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文檔簡介
余弦定理引入
我們知道,一個(gè)三角形含有各種各樣的幾何量,比如:
三邊的邊長,三個(gè)內(nèi)角的度數(shù),三角形的面積等.
它們之間應(yīng)該是存在確定關(guān)系的,如
在直角三角形中,邊、角之間的定量關(guān)系就有勾股定理,銳角三角函數(shù)等.
在一般三角形中,我們?cè)ㄐ缘匮芯窟^三角形的邊角關(guān)系,并得到了判定三角形全等的一些方法,如SSS,SAS,ASA,AAS
這些判定方法表明:給定一個(gè)三角形三條邊、三個(gè)角這6個(gè)元素中的某些元素,這個(gè)三角形就能唯一確定.
那么三角形的其它元素與這些給定元素之間在數(shù)量上到底有著怎樣的關(guān)系呢,這就是這一部分內(nèi)容要研究的問題。
在全等三角形的判定中,有一種方法叫SAS(邊角邊),即一個(gè)三角形,只要給出了兩邊及其夾角,這個(gè)三角形就唯一確定了,也就是說,這個(gè)三角形的其它邊和角都可用給出的兩邊及其夾角計(jì)算出來.知識(shí)探究
幾何圖形到向量恰當(dāng)?shù)南蛄窟\(yùn)算向量到幾何關(guān)系返回余弦定理的內(nèi)容
三角形中,任何一邊的平方,等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍,即思考(3):
這些結(jié)論有何特點(diǎn),用自然語言該怎樣敘述?
問題2:
這你還有證明這個(gè)定理的其它思路嗎,能把它們現(xiàn)剛才的向量法比較一下嗎?返回
以CB
所在的直線為x
軸,過C點(diǎn)垂直于CB
的直線為y
軸,建立如圖所示的坐標(biāo)系,則有返回返回
這三種方法中,用向量法最為簡潔,將取兩邊對(duì)應(yīng)向量為基底,將另一邊表示出來,用數(shù)量積運(yùn)算即得結(jié)果;
用幾何法較為繁瑣,要涉及作垂線,需將分銳角、鈍角、直三種情況進(jìn)行討論,最后進(jìn)行整合.返回
思考(3):
由幾何法的證明過程,你能得出勾股定理和余弦定理的關(guān)系嗎?
勾股定理是余弦定理的特例(當(dāng)兩邊的夾角為直角時(shí)),
余弦定理是勾股定理的推廣(把兩邊的夾角由直角推廣到(0°,180°)內(nèi)的任意角)
問題3:
余弦定理解決了“已知三角兩邊和夾角,求第三邊的問題”.但我們已知了三角形的三邊,你能用余弦定理確定三個(gè)角的大小嗎?
思考(1):
你能用全等三角形的判定方法來解釋嗎?余弦定理的推論
SSS.
即三角形的三邊確定后,三個(gè)角的大小也是確定的.
思考(3):
請(qǐng)?jiān)倩仡櫼幌掠嘞叶ɡ淼南嚓P(guān)內(nèi)容?
思考(2):
請(qǐng)你能用自然語言來表述這個(gè)結(jié)論嗎?返回余弦定理
三角形中,任何一邊的平方,等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍,即推論:特例:勾股定理
思考(4):
三角形的三條邊,三個(gè)角叫三角形的元素.
已知三角形的一些元素,求其余元素的過程叫解三角形.你認(rèn)為余弦定理在解三角形時(shí)可以解決哪些類型的問題?①已知兩邊和夾角,求其它的邊和角;②已知三邊,求三個(gè)角.
三角形中,任何一
角的余弦,等于該角兩邊的平方和減去對(duì)邊的平方,與這兩邊乘積的兩倍的比值,即返回例析
思考(3):解三角形,一般是怎樣一個(gè)思路?
先作一個(gè)草圖,并標(biāo)出已知元素,
再結(jié)合定理,確定恰當(dāng)求解順序,
然后依次求余下的元素.返回
思考:若去掉題目中“銳角”二字,結(jié)果會(huì)怎樣?分兩種情況進(jìn)行討論:練習(xí)1.我們是怎樣由向量知識(shí)得到余弦定理?課堂小結(jié)
余弦定理還有哪些哪些推導(dǎo)方法?你更喜歡哪一種?坐標(biāo)法;幾何法.2.說說余弦定理是怎樣的?其推論是又是怎樣的?3.余弦定理可以直接解決解三角形
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