2022-2023學(xué)年內(nèi)蒙古呼倫貝爾市高二年級(jí)下冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2022-2023學(xué)年內(nèi)蒙古呼倫貝爾市高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)(理)

試題

一、單選題

1.命題“,>0,*>五”的否定是()

A.Vx>0,x<VxB.>0,x<\[x

C.Vx<0,x>\[xD.3x>0,x>\[x

【答案】B

【分析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定求解.

【詳解】解：因?yàn)槊}“近>0/>y”是全稱量詞命題，

所以其否定是存在量詞命題，即天>0,x4?,

故選：B

2.已知集合A={x|4x<l},fi={x|-3<6x<8},則Au8=()

A.]x\x<_fB.—<x<-rC.]x<—?D.\x—<x<—

II4jI24j13JI24

【答案】C

【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合4B,再利用并集的定義求解作答.

1144

【詳解】依題意，A={x\x<-},B={.r|--<x<-},所以A5={x|x<-}.

4233

故選：C

3.若函數(shù)f(x)=asinx+l的最大值為4,則函數(shù)g(x)=cos(or+l)的最小正周期為()

兀27r

A.2兀B.兀C.-D.—

23

【答案】D

【分析】由正弦函數(shù)的值域和/(X)的最大值求得“，再由余弦型函數(shù)的周期公式求g(x)的最小正周

期.

【詳解】由TWsinxG,函數(shù)〃x)=asinx+l的最大值為4,則〃=±3,

27r27r

函數(shù)g(x)=cos(ox+l)的最小正周期為7=詞=7.

故選：D

4.已知函數(shù)/（X）的導(dǎo)函數(shù)r（x）的圖象如圖所示，則/（X）的極大值點(diǎn)為（）

D.七

【答案】C

【分析】根據(jù)圖像，在（9，玉）和（0位）上f（x）單調(diào)遞增，在（毛，天）上“X）單調(diào)遞減，得到極大

值點(diǎn).

【詳解】根據(jù)圖像,在（F,%）和（馬,m）上用勾＞0,“X）單調(diào)遞增;

在（如天）上r（x）＜°，〃x）單調(diào)遞減，故f（x）的極大值點(diǎn)為小

故選：C

5.設(shè)JRC的內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為。，"c,若°=2夜,cosC=@,cosA=1,則。=（）

33

A.8B.瓜C.26D.石

【答案】B

【分析】根據(jù)平方和關(guān)系計(jì)算出sinC=亞,sinA=2區(qū),然后根據(jù)正弦定理求出。即可.

33

【詳解】在中，sinA>0,sinC>0,

因?yàn)閏osC=—,所以sinC=Jl—cos2c=—

33

因?yàn)閏osA=g,所以sinA=Jl-cos2A=竿.

根據(jù)正弦定理‘7；=可得。=竺華，

sinCsinAsinA

.「2夜x逅

「I-asinc3/7

又a=2^2，所以c=-；——=后一=〃.

sinA2j2

~v

故選：B.

6.退休后富養(yǎng)自己，不是讓自己無(wú)事可做，而是遵循內(nèi)心去做自己想做的事情，不論是鍛煉身體,

還是其他興趣愛(ài)好，以及幫扶子女，都要將日子過(guò)得有儀式感.某人即將退休，現(xiàn)對(duì)自己退休前后

的工資分配做了詳細(xì)的規(guī)劃，各類(lèi)費(fèi)用的占比如下面的條形圖和扇形圖所示.

退休前各類(lèi)費(fèi)用占比

S50

45

O.40

OS.35

S30

25

20

OS.15

10

OS.05

S0

儲(chǔ)蓄衣食住旅行其他類(lèi)別

下列說(shuō)法中一定正確的是（）

A.若他退休后每月的儲(chǔ)蓄金額等于退休前每月的儲(chǔ)蓄金額，則他退休后每月的工資和退休前每

月的工資相等

B.若他退休后每月旅行的費(fèi)用是退休前的3倍，則他退休后每月的工資和退休前每月的工資相

等

C.若他退休后每月的工資是退休前的：，則他退休后每月的其他費(fèi)用與退休前每月的其他費(fèi)用

相等

D.他退休前后每月的衣食住費(fèi)用相等

【答案】B

【分析】根據(jù)條形圖和扇形圖對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】設(shè)他退休前每月的工資為。，退休后每月的工資為6,

對(duì)于A,若0.3a=0.156,則b=2a,所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若0.150=0.05。x3,則b=a,所以B正確；

對(duì)于C,若力=：2a,則退休后其他費(fèi)用12為:=11所以C錯(cuò)誤；

34365

對(duì)于D,因?yàn)樗诵萸昂竺吭碌墓べY不一定相等，所以D錯(cuò)誤.

故選：B

7.利用反證法證明“若a+6v0,則。力至少有一個(gè)小于0"時(shí)，假設(shè)應(yīng)為（）

A.a力都小于0B.都不小于0

C.a,8至少有一個(gè)不小于0D.a,%至多有一個(gè)小于0

【答案】B

【分析】由反證法的定義即可選出答案.

【詳解】利用反證法證明，應(yīng)先假設(shè)結(jié)論不成立，即假設(shè)〃力都不小于0.

故選：B

8.從3名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選4人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的男同學(xué)不比女同學(xué)多的概率為（

A.-B.-C.-D.-

3555

【答案】B

【分析】用列舉法寫(xiě)出所有的情況，找出符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型公式代入計(jì)算概率即

可.

【詳解】記3名男同學(xué)分別為AB,C,記3名女同學(xué)分別為a,b,c,

任選4人共有（A民C,a）,（A3,C,c）,

（A,B,a,c）,（A,B,h,c）,（A,C,a,h）,

（AC,a,c）,（A,C,b,c）,（B,C,a,b）,（B,C,a,c）,

（B,C,b,c）,（AM,8C）,（B,a,b,c）,（C,a,b,c）,

共15種不同的情況，

而選中的男同學(xué)不比女同學(xué)多的有12種不同的情況，

124

所以選中的男同學(xué)不比女同學(xué)多的概率為

故選：B

JI1

9.如圖，在四棱錐尸—A3CD中，24,平面ABC。，ABCD,ZABC=-,AB=PA=-CD=1,

22

BC=2近，M為尸。的中點(diǎn)，則二面角M-BC-A的余弦值為（）

A3>/ioRVio「百n2石

a.D.ix.u.

101055

【答案】A

【分析】過(guò)A作4ELCD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為x,y,z軸建立空間直角

坐標(biāo)系，分別求得平面MBC的一個(gè)法向量為加=（x,y,z）和平面ABCD^J一個(gè)法向量為n=（0,0,1）,

設(shè)二面角M-BC-A為a,由cosa=kos("”|=求解.

【詳解】解：如圖所示：

過(guò)A作AEJ.Q),垂足為E,則。E=l,

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AE,AB,AP所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則8(0,1,0),C(2"l,0),以血,-；11.BC=(2A/2,0,0),

設(shè)平面M8C的法向量為，”=(x,y,z),

m-BC=2-Jl,x=0,

則《r31令y=i,得加=(0,1,3).

m-BM=>/2x——y+-z=0,'

.2-2

取平面ABC。的一個(gè)法向量為〃=(0,0,l),

設(shè)二面角M-BC-A為a,則cosafcos(〃?,〃，=普;

1'1網(wǎng)網(wǎng)1。

所以二面角M-8C-A的余弦值為亞.

10

故選：A

10.若把正整數(shù)按下圖所示的規(guī)律排序，則從2021到2023的箭頭方向依次為()

14f58f912

ItItIt-

2-*36f710->ll

A.1—?B.―>TC.T—?D.―

【答案】A

【分析】根據(jù)圖示排列得出箭頭方向的周期，即可根據(jù)周期得出答案.

【詳解】根據(jù)圖示排列可得，箭頭方向的周期為4,則從2021到2023對(duì)應(yīng)的方向?yàn)?到3的方向，，

則箭頭方向依次為

故選：A.

11.已知雙曲線C:三-4=lg>0)的左、右焦點(diǎn)分別是小鳥(niǎo)，過(guò)鳥(niǎo)的直線/與雙曲線C的右支交

16b~

于A8兩點(diǎn)，若AB6是等邊三角形，則雙曲線C的離心率是()

A.2B.石C.&D.百

【答案】D

【分析】根據(jù)雙曲線定義及正三角形ABF},可得利用雙曲線定義可求解c,從而求出

離心率.

【詳解】由題知雙曲線C的實(shí)半軸長(zhǎng)〃=4,虛半軸長(zhǎng)為方，設(shè)雙曲線C的焦距為2c.

如圖，直線AB與雙曲線C右支相交于48兩點(diǎn)，設(shè)|你|="，則|A用=|A閭+2o=〃z+8,

由，AB耳為等邊三角形，得忸耳|=|45|=|A周=〃?+8,可得忸用為筋|一|你|=8,

又由雙曲線的性質(zhì)知忸耳卜忸聞=|鉆|-忸閭="=8,故忸聞=|A聞,

所以片月,|AB|=|故|=|即|=16.

所以2c=|耳用=86，所以c=4g,e=?=6；

12.已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)〃x)滿足"1-x)=〃l+x),且當(dāng)xe[O,l]時(shí)，〃x)=x,若將方程

111

/(x)=log?+1|x|(n6N*)實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)記為4,，則+++=()

aC

2h〃2022a2023

2021「2022

A.----B.

80882023

「2021?、1011

C.——D.---

40444046

【答案】D

【分析】由題意可得f(x)的對(duì)稱軸為x=l,/(x)的周期為2,畫(huà)出〃x)的圖象，從而可得%=2〃,

利用裂項(xiàng)相消法可求解.

【詳解】因?yàn)椤?T)=/(1+X),所以/(X)的對(duì)稱軸為X=l.

因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以f(I)=/(xT=f(l+x),

所以〃x)=/(x+2),所以/(x)的周期為2,所以/(力的圖象如圖所示:

當(dāng)〃=1時(shí),方程/(X)=log2kl有2個(gè)實(shí)數(shù)解，所以4=2,

當(dāng)〃=2時(shí)，方程/'(x)=log3|x|有4個(gè)實(shí)數(shù)解，所以。2=4,

可知{4}是一個(gè)首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列，所以勺=2〃.

1

因?yàn)镴—

anatt+]+〃+1

所以」一+」一+」+」+

4a2。2a34223

1011

故H---------F-+

°2022〃20234046

a。。2a3

故選：D

二、填空題

13.已知“x>I”是“xNa”的充分非必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【答案】(-8,1]

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.

【詳解】因?yàn)椤皒>l”是“xNa”的充分不必要條件，.?.{x|x>l}U{x|x2a}

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(—1],

故答案為：(-8』

14.南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，忽略杯盞的厚度，這只杯盞的軸截面如圖2

所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時(shí)茶水的深度為3cm,則該拋物線的

焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

【答案】V

O

【分析】以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2=2py（p>0）,根據(jù)題意得到點(diǎn)的坐標(biāo)，代入求出參數(shù)P的值，即可得解.

【詳解】如圖，以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系，依題意可得A的坐

標(biāo)為（|，3）,

Q197

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=2分（夕>0）,則寧=6p,解得p=不

故該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2一7cm.

O

15.在平面內(nèi)，點(diǎn)，伍,又）到直線4+力+c=o的距離公式為"」隼+'為:q,通過(guò)類(lèi)比的方

法，可求得在空間中，點(diǎn)（1,-1,1）到平面x+y+z+2=0的距離為_(kāi).

【答案】G

【分析】通過(guò)類(lèi)比推理可知，空間中點(diǎn)（為,%,z°）到平面Ax+By+Cz+D=^的距離為

d=1Ax0+8）b：Czo：a，進(jìn)而代入求解即可.

VA2+B-+C1

\Ax0+By0+Cz0+D\

【詳解】類(lèi)比可得點(diǎn)P（M，%,z。）到平面Ax+By+Cz+O=0的距離公式為4=

yjA2+B2+C2

|1-1+1+2|

所以至IJ平面x+y+z+2=0的距離d

Vi+1+1

故答案為：厲.

16.已知函數(shù)則在卜3,2］上的最大值為

【答案】21

【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)判斷出單調(diào)性，比較極大值與端點(diǎn)值的大小，可得出/(x)在卜3,2］上的最大值.

［詳解］/''(同=6d+6x—［2=6(x+2)(x—1),

令/'(x)=0，得x=l或x=-2.

當(dāng)xw［—3,—2)u(l,2］時(shí)，/(x)>0,當(dāng)x?-2,l)時(shí)，/'(x)<0,

所以〃x)在(一2,1)上單調(diào)遞減，在［-3,-2),(1,2］上單調(diào)遞增.

因?yàn)?(-2)=21,/(2)=5,所以［"HL=2L

故答案為：21.

三、解答題

17.已知拋物線C:x2=_2p)，(p>0)的焦點(diǎn)為￡A(%-9)是拋物線C上的點(diǎn)，且|AF|=15.

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知直線/交拋物線C于M,N兩點(diǎn)，且MN的中點(diǎn)為(6,-4),求直線/的方程.

【答案】⑴/=-24)，

(2)x+2y+2=0

【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義求解；

(2)設(shè)點(diǎn)代入拋物線方程，然后利用點(diǎn)差法求解直線的斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式即可解得直線的方程;

【詳解】(1)因?yàn)閨A尸|=9+曰=15,

所以。=12,

故拋物線C的方程為V=-24.v.

易知直線/的斜率存在，設(shè)直線/的斜率為左,例(石,%),"(9,%)，

X：=-24%

則

芯=-24%,

兩式相減得入；-后=-24(,一注)，整理得壬興=一號(hào)乜.

因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為(6,-4),所以火=干&=-如-；，

X-)Z4，

所以直線/的方程為y+4=-；(x-6),即x+2y+2=0.

18.已知函數(shù)/(x)=6e*-3x2_or.

⑴若曲線y=〃x)在點(diǎn)(0,〃0))處的切線方程為5x-y+6=0,求。；

(2)若函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)1

(2)(-℃,6]

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得r(o)=5,即可得到方程，解得即可；

(2)依題意可得r(x)=6e'-6x-a20恒成立，參變分離可得a?6e*-6x在R上恒成立，令

g(x)=6e=6x,xeR,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】(1)因?yàn)椤▁)=6e‘-3公_1,所以r(x)=6e'-6x-a,

因?yàn)榍€)，=/(x)在點(diǎn)(OJ(O))處的切線方程為5x-y+6=0,

所以/'(0)=5,即6-a=5,解得a=l.

(2)因?yàn)?f(x)=6e，-6x-a,又函數(shù)在R上單調(diào)遞增，

所以尸(力=66'_6*_。20恒成立，

即a46e*-6x在R上恒成立，

令g(x)=6e*-6x,xeR,則g<x)=6e*-6=6(e*-l),所以當(dāng)x>0時(shí)g'(x)>0,

當(dāng)x<0時(shí)g'(x)<0,

所以g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(X)在x=0處取得極小值即最小值,即g(x)mi?=g(o)=6,

所以。46,即實(shí)數(shù)〃的取值范圍為(YO,6].

19.如圖，四棱錐P—ABCD的底面為矩形，AD=2,AB=\PA=PD=>/W,平面PADJ_平面ABC。,

。是A。的中點(diǎn)，E是P8上一點(diǎn)，且隹//平面POC.

⑴求P胃E的值;

rn

(2)求直線CE與平面POC所成角的正弦值.

【答案】⑴g

⑵嚕

【分析】(1)設(shè)平面AOE與直線PC相交于點(diǎn)F,根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)，證得四邊形AEFO

PF

為平行四邊形，進(jìn)而得到蹤的值；

CD

(2)利用面面垂直的性質(zhì)，證得P。/平面ABC。，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求

得平面POC的一個(gè)法向量m=(3,1,0),結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】(1)解：設(shè)平面AQE與直線PC相交于點(diǎn)F,連接￡￡。尸，

因?yàn)锳E〃平面POC,A￡u平面AEFO,平面AEFOc平面POC=尸。，

所以A￡〃FO,

又因?yàn)锳O//8C,3Cu平面P8C,AOa平面PBC,所以A。//平面PBC,

又由平面AE尸Oc平面戶BC=E/，所以AOUEFUBC,

所以四邊形AER?為平行四邊形，

1pF1

所以歷=AO=；BC,所以瓦尸分別為PB,PC的中點(diǎn)，所以3|=；.

(2)解：由四棱錐的底面為矩形，且PA=PO=Ji6,

因?yàn)?。?。的中點(diǎn)，所以POLAD,

又因?yàn)槠矫嬉浴?gt;_!_平面ABC。，「0匚平面叢0,且平面上4￡>門(mén)平面?。。=4),

所以PO工平面ABC。，

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一孫z,

因?yàn)樗睦忮FP-A5CD的底面為矩形，且AO=2,AB=3且引=尸。=亞，

133

則0(0,0,0),C(-l,3,0),P(0,0,3),

(333、

可得OC=(-1,3,0),OP=(0,0,3)，^=12?--2,2J，

tn-OC=-x+3y=0

設(shè)平面POC的法向量為根=(x,y,z),則■,

tnOP=3z=0

令y=l,可得尤=3,z=0,所以帆=(3,1,0),

tn-CE3病

sin"

設(shè)直線CE與平面POC所成的角為凡則w||C￡

B

20.已知函數(shù)/(x)=xlnx-gx?+g.

(1)證明：/(X)在(0,+紇)上單調(diào).

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意的"€N",l+:+:+:++,>ln(〃+l)恒成立.

234n

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)求出函數(shù)〃x)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)，判斷出尸(x)的單調(diào)性，可求出尸(x)的

最值，從而證明出結(jié)論；

(2)首先驗(yàn)證〃=1時(shí)，不等式成立；然后假設(shè)當(dāng)〃=&時(shí)，不等式成立，驗(yàn)證〃=&+1時(shí)不等式也成

立即可證明.

【詳解】(1)因?yàn)閒(x)=xlnx-gx2+g,定義域?yàn)?o,+8),

所以/'(x)=l>w+l-x.

令g(x)=lnx+l-x,則g[x)=：-l=L^,

令g'(x)>0得Ovxvl,g'(x)<0,得x>l,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(l,y)上單調(diào)遞減，

所以gCOa=g(l)=o,

所以r(力=g(x)M0,故〃x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

(2)當(dāng)〃=1時(shí)，左邊=1,右邊=ln2,左邊〉右邊，所以〃=1時(shí)原式成立.

假設(shè)〃=-421#6武)時(shí)原式成立，即1+；+：+；++；>ln(Z+l).

當(dāng)〃=%+1時(shí),左邊=14---1---1---F1H---1---->ln(R+l)d-----.

234kki1ArI1

由(1)知InrWx—1,所以ln(x+l)4x,等號(hào)在x=0時(shí)成立.

令1=---,kGN',貝!Jlnj——+1|<——,所以InA'+2V—!—

k+lU+l)k+\k+lk+\

所以In伏+2)-ln(Z+l)<w，所以ln(k+l)+Jy>ln(k+2),

所以1+彳+彳+丁++—+--->ln(Z:+2),即〃=Z+1時(shí)原式成立.

234kk+1'7

綜上，對(duì)任意的〃eN*/+g+；+；++/>ln(〃+l)恒成立.

21.已知橢圓C:[+，=l(a>6>0)的離心率是母，尸(2,0)是橢圓C上一點(diǎn).

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過(guò)點(diǎn)(6,0)的直線/與橢圓C交于A,8(異于點(diǎn)尸)兩點(diǎn)，直線以，尸8的斜率分別是勺，k2,試

問(wèn)憶他是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)三+產(chǎn)=1

4

⑵是,g

a2

【分析】(1)由已知橢圓的離心率是趙，又過(guò)點(diǎn)P(2,0),可得,直接解得a=2,6=1,

c2=a2-b2

即可得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

x=tny+6

⑵由直線過(guò)點(diǎn)(6,0),可設(shè)直線方程為/：x=my+6,A(x,,yJ,8(%,%)，聯(lián)立方程組公

2=1'

12m32

由韋達(dá)定理可得y+%=-,又P(2,0),得匕=亳上3,再代入我上

nT+4'm-+4X|一2X、一乙

化簡(jiǎn)即可求解.

【詳解】(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c,

C

a

4

由題意可得二1，解得。=2,h=\,

c2=a2-b2

2

x=my+6

2

聯(lián)立X2_,整理得（川+4）y2+i2my+32=0,

~4+y

則A=144m2-4（m2+4）x32=16（m2-32）>0,

Vim32

>,1

因?yàn)镻(2,0),所以匕=%

x,-2，X2-2'

弘)’2

所以%#2=

Xj-2x2-2+4）（"2y2+4）^y[y2+4/71（^+y2）+16

32

M+4321

232r12,7?二一32M—48m2+16m2+