河北省承德市部分高中2024屆高三年級(jí)上冊(cè)12月期中考試數(shù)學(xué)

2023-2024學(xué)年度上學(xué)期高三年級(jí)自我提升中期測(cè)試

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的)

1.已知復(fù)數(shù)z滿足(4+3i”=-i,則z的虛部為()

4c44.4.

AA.------B.—C.------iD.—i

25252525

2.已知正方體ABC。-44G2，。為下底面ABC。的中心，P為棱。A的中點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是

()

A.直線耳C與直線48所成角60°B,直線耳C與直線。尸所成角為90。

C.直線用C,平面PA。D.直線qC與底面ABC。所成角為45。

3.在WC中，AC=2DC,CB=2BE,CA=a,CB=b,則0E=()

1313131.3,

A.—d-\--bB.—a+~bC.——a—bD.—a-----b

22222222

b

4.當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)/(x)=alnx+—取得最大值—2,則/'(2)=()

x

1i

A.-1B.------C.-D.1

22

5.甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，圓錐的高分別為膈和心,側(cè)面積分

另！J為S甲和S乙，若學(xué)=2,則等=()

S乙吃

A.2B.75C.VWD.叵

4

6.將函數(shù)/(x)=sin/x+F](o>0)圖像向左平移■個(gè)單位長度后得到曲線C,若。關(guān)于y軸對(duì)

稱，則①的最小值是()

1125

AA.-B.—C.—D.—

6333

7.設(shè)｛q｝是公差為d等差數(shù)列，S”是其前“項(xiàng)和，且q<0,“9=52023,貝U()

A.d<0B.。2011=°C.84022=°D.S“2s2oi2

8.已知函數(shù)/(x)=2"m—x(a>0),若函數(shù)y=/(/(x))—x恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則〃的取值范圍為

A.B.C.(0,1)D.(1,2)

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）

9.已知根，〃是兩條不重合的直線，M□是兩個(gè)不重合的平面，則下列說法正確的是（）

A若m〃a,m1(3,則oJL/?B.若mua,nu〃/a,則a//0

C.者aa,n//B，則帆_L〃D.若mua,m〃/3,a/3=n,則加

10.已知函數(shù)〃x）=Aos巳―x+sin巳+x,則下列判斷正確的是（）

A.的圖象關(guān)于直線x=$對(duì)稱

6

B.的圖象關(guān)于點(diǎn)＞寸稱

C.〃龍）在區(qū)間-g,0上單調(diào)遞增

D.當(dāng)時(shí)，/（%）￡（-1,1）

11.已知函數(shù)“X）的定義域?yàn)槠鋵?dǎo)函數(shù)為/'(無).若[x+/(x)]sinx=/'(x)cosx,且

/（0）=0,則（）

A./（x）是增函數(shù)B.“X）是減函數(shù)

C./（X）有最大值D./（x）沒有極值

12.己知數(shù)列｛%｝滿足4=1,/+1=a〃—,則()

A.數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減

B.an<2an+l

C.3an>4an+1D.—<IOO^QQ<3

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

fl-3fe

13.已知3a=5，log273=6，則9=.

14.河北省正定縣的須彌塔是中國建筑寶庫的珍貴遺產(chǎn)，是我國建筑之精品，是中國古代高超的建筑工程

技術(shù)和建筑藝術(shù)成就的例證.一名身高1.7m的同學(xué)假期到河北省正定縣旅游，他在A處仰望須彌塔尖，

仰角為45。，他沿直線（假設(shè)他的行走路線和塔底在同一條直線上）向塔行走了17m后仰望須彌塔尖，仰

角為60。，據(jù)此估計(jì)該須彌塔的高度約為____________m.（參考數(shù)據(jù)：V2?1.414,1.732,結(jié)果

保留整數(shù)）

15.已知函數(shù)八％）的定義域?yàn)镽,y=〃x）+e”是偶函數(shù)，y=/（x）—3/是奇函數(shù)，則的最小值為

16.如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，BA±BC,AB=AAl=4,BC=4>j3,若尸為空間一動(dòng)點(diǎn)，且

怛4|=岳，則滿足條件的所有點(diǎn)尸圍成的幾何體的體積為；若動(dòng)點(diǎn)尸在側(cè)面441GC內(nèi)

運(yùn)動(dòng)，且歸囿=岳，則線段長的最小值為.

四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃（〃eN*）項(xiàng)和為％數(shù)列也“｝是等比數(shù)列，q=3,偽=1,

82+§2=10,a5-2b2-a3.

⑴求數(shù)列｛叫和抄“｝的通項(xiàng)公式；

不，〃為奇數(shù),,

⑵若%=｛S,,設(shè)數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為T“，求耳.

為偶數(shù)

18.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，O,E1分別是BRPABC的中點(diǎn).

p

(1)證明：O￡//平面P5C；

PH

(2)若平面。經(jīng)過點(diǎn)”D,E,且與棱PB交于點(diǎn)H.請(qǐng)作圖畫出“在棱P3上的位置，并求出一的

HB

值.

19.在_ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,已知ZacsinA+/+c?—/=0.

7T

(1)若4=—,a=2,求_ABC的面積；

6

(2)求生電三料叫2的最小值，并求出此時(shí)B的大小.

sin2B

20已知函數(shù)/(x)=x(l—alnx)(aw0).

(1)討論了(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=l時(shí)，設(shè)%,馬為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且滿足/(石)=/(兀2)，證明：xi+x2<e.

21.如圖，在四棱錐S—A3CD中，平面S3。，平面ABC。，底面ABCD是正方形，且E、尸分別是

SB、SD上靠近S的三等分點(diǎn).

(1)求證：AC1SB；

(2)在SC上是否存在一點(diǎn)“，使平面MBD//平面AEF?若存在，求出型的值；若不存在，請(qǐng)說

MC

明理由.

尤2

22.已知函數(shù)/(x)=ln(l+x)+3.

(1)當(dāng)xe[0,+8)時(shí)，比較與X的大小;

(a\

￡=g(b)-1(〃>0,/?>0)

g(x)=COSXH---f(b2)+l>g(a+l)

(2)若函數(shù)2,且\7,證明:

2023-2024學(xué)年度上學(xué)期高三年級(jí)自我提升中期測(cè)試

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的）

1.已知復(fù)數(shù)z滿足?+3i）z=—i,則z的虛部為（）

444.4.

A.-----B.——C.-----1D.—1

25252525

【答案】A

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則直接計(jì)算，結(jié)合復(fù)數(shù)的虛部的概念即可求解.

-i-i（4-3i）34.

［詳解］因?yàn)椋?+3i）z=-i,所以z=-------=---------,------r=-------------i,

4+3i（4+3i）（4-3i）2525

4

所以z的虛部為-一.

25

故選：A.

2.已知正方體ABC?！獮橄碌酌鍭BC。的中心，P為棱?！ǖ闹悬c(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是

（）

A.直線與。與直線43所成角為60。B.直線與。與直線0P所成角為90°

c,直線用平面PACD.直線4c與底面ABCD所成角為45°

【答案】c

【解析】

【分析】在正方體中，利用空間線、面的平行或垂直的判定與性質(zhì)，結(jié)合正方體中已知的位置關(guān)系逐一對(duì)選

項(xiàng)判斷即可，注意題目要求的是錯(cuò)誤的選項(xiàng).

對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)槎鶦//A。，直線gc與直線4臺(tái)所成角即為直線4。與直線43所成角，因?yàn)?/p>

48。是正三角形，故直線4。與直線所成角為60。，A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)镺P〃BD[,又4C_LBC1，面BCG4，故4G，片。，而

4。1門3。]=。1，4。1，3￡<=平面3G2,故與C，面5G4,所以直線故4c與直線

。尸所成角為90°,B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：同選項(xiàng)A結(jié)合正方體的性質(zhì)可知直線B|C與AC不垂直，故C不正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：由CG，平面A3CD可知直線4c與底面ABCD所成角為NB]CB,NB]CB=45°,故

D正確.

故選：C.

3.在，ABC中，AC=2DC,CB=2BE,CA=a,CB=b,則DE=(

B.L+為13

A.——a+—b-D.—a----b7

22222222

【答案】A

【解析】

3

【分析】先結(jié)合圖形表示出CE=；CB,CD=-CA；再根據(jù)向量的減法運(yùn)算即可解答.

2

因?yàn)锳C=2DC,CB=255,01=4,08=人，

31

所以CE=3QB,CD=-CA.

22

-3-1-3-1-

所以DE="—CD=—C3——CA=-b——a.

2222

故選：A

b

4.當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)/(x)=alnx+—取得最大值—2,則/'(2)=()

x

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知*1）=2/（1）=0即可解得a也再根據(jù)/'（尤）即可解出.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)“X）定義域?yàn)椋?,+"）,所以依題可知，/（1）=-2,/,（1）=0,而（（無）=：-5，

22

所以/?二一2,〃一〃=。，即〃=一2/二-2,所以/（%）二一一+—,因此函數(shù)/（%）在（0,1）上遞增，在

xx

（1,+8）上遞減，》=1時(shí)取最大值，滿足題意，即有r（2）=—i+g=—g.

故選：B

5.甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，圓錐的高分別為4和心，側(cè)面積分

別為S甲和S乙，若￡=2,則步=（）

S乙h乙

A.2B.75C.V10D.巫

4

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)出母線長、圓心角及底面半徑后計(jì)算即可得.

【詳解】設(shè)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長都為/,底面半徑分別為（、弓，

側(cè)面展開圖的圓心角分別為a、0,則（/+分=2兀,

,—al2

則d=3——=3=2,故a=2/3,

s乙1例2B

4兀

即有a

T

27rl=al,即K————I,

12兀3

故選：D.

6.將函數(shù)/（x）=sin[ox+f3〉0）的圖像向左平移!■個(gè)單位長度后得到曲線°,若C關(guān)于>軸對(duì)

稱，則。的最小值是（）

112

A.-B.-C.一

633

【答案】C

【解析】

【分析】得出平移后的方程后，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】/（X）的圖像向左平移|■個(gè)單位長度后為.7171

y=sinGX+一刃+一,

126；

由。關(guān)于》軸對(duì)稱，即有0X0+工。+巴=工+E（keZ）,

262

27

解得0=耳+2左（左eZ）,又①>0,故。的最小值為

故選：C.

7.設(shè)｛%｝是公差為d的等差數(shù)列，是其前〃項(xiàng)和，且4<0,S]999=S2°23,則（）

A.d<0B.。2011=。C.S4022—°D.S〃N*^2012

【答案】C

【解析】

【分析】由S]999=S2023可得。2011+“2012=。，結(jié)合％<。知。2011<°,“2012>。，依次對(duì)選項(xiàng)判斷即可.

【詳解】因S]999=S20239

則S1999=4+〃2+“3++弓999，

S2023ICl?+(^3++“1999+°2000++“2023'

兩式相減可得：%o0o+goo1+%002+〃2023=+出⑵)=Q，

即^2000+々2023=a2011+a2012=。,

又因?yàn)椤?<。，所以。2011<0，。2012>0，所以d>0,故A,B錯(cuò)誤;

4022(q+。4022)_4022(a2011+a2012

S4022==0,故C正確;

22

因?yàn)椤?011V°，“2012>°，所以⑸）3=$20山所以故D錯(cuò)誤.

故選：c.

8.已知函數(shù)/(x)=2i+*—x(a>0),若函數(shù)y=/(/(尤))—尤恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍為

()

B.C.(0,1)D.(1,2)

(eln2'J

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)/(尤)=/(/(》))-x=2"匹)-22，問題可以轉(zhuǎn)化為/(x)=x有兩個(gè)解，即

Inx

河112=媽恰有兩個(gè)解,構(gòu)造g(x)=,，對(duì)g(x)求導(dǎo)，分析單調(diào)性，值域，進(jìn)而可得結(jié)論.

XX

［詳解］因?yàn)楹瘮?shù)F(X)=/(/(%))_x=_f(x)-x=2”外工)_21+-,

因此尸(x)=0,即2/3=25,即4(x)=ox,又?！?,

所以函數(shù)尸(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，即/(x)=x有兩個(gè)解，

InV

即于口=2x恰有兩個(gè)解，即aln2=——恰有兩個(gè)解，

X

、「一s/、Inxw，/、1-lnx

工己函數(shù)g(%)=——，貝1g(%)=——5一'

XX

令g'(x)>0,解得0<x<e,令g'(x)<o,解得無>e,

所以g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

故極大值也是最大值為g(e)=弼=L

ee

作出g(x)的大致圖象如下:

InY（1?1

所以。ln2=」恰有兩個(gè)解，則aln2e0,一,故。6（。，=；），

xIejeln2

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過變形得到即aln2=^恰有兩個(gè)解，再設(shè)新函數(shù)研究右邊的極值和圖

X

象，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可得到答案.

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）

9.已知根，，是兩條不重合的直線，。,尸是兩個(gè)不重合的平面，則下列說法正確的是（）

A,若m//a,機(jī)_L,，則tzJ_B.若機(jī)ua,“u尸,加〃力,“〃a,則a〃p

C.若a上B，m〃a,n〃0,則機(jī)_L〃D.若mua,m〃/3,a/3=n,則加

【答案】AD

【解析】

【分析】利用空間線、面平行或垂直的判定與性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一判斷，正確的加以證明，不正確的舉出

反例.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：過機(jī)作平面/交平面a于/,如下圖，因?yàn)楦鵤,所以機(jī)///,而m_L/?,所以

1-LJ3,而/ua,故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：舉反例如下圖，設(shè)。0=1,當(dāng)m/〃，〃///時(shí)，mua,nuB，m〃（3,n〃a,符合題目

條件，但a〃/?不成立，故選項(xiàng)B不正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：舉反例如上圖，a工B，m〃a,n〃B,但此時(shí)加〃“選項(xiàng)C不正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：若mua,m///3,a\/3=n,由線面平行的性質(zhì)定理可得力〃〃，D正確;

故選：AD

10.已知函數(shù)/(x)=Gcosg-x]+sing+d,則下列判斷正確的是()

A./(X)的圖象關(guān)于直線》=巴對(duì)稱

6

B.”力的圖象關(guān)于點(diǎn)，對(duì)稱

C."%)在區(qū)間-g,0上單調(diào)遞增

D.當(dāng)xel—g,g|時(shí)，/(%)e(-l,l)

【答案】BC

【解析】

【分析】AB選項(xiàng)，化簡(jiǎn)得到/(x)=2sinfx+g],代入x=5和x=—四，檢驗(yàn)是否是對(duì)稱軸和對(duì)稱中心;

Voy66

兀717171I71571)

C選項(xiàng)，求出1+，從而得到C正確;D選項(xiàng),求出—：，▼,得到了(力?-1,2).

62J6okoo7

【詳解】A選項(xiàng)，/(x)=6cosx)+sin[]+x)=A/3sinx+cosx=2sin

當(dāng)x=E時(shí)，=+=,故/(%)的圖象不關(guān)于直線x=■對(duì)稱，A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，當(dāng)％=-6時(shí)，=2sin^--+—^=0,故/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B正確;

,.271.7171717171

C選項(xiàng)，xe----,0時(shí)，xH—G-----,一，因?yàn)閥=smz在26上單調(diào)遞增，

36262o

故/(x)在區(qū)間一§,0上單調(diào)遞增，C正確；

D選項(xiàng)，xe[-時(shí)，x+qe1—7，石[,故/(x)=2sin[x+a]e(-1,2),D錯(cuò)誤.

故選：BC

11.已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)?K],其導(dǎo)函數(shù)為了'(%).若[x+/(x)]sinx=/'(x)cosx,且

"0)=0,則()

A.尤)是增函數(shù)B.7(x)是減函數(shù)

C.7(%)有最大值D.7(x)沒有極值

【答案】AD

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，引入函數(shù)g(x)=〃x)cosx,由g'(x)20得其遞增，從而可確定了'⑴的

正負(fù)得"X)的單調(diào)性，從而判斷各選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)?'(%)cosx=［x+/(x)］sinx,所以/'(￡)<?5兀一/(%)5桁%=%5桁%,設(shè)

g(x)=/(x)cosx,則g'(x)=xsinx,因?yàn)橛谌f卜所以g'(x)=xsinxN。恒成立，所以

y=g(x)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?0)=0,所以g(0)=/(0)cos0=0,所以當(dāng)

時(shí)，g(x)<0,當(dāng)時(shí)，g(x)>0,〃x)/9［=g'(x)c°sx+g(x)sinx,當(dāng)

I2)|_cosxjcos2x

時(shí)，g(x)<0,g'(x)>0,cos%>0,sinx<0,故/其了)>。恒成立；當(dāng)時(shí)，

g(%)>0,g'(九)>0,cosx>0,sin%>0,故/4x)>。恒成立.所以/'(x)20在［一■!，■1］上恒成

立,故丁=/(x)在［-合5］上單調(diào)遞增.

故選：AD.

12.已知數(shù)列｛a“｝滿足4=1,4+1=%—ga；(〃eN*),則()

A.數(shù)列｛g｝單調(diào)遞減B.%<2%

C.3a?>4an+1D.—<lOOtz<3

2100

【答案】ABD

【解析】

【分析】對(duì)A：通過計(jì)算得到可>0,則有4M-4<0,即可得到；對(duì)B：作差構(gòu)造不等式計(jì)算即可得;

對(duì)C：通過計(jì)算與、。3找出反例即可得；對(duì)D：通過遞推公式變形，再構(gòu)造放縮可得.

【詳解】對(duì)A選項(xiàng)：由4=1,a%,+1。"一六3則g=耳6（0,1）,

依次類推可得當(dāng)”22時(shí)，有a”e（0,1）,

故為+「4=—；d<0,故數(shù)列｛&｝單調(diào)遞減,即A正確;

12

對(duì)B選項(xiàng)：由an+l=an

22為4

則2a“+i—a”=a~~an=--+

nIr

由q=l,當(dāng)〃之2時(shí)，an￡(0,1),

22

33

故2an”-+r]i~an=—3+->-—!0-—I+-=0>

n%48348

即a“<2%,故B正確;

一31,14,貝ij3a2=2,4a3=，〉2,

對(duì)C選項(xiàng)：/~。2—§“2~

即3%<4%,故C錯(cuò)誤;

1,1311

----=-----------------1-

對(duì)D選項(xiàng)：由4+i=an--a-

%+i4(3-%)an3-。“

1111

即--------=----->3,

%an3-a?

111111111

故有-------->-,------>一,L,-------->一,（〃之2）

an4.13an-l4-23d?3

11l1z1123

累加有------>n，(n>2),

3an

31—2100.

故aioo<--------——，即有l(wèi)OOq00<------<3,

100+23434

11111L1

—=--------<——

又%a33(〃+1，（M>2）

n3-43_

n+2

1111+

故當(dāng)〃之3時(shí)，--------<TS

a,%3

111If,o

又------=3/1+T>

a2%2312)

111/八If11D/、

累加有------<片(“-1)+二|彳+片++->("23),

v

anq33123nJ/

即^l<-(100-l)+-11111

—I------F???H---------<33+-|-x4+-x96=39,

“l(fā)oo3323100326

即“100>9故l00%00>］，

故gvlOOqoo<3,故D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系合理構(gòu)造及放縮法的巧妙運(yùn)用.

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知3"=5，log273=b,則9"-3）=.

25

【答案】—

【解析】

【分析】由指對(duì)互化得出log35=。，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算得出a-3〃=log3g,則可代入90厘中計(jì)算得出答案.

【詳解】由3"=5可知1叫5=。，

則a-3b=log35-31og273=log35-3log333=log35-log33=log31,

則曠％=910g33=321og33=3晦1）=0=空,

25

故答案為：—.

9

14.河北省正定縣的須彌塔是中國建筑寶庫的珍貴遺產(chǎn)，是我國建筑之精品，是中國古代高超的建筑工程

技術(shù)和建筑藝術(shù)成就的例證.一名身高1.7m的同學(xué)假期到河北省正定縣旅游，他在A處仰望須彌塔尖，

仰角為45°,他沿直線（假設(shè)他的行走路線和塔底在同一條直線上）向塔行走了17m后仰望須彌塔尖，仰

角為60。，據(jù)此估計(jì)該須彌塔的高度約為_____________m.（參考數(shù)據(jù)：應(yīng)。1.414，石土L732,結(jié)果

保留整數(shù)）

【答案】42

【解析】

【分析】作出圖形，求出角度，利用正弦定理結(jié)合15°的正弦值，求出答案.

【詳解】如圖，44=17,因?yàn)镹C41A=45°,NC42=60°,所以/4。耳=15°,

C

=44SinNC41a=17sin45°

i-sinZz41c4―sin15°'

其中sin15。=sin（60°-45。）=sin600cos45-cos600sin450=—x^-=-，

{'22224

17sin4517X

ifTrR_0_T_34?_34A/2X（76+A/2）

故凈一飛曠—需⑹⑸、⑻@一]7（w+]）,

4

?17（3+6）17x4.732…

又CD]=CB[sin600=―匕——-,a且6rL732，所以=---------士40.2,

又該同學(xué)身高1.7m,所以塔高約為40.2+1.7=41.9ma42m.

故答案為：42.

15.已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,y=〃x)+e*是偶函數(shù)，y=/(x)—3/是奇函數(shù)，則的最小值為

【答案】2A/2

【解析】

【分析】由題意可得/(%)=^+2片"再結(jié)合基本不等式即可得答案.

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=〃x)+e”為偶函數(shù)，則/(—x)+eT=/(x)+eX,

BP/(x)-/(-x)=e-x-ex,①

又因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)—3e”為奇函數(shù)，則/(-x)-3e-r=-f(x)+3er,

即/(x)+/(-x)=3eA+3e-r,②

聯(lián)立①②可得/(x)=e*+2e-%,

由基本不等式可得/(%)=/+2e-r>2^ex-2e-x=2&，

當(dāng)且僅當(dāng)e*=2ef時(shí)，即當(dāng)x=」ln2時(shí)，等號(hào)成立，

2

故函數(shù)/(尤)的最小值為2&?

故答案為：2叵

16.如圖，在直三棱柱ABC-44G中，BA±BC,AB=A^=4,BC=4y/3,若尸為空間一動(dòng)點(diǎn)，且

忱4|=屈，則滿足條件的所有點(diǎn)尸圍成的幾何體的體積為；若動(dòng)點(diǎn)尸在側(cè)面AAGC內(nèi)

運(yùn)動(dòng)，且忸4|=岳，則線段破長的最小值為.

【答案】①.52T②.回

【解析】

【分析】根據(jù)球的體積公式即可求解空1，根據(jù)球的截面圓性質(zhì)，結(jié)合線面垂直以及點(diǎn)到圓上的最小距離即

可求解空2.

【詳解】由伊4|=舊可得點(diǎn)p的軌跡為以用為圓心，以為半徑的球面,

所以圍成的球的體積為3兀（如『=52產(chǎn),

過B作班1AC，

_ABBC4x4百八

由84,30,43=44=4,3。=46，則由等面積法可得AC-+卜⑹2心,

由于在直三棱柱ABC-4與￡中，平面ABC,BEu平面ABC故

由于AAcAC=A,AA,ACu平面AAjQC,故BEJ_平面A41cle，

由于石尸u平面441clC,故BELEP,

所以BP=NEB?+EP?=y/n+EP2，

由于81到平面A4,C]C的距離和點(diǎn)B到平面A&GC的距離相等，均為BE=2^3,

又|P3j=屈，所以點(diǎn)尸的軌跡為以B]為圓心，以JR為半徑的球與側(cè)面A&GC的截面圓，該截面圓

的半徑為r=J（啊2_於=1,圓心為尸,且滿足EF//AA,,

因此點(diǎn)石尸的最小距離為4—r=3,

故明"12+礎(chǔ)”底?3,

故答案為：必叵，721

3

四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.已知等差數(shù)列｛4｝的前“（"eN*）項(xiàng)和為S“，數(shù)列抄”｝是等比數(shù)列，q=3,4=1,

Z?2+52=10,a5-2b2=a3.

⑴求數(shù)列｛4｝和低｝的通項(xiàng)公式;

不，〃為奇數(shù)（）

⑵若c'=｛S",設(shè)數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為T”，求與”.

卻〃為偶數(shù)

l+22n+11

【答案】(1)。"=2"+1,2=2"T；(2)

32M+1

【詳解】試題分析：（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d，等比數(shù)列｛4｝的公比為必根據(jù)題意列出表達(dá)式,

解出公比和公差，再根據(jù)等差數(shù)等比列的通項(xiàng)公式的求法求出通項(xiàng)即可；（2）根據(jù)第一問得到前n項(xiàng)和,

--一為奇數(shù)

數(shù)列cn=<nn+2，分組求和即可.

為偶數(shù)

解析:

（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d，等比數(shù)列｛〃｝的公比為9,

q+3+3+d=10

%=3,4=1,b+S=10,a-2b2-a

22533+4d—2q=3+2d

H-1

:?d=2,q=2,：.an=2n+19bn=2.

n(3+2n+l)/、--—為奇數(shù)

一^="〃+)???

（2）由⑴知，Sn2,q<nn+2

2〃T,”為偶數(shù)

2-+■?-+3+—+”)=丁+

18.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面A8CD是正方形，O,E,F分別是BRPABC的中點(diǎn).

（1）證明：OE//平面PBC；

PH

（2）若平面a經(jīng)過點(diǎn)￡。,石，且與棱PB交于點(diǎn)”.請(qǐng)作圖畫出〃在棱尸3上的位置，并求出——的

HB

值.

【答案】（1）證明見解析

PH

（2）圖見解析，一=2

HB

【解析】

【分析】（1）根據(jù)中位線可得線線平行，即可根據(jù)線面平行判定求證,

（2）根據(jù)平行線可得共面，即可根據(jù)相似求解.

【小問1詳解】

連接AC,則。為AC的中點(diǎn)，

因?yàn)镋為K4的中點(diǎn)，所以O(shè)E〃尸C.

又OEZ平面PBCPCi平面PBC，

所以O(shè)E//平面PBC.

【小問2詳解】

如圖，過尸作直線/與平行，

則/〃AD,故/,A。共面.

延長。E與/交于點(diǎn)G,連接FG,FG與PB的交點(diǎn)即為點(diǎn)

因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，尸是的中點(diǎn)，

所以A￡>〃3C,且AD=2￡B，

因?yàn)镋是K4的中點(diǎn)，所以尸G=AD,

19.在ABC中，內(nèi)角A、B、。的對(duì)邊分別為“、b、c,已知ZacsinA+/+c?—/=0.

7T

（1）若4=一，。=2,求,ABC的面積；

6

//、4sin2c+3sin2A+2,,?.（（>

（2）求------------------的最B小值，并求出此時(shí)3的大小r.

sin2B

【答案】19.6

4sin2c+3sii?A+22K

20.的最小值是5,此時(shí)3

sin25T

【解析】

【分析】(1)結(jié)合余弦定理與面積公式即可得；

(2)結(jié)合三角恒等變換與三角形內(nèi)角和，將原式中多變量換成單變量，再結(jié)合基本不等式即可得.

【小問1詳解】

^22_,2

由題意得sinA+巴士——=0,

2ac

22

a+c"2

因?yàn)閏osB=

lac

所以sinA+(:＜圮8=0,故cosB=—sinA,

兀1

又A=—,所以COSJB=—.

62

因?yàn)?、。是_43。的內(nèi)角，所以B為鈍角，

所以3=M，所以C=2，

所以.A5c是等腰三角形，則。=。=2,

所以^AABC=~cicsinB=gx2x2x.

【小問2詳解】

由（1）可知，在_ABC中，cosB=—sinA<0,

7T

即3為鈍角，則3=A+—,

2

3兀

因?yàn)锳+_B+C=TC,C=TI—A.—B=-----2B,

2

m24sin2C+3sin2A+24cos22B+3cos2B+2

所以---------%--------=---------------------

sin2Bsin2B

4cos之23+3COS2B+2

設(shè)〃3)=

sin25

4（1-2sin2B）2+3（l-sin2B）+2

則〃B)=

sin2B

16sin4B-19sin2B+9,9

=16sin2B+--——19,

sin25sin2B

由sin23G（0,1）,

故=16sin2B+———19>2jl6sin2B?—-19=5,

')sin2BVsin2B

當(dāng)且僅當(dāng)16sin23=—即sin3=立，

sin-52

9jr

結(jié)合B為鈍角，即當(dāng)3=」時(shí)等號(hào)成立，

3

4sin2C+3sin2A+2?曰=,,,?2兀

所以---------；--------的最B小值是5,此時(shí)n3=—.

sin253

20.已知函數(shù)/(月=兀(1-疝)%)(000).

(1)討論“X)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)。=1時(shí)，設(shè)石,工2為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且滿足/(%)=/(兀2)，證明：Xi+x2<e.

【答案】(1)答案見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求出/'(x)=-alnx+1—。=0的根，當(dāng)。>0時(shí)，/'(可單

調(diào)減；當(dāng)a<0時(shí)，/'(可單調(diào)增；分別求出門勾>。與/'(力<0的解即可；

⑵構(gòu)造函數(shù)必可=/(x)—/(