分離變量法課件_第1頁
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第二章分離變量法分離變量法是解偏微分方程定解問題最常用、最基本的方法。分離變量法的物理背景是波動現(xiàn)象，由于一維波動可用波函數(shù)表示，它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是時間函數(shù)和位置函數(shù)的乘積形式。波動方程的解是否具有變量分離形式的解（時、空分離）。分離變量法的基本思想是：利用變量分離形式的解，將求解偏微分方程的定解問題化為求解常微分方程的問題。分離變量法的核心是變量分離，因此，此方法要求方程和邊界條件都是齊次的。另外：使用分離變量法要根據(jù)求解域的形狀，選擇適當(dāng)坐標(biāo)系?！?.1分離變量先考察齊次方程的分離變量。任何二階線性常系數(shù)齊次方程（含兩個自變量）總可以化為標(biāo)準(zhǔn)形式且知A=-B雙曲型A=0或B=0拋物型A=B橢圓形設(shè)（2.1.1）解的形式為：代入方程(2.1.1)兩端同除以X(x)Y(y),得可以看出，方程中變量已被分離。左邊僅是x的函數(shù)，右邊僅是y的函數(shù)，因此，要相等必為常數(shù)，記為，從而得到兩個常微分方程：可見齊次偏微分方程經(jīng)變量分離可化為兩個常微分方程。任何二階線性常系數(shù)齊次方程（含兩個變量）都可以分離變量。

再考察齊次邊界條件的變量分離，對于一維空間內(nèi)，常見的齊次邊界條件為

其中表示邊界點(diǎn)a或b。假設(shè)解為若給定邊界條件為由于有

欲求非零解u，只需，得X(x

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