎn)13.5噸，實(shí)際每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)1.5噸，結(jié)果提前2.5天完成了任務(wù)。實(shí)際用了多少天？3.機(jī)床廠生產(chǎn)一批機(jī)床，原計(jì)劃每天生產(chǎn)15臺(tái)，實(shí)際每天生產(chǎn)18臺(tái)，這樣比原計(jì)劃提前3天完成了任務(wù)。這批機(jī)床一共有多少臺(tái)？第8講一般應(yīng)用題（二）一、知識(shí)要點(diǎn)較復(fù)雜的一般應(yīng)用題，往往具有兩組或兩組以上的數(shù)量關(guān)系交織在一起，但是，再?gòu)?fù)雜的應(yīng)用題都可以通過(guò)“轉(zhuǎn)化”向基本的問(wèn)題靠攏。因此，我們?cè)诮獯鹨话銘?yīng)用題時(shí)要善于分析，把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而正確解答。二、精講精練【例題1】工程隊(duì)要鋪設(shè)一段地下排水管道，用長(zhǎng)管子鋪需要25根，用短管子鋪需要35根。已知這兩種管子的長(zhǎng)相差2米，這段排水管道長(zhǎng)多少米？【思路導(dǎo)航】因?yàn)槊扛L(zhǎng)管子比每根短管子長(zhǎng)2米，25根長(zhǎng)管子就比25根短管子長(zhǎng)50米。而這50米就相當(dāng)于（35－25）根短管子的長(zhǎng)度。因此，每根短管子的長(zhǎng)度就是50÷（35－25）=5（米），這段排水管道的長(zhǎng)度應(yīng)是5×35=175（米）。練習(xí)1：1.生產(chǎn)一批零件，甲單獨(dú)生產(chǎn)要用6小時(shí)，乙單獨(dú)生產(chǎn)要用8小時(shí)。如果甲每小時(shí)比乙多生產(chǎn)10個(gè)零件，這批零件一共有多少個(gè)？2.一班的小朋友在操場(chǎng)上做游戲，每組6人。玩了一會(huì)兒，他們覺(jué)得每組人數(shù)太少便重新分組，正好每組9人，這樣比原來(lái)減少了2組。參加游戲的小朋友一共有多少人？3.甲、乙二人同時(shí)從A地到B地，甲經(jīng)過(guò)10小時(shí)到達(dá)了B地，比乙多用了4小時(shí)。已知二人的速度差是每小時(shí)5千米，求甲、乙二人每小時(shí)各行多少千米？【例題2】甲、乙、丙三人拿出同樣多的錢(qián)買(mǎi)一批蘋(píng)果，分配時(shí)甲、乙都比丙多拿24千克。結(jié)帳時(shí)，甲和乙都要付給丙24元，每千克蘋(píng)果多少元？【思路導(dǎo)航】三人拿同樣多的錢(qián)買(mǎi)蘋(píng)果應(yīng)該分得同樣多的蘋(píng)果。24×2÷3=16（千克），也就是丙少拿16千克蘋(píng)果，所以得到24×2=48元。每千克蘋(píng)果是48÷16=3（元）。練習(xí)2：1.甲和乙拿出同樣多的錢(qián)買(mǎi)相同的鉛筆若干支，分鉛筆時(shí)，甲拿了13支，乙拿了7支，因此，甲又給了乙6角錢(qián)。每支鉛筆多少錢(qián)？2.春游時(shí)小明和小軍拿出同樣多的錢(qián)買(mǎi)了6個(gè)面包，中午發(fā)現(xiàn)小紅沒(méi)有帶食品，結(jié)果三人平均分了這些面包，而小紅分別給了小明和小軍各2.2元錢(qián)。每個(gè)面包多少元？3.“六一”兒童節(jié)時(shí)同學(xué)們做紙花，小華買(mǎi)來(lái)了7張紅紙，小英買(mǎi)來(lái)了和紅紙同樣價(jià)格的5張黃紙。老師把這些紙平均分給了小華、小英和另外兩名同學(xué)，結(jié)果另外兩名同學(xué)共付給老師9元錢(qián)。老師把9元錢(qián)怎樣分給小華和小英？【例題3】甲城有177噸貨物要跑一趟運(yùn)到乙城。大卡車(chē)的載重量是5噸，小卡車(chē)的載重量是2噸，大、小卡車(chē)跑一趟的耗油量分別是10升和5升。用多少輛大卡車(chē)和小卡車(chē)來(lái)運(yùn)輸時(shí)耗油最少？【思路導(dǎo)航】大汽車(chē)一次運(yùn)5噸，耗油10升，平均運(yùn)1噸貨耗油10÷5=2（升）；小汽車(chē)一次運(yùn)2噸，耗油5升，平均運(yùn)1噸貨耗油5÷2=2.5（升）。顯然，為耗油量最少應(yīng)該盡可能用大卡車(chē)。177÷5=35（輛）……2噸，余下的2噸正好用小卡車(chē)運(yùn)。因此，用35輛大汽車(chē)和1輛小汽車(chē)運(yùn)耗油量最少。練習(xí)3：1.五名選手在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中共得404分，每人得分互不相同，并且都是整數(shù)。如果最高分是90分，那么得分最少的選手至少得多少分？2.用1元錢(qián)買(mǎi)4分、8分、1角的郵票共15張，那么最多可以買(mǎi)1角的郵票多少?gòu)垼?.某班有60人，其中42人會(huì)游泳，46人會(huì)騎車(chē)，50人會(huì)溜冰，55人會(huì)打乒乓球?？梢钥隙ㄖ辽儆卸嗌偃怂捻?xiàng)都會(huì)？【例題4】有一棟居民樓，每家都訂2份不同的報(bào)紙，該居民樓共訂了三種報(bào)紙，其中北京日?qǐng)?bào)34份，江海晚報(bào)30份，電視報(bào)22份。那么訂江海晚報(bào)和電視報(bào)的共有多少家？【思路導(dǎo)航】這棟樓共訂報(bào)紙34+30+22=86（份），因?yàn)槊考叶加?份不同的報(bào)紙，所以一共有86÷2=43家。在這43家居民中，有34家訂了北京日?qǐng)?bào)，剩下的9家居民一定是訂了江海晚報(bào)和電視報(bào)。練習(xí)4：1.五（1）班全體同學(xué)每人帶2個(gè)不同的水果去慰問(wèn)解放軍叔叔，全班共帶了三種水果，其中蘋(píng)果40個(gè)，梨32個(gè)，桔子26個(gè)。那么，帶梨和桔子的有多少個(gè)同學(xué)？2.在一次慶?！傲弧眱和?jié)活動(dòng)中，一個(gè)方隊(duì)的同學(xué)每人手里都拿兩種顏色的氣球，共有紅、黃、綠三種顏色。其中紅色有56只，黃色的有60只，綠色的有46只。那么，手拿紅、綠兩種氣球的有多少個(gè)同學(xué)？3.學(xué)校開(kāi)設(shè)了音樂(lè)、球類(lèi)和美術(shù)三個(gè)興趣小組，第一小隊(duì)的同學(xué)們每人都參加了其中的兩個(gè)小組，其中9人參加球類(lèi)小組，6人參加美術(shù)小組，7人參加音樂(lè)小組的活動(dòng)。參加美術(shù)和音樂(lè)小組活動(dòng)的有多少個(gè)同學(xué)？【例題5】一艘輪船發(fā)生漏水事故，立即安裝兩臺(tái)抽水機(jī)向外抽水，此時(shí)已進(jìn)水800桶。一臺(tái)抽水機(jī)每分鐘抽水18桶，另一臺(tái)每分鐘抽水14桶，50分鐘把水抽完。每分鐘進(jìn)水多少桶？【思路導(dǎo)航】50分鐘內(nèi)，兩臺(tái)抽水機(jī)一共能抽水（18＋14）×50=1600（桶）。1600桶水中，有800桶是開(kāi)始抽之前就漏進(jìn)的，另800桶是50分鐘又漏進(jìn)的，因此，每分鐘漏進(jìn)水800÷50=16（桶）。練習(xí)5：1.一個(gè)水池能裝8噸水，水池里裝有一個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)出水管。兩管齊開(kāi)，20分鐘能把一池水放完。已知進(jìn)水管每分鐘往池里進(jìn)水0.8噸，求出水管每分鐘放水多少?lài)崳?.某工地原有水泥120噸。因工程需要，又派5輛卡車(chē)往工地送水泥，平均每輛卡車(chē)每天送25噸，3天后工地上共有水泥101噸。這個(gè)工地平均每天用水泥多少?lài)崳?.一堆貨物重96噸，甲隊(duì)用16小時(shí)運(yùn)完，乙隊(duì)用24小時(shí)運(yùn)完。如果讓兩隊(duì)同時(shí)合運(yùn)，幾小時(shí)運(yùn)完？第9講一般應(yīng)用題（三）一、知識(shí)要點(diǎn)解答一般應(yīng)用題時(shí)，可以按下面的步驟進(jìn)行：1.弄清題意，找出已知條件和所求問(wèn)題；2.分析已知條件和所求問(wèn)題之間的關(guān)系，找出解題的途徑；3.擬定解答計(jì)劃，列出算式，算出得數(shù)；4，檢驗(yàn)解答方法是否合理，結(jié)果是否正確，最后寫(xiě)出答案。二、精講精練【例題1】甲、乙兩工人生產(chǎn)同樣的零件，原計(jì)劃每天共生產(chǎn)700個(gè)。由于改進(jìn)技術(shù)，甲每天多生產(chǎn)100個(gè)，乙的日產(chǎn)量提高了1倍，這樣二人一天共生產(chǎn)1020個(gè)。甲、乙原計(jì)劃每天各生產(chǎn)多少個(gè)零件？【思路導(dǎo)航】二人實(shí)際每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)1020－700=320（個(gè)）。這320個(gè)零件中，有100個(gè)是甲多生產(chǎn)的，那么320－100=220（個(gè)）就是乙日產(chǎn)量的1倍，即乙原來(lái)的日產(chǎn)量，甲原來(lái)每天生產(chǎn)700－220=480（個(gè)）。練習(xí)1：1.工廠里有2個(gè)鍋爐，原來(lái)每月燒煤5.6噸。進(jìn)行技術(shù)改造后，1號(hào)鍋爐每月節(jié)約1噸煤，2號(hào)鍋爐每月燒煤量減少了一半，現(xiàn)在每月共燒煤3.5噸。原來(lái)兩個(gè)鍋爐每月各燒煤多少?lài)崳?.甲、乙兩人生產(chǎn)同樣的零件，原計(jì)劃每天共生產(chǎn)80個(gè)。由于更換了機(jī)器，甲每天多做40個(gè)，乙每天生產(chǎn)的是原來(lái)的4倍，這樣二人一天共生產(chǎn)零件300個(gè)。甲、乙原計(jì)劃每天各生產(chǎn)多少個(gè)零件？3.甲、乙兩隊(duì)合挖一條水渠，原計(jì)劃兩隊(duì)每天共挖100米，實(shí)際甲隊(duì)因有人請(qǐng)假，每天比計(jì)劃少挖15米，而乙隊(duì)由于增加了人，每天挖的是原計(jì)劃的2倍，這樣兩隊(duì)每天一共挖了150米。求兩隊(duì)原計(jì)劃每天各挖多少米？【例題2】把一根竹竿插入水底，竹竿濕了40厘米，然后將竹竿倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)插入水底，這時(shí)，竹竿濕的部分比它的一半長(zhǎng)13厘米。求竹竿的長(zhǎng)。【思路導(dǎo)航】因?yàn)橹窀拖炔辶艘淮?，濕?0厘米，倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)再插一次又濕了40厘米，所以濕了的部分是40×2=80（厘米）。這時(shí)，濕的部分比它的一半長(zhǎng)13厘米，說(shuō)明竹竿的長(zhǎng)度是（80－13）×2=134（厘米）。練習(xí)2：1.有一根鐵絲，截去一半多10厘米，剩下的部分正好做一個(gè)長(zhǎng)8厘米，寬6厘米的長(zhǎng)方形框架。這根鐵絲原來(lái)長(zhǎng)多少厘米？2.有一根竹竿，兩頭各截去20厘米，剩下部分的長(zhǎng)度比截去的4倍少10厘米。這根竹竿原來(lái)長(zhǎng)多少厘米？3.兩根電線一樣長(zhǎng)，第一根剪去80米，第二根剪去320米，剩下部分第一根是第二根長(zhǎng)度的4倍。兩根電線原來(lái)各長(zhǎng)多少米？【例題3】將一根電線截成15段。一部分每段長(zhǎng)8米，另一部分每段長(zhǎng)5米。長(zhǎng)8米的總長(zhǎng)度比長(zhǎng)5米的總長(zhǎng)度多3米。這根鐵絲全長(zhǎng)多少米？【思路導(dǎo)航】設(shè)這15段中有X段是8米長(zhǎng)的，則有（15－X）段是5米長(zhǎng)的。然后根據(jù)“8米的總長(zhǎng)度比5米的總長(zhǎng)度多3米”列出方程，并進(jìn)行解答。練習(xí)3：1.某人過(guò)一個(gè)小山坡共用了20分鐘，他上坡每分鐘走80米，下坡每分鐘走102米。上坡路比下坡路少220米。這段小坡路全長(zhǎng)多少米？2.食堂里買(mǎi)來(lái)15袋大米和面粉，每袋大米25千克，每袋面粉10千克。已知買(mǎi)回的大米比面粉多165千克，求買(mǎi)回大米、面粉各多少千克？3.老師買(mǎi)回兩種筆共16支獎(jiǎng)給三好學(xué)生，其中鉛筆每支0.4元，圓珠筆每支1.2元，買(mǎi)圓珠筆比買(mǎi)鉛筆共多用了1.6元。求買(mǎi)這些筆共用去多少錢(qián)？【例題4】甲、乙兩名工人加工一批零件，甲先花去2.5小時(shí)改裝機(jī)器，因此前4小時(shí)甲比乙少做400個(gè)零件。又同時(shí)加工4小時(shí)后，甲總共加工的零件反而比乙多4200個(gè)。甲、乙每小時(shí)各加工零件多少個(gè)？【思路導(dǎo)航】（1）在后4小時(shí)內(nèi)，甲一共比乙多加工了4200+400=4600（個(gè)）零件，甲每小時(shí)比乙多加工4600÷4=1150個(gè)零件。（2）在前4小時(shí)內(nèi)，甲實(shí)際只加工了4－2.5=1.5小時(shí)，甲1.5小時(shí)比乙1.5小時(shí)應(yīng)多做1150×1.5=1725個(gè)零件，因此，1725＋400=2125個(gè)零件就是乙2.5小時(shí)的工作量，即乙每小時(shí)加工2125÷2.5=850個(gè)，甲每小時(shí)加工850＋1150=2000個(gè)。練習(xí)4：1.甲、乙二人同時(shí)從A地去B地，前3小時(shí)，甲因修車(chē)1小時(shí)，因此乙鄰先于甲4千米。又經(jīng)過(guò)3小時(shí)，甲反而領(lǐng)先了乙17千米。求二人的速度。2.師徒二人生產(chǎn)同一種零件，徒弟比師傅早2小時(shí)開(kāi)工，當(dāng)師傅生產(chǎn)了2小時(shí)后，發(fā)現(xiàn)自己比徒弟少做20個(gè)零件。二人又生產(chǎn)了2小時(shí)，師傅反而比徒弟多生產(chǎn)了10個(gè)。師傅每小時(shí)生產(chǎn)多少個(gè)零件？3.甲每小時(shí)生產(chǎn)12個(gè)零件，乙每小時(shí)生產(chǎn)8個(gè)零件。一次，二人同時(shí)生產(chǎn)同樣多的零件，結(jié)果甲比乙提前5小時(shí)完成了任務(wù)。問(wèn)：甲一共生產(chǎn)了多少個(gè)零件？【例題5】加工一批零件，單給甲加工需10小時(shí)，單給乙加工需8小時(shí)。已知甲每小時(shí)比乙少做3個(gè)零件，這批零件一共有多少個(gè)？【思路導(dǎo)航】因?yàn)榧酌啃r(shí)比乙少做3個(gè)零件，8小時(shí)就比乙少做3×8=24（個(gè)）零件，所以，24個(gè)零件就是甲（10－8）小時(shí)的工作量。甲每小時(shí)加工24÷（10－8）=12（個(gè)），這批零件一共有12×10=120（個(gè)）。練習(xí)5：1.快、慢兩車(chē)同時(shí)從甲地開(kāi)往乙地，行完全程快車(chē)只用了4小時(shí)，而慢車(chē)用了6.5小時(shí)。已知快車(chē)每小時(shí)比慢車(chē)多行25千米。甲、乙兩地相距多少千米？2.媽媽去買(mǎi)水果，她所帶的錢(qián)正好能買(mǎi)18千克蘋(píng)果或25千克的梨。已知每千克梨比每千克蘋(píng)果便宜0.7元，媽媽一共帶了多少錢(qián)？3.師徒二人加工零件，已知師傅6小時(shí)加工的零件和徒弟8小時(shí)加工的零件相等。如果師傅每小時(shí)比徒弟多加工3個(gè)零件，那么，徒弟每小時(shí)加工多少個(gè)零件？第10講數(shù)

陣一、知識(shí)要點(diǎn)填“幻方”是同學(xué)們比較熟悉的一種數(shù)學(xué)游戲，由幻方演變出來(lái)的數(shù)陣問(wèn)題，也是一類(lèi)比較常見(jiàn)的填數(shù)問(wèn)題。這里，和同學(xué)們討論一些數(shù)陣的填法。解答數(shù)陣問(wèn)題通常用兩種方法：一是待定數(shù)法，二是試驗(yàn)法。待定數(shù)法就是先用字母（或符號(hào)）表示滿(mǎn)足條件的數(shù)，通過(guò)分析、計(jì)算來(lái)確定這些字母（或符號(hào)）應(yīng)具備的條件，為解答數(shù)陣問(wèn)題提供方向。試驗(yàn)法就是根據(jù)題中所給條件選準(zhǔn)突破口，確定填數(shù)的可能范圍。把分析推理和試驗(yàn)法結(jié)合起來(lái)，再由填數(shù)的可能情況，確定應(yīng)填的數(shù)。二、精講精練【例題1】把5、6、7、8、9五個(gè)數(shù)分別填入下圖的五個(gè)方格里，如圖a使橫行三個(gè)數(shù)的和與豎行三個(gè)數(shù)的和都是21。【思路導(dǎo)航】先把五格方格中的數(shù)用字母A、B、C、D、E來(lái)表示，根據(jù)題意可知：A＋B＋C＋D＋E=35，A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。把兩式相比較可知，E=42－35=7，即中間填7。然后再根據(jù)5＋9=6＋8便可把五個(gè)數(shù)填進(jìn)方格，如圖b。練習(xí)1：1.把1——10各數(shù)填入“六一”的10個(gè)空格里，使在同一直線上的各數(shù)的和都是12。2.把1——9各數(shù)填入“七一”的9個(gè)空格里，使在同一直線上的各數(shù)的和都是13。3.將1——7七個(gè)自然數(shù)分別填入圖中的圓圈里，使每條線上三個(gè)數(shù)的和相等?！纠}2】將1——10這十個(gè)數(shù)填入下圖小圓中，使每個(gè)大圓上六個(gè)數(shù)的和是30?！舅悸穼?dǎo)航】設(shè)中間兩個(gè)圓中的數(shù)為a、b，則兩個(gè)大圓的總和是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b=30×2.即55＋a＋b=60，a＋b=5。在1——10這十個(gè)數(shù)中1＋4=5，2＋3=5。當(dāng)a和b是1和4時(shí)，每個(gè)大圓上另外四個(gè)數(shù)分別是（2.6，8，9）和（3.5，7，10）；當(dāng)a和b是2和3時(shí)，每個(gè)大圓上另外四個(gè)數(shù)分別為（1.5，9，10）和（4，6，7，8）。練習(xí)2：1.把1——8八個(gè)數(shù)分別填入下圖的○內(nèi)，使每個(gè)大圓上五個(gè)○內(nèi)數(shù)的和相等。2.把1——10這十個(gè)數(shù)分別填入下圖的○內(nèi)，使每個(gè)四邊形頂點(diǎn)的○內(nèi)四個(gè)數(shù)的和都相等，且和最大。3.將1——8八個(gè)數(shù)填入下圖方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中間四格以及對(duì)角線四格內(nèi)四個(gè)數(shù)的和都是18?！纠}3】將1——6這六個(gè)數(shù)分別填入下圖的圓中，使每條直線上三個(gè)圓內(nèi)數(shù)的和相等、且最大?！舅悸穼?dǎo)航】設(shè)中間三個(gè)圓內(nèi)的數(shù)是a、b、c。因?yàn)橛?jì)算三條線上的和時(shí)，a、b、c都被計(jì)算了兩次，根據(jù)題意可知：1＋2＋3＋4＋5＋6＋（a＋b＋c）除以3沒(méi)有余數(shù)。1＋2＋3＋4＋5＋6=21.21÷3=7沒(méi)有余數(shù)，那么a＋b＋c的和除以3也應(yīng)該沒(méi)有余數(shù)。在1——6六個(gè)數(shù)中，只有4＋5＋6的和最大，且除以3沒(méi)有余數(shù)，因此a、b、c分別為4、5、6。（1＋2＋3＋4＋5＋6＋4＋5＋6）÷3=12.所以有下面的填法：練習(xí)3：1.將1——6六個(gè)數(shù)分別填入下圖的○內(nèi)，使每邊上的三個(gè)○內(nèi)數(shù)的和相等。2.將1——9九個(gè)數(shù)分別填入下圖○內(nèi)，使每邊上四個(gè)○內(nèi)數(shù)的和都是17。3.將1——8八個(gè)數(shù)分別填入下圖的○內(nèi)，使每條安上三個(gè)數(shù)的和相等?！纠}4】將1——7分別填入下圖的7個(gè)○內(nèi)，使每條線段上三個(gè)○內(nèi)數(shù)的和相等。

【思路導(dǎo)航】首先要確定中心圓內(nèi)的數(shù)，設(shè)中心○內(nèi)的數(shù)是a，那么，三條線段上的總和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a=28＋2a，由于三條線段上的和相等，所以（28＋2a）除以3應(yīng)該沒(méi)有余數(shù)。由于28÷3=9……1.那么2a除以3應(yīng)該余2.因此，a可以為1、4或7。當(dāng)a=1時(shí)，（28＋2×1）÷3－1=9，即每條線段上其他兩數(shù)的和是9，因此，有這樣的填法。練習(xí)4：1.將1——9填入下圖的○中，使橫、豎行五個(gè)數(shù)相加的和都等于25。2.將1——11這十一個(gè)數(shù)分別填進(jìn)下圖的○里，使每條線上3個(gè)○內(nèi)的數(shù)的和相等。3.將1——8這八個(gè)數(shù)分別填入下圖○內(nèi)，使外圓四個(gè)數(shù)的和，內(nèi)圓四個(gè)數(shù)的和以及橫行、豎行上四個(gè)數(shù)的和都等于18?！纠}5】如下圖(a)四個(gè)小三角形的頂點(diǎn)處有六個(gè)圓圈。如果在這些圓圈中分別填上六個(gè)質(zhì)數(shù)，它們的和是20，而且每個(gè)小三角形三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)的和相等。問(wèn)這六個(gè)質(zhì)數(shù)的積是多少？【思路導(dǎo)航】設(shè)每個(gè)小三角形三個(gè)頂點(diǎn)處○內(nèi)數(shù)的和為X。因?yàn)橹虚g的小三角形頂點(diǎn)處的數(shù)在求和時(shí)都用了三次，所以，四個(gè)小三角形頂點(diǎn)處數(shù)的總和是4X=20＋2X，解方程得X=10。由此可知，每個(gè)小三角形頂點(diǎn)處的三個(gè)質(zhì)數(shù)的和是10，這三個(gè)質(zhì)數(shù)只能是2、3、5。因此這6個(gè)質(zhì)數(shù)的積是2×2×3×3×5×5=900。如圖（b）。練習(xí)5：1.將九個(gè)不同的自然數(shù)填入下面方格中，使每行、每列、每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的積都相等。2.將1——9九個(gè)自然數(shù)分別填入下圖的九個(gè)小三角形中，使靠近大三角形每條邊上五個(gè)數(shù)的和相等，并且盡可能大。這五個(gè)數(shù)之和最大是多少？3.將1——9九個(gè)數(shù)分別填入下圖○內(nèi)，使外三角形邊上○內(nèi)數(shù)之和等于里面三角形邊上○內(nèi)數(shù)之和。 第11講周期問(wèn)題一、知識(shí)要點(diǎn)周期問(wèn)題是指事物在運(yùn)動(dòng)變化的發(fā)展過(guò)程中，某些特征循環(huán)往復(fù)出現(xiàn)，其連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間叫做周期。在數(shù)學(xué)上，不僅有專(zhuān)門(mén)研究周期現(xiàn)象的分支，而且平時(shí)解題時(shí)也常常碰到與周期現(xiàn)象有關(guān)的問(wèn)題。這些數(shù)學(xué)問(wèn)題只要我們發(fā)展某種周期現(xiàn)象，并充分加以利用，把要求的問(wèn)題和某一周期的等式相對(duì)應(yīng)，就能找到解題關(guān)鍵。二、精講精練【例題1】流水線上生產(chǎn)小木球涂色的次序是：先5個(gè)紅，再4個(gè)黃，再3個(gè)綠，再2個(gè)黑，再1個(gè)白，然后又依次5紅、4黃、3綠、2黑、1白……如此涂下去，到2001個(gè)小球該涂什么顏色？【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意可知，小木球涂色的次序是5紅、4黃、3綠、2黑、1白，即5＋4＋3＋2＋1=15個(gè)球?yàn)橐粋€(gè)周期，不斷循環(huán)。因?yàn)?001÷15=133……6，也就是經(jīng)過(guò)133個(gè)周期還余6個(gè)，每個(gè)周期中第6個(gè)是黃的，所以第2001個(gè)球涂黃色。練習(xí)1：1.跑道上的彩旗按“三面紅、兩面綠、一面黃”的規(guī)律插下去，第50面該插什么顏色？2.有一串珠子，按4個(gè)紅的，3個(gè)白的，2個(gè)黑的順序重復(fù)排列，第160個(gè)是什么顏色？3.1/7=0.142857142857……，小數(shù)點(diǎn)后面第100個(gè)數(shù)字是多少？【例題2】有47盞燈，按二盞紅燈、四盞藍(lán)燈、三盞黃燈的順序排列著。最后一盞燈是什么顏色的？三種顏色的燈各占總數(shù)的幾分之幾？【思路導(dǎo)航】（1）我們把二盞紅燈、四盞藍(lán)燈、三盞黃燈這9盞燈看作一組，47÷9=5（組）……2（盞），余下的兩盞是第6組的前兩盞燈，是紅燈，所以最后一盞燈是紅燈；（2）由于47÷9=5（組）……2（盞），所以紅燈共有2×5＋2=12（盞），占總數(shù)的12/47；藍(lán)燈共有4×5=20（盞），占總數(shù)的20/47；黃燈共有3×5=15（盞），占總數(shù)的15/47。練習(xí)2：1.有68面彩旗，按二面紅的、一面綠的、三面黃的排列著，這些彩旗中，紅旗占黃旗的幾分之幾？2.黑珠和白珠共2000顆，按規(guī)律排列著：○●○○○●○○○●○○……，第2000顆珠子是什么顏色的？其中，黑珠共有多少顆？3.在100米長(zhǎng)的跑道兩側(cè)每隔2米站著一個(gè)同學(xué)。這些同學(xué)以一端開(kāi)始，按先兩個(gè)女生，再一個(gè)男生的規(guī)律站立著。這些同學(xué)中共有多少個(gè)女生？【例題3】2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期幾？【思路導(dǎo)航】一個(gè)星期是7天，因此7天為一個(gè)周期。10月1日是星期一，是第一個(gè)周期的第一天，再過(guò)7天即10月8日也是星期一。計(jì)算天數(shù)時(shí)為了方便，我們采用“算尾不算頭”的方法，例如10月8日就用（8－1）÷7=1.沒(méi)有余數(shù)說(shuō)明8號(hào)仍是星期一。題中說(shuō)從2001年10月1日到2002年1月1日，要經(jīng)過(guò)92天，92÷7=13……1.余1天就是從星期一往后數(shù)一天，即星期二。練習(xí)3：1.2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期幾？2.如果今天是星期五，再過(guò)80天是星期幾？3.以今天為標(biāo)準(zhǔn)，算一算今年自己的生日是星期幾？ABCDBCDE135715131191719212331292725……【思路導(dǎo)航】這列數(shù)按每8個(gè)數(shù)一組有規(guī)律排列著。2001是這一列數(shù)中的第1001個(gè)數(shù)，1001÷8=125……1.即2001是這列數(shù)中第126組的第一個(gè)數(shù)，所以它所在的那一列是以字母B為代表的。練習(xí)4：1.將偶數(shù)2、4、6、8、……按下圖依次排列，2014出現(xiàn)在哪一列？2.把自然數(shù)按下列規(guī)律排列，865排在哪一列？ABCDEABCDE8642101214162422201826283032……ABCD123654789121110………………3.上表中，將每列上下兩個(gè)字組成一組，如第一組為（小熱），第二組為（學(xué)愛(ài)）。求第460組是什么？【例題5】888……8[100個(gè)8]÷7，當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是幾？【思路導(dǎo)航】從豎式中可以看出，被除數(shù)除以7，每次除得的余數(shù)以1、4、6、5、2、0不斷重復(fù)出現(xiàn)。我們可以用100除以6，觀察余數(shù)就知道所求問(wèn)題了。100÷6=16……4余數(shù)是4說(shuō)明當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是1、4、6、5、2、0中的第4個(gè)數(shù)，即5。練習(xí)5：1.444……4[100個(gè)4]÷3當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是幾？2.444……4[100個(gè)4]÷6當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是幾？3.111……1[1000個(gè)1]÷7當(dāng)商是整數(shù)時(shí)，余數(shù)是幾？第12講盈虧問(wèn)題一、知識(shí)要點(diǎn)盈虧問(wèn)題又叫盈不足問(wèn)題，是指把一定數(shù)量的物品平均分給固定的對(duì)象，如果按某種標(biāo)準(zhǔn)分，則分配后會(huì)有剩余（盈）；按另一種標(biāo)準(zhǔn)分，分配后又會(huì)有不足（虧），求物品的數(shù)量和分配對(duì)象的數(shù)量。例如：把一代餅干分給小班的小朋友，每人分3塊，多12塊；如果每人分4塊，少8塊。小朋友有多少人？餅干有多少塊？這種一盈一虧的情況，就是我們通常說(shuō)的標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問(wèn)題。盈虧問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系是：（盈＋虧）÷兩次所分之差=人數(shù)；還有一些非標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問(wèn)題，它們被分為四類(lèi)：1.兩盈：兩次分配都有多余；2.兩不足：兩次分配都不夠；3.盈適足：一次分配有余，一次分配夠分；4，不足適足：一次分配不夠，一次分配正好。一些非標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問(wèn)題都是由標(biāo)準(zhǔn)的盈虧問(wèn)題演變過(guò)來(lái)的。解題時(shí)我們可以記住：1.“兩虧”問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系是：兩次虧數(shù)的差÷兩次分得的差=參與分配對(duì)象總數(shù)；2.“兩盈”問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系是：兩次盈數(shù)的差÷兩次分得的差=參與分配對(duì)象總數(shù)；3.“一盈一虧”問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系是：盈與虧的和÷兩次分得的差=參與分配對(duì)象總數(shù)。二、精講精練【例題1】某校乒乓球隊(duì)有若干名學(xué)生，如果少一名女生，增加一名男生，則男生為總數(shù)的一半；如果少一名男生，增加一名女生，則男生為女生人數(shù)的一半。乒乓球隊(duì)共有多少名學(xué)生？【思路導(dǎo)航】（1）由“少一個(gè)女生，增加一個(gè)男生，則男生為總?cè)藬?shù)的一半”可知：女生比男生多2人；（2）“少一個(gè)男生，增加一個(gè)女生”后，女生就比男生多2＋2=4人，這時(shí)男生為女生人數(shù)的一半，即現(xiàn)在女生有4×2=8人。原來(lái)女生有8－1=7人，男生有7－2=5人，共有7＋5=12人。練習(xí)1：1.學(xué)校買(mǎi)來(lái)了白粉筆和彩色粉筆若干盒，如果白粉筆減少10盒，彩色粉筆增加8盒，兩種粉筆就同樣多；如果再買(mǎi)10盒白粉筆，白粉筆的盒數(shù)就是彩色粉筆的5倍。學(xué)校買(mǎi)來(lái)兩種粉筆各多少盒？2.操場(chǎng)上有兩堆貨物，如果甲堆增加80噸，乙堆增加25噸，則兩堆貨物一樣重；苦甲、乙兩堆各運(yùn)走5噸，剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。兩堆貨物一共有多少?lài)崳?.五（1）班的優(yōu)秀學(xué)生中，苦增加2名男生，減少1名女生，則男、女生人數(shù)同樣多；苦減少1名男生，增加1名女生，則男生是女生的一半。這些優(yōu)秀學(xué)生中男、女生各多少人？【例題2】幼兒園老師拿出蘋(píng)果發(fā)給小朋友。如果平均分給小朋友，則少4個(gè)；如果每個(gè)小朋友只發(fā)給4個(gè)，則老師自己也能留下4個(gè)。有多少個(gè)小朋友？共有多少個(gè)蘋(píng)果？【思路導(dǎo)航】如果平均分給小朋友，則少4個(gè)，說(shuō)明小朋友人數(shù)大于4；如果每個(gè)小朋友只發(fā)給4個(gè)，則教師也能留下4個(gè)，說(shuō)明每人少拿若干個(gè)，就少拿4＋4=8個(gè)蘋(píng)果。因?yàn)樾∨笥讶藬?shù)大于4，所以，一定是每人少拿1個(gè)，有8÷1=8個(gè)小朋友，有8×4＋4=36個(gè)蘋(píng)果。練習(xí)2：1.給小朋友分梨，如果每人分4個(gè)，則多9個(gè)；如果每人分5個(gè)，則少6個(gè)。有多少個(gè)小朋友？有多少個(gè)梨？2.老把一些鉛筆獎(jiǎng)給三好學(xué)生。每人5支則多4支，每人7支則少4支。老師有多少支鉛筆？獎(jiǎng)給多少個(gè)三好學(xué)生？3.有一個(gè)班的同學(xué)去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，正好每船坐6人；如果減少一條船，正好每條船上坐9人。這個(gè)班一共有多少個(gè)同學(xué)？【例題3】幼兒園老師將一筐蘋(píng)果分給小朋友。如果分給大班的學(xué)生每人5個(gè)余10個(gè)；如果分給小班的學(xué)生每人8個(gè)缺2個(gè)。已知大班比小班多3人，這筐蘋(píng)果有多少個(gè)？【思路導(dǎo)航】如果大班減少3人，則大班和小班的人數(shù)同樣多。這樣，大班每人5個(gè)就多余3×5＋10=25個(gè)。由于兩班人數(shù)相等，小班每人多分3個(gè)就要多分（25＋2）個(gè)蘋(píng)果，用（25＋2）÷（8－5）就能得到小班同學(xué)的人數(shù)是9人，再用9×8－2就求出了這筐蘋(píng)果有多少個(gè)。練習(xí)3：1.一些學(xué)生搬一批磚，每人搬4塊，其中5人要搬兩次；如果每人搬5塊，就有兩人沒(méi)有磚可搬。這些學(xué)生有多少人？這批磚有多少塊？2.老師給幼兒園小朋友分糖，每人3塊還多10塊；如果減少2個(gè)小朋友再分，每人4塊還多7塊。原來(lái)有多少個(gè)小朋友？有多少塊糖？3.筑路隊(duì)計(jì)劃每天筑路720米，正好按期筑完。實(shí)際每天多筑80米，這樣，比原計(jì)劃提前3天完成了筑路任務(wù)。要筑的路有多長(zhǎng)？【例題4】幼兒園教師把一箱餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6塊；如果只分給中班的小朋友，平均每人可以多分得4塊。如果只分給小班的小朋友，平均每人分得多少塊？【思路導(dǎo)航】這箱餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6塊，如果只分給中班的小朋友，平均每人可多分4塊。說(shuō)明中班的人數(shù)是小班人數(shù)的6÷4=1.5倍。因此，這箱餅干分給小班的小朋友，每位小朋友可多分到6×1.5=9塊，一共可分到6＋9=15塊餅干。練習(xí)4：1.老師把一批書(shū)借給甲組同學(xué)，平均每人借4本。如果只借給甲組的女同學(xué)，每人可借6本。如果只借給甲組的男生，平均每人借到幾本？2.甲、乙兩組同學(xué)做紅花，每人做8朵，正好送給五年級(jí)每個(gè)同學(xué)一朵。如果把這些紅花讓甲組同學(xué)單獨(dú)做，每人要多做4朵。如果把這些紅花讓乙組同學(xué)單獨(dú)做，每人要做幾朵？3.老師把一袋糖分給小朋友。如果只分給小班，每人可得12塊；如果只分給中班和小班，每人只能分到4塊。如果這袋糖只分給中班，每人可分到幾塊？【例題5】全班同學(xué)去劃船，如果減少一條船，每條船正好坐9個(gè)同學(xué)；如果增加一條船，每條船正好坐6個(gè)同學(xué)。這個(gè)班有多少個(gè)同學(xué)？【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意可知：每船坐9人，就能減少一條船，也就是少9個(gè)同學(xué)；每船坐6人，就要增加一條船，也就是多出6個(gè)同學(xué)。因此，每船坐9人比每船坐6人可多坐9＋6=15人，15里面包含5個(gè)（9－6），說(shuō)明有5條船。知道了有5條船，就可以求全班人數(shù)：9×（5－1）=36人。練習(xí)5：1.老師把一籃蘋(píng)果分給小班的同學(xué)，如果減少一個(gè)同學(xué)，每個(gè)同學(xué)正好分得5個(gè)；如果增加一個(gè)同學(xué)，正好每人分得4個(gè)。這籃蘋(píng)果一共有多少個(gè)？2.五年級(jí)同學(xué)去劃船，如果增加一只船，正好每只船上坐7人；如果減少一只船，正好每只船上價(jià)8人。五年級(jí)共有多少人？3.一個(gè)旅游團(tuán)去旅館住宿，6人一間，多2個(gè)房間；若4人一間又少2個(gè)房間。旅游團(tuán)共有多少人？第13講長(zhǎng)方體和正方體（一）一、知識(shí)要點(diǎn)在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，有許多有關(guān)長(zhǎng)方體、正方體的問(wèn)題。解答稍復(fù)雜的立體圖形問(wèn)題要注意幾點(diǎn)：1.必須以基本概念和方法為基礎(chǔ)，同時(shí)把構(gòu)成幾何圖形的諸多條件溝通起來(lái)；2.依賴(lài)已經(jīng)積累的空間觀念，觀察經(jīng)過(guò)割、補(bǔ)后物體的表面積或體積所發(fā)生的變化；3.求一些不規(guī)則的物體體積時(shí)，可以通過(guò)變形的方法來(lái)解決。二、精講精練【例題1】一個(gè)零件形狀大小如下圖：算一算，它的體積是多少立方厘米？表面積是多少平方厘米？（單位：厘米）【思路導(dǎo)航】（1）可以把零件沿虛線分成兩部分來(lái)求它的體積，左邊的長(zhǎng)方體體積是10×4×2=80（立方厘米），右邊的長(zhǎng)方體的體積是10×（6－2）×2=80（立方厘米），整個(gè)零件的體積是80×2=160（立方厘米）；（2）求這個(gè)零件的表面積，看起來(lái)比較復(fù)雜，其實(shí)，朝上的兩個(gè)面的面積和正好與朝下的一個(gè)面的面積相等；朝右的兩個(gè)面的面積和正好與朝左的一個(gè)面的面積相等。因此，此零件的表面積就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。想一想：你還能用別的方法來(lái)計(jì)算它的體積嗎？練習(xí)1：1.一個(gè)長(zhǎng)5厘米，寬1厘米，高3厘米的長(zhǎng)方體，被切去一塊后（如圖），剩下部分的表面積和體積各是多少？2.把一根長(zhǎng)2米的長(zhǎng)方體木料鋸成1米長(zhǎng)的兩段，表面積增加了2平方分米，求這根木料原來(lái)的體積。3.有一個(gè)長(zhǎng)8厘米，寬1厘米，高3厘米的長(zhǎng)方體木塊，在它的左右兩角各切掉一個(gè)正方體（如圖），求切掉正方體后的表面積和體積各是多少？【例題2】有一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的零件，中間挖去一個(gè)正方體的孔（如圖），你能算出它的體積和表面積嗎？（單位：厘米）【思路導(dǎo)航】（1）先求出長(zhǎng)方體的體積，8×5×6=240（立方厘米），由于挖去了一個(gè)孔，所以體積減少了2×2×2=8（立方厘米），這個(gè)零件的體積是240－8=232（立方厘米）；（2）長(zhǎng)方體完整的表面積是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），但由于挖去了一個(gè)孔，它的表面積減少了一個(gè)（2×2）平方厘米的面，同時(shí)又增加了凹進(jìn)去的5個(gè)（2×2）平方厘米的面，因此，這個(gè)零件的表面積是236＋2×2×4=252（平方厘米）。練習(xí)2：1.有一個(gè)形狀如下圖的零件，求它的體積和表面積。（單位：厘米）。2.有一個(gè)棱長(zhǎng)是4厘米的正方體，從它的一個(gè)頂點(diǎn)處挖去一個(gè)棱長(zhǎng)是1厘米的正方體后，剩下物體的體積和表面積各是多少？3.如果把上題中挖下的小正方體粘在另一個(gè)面上（如圖），那么得到的物體的體積和表面積各是多少？【例題3】一個(gè)正方體和一個(gè)長(zhǎng)方體拼成了一個(gè)新的長(zhǎng)方體，拼成的長(zhǎng)方體的表面積比原來(lái)的長(zhǎng)方體的表面積增加了50平方厘米。原正方體的表面積是多少平方厘米？【思路導(dǎo)航】一個(gè)正方體和一個(gè)長(zhǎng)方體拼成新的長(zhǎng)方體，其表面積比原來(lái)的長(zhǎng)方體增加了4塊正方形的面積，每塊正方形的面積是50÷4=12.5（平方厘米）。正方體有6個(gè)這樣的面，所以，原來(lái)正方體的表面積是12.5×6=75（平方厘米）。練習(xí)3：1.把兩個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方體木塊粘成一個(gè)大長(zhǎng)方體，這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積比原來(lái)兩個(gè)長(zhǎng)方體的表面積的和減少了46平方厘米，而長(zhǎng)是原來(lái)長(zhǎng)方體的2倍。如果拼成的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是24厘米，那么它的體積是多少立方厘米？2.一根長(zhǎng)80厘米，寬和高都是12厘米的長(zhǎng)方體鋼材，從鋼材的一端鋸下一個(gè)最大的正方體后，它的表面積減少了多少平方厘米？3.把4塊棱長(zhǎng)都是2分米的正方體粘成一個(gè)長(zhǎng)方體，它們的表面積最多會(huì)減少多少平方分米？【例題4】把11塊相同的長(zhǎng)方體磚拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體。已知每塊磚的體積是288立方厘米，求大長(zhǎng)方體的表面積?！舅悸穼?dǎo)航】要求大長(zhǎng)方體的表面積，必須知道它的長(zhǎng)、寬和高。我們用a、b、h分別表示小長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，顯然，a=4h，即h=1/4a,2a=3b即b=2/3a，磚的體積是a*2/3a*1/4a=1/6a3。由1/6a3=288可知，a=12.b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是12×2=24厘米，寬12厘米，高是8＋3=11厘米，表面積就不難求了。練習(xí)4：1.一塊小正方體的表面積是6平方厘米，那么，由1000個(gè)這樣的小正方體所組成的大正方體的表面積是多少平方厘米？2.一個(gè)長(zhǎng)方體的體積是385立方厘米，且長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，求這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積。3.有24個(gè)正方體，每個(gè)正方體的體積都是1立方厘米，用這些正方體可以拼成幾種不同的長(zhǎng)方體？用圖畫(huà)出來(lái)?！纠}5】一個(gè)長(zhǎng)方體，前面和上面的面積之和是209平方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高以厘為為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)。這個(gè)長(zhǎng)方體的體積和表面積各是多少？【思路導(dǎo)航】長(zhǎng)方體的前面和上面的面積是長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高=長(zhǎng)×（寬＋高），由于此長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高用厘米為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，所以有209=11×19=11×（17＋2），即長(zhǎng)、寬、高分別為11、17、2厘米。知道了長(zhǎng)、寬、高求體積和表面積就容易了。練習(xí)5：1.有一個(gè)長(zhǎng)方體，它的前面和上面的面積和是88平方厘米，且長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？2.一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高是三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，體積是96立方厘米，求它的表面積。3.一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)之長(zhǎng)相等，已知長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別是6分米、4分米、25分米，求正方體體積。第14講長(zhǎng)方體和正方體（二）一、知識(shí)要點(diǎn)在長(zhǎng)方體、正方體問(wèn)題中，我們還會(huì)常常遇到這樣一些情況：把一個(gè)物體變形為另一種形狀的物體；把兩個(gè)物體熔化后鑄成一個(gè)物體；把一個(gè)物體浸入水中，物體在水中會(huì)占領(lǐng)一部分的體積。解答上述問(wèn)題，必須掌握這樣幾點(diǎn)：1.將一個(gè)物體變形為另一種形狀的物體（不計(jì)損耗），體積不變；2.兩個(gè)物體熔化成一個(gè)物體后，新物體的體積是原來(lái)物體體積的和；3.物體浸入水中，排開(kāi)的水的體積等于物體的體積。二、精講精練【例題1】有兩個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體水箱，甲水箱里有水，乙水箱空著。從里面量，甲水箱長(zhǎng)40厘米，寬32厘米，水面高20厘米；乙水箱長(zhǎng)30厘米，寬24厘米，深25厘米。將甲水箱中部分水倒入乙水箱，使兩箱水面高度一樣，現(xiàn)在水面高多少厘米？【思路導(dǎo)航】由于后來(lái)兩個(gè)水箱里的水面的高度一樣，我們可以這樣思考：把兩個(gè)水箱并靠在一起，水的體積就是（甲水箱的底面積+乙水箱的底面）×水面的高度。這樣，我們只要先求出原來(lái)甲水箱中的體積：40×32×20=25600（立方厘米），再除以?xún)芍凰涞牡酌娣e和：40×32＋30×24=2000（平方厘米），就能得到后來(lái)水面的高度。練習(xí)1：1.有兩個(gè)水池，甲水池長(zhǎng)8分米、寬6分米、水深3分米，乙水池空著，它長(zhǎng)6分米、寬和高都是4分米。現(xiàn)在要從甲水池中抽一部分水到乙水池，使兩個(gè)水池中水面同樣高。問(wèn)水面高多少？2.有一個(gè)長(zhǎng)方體水箱，從面量長(zhǎng)40厘米、寬30厘米、深35厘米，箱中水面高10厘米。放進(jìn)一個(gè)棱長(zhǎng)20厘米的正方體鐵塊后，鐵塊頂面仍高于水面。這時(shí)水面高多少厘米？3.一段鋼材長(zhǎng)15分米，橫截面面積是1.2平方分米。如果把它煅燒成一橫截面面積是0.1平方分米的鋼筋，求這根據(jù)鋼筋的長(zhǎng)?！纠}2】將表面積分別為54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三個(gè)鐵質(zhì)正方體熔成一個(gè)大正方體（不計(jì)損耗），求這個(gè)大正方體的體積?！舅悸穼?dǎo)航】因?yàn)檎襟w的六個(gè)面都相等，而54=6×9=6×（3×3），所以這個(gè)正方體的棱是3厘米。用同樣的方法求出另兩個(gè)正方體的棱長(zhǎng)：96=6×（4×4），棱長(zhǎng)是4厘米；150=6×（5×5），棱長(zhǎng)是5厘米。知道了棱長(zhǎng)就可以分別算出它們的體積，這個(gè)大正方體的體積就等于它們的體積和。練習(xí)2：1.有三個(gè)正方體鐵塊，它們的表面積分別是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米?，F(xiàn)將三塊鐵熔成一個(gè)大正方體，