特征值與特征向量

關(guān)于特征值與特征向量定義5.1.1

設(shè)A為n階方陣,λ是一個(gè)數(shù),若存在非零列向量x,

使得

Ax=λx

（1）則稱λ為A

的一個(gè)特征值，非零向量x

稱為矩陣A

的對應(yīng)于特征值λ的特征向量，簡稱為A的特征向量. 一、矩陣的特征值與特征向量的定義與求法第一節(jié)矩陣的特征值與特征向量例如：=2λ第2頁,共46頁，2024年2月25日，星期天為A的特征方程.齊次線性方程組矩陣A的對應(yīng)于λ的特征向量就是方程組(3)或(2)的非零解.Ax=λx(1)λx-Ax=O(λI-A)x=O(2)(3)λI–A為A的特征矩陣,|λI-A|(λ的n次多項(xiàng)式)稱為A的特征多項(xiàng)式.特征方程的根叫做A的特征根，即A的特征值.定義5.1.2第3頁,共46頁，2024年2月25日，星期天總結(jié)：已知n階方陣A，求A的特征值歸結(jié)為求特征方程的根；求A的特征向量等價(jià)于求齊次線性方程組(λI-A)x=O的非零解.求矩陣A的特征值與特征向量的步驟：第一步，求A的特征多項(xiàng)式|λI-A|；第二步，令|λI-A|=0，得到A的n個(gè)特征值(重根按重?cái)?shù)計(jì))；第三步，對應(yīng)于每個(gè)特征值λi，求方程組(λi

I-A)x=O的非零解，即是矩陣A的對應(yīng)于特征值λi的特征向量.第4頁,共46頁，2024年2月25日，星期天解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為例1-2-2-3-1令|λI-A|=0得A的特征值為：3I-A=1-1000-1令x3=1得基礎(chǔ)解系.是屬于λ1=3的一個(gè)特征向量.對應(yīng)于特征值λ1=3的全部特征向量：第5頁,共46頁，2024年2月25日，星期天令x3=1得方程組的基礎(chǔ)解系為：-3I-A=是屬于λ2=λ3

=-3的一個(gè)特征向量.則對應(yīng)于λ2=λ3=-3的全部特征向量為：c2v2=第6頁,共46頁，2024年2月25日，星期天解：A的特征多項(xiàng)式：例2求A的特征值與特征向量.|λI-A|=令|λI-A|=0，得A的特征值：對于求方程組(I-A)x=O的非零解.I-A=0-1

1得基礎(chǔ)解系為：對應(yīng)于λ1=1的全部特征向量：第7頁,共46頁，2024年2月25日，星期天對于求方程組(2I-A)x=O的非零解.2I-A=x1=-x2+x3同解方程組：令得到方程組的基礎(chǔ)解系：每個(gè)都是A的特征向量.對應(yīng)于λ2=λ3=2的全部特征向量：c1v21+c2v22其中，c1,c2不全為零.第8頁,共46頁，2024年2月25日，星期天命題2證：命題1

任一n階方陣在復(fù)數(shù)域內(nèi)都有n

個(gè)特征根.若x是A的對應(yīng)于特征值λ的特征向量，則kx(k≠0)也是A的對應(yīng)于λ的特征向量；若x，y都是A的對應(yīng)于特征值λ的特征向量，則非零線性組合k1x+k2y(k1,k2不全為零)也是A的對應(yīng)于λ的特征向量；

(kx≠0)所以，kx(k≠0)也是A的對應(yīng)于λ的特征向量；因?yàn)閗1,k2不全為零，所以所以，k1x+k2y(k1,k2不全為零)是A的對應(yīng)于λ的特征向量.注：同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是該特征值的特征向量.簡言之1.一個(gè)特征值對應(yīng)有無窮多個(gè)特征向量.2.一個(gè)特征向量只屬于一個(gè)特征值.第9頁,共46頁，2024年2月25日，星期天解：練習(xí)：對于基礎(chǔ)解系：全部特征向量：c1,c2不全為零.基礎(chǔ)解系：全部特征向量：第10頁,共46頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)：[教材P133例9]求A的特征值和全部特征向量.解：×(-1)A的特征值為：基礎(chǔ)解系：不全為0)基礎(chǔ)解系：第11頁,共46頁，2024年2月25日，星期天定理5.1.1二、特征值與特征向量的性質(zhì)注：A與AT不一定有相同的特征向量.方陣A與其轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征值.證：需證A與AT有相同的特征多項(xiàng)式.因?yàn)?，所以，A與AT有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值.定理5.1.2

設(shè)λ1，λ2，…，λn

是n階方陣A的所有特征值，則

tr(A)=λ1+λ2+…+λn；|A|=λ1

λ2…λn

相當(dāng)重要！跡驗(yàn)證：設(shè)λ1,λ2是A的特征值,則=|A|第12頁,共46頁，2024年2月25日，星期天|A|=λ1

λ2…λn

推論

A可逆的充要條件是A的所有特征值都不等于零.特征值的其他簡單性質(zhì)：1.若λ是矩陣A的一個(gè)特征值，則

(1)kλ是矩陣kA的一個(gè)特征值；

(2)λk是矩陣Ak的一個(gè)特征值；

(3)λ+1

是矩陣A+I的一個(gè)特征值.(證明提示：利用定義)設(shè)λ是方陣A的特征值,則f(λ)是f(A)的特征值.一般地,定理5.1.32.矩陣A可逆,其特征值是λ1,λ2,…,

λn,則x=第13頁,共46頁，2024年2月25日，星期天例1

三階方陣A的特征值為-1，2，3，求：(1)2A的特征值；(2)A2的特征值；(3)|A|；(4)A是否可逆?解：(1)2A的特征值為-2，4，6；(2)A2的特征值1，4，9；(3)|A|=(-1)×2×3=-6；(4)A可逆.再求:(6)矩陣A2-2A+3I的特征值.問題：A-1的特征值？-1，1/2，1/3.λ2-2λ+3：6，3，6.

(7)伴隨矩陣A*

的特征值.=6，-3，-2第14頁,共46頁，2024年2月25日，星期天例2[P133例8]求下列特殊矩陣的特征值.(1)Am=O(m是正整數(shù));(2)A2=I.A叫作冪零矩陣A叫作對合矩陣解：設(shè)λ為A的任一特征值，對應(yīng)的特征向量為x,即Ax=λxAmx=λm

xA2

x=λ2

x(1)因?yàn)锳m=O,所以，λmx=O,而x≠O,故λm=0,即λ

=0.(2)因?yàn)锳2=I,所以，x=λ2

x,即(λ2

-1)x=O,而x≠O,所以，λ2

-1=0,即λ

=±1.簡言之，冪零矩陣的特征值為零；對合矩陣的特征值為±1.第15頁,共46頁，2024年2月25日，星期天定理5.1.4不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān).對應(yīng)特征向量：…則…線性無關(guān).簡言之：推論設(shè)λ1

，λ2

，…，

λm

是A的互異特征值，

線性無關(guān)特征向量：則線性無關(guān).如矩陣A的特征值λ1=1，λ2=2，對應(yīng)于λ1=1的線性無關(guān)的特征向量為對應(yīng)于λ2=2的線性無關(guān)的特征向量為則v11,v21,v22線性無關(guān).第16頁,共46頁，2024年2月25日，星期天本節(jié)基本要求：1.理解矩陣的特征值與特征向量的定義，會(huì)用定義解決問題；2.了解特征矩陣、特征多項(xiàng)式、特征方程、特征根；3.掌握特征值與特征向量的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用性質(zhì)解題；4.熟練掌握矩陣的特征值與特征向量的求法.第17頁,共46頁，2024年2月25日，星期天一、相似矩陣的定義與性質(zhì)定義5.2.1注：矩陣的相似關(guān)系有以下性質(zhì)：相似與等價(jià)是矩陣的兩大關(guān)系，二者既有區(qū)別又有聯(lián)系：第二節(jié)方陣的相似變換設(shè)A，B為n階方陣，若存在n階可逆矩陣P，使得1.矩陣相似的定義

P-1AP=B則稱矩陣A與B相似，或A與B是相似矩陣，(1)自反性：A

~A因?yàn)椋篒-1AI=A(2)對稱性：若A~B，則B

~A.由P-1AP=BA=PBP-1=(P-1)-1

BP-1(3)傳遞性：若A~B，B

~C，則A~C.A與B等價(jià)區(qū)別：PAQ=B(P,Q可逆)A與B相似

P-1AP=B聯(lián)系：若A~B，則A

B.反之不然.第18頁,共46頁，2024年2月25日，星期天2.相似矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1若A~B，則|A|=|B|.——相似矩陣的行列式的值相等.

P-1AP=B

|P-1||A||P|=|B||A|=|B|性質(zhì)2若A~B，則r(A)=r(B).——相似矩陣的秩相等.

P-1AP=B[初等變換不改變矩陣的秩.]性質(zhì)3若A~B，則A,B或者都可逆，或者都不可逆.且A,B可逆時(shí)，有A-1~B-1.由性質(zhì)1易得.

P-1AP=B性質(zhì)4若A~B，則Ak~Bk(k是正整數(shù)).

P-1AP=B

(P-1AP)k=Bk

P-1AkP

=Bk第19頁,共46頁，2024年2月25日，星期天10

Th4.2.1逆命題不成立.即若A與B有相同的特征值,A與B未必相似.性質(zhì)5若A~B,則A與B有相同的特征值.——相似矩陣的特征值相同.=[P138定理5.2.1]證：因?yàn)锳~B，即：

P-1AP=B|λI-B|=|λI-P-1AP|=|P-1λIP-P-1AP|=|P-1(λI–A)P|=|P-1||λI–A||P|=|λI–A|從而矩陣A，B有相同的特征值.注：如：有相同特征值：λ1=λ2=1.但不相似.20

相似

矩陣有相同的特征值,不保證有相同的特征向量.那么特征向量之間有何關(guān)系？性質(zhì)6若A~B，則tr(A)=tr(B).由性質(zhì)5易得.第20頁,共46頁，2024年2月25日，星期天二、矩陣可對角化的條件定理5.2.2n階方陣A相似于對角形矩陣的充分必要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.證:必要性若矩陣A相似于對角矩陣則存在可逆矩陣P，滿足即：將矩陣P按列分塊，令有可逆線性無關(guān)是A的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.如果n階方陣A相似于對角形矩陣,即,則稱矩陣A可對角化.為矩陣A的相似標(biāo)準(zhǔn)形.第21頁,共46頁，2024年2月25日，星期天定理5.2.2n階方陣A相似于對角形矩陣的充分必要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.充分性若矩陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量其對應(yīng)的特征值分別為：則有即PP可逆說明:(1)的順序與相對應(yīng)一致.(2)定理的證明過程給出了A相似于對角矩陣時(shí)，可逆矩陣P及對角矩陣Λ

的構(gòu)成.第22頁,共46頁，2024年2月25日，星期天推論1即A有n個(gè)互異特征值是A可對角化的充分條件，而不是必要條件.定理5.2.2n階方陣A相似于對角形矩陣的充分必要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.若n

階方陣A有n個(gè)互異的特征值則反之不然.…線性無關(guān).第23頁,共46頁，2024年2月25日，星期天已知n階方陣A，既能判定A是否可以對角化，同時(shí)可求出可逆矩陣P及對角矩陣Λ.例1已知矩陣問A能否對角化？若能，求出可逆矩陣P及對角矩陣Λ.解：|λI-A|=A的特征值：對于求(I-A)x=O的基礎(chǔ)解系.I-A=對于求(2I-A)x=O的基礎(chǔ)解系.2I-A=x1=-x2+x3A可對角化.且注

P及Λ并不唯一.第24頁,共46頁，2024年2月25日，星期天解：例2問A能否對角化？若能，求出可逆矩陣P及對角矩陣Λ.A的特征值：基礎(chǔ)解系：基礎(chǔ)解系：所以，A可對角化.或第25頁,共46頁，2024年2月25日，星期天解：A的特征值為：由于三階方陣A只有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量v1，v2,所以，A不與對角形矩陣相似，即A不能對角化.例3試判斷A可否對角化？[練習(xí)之]求的基礎(chǔ)解系：求的基礎(chǔ)解系：練習(xí)：[P144例6]第26頁,共46頁，2024年2月25日，星期天本節(jié)基本要求：1.理解相似矩陣的定義與性質(zhì)，靈活運(yùn)用性質(zhì)解題；2.理解矩陣與對角矩陣相似的充要條件及充分條件；3.熟練掌握矩陣A可對角化的判別方法.第27頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第三節(jié)向量內(nèi)積和正交矩陣一、向量的內(nèi)積1.向量內(nèi)積的定義與性質(zhì)定義5.3.1

設(shè)n維向量α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)，稱實(shí)數(shù)為向量α與β

的內(nèi)積.(α,β

)=記=αβT若列向量：則內(nèi)積(α,β)=αTβ例1α

=(1,2,3),β=(0,-3,5)，則(α,β

)=1×0+2×(-3)+3×5=9例2α

=(-1,-3,-2,7),β=(4,-2,1,0)，則(α,β

)=-4+6-2+0=0第28頁,共46頁，2024年2月25日，星期天向量的內(nèi)積運(yùn)算具有如下性質(zhì)：(1)

(α,β

)=(

β,α

)

(2)

(kα,β

)=k(α,β

)

(3)

(α+β

,

γ

)=(α,γ

)+(β,γ

)

(4)

(α,α)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)α

=O時(shí)，有(α,α)＝0.2.向量的長度與性質(zhì)向量的夾角定義5.3.2

設(shè)n維向量α=(a1,a2,…,an)，稱實(shí)數(shù)為向量α

的長度，或范數(shù)或模，記向量的長度具有如下性質(zhì)：(1)當(dāng)且僅當(dāng)α

=O時(shí)，||α||=0.(2)||kα||=|k|||α||(3)|(α,

β)|≤||α||||β

||——Cauchy-Schwarz不等式.(4)||α+β||≤||α||+||β

||——三角不等式.第29頁,共46頁，2024年2月25日，星期天將向量α單位化長度為1的向量稱為單位向量.如：ε1=(1,0),ε2=(0,1)都是單位向量.例3求向量α

=(1,2,-1)的長度，并將其單位化.解：練習(xí)：求向量α

=(2,-1,1,3)的長度.第30頁,共46頁，2024年2月25日，星期天任意兩個(gè)向量εi與εj都正交(i≠j)，稱其兩兩正交.定義5.3.3設(shè)α，β是任意兩個(gè)向量，若(α,β)=0則稱向量α與β正交或垂直，記作α⊥β.顯然，零向量與任意向量正交.n維初始單位向量組：定義5.3.4若n維向量組α1，α2，…，αs中任意兩個(gè)向量都正交，且αj≠O，j=1,2,…,s.則稱α1，α2，…，αs是正交向量組.定義5.3.5

如果一個(gè)正交向量組又是單位向量組，則稱其為單位正交向量組或標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.標(biāo)準(zhǔn)正交向量組α1，α2，…，αs是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組由定義知：3.正交向量組第31頁,共46頁，2024年2月25日，星期天定理5.3.1正交向量組必是線性無關(guān)的向量組.若α1，α2，…，αs是正交向量組單位化則β1，β2，…，βs是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.則=0=0注：線性無關(guān)組未必是正交向量組.第32頁,共46頁，2024年2月25日，星期天施密特(Schmidt)正交化方法——化線性無關(guān)組為正交向量組.施密特正交化方法:可以證明，正交第33頁,共46頁，2024年2月25日，星期天例4解：=4=12=-32可進(jìn)一步將β1，β2，β3單位化，得到標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.第34頁,共46頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)：解：先正交化標(biāo)準(zhǔn)正交化.=-1=1=3/2再單位化標(biāo)準(zhǔn)正交組第35頁,共46頁，2024年2月25日，星期天二、正交矩陣正交矩陣的性質(zhì)：定義5.3.6=AIAT=I(5)若A是n階正交矩陣，α,β是n維列向量，則(Aα,Aβ)=(α,β)=I=(α,β)第36頁,共46頁，2024年2月25日，星期天定理5.3.3

設(shè)A為n

階實(shí)方陣，A為正交矩陣的充分必要條件是其列(行)向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組. 正交矩陣與標(biāo)準(zhǔn)正交向量組之間的關(guān)系：β1

β2

β3兩兩正交，且長度為1.第37頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第四節(jié)實(shí)對稱矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形一、

實(shí)對稱矩陣的特征值與特征向量的特殊性質(zhì)定理5.4.1

n階實(shí)對稱矩陣A有n個(gè)實(shí)特征值,且其特征向量是實(shí)向量.定理5.4.2

實(shí)對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量必正交.證：設(shè)λ1，λ2是n階實(shí)對稱矩陣A的兩個(gè)特征值，且λ1≠

λ2.特征向量：x1x2Ax1=λ1x1Ax2=λ2x2(x1

≠

O,x2

≠

O)

(Ax1,x2)=因?yàn)?λ1x1,x2)=λ1(x1,x2)……(1)

(Ax1,x2)=

(Ax1)T

x2=x1TAT

x2=x1T

A

x2=λ2

x1T

x2=λ2(x1,x2)……(2)由(1)、(2)得：λ1(x1,x2)=λ2(x1,x2)(λ1-λ2)(x1,x2)=0λ1≠

λ2(x1,x2)=0x1,x2正交.第38頁,共46頁，2024年2月25日，星期天定理5.4.3(對稱矩陣基本定理)n

階實(shí)對稱矩陣A個(gè)，必存在n階正交矩陣P，使得任一n階實(shí)對稱矩陣A必正交相似于對角形矩陣.定義4.3.5

設(shè)A，B為n階方陣，如果存在一個(gè)正交矩陣P，使得P-1AP=B則稱矩陣A與B正交相似.PTAP=B若A與B正交相似，且A是對稱矩陣，則B也是對稱矩陣.因BT=(PTAP)T=PTATP=PTAP=B第39頁,共46頁，2024年2月25日，星期天由于實(shí)對稱矩陣A的不