山東省煙臺市2022-2023學年高一年級下冊期末數(shù)學 含解析

2022?2023學年度高一第二學期期末學業(yè)水平診斷

數(shù)學試卷

注意事項：

1.本試題滿分150分，考試時間為120分鐘.

2.使用答題紙時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰；超出答題

區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.

3.答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.若隨機事件A,B互斥,且尸⑷=。6,P（5）=S3則P（A、3）=（）

A.0B.0.18C.0.6D.0.9

【答案】D

【解析】

【分析】由互斥事件概率加法公式計算.

【詳解】隨機事件A,B互斥,且P（A）=0.6,P（3）=0.3,

所以P（Au3）=P（A）+P（B）=0.6+0.3=0.9,

故選：D.

2.下列幾何元素可以確定唯一平面的是（）

A.三個點B.圓心和圓上兩點

C.梯形的兩條邊D.一個點和一條直線

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)平面的確定方法求解.

【詳解】對A,三個不共線的點才能確定唯一平面，A錯誤；

對B,當圓上的兩點和圓心共線時，三個點不能確定唯一平面，B錯誤；

對C,梯形的任意兩條邊都能確定梯形所在的平面，所以確定的平面唯一，C正確；

對D,當點在直線上時，這個點和直線不能確定唯一平面，D錯誤，

故選:C.

3.若一水平放置的正方形的邊長為2,則其用斜二測畫法得到的直觀圖的面積是（）

A.72B.2C.272D.4

【答案】A

【解析】

【分析】由s直觀圖邛S原圖求解.

【詳解】解：因為一水平放置的正方形的邊長為2,且S目麗留=也5戚留，

且現(xiàn)因4尿囹

歷

所以其直觀圖的面積是S百刎母=—x2x2=>/2,

且從m4

故選：A

4.某汽車生產(chǎn)廠家用比例分配的分層隨機抽樣方法從A,B,。三個城市中抽取若干汽車進行調查，各城

市的汽車銷售總數(shù)和抽取數(shù)量如右表所示，則樣本容量為（）

城市銷售總數(shù)抽取數(shù)量

A420m

B28020

C700n

A.60B.80C.100D.120

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)分層抽樣的方法求解.

【詳解】由題可得，A，B,。三個城市的銷售總數(shù)比為3:2:5,

所以3:2:5=m：20:〃，所以機=30,〃=50,

所以樣本容量為100.

故選:C.

5.在正四面體S—ABC中，D,E分別是SC，A3中點，則。E與BS所成角的大小為（）

兀兀%兀

A.-B.-C.-D.一

6432

【答案】B

【解析】

【分析】設四面體棱長為2,取取SA中點尸，連結所，DF，利用三角形中位線性質作出異面直線所成

的角，然后利用余弦定理求解即可.

取&4中點尸，連結EE，DF，SE,CE,設正四面體S—ABC的棱長為2,

因為￡,尸分別是AB,SA中點，所以EF//BS,所以NOEE或其補角是QE與8S所成角.

又ES=EC=殊丁=5。是SC中點，

在乙ECS中，DE=7EC2-DC2=J(V3)2-12=V2-

因為。，產(chǎn)分別是SC,SA中點，所以。F=,CA=1,又￡F=，8S=1,

22

DE1+EF2一DF22+1-1比

在△DRE中，由余弦定理可知cosZDEF=一'=—

2-DE-EF2xy/2xl2

TTTT

又DvZDEFWn,所以NDEF=—。七與RS所成角一.

44

故選：B

6.甲、乙、丙三人破譯一份密碼，若三人各自獨立破譯出密碼的概率為:，--且他們是否破譯出密

233

碼互不影響，則這份密碼被破譯出的概率為()

24〃57

A.-B.-C.-D.一

9999

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)獨立事件的概率乘法公式求解.

【詳解】設這份密碼被破譯出為事件A,

-1112

所以P(A)=(l-])x(l—§)x(1—?=§,

一7

所以尸(A)=1—P(A)=§,

故選:D.

觸的面上的數(shù)字分別為x,y,則|無一乂《2的概率為（）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，分別求得基本事件的總數(shù)與滿足要求的基本事件個數(shù)，即可得到結果.

【詳解】由題意可得，基本事件的總數(shù)為82=64,則事件“歸一乂42”包含的基本事件為：

（1,1）,（1,2）,（1,3），（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,

（4,2），

（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（5,7）,（6,4）,（6,5）,（6,6）,

（6"），

（6,8）,（7,5）,（7,6）,（7,7）,（7,8）,（8,6）,（8,7）,（8,8）共34個,

所以事件歸一乂＜2的概率尸=1^='.

故選：D

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知〃？，〃為空間中兩條不同的直線，a,夕，/為空間中三個不同的平面，則（）

A.若,則相〃尸

B.若加〃a,mu。，a（3=n,則〃?〃“

C.若/%_La,nX./3,m//n,則a〃￡

D.若a_L7,0工y,a（3=m,貝ij_L/

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)直線與平面、平面與平面的位置關系逐項判斷可得答案.

【詳解】對于A,若則相〃△或加u尸，故A不正確；

對于B,若/“〃a，mu0,a0=n,則加〃“（線面平行的性質定理），故B正確；

對于C,若機_La,m//n,所以〃_La,又〃，尸且a,4是空間兩個不同的平面，則切〃？，故C

正確；

對于D,因為。_17，尸_1_/,￡門/?=根，如下圖，

若白,/7,/分別為面AORA、面面ABCO,且加為。

顯然。A_L面A3CO,則機_Ly,故D正確；

故選：BCD.

10.某學校對高一學生選科情況進行了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)學生選科僅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史

地五種組合，其中選考物化地和物化政組合的人數(shù)相等，并繪制得到如下的扇形圖和條形圖，則（）

B.該校高一學生中選考物化政組合的人數(shù)為96

C.該校高一學生中選考物理的人數(shù)比選考歷史的人數(shù)多

D.用比例分配的分層隨機抽樣方法從該校高一學生抽取20人，則生史地組合抽取6人

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)政史地人數(shù)和占比可確定A正確；計算出物化生的人數(shù)后即可確定B錯誤；分別計算選考歷

史和物理的人數(shù)，則知C正確；確定生史地組合人數(shù)占比后，根據(jù)分層抽樣原則可知D錯誤.

【詳解】對于A,選科為政史地的人數(shù)為200人，占比為25%,

,該校高一學生共有幽=800人，A正確；

25%

對于B,選科為物化生的人數(shù)為800x35%=280人，

800—200—280—160

選科為物化政的人數(shù)為--------------------=80,B錯誤；

2

對于C,選考歷史的人數(shù)有200+160=360人，選考物理的人數(shù)有280+80+80=440人,

；?選考物理的人數(shù)比選考歷史的人數(shù)多，C正確；

對于D,選科為生史地的學生人數(shù)占比為圖=0.2=20%,

800

采用分層抽樣抽取2（）人，生史地組合應抽取20x20%=4人，D錯誤.

故選：AC.

11.一個袋子中有標號分別為1、2、3、4的4個球，除標號外沒有其他差異.從袋中隨機摸球兩次，每

次摸出1個球，設事件A=”第一次摸出球的標號小于3"，事件8="第二次摸出球的標號小于3”，則

以下結論錯誤的有（）

A.若摸球方式為有放回摸球，則A與否互斥

B.若摸球方式為有放回摸球，則A與否相互獨立

C.若摸球方式為不放回摸球，則A與后互斥

D.若摸球方式為不放回摸球，則A與否相互獨立

【答案】ACD

【解析】

【分析】以x、丁分別表示第1次、第2次摸球的編號，以（x,y）為一個基本事件，列舉出所有的基本事

件，以及事件A、豆、A豆所包含的基本事件，利用互斥事件以及獨立事件的定義逐項判斷，即可得出

合適的選項.

【詳解】以X、＞分別表示第1次、第2次摸球的編號，以（x,y）為一個基本事件.

對于AB選項，若摸球方式為有放回摸球，則所有的基本事件個數(shù)為42=16個，

事件A包含的基本事件有：（1,1）、（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,1）、（2,2）、（2,3）、（2,4）,共8種,

事件后包含的基本事件有：（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,3）、（3,4）、（4,3）、（4,4）,共8種,

則事件A豆包含的基本事件有:。，3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）,則AB^0，

即A與萬不互斥，A錯，

i）=啊=齊；，P（啊4=P（A）P⑻,即A與否相互獨立，B對：

對于CD選項，若摸球方式為不放回摸球，則所有的基本事件有：（1,2）、（1,3）、（1,4）、

（2,1）、（2,3）、（2,4）、（3,1）、（3,2）、（3,4）、（4,1）、（4,2）、（4,3）,共12種,

事件A包含的基本事件有:（1,2）、（1,3）＞（1,4）、（2,1）、（2,3）、（2,4）,共6種，

事件萬包含的基本事件有:。,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）、（4,3）,共6種，

事件A豆包含的基本事件有：0,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）,共4種，

則即A與否不互斥，C錯，

P（4）=P（5）=*■=；,2（45）=2=網(wǎng)豆），即A與否不相互獨立，D錯.

故選：ACD.

12.在棱長為1的正方體ABC。-44G。中，E，尸分別是AO，中點，M,N,G,，分別

是線段AB,G〃，AC-A"上的動點，則（）

A.存在點A7,N,使得EN//MC[

B.三棱錐C—MND的體積為定值

4

C.CG+G”的最小值為一

3

'2'

D.直線CE與Mb所成角的余弦值的取值范圍為0,-

【答案】BCD

【解析】

【分析】建立空間直角坐標系，利用線線平行的坐標運算判斷A；利用等體積法判斷B；利用空間中兩點

距離公式表示距離，然后利用三點共線最小求解判斷C；利用異面直線夾角的向量坐標公式求出余弦值函

數(shù)，利用函數(shù)的性質求解范圍判斷D.

【詳解】如圖：

如圖以。為原點，分別以D4、DC、方向為x軸、V軸、z軸正方向建立空間直角坐標系。一孫z,

則。(0,0,0),0,0),A(l,0,0),8(1,1,0),C(0,1,0),A(1,0,1),男(1』,1),0(0,0,1),G(0,1,1),

F(0,0,￡),設M(l,a,o),N(0,b,l),設AH=M￡\(0WrWl),則H(1T,O"),

設4G=4AG(0W/lWl),則

對于選項A,EN=(-g,"l),MC,=(-l,l-a,l),若EN〃MC、,則硒MC、，

所以二2=_也=]_,矛盾，故不存在點M,N,使得EN〃MJ,錯誤；

口一i

對于選項B,因為平面AB4用〃平面8QC，所以點M到平面CQCC的距離為正方體的棱長1，

又SCND=gxlxl=；,所以匕_“冊=匕/_加￡)=＜乂〈乂1=:為定值，正確；

對于選項C,CG=(1-A,2-1M)-GH=(A-t,-A,t-A),

所以CG+G"=|CG|+|GW|=,J(l-2)2+(/l-l)2+/l2++(-A)2+(t-A)2

由平面幾何知識，當P、Q、A三點共線時距離和最小,

又ow/wi,所以當時，產(chǎn)一3.+2有最小值為拽，所以CG+G”的最小值為

3V3939

乎x6=(,正確;

對于選項D,設直線CE與M尸所成的角為8,又CE=［；,—1,O),MF=(-\,-a,^

所以cos6=IcosCE,MF\^C：MF275f~a+l

----1--------T

1\CE\-\MF\51T

V4

a+\xx\

令x=a+1w[1,2],則25=~25=2.~9=9",

L」a+(x-1)+x-2x+x+-2

4444x

9333

又/a)=x+——2在1,-上單調遞減，在-,2上單調遞增,且/("，

4x22

59

48

95-<0+1<1

所以l4x+二一24一，所以5一25一，

4%4。十二

4

_a+]4@2

所以55>所以OWcosOW-,

a2+-5

4

2

所以直線CE與”『所成角的余弦值的取值范圍為0,-,正確.

故選：BCD

【點睛】關鍵點點睛：立體幾何中的動態(tài)問題：①幾何法：根據(jù)圖形特征，尋找兩點之間的距離的范

圍；②坐標法：建立空間直角坐標系，利用坐標求范圍.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某學校高一男生、女生的人數(shù)之比為4:5,現(xiàn)采用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取90人，若樣本中

男生的平均身高為171cm,女生的平均身高為160.2cm,則該校高一學生平均身高的估計值為

(單位：cm).

【答案】165

【解析】

【分析】利用平均數(shù)的求法即可得解.

【詳解】依題意，設樣本中高一男生人數(shù)為4x,則樣本中高一女生的人數(shù)為5x,

故4x+5x=90,解得x=10,則樣本中高一男生人數(shù)為40,高一女生的人數(shù)為50，

,,,包人—“40x171+50x160.2=

所以l樣i5本中?用一學生平均身局為-------------------=165cm,

90

故而該校高一學生平均身高的估計值為165cm.

故答案為：165.

14.已知正四棱臺上、下底面邊長分別為2和4,側棱長為3,則此棱臺的體積為

【答案】"也##竺?

33

【解析】

【分析】根據(jù)棱臺的體積公式直接計算即可.

【詳解】由題意可知此棱臺的上、下底面對角線長2起、40，

所以棱臺的高人=,3?-（拽二逑]=布，

\[2）

所以棱臺的體積V=；（4+J而％+16卜，7=當且,

故答案為:粵

15.我國古代典籍《周易》用“卦''描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻

“一"和陰爻"——“，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有1個陽爻的概率是

3

【答案】ZT

32

【解析】

【分析】根據(jù)古典概率模型求解.

【詳解】由題可知，共有26=64個不同的重卦，

恰有1個陽爻的有6個，

則該重卦恰有1個陽爻的概率是幺=2，

6432

3

故答案為：—.

32

16.邊長為2的正三角形ABC中，D,E分別為AB，AC中點，將VADE沿DE折起，使得8。，

則四棱錐A-BCED的體積為其外接球的表面積為.

【答案】①.(2).—71

42

【解析】

【分析】作出四棱錐的高，計算出高和底面積，可得體積.根據(jù)球的性質找到球心，求出半徑

可得表面積.

【詳解】取BC的中點G,OE的中點尸，連A￡EG,￡G,AG,

因為_ABC為邊長為2的正三角形，D,E分別為45,AC中點，所以DE//BG，DE=BG,

所以四邊形。EGB平行四邊形，所以EG//BD,EG=BD=1,

又AE上BD，所以AELEG,因為A￡=EG=1,所以AG=JE，

(%++-詆

A

又因為AF=FG=y±，所以cosDAFG

2

因為。EJ.AF，DEAFG，AF\FG=F,ARFGu平面,

所以。ES平面AFG,因為OEu平面BCEO,所以平面4FG,平面BCED,

過A作AHLEG,垂足為H,則“在GF的延長線上，

因為AHu平面AbG,平面4尸G「平面8CEE>=FG,所以AH，平面BCE。,

因為cosDAFG=-L所以cosDAF"='，sinDAFH=<[^=述,

AH=AF-sinDAFH=—x=^=—,SBC￡D=-(l+2)x—=

233224

g、2_14〃c_1V6373_V2

所“^A-BCED=§SBCED=§*x4—

因為G6=GC=GO=GE=1,所以G為四邊形BCED外接圓圓心,

設正三角形ADE外接圓圓心為M,四棱錐A-BCEO的外接球球心為。，

則。G_L平面BCEO,QWJ_平面ADE,

所以OG_LRG,OMA.MF,則O尸是四邊形OGFM的外接圓直徑,

因為MG=+FG2-2MF-FGcos&MFG==1,

"MG1372

所以由正弦定理得sinDMFG2724

~3~

所以。￡=，。產(chǎn)2+七萬2

即四棱錐A—3CED的外接球半徑為叵,

4

故答案為：：一兀.

42

【點睛】關鍵點點睛：利用球的性質找到球心，求出球的半徑是解題關鍵.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.某農(nóng)場在兩塊面積相同的水稻試驗田中分別種植甲、乙兩種水稻，已知連續(xù)6季的產(chǎn)量如下:

品種第1季第2季第3季第4季第5季第6季

甲/kg550580570570550600

乙/kg540590560580590560

現(xiàn)在該農(nóng)場決定選擇其中一種水稻進行推廣種植，若你是農(nóng)場經(jīng)營者，你會如何選擇？請使用統(tǒng)計學的有

關知識進行說明.

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】分別求出兩種水稻的平均數(shù)與方差，再根據(jù)平均數(shù)與方差即可得出結論.

【詳解】設甲種水稻產(chǎn)量平均值和方差分別為1，S；,

乙種水稻產(chǎn)量的平均值和方差分別為1,S；,由題中數(shù)據(jù)可得，

-1

X.=-X(550+580+570+570+550+600)=570,

6

=1x(540+590+560+580+590+560)=570,

s；=:[(550-570『+(580-570『+(570-570)'+

2

(570-570)+(550-570)2+(600-570)[=30(),

s；=：[(540-570)2+(590-570)2+(560-570)2+

(580-570)2+(590-570)2+(560-570)2]=,

因為X=E，所以兩種水稻產(chǎn)量的總體水平相同，

但甲種水稻的產(chǎn)量較穩(wěn)定，所以應推廣甲種水稻種植.

18.如圖，在三棱錐。一A6C中，D4J_底面ABC,ABJ.BC.

(1)證明：平面平面DAB；

(2)若D4=AB=』6C,求直線C4與平面O8C所成角的正弦值.

2

【答案】（1）證明見解析

⑵巫

10

【解析】

【分析】（1）根據(jù)平面垂直平面的判定定理即可證明；

（2）要求直線與平面所成角的正弦值，先作出直線與平面所成角，進而可求解.

【小問1詳解】

證明：因為">，平面43。，BCu平面ABC,

所以BC_LAD.

又因為8CL4?,A3cAZ）=A，48,4。<=平面948，

所以8C1平面DW.

因為BCu平面8CD，所以平面CBO_L平面ZM5.

【小問2詳解】

在平面A48內(nèi)過點A作AE_LBO于E，連接CE.

D

B

又平面CBDd_平面ZMB，平面CBOc平面DW=BO，A￡u平面4步，

所以AE_L平面08c.

所以NACE即為直線C4與平面。8C所成的角.

因為D4=AB=，8C,不妨設8C=2,則D4=AB=1，

2

因為A￡>_L平面ABC,A3u平面4BC,所以ADIAB,

歷

所以BD=亞，AE=—>

2

又因為ABJ.BC,所以AC=6，

故sinNACE=絲=嫗，

AC10

即直線CA與平面DBC所成角的正弦值為回.

10

19.某商場隨機抽取了100名員工的月銷售額x（單位：千元），將x的所有取值分成[5,10）,[10,15）,

[15,20）,[20,25）,[25,30]五組，并繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中b=2a.

（I）求"，6的值；

（2）設這100名員工月銷售額的第75百分位數(shù)為。.為調動員工的積極性，該商場基于每位員工的月

銷售額x制定如下獎勵方案：當某員工的月銷售額x不足5千元時，不予獎勵；當xe[5,〃—7）時，其月

獎勵金額為0.3千元；當xc[〃-7,〃+3）時，其月獎勵金額為0.8千元；當x不低于（〃+3）時，其月獎

勵金額為1」千元.根據(jù)頻率分布直方圖，用樣本頻率近似概率，估計上述獎勵方案下該商場一名員工的

月獎勵金額的平均值.

【答案】（1）a=0.02,b=0.04

（2）0.699（千元）.

【解析】

【分析】（D根據(jù)頻率分布直方圖中各小長方形面積和為1并結合方=2。即可求解；

（2）先求第75百分位數(shù)P,然后確定獎勵方案，進而估算出月獎勵金額的平均值.

【小問1詳解】

由已知得（。+0.06+0.07+。+0.01）*5=1,

所以a+人=0.06,又因為匕=2a,

所以a=0.02,/?=0.04.

【小問2詳解】

由于（0.02+0.06+0.07）x5=0.75,所以員工月銷售額的第75百分位數(shù)為20,

所以，當xe[5,13）時，獎勵金額為0.3千元；

當x《13,23）時，獎勵金額為0.8千元；

當xN23時，獎勵金額為11千元，

所以，該商場一位員工的月獎勵金額的平均值為：

（0.02x5+0.06x3）x0.3+（0.06x2+5x0.07+0.04x3）x0.8+（0.04x2+0.01x5）x1.1=0.699（千

元）.

20.如圖，在正三棱柱ABC-A4G中，。是中點.

WB

（1）證明：〃平面AG。；

（2）若A3=2，AC,求人到平面AG。的距離.

【答案】（1）證明見解析

⑵手

【解析】

【分析】（1）利用三角形中位線性質可得DO〃AB,由線面平行的判定可得結論；

（2）利用體積橋%二匕一AG。可構造方程求得結果.

【小問1詳解】

連接AC，交AG于點。，連接OQ,

1B:

四邊形AC￡4為平行四邊形，二。為AC中點，又。為BC中點，

DOIIA.B,又Afz平面AC。，平面AG。，

43〃平面4G。.

(2)先證明NBQC即為二面角5-M4-C的平面角，由三角形面積公式及余弦定理求解，即可確定點

M的位置.

【小問1詳解】

取AB中點N,連接ON,PN.

設AB=2a,ae(0,3>^],又OA=3百，PO=4,

所以在Rt^AON和RtZkPON中，ON=727-a2-PN=，16+27-/=混一片,

x22

所以，S八PAR=-2axJ43—a=a-5/43—aW"+"-———=—,

Z_1r.nD222

當且僅當/=43一/,即。=孚€(0,36]時，等號成立.

43

所以A鉆面積的最大值為三.

【小問2詳解】

因為_ABC為圓。的內(nèi)接正三角形，

由正弦定理得：AB=2x36xsin60°=9.

過點B作3Q，AM于點。，連接CQ.

因為△MABgGJWAC，所以CQ例.

所以ZBQC即為二面角B-MA-C的平面角.

連接MN,設OM=7,re(O,4],

則M4=J7+27，MN=J+*

在△?心中，S&BMA=；ABMN=；AMBQ,

r+27

在」BQC中，由余弦定理得:

BQ2+CQ2-BC225

cosZ.BQC

2BQCQ

9t+—

將BQ=CQ=V4，BC=9代入上式，解得r=l.

J產(chǎn)+2