高中數(shù)學第三章三角恒等變換3 3幾個三角恒等式教案蘇教版必修4

3．3幾個三角恒等式eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設(shè)計))教學分析本節(jié)主要內(nèi)容為利用已有的公式進行推導發(fā)現(xiàn)．本節(jié)的編寫意圖與特色是教師引導學生發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造，從而加深理解變換思想，提高學生的推理能力．三角恒等變換所涉及的問題各種各樣，內(nèi)容十分豐富，我們希望能總結(jié)出一些有規(guī)律性的數(shù)學思想、方法和技巧，提高對三角變換的理性認識．科學發(fā)現(xiàn)是從問題開始的，沒有問題就不可能有深入細致的觀察．為了讓學生經(jīng)歷一個完整的探索發(fā)現(xiàn)過程，教科書從三角函數(shù)運算的角度提出了研究課題．這是從數(shù)學知識體系的內(nèi)部發(fā)展需要提出問題的方法．用這種方法提出問題可以更好地揭示知識間的內(nèi)在聯(lián)系，體會推理論證和邏輯思維在數(shù)學發(fā)現(xiàn)活動中的作用．從運算的角度提出問題，還可以幫助學生認識到三角變換也是一種運算，豐富對運算的認識，從而把對三角變換的研究納入整體的數(shù)學體系之中．類比對數(shù)運算，由兩角和與差的正弦公式易推出積化和差公式．在推導出了公式sinα＋sinβ＝2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)以后，可以讓學生推導其余的和差化積及積化和差公式．本節(jié)后面的練習中之所以用證明的形式給出這個問題，只是為了讓學生有一個正確完整的結(jié)論．和差化積、積化和差、萬能代換以及半角公式都不要求記憶和運用，要注意不應(yīng)該加大三角變換的難度，不要在三角變換中“深挖洞”．高考在該部分內(nèi)容上的難度一降再降幾乎不涉及了．三維目標1．通過類比推導出積化和差與和差化積公式及萬能公式．體會化歸、換元、方程、逆向使用公式等數(shù)學思想，提高學生的推理能力．體會三角恒等變換在數(shù)學中的應(yīng)用．2．通過和差化積公式和積化和差公式的推導，讓學生經(jīng)歷數(shù)學探索和發(fā)現(xiàn)過程，激發(fā)學生數(shù)學發(fā)現(xiàn)的欲望和信心．重點難點教學重點：推導積化和差、和差化積公式．教學難點：認識三角變換的特點，并能運用數(shù)學思想方法指導變換過程的設(shè)計，不斷提高從整體上把握變換過程的能力．課時安排1課時eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學過程))導入新課思路1.(復習導入)在前面的幾節(jié)課中我們學習了兩角和與差的三角函數(shù)的計算公式，并運用這些公式解決了一些三角函數(shù)的化簡、求值以及三角恒等式的證明問題，在我們運用三角函數(shù)知識解決一些問題的時候，我們也會遇到形如sinα＋sinβ，sinα－sinβ，cosα＋cosβ，cosα－cosβ的形式，那么，我們能否運用角α、β的有關(guān)三角函數(shù)值表示它們呢？這就是我們本節(jié)課所要研究的問題．思路2.(類比導入)我們知道logam＋logan＝loga(mn)，那么sinα＋sinβ等于什么呢？推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))和差化積公式的推導、萬能公式的應(yīng)用．在引入對數(shù)概念以后，我們還研究了它的運算，并得到了一些重要的結(jié)論，如logam＋logan＝loga(mn)．同樣，在定義了三角函數(shù)以后，我們也應(yīng)該考慮它的運算，如sinα＋sinβ＝？觀察和角公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，容易得到sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ.①由此，有sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．①的左邊已經(jīng)是兩個正弦的和，因此，只要進行簡單的變形，就可以回答sinα＋sinβ＝？這個問題了．令α＋β＝θ，α－β＝φ，代入①得sinθ＋sinφ＝2sineq\f(θ＋φ,2)coseq\f(θ－φ,2)，從而有sinα＋sinβ＝2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2).②為了更好地發(fā)揮本例的訓練功能，把兩個三角式結(jié)構(gòu)形式上的不同點作為思考的出發(fā)點，引導學生思考，哪些公式包含sinαcosβ呢？想到sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.從方程角度看這個等式，sinαcosβ，cosαsinβ分別看成兩個未知數(shù)．二元方程要求得確定解，必須有兩個方程，這就促使學生考慮還有沒有其他包含sinαcosβ的公式，列出sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ后，解相應(yīng)地以sinαcosβ，cosαsinβ為未知數(shù)的二元一次方程組，就容易得到所需要的結(jié)果．得到以和的形式表示的積的形式后，解決它的反問題，即用積的形式表示和的形式，在思路和方法上都與前者沒有什么區(qū)別．只需做個變換，令α＋β＝θ，α－β＝φ，則α＝eq\f(θ＋φ,2)，β＝eq\f(θ－φ,2)，代入①式即得②式．證明：(1)因為sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，將以上兩式的左右兩邊分別相加，得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，即sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．(2)由(1)可得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ.①設(shè)α＋β＝θ，α－β＝φ，那么α＝eq\f(θ＋φ,2)，β＝eq\f(θ－φ,2).把α、β的值代入①，即得sinθ＋sinφ＝2sineq\f(θ＋φ,2)coseq\f(θ－φ,2).類似的還能得到sinα－sinβ＝2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)，cosα＋cosβ＝2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)，cosα－cosβ＝－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2).以上四個公式我們稱其為和差化積公式．教師給學生適時引導，指出這兩個方程所用到的數(shù)學思想，可以總結(jié)出在本例的證明過程中，用到了換元的思想，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，從而把包含α，β的三角函數(shù)式變換成θ，φ的三角函數(shù)式．另外，把sinαcosβ看作x，cosαsinβ看作y，把等式看作x，y的方程，通過解方程求得x，這就是方程思想的體現(xiàn)．利用前面所學的三角函數(shù)公式還能推出很多有用的恒等式，我們先來探究一個具體問題．設(shè)taneq\f(α,2)＝t.(1)求證：sinα＝eq\f(2t,1＋t2)，cosα＝eq\f(1－t2,1＋t2)，tanα＝eq\f(2t,1－t2)；①(2)當t＝2時，利用以上結(jié)果求3cos2eq\f(α,2)－2sinα＋sin2eq\f(α,2)的值．(1)證明：由二倍角公式，得sinα＝2sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝eq\f(2sin\f(α,2)cos\f(α,2),cos2\f(α,2)＋sin2\f(α,2))＝eq\f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))＝eq\f(2t,1＋t2)，tanα＝eq\f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq\f(2t,1－t2).再由同角三角函數(shù)間的關(guān)系，得cosα＝eq\f(sinα,tanα)＝eq\f(\f(2t,1＋t2),\f(2t,1－t2))＝eq\f(1－t2,1＋t2).(2)解：3cos2eq\f(α,2)－2sinα＋sin2eq\f(α,2)＝2cos2eq\f(α,2)＋1－2sinα＝2＋cosα－2sinα＝2＋eq\f(1－t2,1＋t2)－eq\f(4t,1＋t2)＝eq\f(3＋t2－4t,1＋t2)＝－eq\f(1,5).公式①稱為萬能代換公式，利用萬能代換公式，可以用taneq\f(α,2)的有理式統(tǒng)一表示α角的任何三角函數(shù)值．圖1中的直角三角形可以幫助你更好地理解萬能代換公式．圖1eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))思路1例1已知sinx－cosx＝eq\f(1,2)，求sin3x－cos3x的值．活動：教師引導學生利用立方差公式進行對公式變換化簡，然后再求解．由于(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3＝a3－b3－3ab(a－b)，∴a3－b3＝(a－b)3＋3ab(a－b)．解完此題后，教師引導學生深挖本例的思想方法，由于sinxcosx與sinx±cosx之間的轉(zhuǎn)化，提升學生的運算、化簡能力及整體代換思想．本題也可直接應(yīng)用上述公式求解，即sin3x－cos3x＝(sinx－cosx)3＋3sinxcosx(sinx－cosx)＝eq\f(11,16).此方法往往適用于sin3x±cos3x的化簡問題．解：由sinx－cosx＝eq\f(1,2)，得(sinx－cosx)2＝eq\f(1,4)，即1－2sinxcosx＝eq\f(1,4)，∴sinxcosx＝eq\f(3,8).∴sin3x－cos3x＝(sinx－cosx)(sin2x＋sinxcosx＋cos2x)＝eq\f(1,2)(1＋eq\f(3,8))＝eq\f(11,16).點評：本題考查的是公式的變形、化簡、求值，注意公式的靈活運用和化簡的方法.變式訓練已知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，且eq\f(π,2)≤θ≤eq\f(3π,4)，則cos2θ的值是__________．答案：－eq\f(7,25)例2已知eq\f(cos4A,cos2B)＋eq\f(sin4A,sin2B)＝1，求證：eq\f(cos4B,cos2A)＋eq\f(sin4B,sin2A)＝1.活動：此題可從多個角度進行探究，由于所給的條件等式與所要證明的等式形式一致，只是將A、B的位置互換了，因此應(yīng)從所給的條件等式入手，而條件等式中含有A、B角的正、余弦，可利用平方關(guān)系來減少函數(shù)的種類．從結(jié)構(gòu)上看，已知條件是a2＋b2＝1的形式，可利用三角代換．證法一：∵eq\f(cos4A,cos2B)＋eq\f(sin4A,sin2B)＝1，∴cos4Asin2B＋sin4Acos2B＝sin2Bcos2B.∴cos4A(1－cos2B)＋sin4Acos2B＝(1－cos2B)cos2B，即cos4A－cos2B(cos4A－sin4A)＝cos2B－cos4B.∴cos4A－2cos2Acos2B＋cos4B＝0.∴(cos2A－cos2B)2＝0.∴cos2A＝cos2B.∴sin2A＝sin2B.∴eq\f(cos4B,cos2A)＋eq\f(sin4B,sin2A)＝cos2B＋sin2B＝1.證法二：令eq\f(cos2A,cosB)＝cosα，eq\f(sin2A,sinB)＝sinα，則cos2A＝cosBcosα，sin2A＝sinBsinα.兩式相加得1＝cosBcosα＋sinBsinα，即cos(B－α)＝1.∴B－α＝2kπ(k∈Z)，即B＝2kπ＋α(k∈Z)．∴cosα＝cosB，sinα＝sinB.∴cos2A＝cosBcosα＝cos2B，sin2A＝sinBsinα＝sin2B.∴eq\f(cos4B,cos2A)＋eq\f(sin4B,sin2A)＝eq\f(cos4B,cos2B)＋eq\f(sin4B,sin2B)＝cos2B＋sin2B＝1.點評：要善于從不同的角度來觀察問題，本例從角與函數(shù)的種類兩方面觀察，利用平方關(guān)系進行了合理消元．思路2例題證明eq\f(1＋sinx,cosx)＝tan(eq\f(π,4)＋eq\f(x,2))．活動：教師引導學生思考，對于三角恒等式的證明，可從三個角度進行推導：①左邊→右邊；②右邊→左邊；③左邊→中間條件←右邊．教師可以鼓勵學生試著多角度的化簡推導．注意式子左邊包含的角為x，三角函數(shù)的種類為正弦，余弦，右邊是半角eq\f(x,2)，三角函數(shù)的種類為正切．證法一：從右邊入手，切化弦，得tan(eq\f(π,4)＋eq\f(x,2))＝eq\f(sin\f(π,4)＋\f(x,2),cos\f(π,4)＋\f(x,2))＝eq\f(sin\f(π,4)cos\f(x,2)＋cos\f(π,4)sin\f(x,2),cos\f(π,4)cos\f(x,2)－sin\f(π,4)sin\f(x,2))＝eq\f(cos\f(x,2)＋sin\f(x,2),cos\f(x,2)－sin\f(x,2))，由左右兩邊的角之間的關(guān)系，想到分子分母同乘以coseq\f(x,2)＋sineq\f(x,2)，得eq\f(cos\f(x,2)＋sin\f(x,2)2,cos\f(x,2)＋sin\f(x,2)cos\f(x,2)－sin\f(x,2))＝eq\f(1＋sinx,cosx).證法二：從左邊入手，分子分母運用二倍角公式的變形，降倍升冪，得eq\f(1＋sinx,cosx)＝eq\f(cos\f(x,2)＋sin\f(x,2)2,cos\f(x,2)＋sin\f(x,2)cos\f(x,2)－sin\f(x,2))＝eq\f(cos\f(x,2)＋sin\f(x,2),cos\f(x,2)－sin\f(x,2)).由兩邊三角函數(shù)的種類差異，想到弦化切，即分子分母同除以coseq\f(x,2)，得eq\f(1＋tan\f(x,2),1－tan\f(x,2))＝eq\f(tan\f(π,4)＋tan\f(x,2),1－tan\f(π,4)tan\f(x,2))＝tan(eq\f(π,4)＋eq\f(x,2))．點評：本題考查的是半角公式的靈活運用，以及恒等式的證明所要注意的步驟與方法.變式訓練求證：eq\f(1＋sin4θ－cos4θ,2tanθ)＝eq\f(1＋sin4θ＋cos4θ,1－tan2θ).分析：運用比例的基本性質(zhì)，可以發(fā)現(xiàn)原式等價于eq\f(1＋sin4θ－cos4θ,1＋sin4θ＋cos4θ)＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)，此式右邊就是tan2θ.證明：原等式等價于eq\f(1＋sin4θ－cos4θ,1＋sin4θ＋cos4θ)＝tan2θ.而上式左邊＝eq\f(sin4θ＋1－cos4θ,sin4θ＋1＋cos4θ)＝eq\f(2sin2θcos2θ＋2sin22θ,2sin2θcos2θ＋2cos22θ)＝eq\f(2sin2θcos2θ＋sin2θ,2cos2θsin2θ＋cos2θ)＝tan2θ＝右邊．∴上式成立，即原等式得證.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓練))1．若sinα＝eq\f(5,13)，α在第二象限，則taneq\f(α,2)的值為()A．5B．－5C.eq\f(1,5)D．－eq\f(1,5)2．設(shè)5π<θ<6π，coseq\f(θ,2)＝a，則sineq\f(θ,4)等于()A.eq\r(\f(1＋a,2))B.eq\r(\f(1－a,2))C．－eq\r(\f(1＋a,2))D．－eq\r(\f(1－a,2))3．已知sinθ＝－eq\f(3,5)，3π<θ<eq\f(7π,2)，則taneq\f(θ,2)＝__________.答案：1．A2.D3.－3eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))1．先讓學生自己回顧本節(jié)學習的數(shù)學知識：和、差、倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用，半角公式、代數(shù)式變換與三角變換的區(qū)別與聯(lián)系．積化和差與和差化積公式及其推導，三角恒等式與條件等式的證明．2．教師畫龍點睛：本節(jié)學習的數(shù)學方法：公式的使用，換元法，方程思想，等價轉(zhuǎn)化，三角恒等變形的基本手段．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)))課本復習題9、10.eq\o(\s\up7(),\s\do5(設(shè)計感想))1．本節(jié)主要學習了怎樣推導半角公式，積化和差，和差化積公式，在解題過程中，應(yīng)注意對三角式的結(jié)構(gòu)進行分析，根據(jù)結(jié)構(gòu)特點選擇合適公式，進行公式變形．還要思考一題多解、一題多變，并體會其中的一些數(shù)學思想，如換元、方程思想，“1”的代換，逆用公式等．2．在近幾年的高考中，對三角變換的考查仍以基本公式的應(yīng)用為主，突出對求值的考查．特別是對平方關(guān)系及和角公式的考查應(yīng)引起重視，其中遇到對符號的判斷是經(jīng)常出問題的地方，同時要注意結(jié)合誘導公式的應(yīng)用．eq\o(\s\up7(),\s\do5(備課資料))一、1.一道給值求角類問題錯解點擊．解決給值求角這類問題時，要注意根據(jù)問題給出的三角函數(shù)值及角的范圍，選擇適當?shù)娜呛瘮?shù)，確定所求角的恰當范圍，利用函數(shù)值在此范圍內(nèi)的單調(diào)性求出所求角．解答此類問題一定要重視角的范圍對三角函數(shù)值的制約關(guān)系，常見的錯誤為不根據(jù)已知條件確定角的范圍而盲目求值，造成增解．例題：若sinα＝eq\f(\r(5),5)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，α、β均為銳角，求α＋β的值．錯解：∵α為銳角，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(2\r(5),5).又β為銳角，∴cosβ＝eq\r(1－sin2β)＝eq\f(3\r(10),10).∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(\r(2),2).∵α，β均為銳角，∴0°<α＋β<180°.∴α＋β＝45°或135°.點評：上述解法欠嚴密，僅由sin(α＋β)＝eq\f(\r(2),2)，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正確的．但題設(shè)中sinα＝eq\f(\r(5),5)<eq\f(1,2)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)<eq\f(1,2)，使得0°<α＋β<60°，故上述結(jié)論是錯誤的．事實上，由0°<α＋β<180°，應(yīng)選擇求cos(α＋β)＝eq\f(\r(2),2)(∵余弦函數(shù)在此范圍內(nèi)是單調(diào)的)，易求得cos(α＋β)＝eq\f(\r(2),2)，則α＋β＝45°，因此，解決給值求角這類問題一般分三步：第一步是確定角所在的范圍；第二步是求角的某一個三角函數(shù)值(要盡量使所選擇的三角函數(shù)在所確定的范圍內(nèi)單調(diào))；第三步是得到結(jié)論，求得所求角的值．2．如何進行三角恒等變式的證明．三角恒等式證明的基本方法：師：如何利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式對三角恒等式進行證明呢？(1)可從一邊開始，證得它等于另一邊，一般是由繁到簡．(2)可用左右歸一法，即證明左右兩邊都等于同一個式子．(3)可采用切割化弦，將其轉(zhuǎn)化為所熟知的正、余弦．(4)可用分析法，即假定結(jié)論成立，經(jīng)推理論證，找到一個顯然成立的式子(或已知條件)．(5)可用拼湊法，即針對題設(shè)與結(jié)論間的差異，有針對性地變形，以消除其差異，簡言之，即化異求同．(6)可采用比較法，即“eq\f(左邊,右邊)＝1”或“左邊－右邊＝0”．證明三角恒等式的實質(zhì)是消除等式兩邊的差異，就是有目的地進行化簡，因此，在證明時要注意將上述方法綜合起來考慮，要靈活運用公式，消除差異，其思維模式可歸納為三點：(1)發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)、運算結(jié)構(gòu)的差異；(2)尋求聯(lián)系：運用相關(guān)公式，找出轉(zhuǎn)化差異的聯(lián)系；(3)合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當?shù)墓?，實現(xiàn)差異的轉(zhuǎn)化．二、備用習題1．已知tanx＝－3，則sin2x＝________，cos2x＝________.2．已知tanα＝2，則cos2α等于()A．－eq\f(1,3)B．±eq\f(1,3)C．－eq\f(3,5)D．±eq\f(3,5)3．下列各式化成和差的形式分別是：(1)sin(eq\f(π,3)＋2x)cos(eq\f(π,3)－2x)；(2)coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2).4．設(shè)α、β≠kπ＋eq\