山東省青島市青島第五十八中學(xué)2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上冊10月月考數(shù)學(xué)試題 附答案

2023-2024學(xué)年第一學(xué)期階段性調(diào)研測試

高三數(shù)學(xué)試卷

2023.10

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷和第n卷兩部分。第I卷為選擇題，共60分；第II卷為非選擇題，共90

分,滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘。

2.第I卷共x頁，每小題有一個(gè)正確答案，請(qǐng)將選出的答案標(biāo)號(hào)（A、B、C、D）涂在答題

卡上。第U卷共x頁，將答案用黑色簽字筆（0.5mm）寫在答題紙上。

3.試卷卷面分5分，如不規(guī)范，分等級(jí)（5、3、1分）扣除。

第I卷

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合4=｛耳2*-1>0｝,B=｛X|X2+2X-3<0｝,則AB=（）

A.(0,3)B.(O,l)C.(-3,+co)D.(-l,+co)

2.若z(l-3i)=2-i,則4=(

C.l+iD.1—i

3.已知等差數(shù)列｛q｝的前5項(xiàng)和S$=35,且滿足%=13q,則等差數(shù)列｛4｝的公差為（）

4.2023年5月10|：|21時(shí)22分，搭載天舟六號(hào)貨運(yùn)飛船的長征七號(hào)遙七運(yùn)載火箭，在我國文昌航天發(fā)射場點(diǎn)

發(fā)射，約10分鐘后，天舟六號(hào)貨運(yùn)飛船與火箭成功分離并進(jìn)入預(yù)定軌道.己知火箭的最大速度u（單位：km/s）

與燃料質(zhì)量M（單位：kg）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量加（單位：kg）的函數(shù)關(guān)系為v=21n（l+竺］.若

已知火箭的質(zhì)量為3100kg,火箭的最大速度為llkm/s,則火箭需要加注的燃料質(zhì)量為（）（參考數(shù)值:

In2?0.69,In244.69?5.50,結(jié)果精確到O.Olt,It=1000kg）

A.890.23tB.755.44tC.244.69tD.243.69t

5.已知sin—,則cos

4

6.已知x>0,y>0,且x+2y=l,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（)

A.孫的最大值是一B.2,+4，的最小值是2

]?

C.±+4的最小值是9D./+4y2的最小值是:

xy

7.設(shè)函數(shù)/(x)=sins+?在區(qū)間(0,〃)恰有三條對(duì)稱軸，則0的取值范圍是()

8.已知od,-=-=1.01,(1—c)e<=(1—d)e"=0.99,貝U()

a+\b+\\\)

A.a+b<0B.c+d>0C.a+d>0D.b+c>0

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說法正確的是()

A.函數(shù)y=ax+2-2x(a>0,aH1)的圖像恒過定點(diǎn)A(-2,4)

B.設(shè)xeR,則“卜一1|>1”是“x>3”的必要而不充分條件

C.命題“玉（）G[0,1],+x021”的否定為"Vx€[0,l],A：?+%v1”

D.函數(shù)y=J2'+2+71=的最小值為2

依+2

10.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和是S“，已知工4〉0，S15<0,正確的選項(xiàng)有()

A.q>0,d<0B.%+%>0

(：.56與37均為3的最大值D.4<0

11.已知函數(shù)/(x)=Asin(s+0)1A>0,①>0,-]<夕<1)的部分圖象如圖所示，則()

Aj(x)的最小正周期為〃

jrjrGV3

B.當(dāng)xe時(shí)，的值域?yàn)橐?/p>

C.將函數(shù)/(x)的圖象向右平移鼻個(gè)單位長度可得函數(shù)g(x)=sin2x的圖象

D.將函數(shù)/(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(彳,0)對(duì)

稱

12.已知函數(shù)<(x)=sin2”+cos2"x(〃wN*),記4(x)的最小值為a,,數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為S“，下列

說法正確的是()

1031

A.=—B.0.=—

~2416

〃1n1

C.ZIn(1+a,)<2D.若數(shù)列也｝滿足a=———，則Z叫+也+2<7

/=11—10g2/=14

第n卷

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足：當(dāng)xe[0,l)時(shí)，〃x)=3'-1,且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,均有〃x)+/(x+l)=l,

則”]0g34)=.

14.已知數(shù)列｛q｝前〃項(xiàng)和為5?,若S?=3+2"(〃eN*),則數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式為.

15.濕地公園是國家濕地保護(hù)體系的重要組成部分，某市計(jì)劃在如圖所示的四邊形A8C。區(qū)域建一處濕地公園.

已知NZMB=90。，ZDBA=45°,ZBAC=30°,ZDBC=60°,AB=2&千米，則C￡>=千

米.

16.機(jī)器學(xué)習(xí)是人工智能和計(jì)算機(jī)科學(xué)的分支，專注于使用數(shù)據(jù)和算法來模仿人類學(xué)習(xí)的方式.在研究時(shí)需要估

算不同樣本之間的相似性，通常采用的方法是計(jì)算樣本間的“距離”，閔氏距離是常見的一種距離形式.兩點(diǎn)

2

A(x「y),％)的閔氏距離為D,(A,3)=佃-司"+|凹-%「)°，其中P為非常常數(shù).如果點(diǎn)M在曲

線丁=/上，點(diǎn)N在直線y=x—1上，則〃(M,N)的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本題10分)在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,h,c,已知acos8+bcosA=2ccosC.

(1)求C；

(2)若c=l,求△ABC面積的取值范圍.

18.(本題12分)已知等比數(shù)列｛q｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前八項(xiàng)和為5“，且3q,%，5%成等差數(shù)列，

54+5=5a3.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)4=%?log3an+l,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；.

k

19.(本題12分)已知函數(shù)"x)=ln(l+x)-x+§x2(kN0).

(I)當(dāng)％=2時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線方程；

(II)討論〃力的單調(diào)性.

20.(本題12分)

如圖，直角△ABC中，點(diǎn)M,N在斜邊5c上(M,N異于B,C,且N在M,C之間).

(1)若40是角A的平分線，AM=3,且求△ABC的面積：

(2)已知AB=3,AC-3^3,Z.MAN=—,iSZ.BAM=6.

6

_21

①若sin?=—,求A1N的長；

7

②求八的河面積的最小值.

21.(本題12分)已知首項(xiàng)不為0的等差數(shù)列&｝,公差dwO,a,=0為給定常數(shù))，S,為數(shù)列的｝前〃

項(xiàng)和，且S叫=S,“,(町＜牡)，也｝為相2-叫所有可能取值由小到大組成的數(shù)列.

(1)求女(可以直接寫出結(jié)果)；

(2)設(shè)：；；；+])，刀,為數(shù)列｛c,｝的前〃項(xiàng)和，證明：

22.(本題12分)已知函數(shù)/(x)=xlnx+3,g(x)=2xe'-lnx-x-ln2.

⑴若直線y=x是曲線y=/(x)的一條切線，求。的值；

(2)若對(duì)于任意的玉e(O,+8),都存在%?0,+8),使/(xj2g(占)成立，求a的取值范圍.

2023—2024學(xué)年第一學(xué)期階段性調(diào)研測試

高三數(shù)學(xué)國慶月考試卷答案

2023.10

一、單選題

1.【答案】BV2'-1>0,即2'>1=2°,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，x>0,

A={x[x>0},由％2+2彳-3<0,解得-3<X<1,B={X]-3<X<1},

AB={%|0<%<1}=(0,1).

2-i(2-i)(l+3i)5+5i11.-11.

2.【答案】B【詳解】由z(l—3i)=2—i,得z-------------------=-----=---1--1,Z=-----1.

l-3i(l-3i)(l+3i)102222

3.【答案】DS5=5a1+10J=35；%=4+41=13%,解得d=3,4=1.故選：D.

MM2

4.【答案】B【詳解】依題意，加=3100,令u=21n1+=11,則In1+=lne",所以

31003100

=e“，l+-^-=e5-5,=e55-1?eln24469-1=244.69-1=243.69,所以

31003100

M=3100x243.69=755439kg?755.44t.

5.【答案】C【詳解】因?yàn)閟in(x+C71〕=—,，所以

124

兀c2

=coslZT---2x=-cos—+2x=-l-2sin[x+—

6J16LI12J

7

8

6.【答案】B

對(duì)于A中，由x>0,y>0,且x+2y=l,對(duì)于A中，由x+2yi2j2iy,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=g時(shí)，等

號(hào)成立，所以2"面VI,解得孫A，,即孫的最大值為工，所以A正確；

88

對(duì)于B中，由2*+4￥=2、+22>’22亞匚聲=2亞匹=20,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=g時(shí)，等號(hào)成立，所以

2、+4’最小值為2及，所以B錯(cuò)誤;

對(duì)于C中，1+-=|1+-|(x+2j)=5+^+—>5+2邑?”=9,當(dāng)且僅當(dāng)祖=在，即x=y=L

xyyxy)xy\xyxy3

時(shí)，等號(hào)成立，所以上+*的最小值是9,所以C正確；

尤y

對(duì)于D中，由.+4—=Y(=_L,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=」時(shí)，等號(hào)成立，x'+d/的最

22V2J42

小值是1，所以D正確.

2

7.【答案】D

8.【答案】D

eae

A.V——=——=1.01>0,?,?。>一1,b>-\,令/(%)=上小>-1)

。+1/7+1

則/(x)="…所以f(x)在(TO)單調(diào)遞減，在(O,+X))上單調(diào)遞增,

。+4

且/(0)=0,故。>0,-l<b<0.

令〃(x)=ln/(x)_ln/(_x)=2x_ln(x+l)+ln(_x+l),

i_io

則〃'(x)=2—-—+——=2——J<0,所以〃(x)在(—1,1)上單調(diào)遞減，且〃(0)=0

')x+1-x+11-x2

?.”e(T,0),.??In/?-ln〃/)>0,.?./.)>“詢

?,?/(?)>/(-^)>：-a>-b,即a+A>。,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

B.：(1-c)e，=(1-d)e”=0.99>0,c<l,d<\,令

g(x)=(l-x)e*(x<l),則g'(x)=-xe)所以g(x)在(-oo,0)單調(diào)遞增,

在(0,1)上單調(diào)遞減，且g(O)=l,故()<c<l,d<0.

令加(x)=Ing(x)-Ing(-x)=2x-In(x+1)+ln(-x+1)=

所以〃2(x)在(T,1)上單調(diào)遞減，且〃，⑼=0

：ce(O,l),lng(c)-lng(-c)>0,g(c)>g(-c),g(d)>g(-c)

：.d<-c,即c+d<0,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

C.Vf(x]=-~g(-?)=—=^^>0.99,a€(-1,0)

八)g(T)；/(?)1011，)

g(-a)>g(d),又I，g(x)在(-oo,0)單調(diào)遞增，-a>d,a+d<0

故選C錯(cuò)誤.

D.由C可知,g(-8)>g(c)，-be(0,1)，又；g(x)在(0,1)單調(diào)遞減，.?.一b>c

故選D正確.

二、多選題

9.【答案】BC

對(duì)于A,令x+2=0,則x=—2,即y=a°-2x(—2)=5,所以函數(shù))一2x(a>0,a#0)的圖像恒

過定點(diǎn)A(—2,5),故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,卜一1|>1,解得x>2或x<0,由于｛x|x>3｝U｛x|x>2或x<0｝,則“卜一1|>1”是“x>3”的必要

不充分條件.故B正確；

對(duì)于C,命題“玉0?0，1]，琮+/N1”的否定為“VXG[0,1],爐+%<1"，滿足命題的否定形式，故c

正確；

對(duì)于D,函數(shù)y=,2*+2+一，令f=2'+2>2,則y=f+1，t>2,由雙勾函數(shù)的性質(zhì)知y=f+,

V2￥+2f-t

在(2,+8)上單調(diào)遞增，故y>2+'=3,故函數(shù)y=j2'+2+』—的最小值為2錯(cuò)誤,故D錯(cuò)誤.

22-\/2'+2

10.【答案】ABD根據(jù)題意，等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和是S“，且耳4>0，Sl5<0,則

S|4=——(彳+"4)=7(q+0|4)=7(%+4)>0，即。7+。8>°，

九=——~^=15必<(),即％<0,則為〉0；

故等差數(shù)列｛4｝的前7項(xiàng)為正數(shù)，從第8項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，則q>0,d<0.

則有S7為S”的最大值.故A,B,D正確；故選：ABD.

11.【答案】ACD

【解析】由圖可知，A=l,函數(shù)/(無)的最小正周期T=4x故A正確;

2乃21

69>0,知刃=2,

斤71

因?yàn)?⑥=1,所以sin(2x*+，=l,所以(+e=2Qr+],k&Z,即*=2版■+[■,人Z,

又一匹<°<生，所以°=2,所以/(x)=sin2x+工

226I6

、i,7T7TM_7C7127r71|>/3.

對(duì)于B,當(dāng)XE---,一時(shí)，2xH—€---,—.所以sin2x4—G----,1

44J6L33JI6)2

所以“X)的值域?yàn)橐?1,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,將函數(shù)/(x)的圖象向右平移今個(gè)單位長度，得至ijg(x)=sin=sin2x的圖象，故

C正確;

對(duì)于D,將函數(shù)/(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=sinx+看的圖

象,因?yàn)楫?dāng)尤=1時(shí)，y=sin(V+Wj=sin萬=0,所以得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(葛,0)對(duì)稱，故D正確.

故選：ACD.

12.【答案】ACD

(sin2xY*(cos。)”(sin2x+cos2xY'i

【解析】工(x)=\J+、-J”——聲一心=廣(當(dāng)且僅當(dāng)sin2X=cos2x等號(hào)成立),

4=擊，“2=；，A正確；S4”.B錯(cuò)誤;

8

lx

1.111I2/1

因?yàn)閘n(l+aj<4=訶，所以，足(1+4)<1+弓+至++—q-=------j----=2-T7T<2,。正

L/=l乙乙乙1____乙

~2

確；

,11,,,-1j11_________}______

"-72'ii+lM~z(z+l)(z+2)-2[7(771)-(z+l)(/+2)J'

〃1111111￡11\_

X姐+生2=5Z

---------------1---|---------------------22"(n-l)(n-2)<4D

/=1乙L2x32x33x4+(〃+l)(〃+2)

正確.故選ACD.

三、填空題

13.【解析】由/(x)+/(x+l)=l,得/(x+l)=l—/(x),

(,4\42

貝廿（1嗚4）=1二"皿一1）=1二尸3叼-11——+1=-

\733

5,n=1,

14%=<

2'-',n>2.

ABAC

15.【答案】2#）【解析】在三角形BAC中由正弦定理得,所以

sinZACBsinNABC

_____迫__________=一些—，即注=_____________些_____________

sin(180°-30°-45°-60°)sin(45°+60°)sin45°sin45°cos600+cos45°sin60°

4~/。七-,所以AC=逐+后

V6+V2

4

又NZM5=90°,ZDBA=45°,所以△ABO為等腰直角三角形，所以40=43=20,

在△ZMC中由余弦定理得

CD=yjAC2+AD2-2AC-ADcosADAC

=^(76+V2)2+(2V2)2-2(76+V2)x2V2cos(90°-30°)=2百，所以C￡>=26.

16.【答案】2【解析】設(shè)N(x,x-1),則。(M,N)=|x—f|+|x—1—e],

令/(x)=l+d—X,則r(x)=e*—1,；.當(dāng)xe(-oo,0)時(shí)，當(dāng)XG(0,+OO)時(shí),

A/(x)在(f0)上單調(diào)遞減，在(0,物)上單調(diào)遞增，“x)白〃0)=2,即1+e'Nf+2>f,當(dāng)xWf時(shí),

D,[M,N^=t—x+l+e'—x=e'+t+\—2x>e'—t+\>2,

當(dāng)時(shí)，D](M,N)=x—r+l+e'—x=l+d—122；

當(dāng)x21+e'時(shí)，D\M,N^=x-t+x-\-e'=2x-t-\-e'>2(\+e')-t-^~e'=\+e'-t>2,

綜上所述：〃(M,N)的最小值為2.故答案為：2.

四、解答題

17.【解析】(1)在ZXABC中，由已知及正弦定理得：

sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,

即有sin(A+3)=2sinCcosC,即sinC=2sinCcosC,而OVCVJT,sinC>0,則cosC=g,所以

(2)在△ABC中，由余弦定理/=/+/-2abcosC得：\=a2+b2-ab,

因此122M一次?，即當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?時(shí)取等號(hào),

又SgBc=gabsinC=；x-^a〃=Vabe]。,

,所以"BC面積的取值范圍是

18.【解析】（1）設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為q,因?yàn)?q,小，5外成等差數(shù)列，

所以3%+5aM=2%/,即3+5q=2q2,解得q=3或夕=-g

因?yàn)椋?｝各項(xiàng)均為正數(shù)，所以q〉0,所以4=3,

由§4+5=5%,得+5=5x324,解得弓=1,所以a”=q3"T=3"T(/eN*).

3-1

（2）由（1）知，hn=nx

則7；=lx3°+2x3i+3x32++nx3"-l

所以37；=1x31+2X32+3X33++〃x3”,

1_

兩式相減可得一27；=3°+3i++3"T—〃x3"=下三—"x3”,

整理可得7；=2±1X3"+L.

19.解：(I)當(dāng)％=2時(shí)，/(x)=ln(l+x)-x+f,..=l+2x

33

由于/(l)=ln2,廣(1)=1,所以切線為y_ln2=](x—l)

即3x—2y+21n2-3=0.

(ID/0)=)■+%二I,xe(-l,4w).當(dāng)々=0時(shí)，_f(x)=---.

1+X1IX

所以，在區(qū)間（一1,0）上，r（x）＞0；在區(qū)間（0,+o。）上，f'（x）＜Q.

故/（x）得單調(diào)遞增區(qū)間是（一1,0）,單調(diào)遞減區(qū)間是（0,+8）.

當(dāng)Ovkvl時(shí)，由廣（x）=尢（；+-_0=0,得玉=o,x2=~j~~~＞0

所以，在區(qū)間（―1,0）和（F，+8］上，r（x）＞o；在區(qū)間p），F(xiàn)］上，r（x）〈o

\7\k）

/、（\-k\（1一”、

故/（%）得單調(diào)遞增區(qū)間是（—1,0）和」,+00,單調(diào)遞減區(qū)間是0,匕上.

當(dāng)左=i時(shí)，/＜》）=￡,故/（尤）得單調(diào)遞增區(qū)間是（一1,物）.

當(dāng)左＞1時(shí)，/(x)=+：~—=0.得玉={^e(-l,O),x2=0.

所以沒在區(qū)間（一1，9］和（o,+oo）上，r（x）＞o；在區(qū)間（Y，o）上，r（x）＜o(jì)

故/（X）得單調(diào)遞增區(qū)間是和（0,+8）,單調(diào)遞減區(qū)間是

綜上所述：當(dāng)左=0時(shí)，/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（一1,0）,單調(diào)遞減區(qū)間是（0,”卜

單調(diào)遞減區(qū)間是（0，Y

當(dāng)0”＜1時(shí)，"X）的單調(diào)遞增區(qū)間是（一1,0）,

當(dāng)/=1時(shí)，/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間是（一1,+00）；

當(dāng)上＞1時(shí)，“X）單調(diào)遞增區(qū)間是-1,,（0,+8）,單調(diào)遞減區(qū)間是-寧,0

20.(1)

法一：向量法

???A"是角A的平分線，CM=2MB,

21

/.AM=-AB+-ACf兩邊同時(shí)平方得

33

2421244O10

AM=-AB+-AC+-ABAC,即9=一/+一凡

99999

解得C=疲，b=-,

又?：b=2c,

44

119J29J281

則△ABC的面積“杵=—bc-sinN8AC=——；

22428

法二：等面積法

SHc=-bc-sinZBAC=--c-AMsinZBAM+--b-AMsinACAM，

△AABC222

即40C?1=L-3C.^^+』?3。.^',即8c=^^(b+c),解得c=9”,,b

222222V74

11Q5Q5O1

則△ABC的面積S2pc=±bc.sinN8AC=—?U--0-」=J；

22428

法三：應(yīng)用兩次已知角的余弦定理聯(lián)立求解(略)

(2)由右圖知各角關(guān)系

①方法：角的轉(zhuǎn)換

由已知，AB=3,AC=3石，^BAC=-,

2

ZB=-,zc=-,e<-

362

由已知sin。=立^,則cosd=2~2

77

由正弦定理得

MNAMANAB

1o/Q/Q_,X7

MN=-AMcos0,AM=*sin——0,解得AM=近，MN=-

22I3)4

②方法：底乘高

過A作ADJ.3C于。

則AD=AB-sinB=3?@=^,

22

MN=-AMcos。，AM=

2

...到1-------L_=延/i、廠=36/1、

MN4cossin4lsin『+29)+心2sin[g+28)+6

q（），a2呵0弓八八n"，sin(

20+—&2。+1G(0,l]

37

127127154-276