高等幾何58511節(jié)課件

16四月2024高等幾何58511節(jié)提綱5.8射影變換的特例5.9變換群5.10變換群的例證5.11變換群與幾何學(xué)第五章總結(jié)2這一節(jié)我們把運(yùn)動(dòng)變換以及第一章所講的仿射變換，看作射影變換的特例。為此，把坐標(biāo)三角形第三個(gè)頂點(diǎn)A3取作仿射或笛氏坐標(biāo)的原點(diǎn)，第三邊a3(x3=0)取為無(wú)窮遠(yuǎn)線。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)變換T加以限制，使無(wú)窮遠(yuǎn)線不變，得到仿射變換；再限制無(wú)窮遠(yuǎn)線上的兩個(gè)圓點(diǎn)I(1,i,0),J（1，-i,0）在T下不變而得到相似變換，最后通過(guò)令變換矩陣的行列式的絕對(duì)值為1，得到運(yùn)動(dòng)（變換）。5.8射影變換的特例一、本節(jié)的主要內(nèi)容：35.8射影變換的特例二、射影變換的特例

定義在拓廣的歐氏平面上，保持無(wú)窮遠(yuǎn)直線不變的射影變換稱為仿射變換.命射影變換保持l∞：x3=0不變

a31=a32=0.則得：1.仿射變換45.8射影變換的特例這正是第一章中介紹過(guò)的仿射變換，因此，仿射變換是射影變換的一種，它使無(wú)窮遠(yuǎn)直線不變。它將有限點(diǎn)變?yōu)橛邢撄c(diǎn)，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)變?yōu)闊o(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。二、射影變換的特例1.仿射變換55.8射影變換的特例二、射影變換的特例2.相似變換限制T滿足：I(1,i,0)→I；J（1，-i,0）→J,則得將T2用非齊次坐標(biāo)表示，得：65.8射影變換的特例二、射影變換的特例2.相似變換將T2用非齊次坐標(biāo)表示，得：上式在正交笛卡爾坐標(biāo)系表示一個(gè)正相似變換。75.8射影變換的特例二、射影變換的特例2.相似變換若設(shè)兩點(diǎn)（x1,y1）,(x2,y2)間的距離為d,而映像點(diǎn)（x’1,y’1）,(x’2,y’2)間的距離為d’，則有上式說(shuō)明，經(jīng)過(guò)正相似變換(2’),所有的距離按定常數(shù)r放大或縮小，圖形變換為相似形，因而角度保留不變，r稱為相似比。85.8射影變換的特例二、射影變換的特例2.相似變換若限制T滿足：I(1,i,0)→J；J（1，-i,0）→I,則得

(2＊)式稱為反相似變換（參看教材習(xí)題5.19），它是正相似變換T2與關(guān)于X軸的反射（x’=x，y’=-y）的乘積，(2＊)式改變了圖形的轉(zhuǎn)向，因而稱為反相似變換。9在正相似變換：5.8射影變換的特例二、射影變換的特例3.正交變換中命r=1,則(2’),(2＊)分別成為：10（3）式稱為運(yùn)動(dòng)，（3’）式是運(yùn)動(dòng)與反射之積，它改變圖形的轉(zhuǎn)向；兩者合稱為正交變換（（3）式在高等代數(shù)中稱為第一類正交變換；（3’）式稱為第二類正交變換

）有時(shí)也稱為合同變換.5.8射影變換的特例二、射影變換的特例3.正交變換正交變換具有性質(zhì)：①線段變成等長(zhǎng)的線段；②單位向量變成單位向量；③直角坐標(biāo)系變成直角坐標(biāo)系；④矩形變?yōu)榫匦?。換言之，正交變換具有保距性、保角性，運(yùn)動(dòng)不改變圖形的轉(zhuǎn)向，第二類正交變換則改變圖形的轉(zhuǎn)向。11設(shè)G是一個(gè)非空集合，*是它的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，如果滿足以下條件：

Ⅰ.結(jié)合律成立，即對(duì)G中任意元素a,b,c都有(a*b)*c=a*(b*c)；

Ⅱ.G中有元素e，叫做G的左單位元，它對(duì)G中每個(gè)元素a都有e*a=a；

Ⅲ.對(duì)G中每個(gè)元素a在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1*a=e；

則稱G對(duì)代數(shù)運(yùn)算*做成一個(gè)群，記為<G;*>。5.9變換群一、群的概念12定理：一個(gè)集合S的所有一一變換（單射）的集合，對(duì)變換的乘法構(gòu)成群，稱為變換群.(證明參看教材P.99).對(duì)于所考慮的空間內(nèi)每一個(gè)映像點(diǎn)A’，只有一個(gè)原像點(diǎn)A和它對(duì)應(yīng)，這種變換稱為一對(duì)一的變換或可逆變換.凡可逆變換一定具有一個(gè)逆變換.以T-1表示T的逆變換，則T（A）=A’,T-1(A’)=A幺變換或恒同變換將每一點(diǎn)變?yōu)槠渥陨?，以I表示.從定義可得，IT=T,TI=T,T-1T=I,TT-1=I.5.9變換群二、變換群13定義5.1：滿足下列兩個(gè)條件的集合稱為變換群：1°封閉性：集合內(nèi)任兩個(gè)變換之積仍屬于這個(gè)集合；2°集合內(nèi)任一變換有逆變換，且逆變換仍屬于這個(gè)集合。

這個(gè)關(guān)于變換群的定義和代數(shù)里抽象群的定義并無(wú)不合.因?yàn)樽儞Q之積總是滿足結(jié)合律的，所以抽象群定義的這一要求不必提出。并且每一變換T既要求有逆變換，且要求它屬于集合，則乘積也就在集合內(nèi)，所以抽象群定義中的單位元此地也不必提出.5.9變換群二、變換群14一、概念

一切射影變換構(gòu)成一個(gè)群，稱為射影變換群.5.10變換群的例證設(shè)在一切射影變換所構(gòu)成的集合里任取一個(gè)變換T1，使點(diǎn)x變?yōu)辄c(diǎn)x’：再在集合里任取一個(gè)變換T2，使點(diǎn)x變?yōu)辄c(diǎn)x”：15一、概念5.10變換群的例證那么T1與T2之積T1T2就將點(diǎn)x變?yōu)閤’：它的形式是：且由矩陣乘法規(guī)律16一、概念5.10變換群的例證且由矩陣乘法規(guī)律17一、概念5.10變換群的例證同樣仿射變換的集合構(gòu)成群，稱為仿射變換群；5.8節(jié)的相似變換（3）和（3’）合在一起構(gòu)成相似群；運(yùn)動(dòng)變換的集合18（1）射影群<k;＊>.<k;＊>.={T1|T1:x’=|aij|≠0}.二、常見(jiàn)的變換群5.10變換群的例證19二、常見(jiàn)的變換群5.10變換群的例證20二、常見(jiàn)的變換群5.10變換群的例證21一、Klein變換群觀點(diǎn)對(duì)于一個(gè)給定的空間S，研究圖形關(guān)于群G(G為S上的一切變換的集合)的不變性質(zhì)、不變量及關(guān)于圖形的分類稱為空間S上群G附屬的幾何學(xué).

5.11變換群與幾何學(xué)1872年克萊茵在德國(guó)的愛(ài)耳蘭根大學(xué)宣讀了現(xiàn)在人們稱為“愛(ài)耳蘭根綱領(lǐng)”的演說(shuō)《近世幾何學(xué)研究的比較評(píng)論》，在這篇文章中他總結(jié)了射影、仿射以及其它幾何的發(fā)展結(jié)果，明確地表述了構(gòu)成這些幾何的普遍原則，那就是：22一、Klein變換群觀點(diǎn)

可以考慮空間一一變換的任何一個(gè)群，而且研究在這個(gè)群的一切變換下保留不變的圖形性質(zhì)。因此，運(yùn)動(dòng)群下圖形的不變性質(zhì)的研究構(gòu)成歐氏幾何；仿射群下圖形的不變性質(zhì)的研究構(gòu)成仿射幾何；射影群下圖形的不變性質(zhì)的研究構(gòu)成射影幾何。5.11變換群與幾何學(xué)意義：（1）Klein變換群觀點(diǎn)使各種幾何學(xué)化成統(tǒng)一的形式，同時(shí)又明確了各種幾何學(xué)所研究的對(duì)象。（2）它給出了建立抽象空間所對(duì)應(yīng)幾何學(xué)的一種方法，對(duì)以后的幾何發(fā)展起到了指導(dǎo)性的作用。23射影幾何仿射幾何相似幾何歐氏幾何變換群之間的關(guān)系5.11變換群與幾何學(xué)二、三種幾何學(xué)的關(guān)系與比較<k;＊><A;＊><S;＊><M;＊>絕對(duì)子幾何關(guān)系相對(duì)子幾何關(guān)系241.射影幾何學(xué)空間射影平面P變換群射影變換群K研究?jī)?nèi)容圖形在射影變換下的不變性質(zhì)和數(shù)量結(jié)合性，同素性交比注：其余所有射影不變性均可由上述基本的射影不變性演繹.5.11變換群與幾何學(xué)二、三種幾何學(xué)的關(guān)系與比較252.仿射幾何學(xué)空間仿射平面P變換群仿射變換群A研究?jī)?nèi)容圖形在仿射變換下的不變性質(zhì)和數(shù)量仿射幾何學(xué)5.11變換群與幾何學(xué)二、三種幾何學(xué)的關(guān)系與比較3.相似幾何學(xué)空間歐氏平面P變換群相似變換群S研究?jī)?nèi)容圖形在相似變換下的不變性質(zhì)和數(shù)量相似幾何學(xué)注：最重要的仿射性是平行性；最重要的仿射量是簡(jiǎn)比.26注2：因?yàn)榉律渥儞Q群是射影變換群的子群,所以射影不變性必定也是仿射不變的.從而仿射幾何的研究?jī)?nèi)容必定包括射影幾何的研究?jī)?nèi)容。5.11變換群與幾何學(xué)二、三種幾何學(xué)的關(guān)系與比較4.歐氏幾何學(xué)空間歐氏平面P變換群正交變換群M研究?jī)?nèi)容圖形在歐氏變換下的不變性質(zhì)和數(shù)量歐氏幾何學(xué)注1：通常不區(qū)分相似幾何與歐氏幾何，統(tǒng)稱為歐氏幾何。27注3：因?yàn)檎蛔儞Q群是仿射變換群的子群,所以仿射不變性必定也是正交不變的.從而歐氏幾何的研究?jī)?nèi)容必定包括仿射幾何的研究?jī)?nèi)容.注4：距離和角度是最基本的正交不變性.由此,一切剛體性質(zhì)都是歐氏幾何的研究對(duì)象.結(jié)論：雖然原幾何學(xué)包含子幾何學(xué)，但是子幾何學(xué)的研究?jī)?nèi)容卻比原幾何學(xué)豐富.5.11變換群與幾何學(xué)二、三種幾何學(xué)的關(guān)系與比較28第五章總結(jié)1.射影坐標(biāo)系一維射影坐標(biāo)系及其特例二維射影坐標(biāo)系及其特例坐標(biāo)變換式：一、本章主要內(nèi)容29第五章總結(jié)變換表達(dá)式：點(diǎn)到點(diǎn)的→線到線的2.二維射影變換一、本章主要內(nèi)容30第五章總結(jié)變換表達(dá)式：點(diǎn)到點(diǎn)的→線到線的2.二維射影變換一、本章主要內(nèi)容注：射影變換是將坐標(biāo)變換式改變解釋而得到；線到線的射影變換是點(diǎn)到點(diǎn)的射影變換誘導(dǎo)出來(lái)的。31第五章總結(jié)一、本章主要內(nèi)容射影變換的確定（二維射影幾何基本定理）：2.二維射影變換無(wú)三點(diǎn)共線的四對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)決定唯一的二維射影變換。二重元素的求法步驟：①由特征方程|A-λE|=0,求出特征根;②將每一個(gè)特征根λ分別代入方程組(A-λE)x=0，求出固定點(diǎn)的坐標(biāo)；③將每一個(gè)特征根λ分別代入方程組(A’-λE)u=0，求出固定線的坐標(biāo).32變換群3.變換群與幾何學(xué)→克萊因觀點(diǎn)及其意義第五章總結(jié)一、本章主要內(nèi)容一個(gè)集合S的所有一一變換（單射）的集合，對(duì)變換的乘法構(gòu)成群，稱為變換群。

常見(jiàn)的變換群有射影群K，仿射群A，相似群S，正交群M.

此外，關(guān)于直線的對(duì)稱變換的集合不構(gòu)成群，而關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱變換的集合構(gòu)成變換群。（參看習(xí)題5.25）2.二維射影變換33注：用不過(guò)線束束心的任一直線截線束，則線束的交比轉(zhuǎn)化為點(diǎn)列的交比。1.射影幾何學(xué)二、三種幾何學(xué)的特點(diǎn)與比較第五章總結(jié)

定義.設(shè)A,B,C,D為點(diǎn)列l(wèi)(P)中四點(diǎn),且A

≠

B.把(AB,CD)表示為這共線四點(diǎn)構(gòu)成的一個(gè)交比.定義為同素性、結(jié)合性是最基本的射影不變性，交比是最基本的射影不變量.射影幾何是射影變換群下圖形不變性質(zhì)的研究。342.仿射幾何學(xué)定義設(shè)P1,P2為普通直線上的兩個(gè)相異的普通點(diǎn),P為該直線上任一普通點(diǎn).定義為P1,P2,P的簡(jiǎn)比.稱P1,P2為基點(diǎn),P為分點(diǎn).注：簡(jiǎn)比與解析幾何中的定比分割相差一個(gè)符號(hào).二、三種幾何學(xué)的特點(diǎn)與比較第五章總結(jié)35仿射幾何就是仿射群下圖形不變性質(zhì)的研究。二、三種幾何學(xué)的特點(diǎn)與比較第五章總結(jié)2.仿射幾何學(xué)簡(jiǎn)比是最基本的仿射不變量；無(wú)窮遠(yuǎn)直線是最基本的仿射圖形。仿射不變性平行性簡(jiǎn)比平行線段的比,兩三角形面積之比,線段的中點(diǎn),三角形的重心,梯形,平行四邊形,……由(P1P2P)=(P1P2,PP∞)立即可見(jiàn)：363.歐氏幾何學(xué)定理