高考二輪復習數(shù)學課件（新高考新教材）素養(yǎng)提升微專題（六）非線性經(jīng)驗回歸問題

素養(yǎng)提升微專題(六)非線性經(jīng)驗回歸問題第一編問題提出經(jīng)驗回歸方程不一定總是線性的,也可能是非線性的,此類問題具有十分重要的現(xiàn)實意義.解決此類問題,應先選擇合適的函數(shù)模型,進行變量代換,求出代換后的經(jīng)驗回歸方程,再轉(zhuǎn)化為非線性經(jīng)驗回歸方程.典例分析[例]我國在1980年9月10日,第五屆全國人民代表大會第三次會議通過并公布了《中華人民共和國個人所得稅法》,公民依法誠信納稅是義務,更是責任.現(xiàn)將自2013年至2017年的個人所得稅收入統(tǒng)計如下.年份20132014201520162017時間代號x12345個稅收入y/千億元6.537.388.6210.0911.97制作時間代號x與個人所得稅收入的散點圖如圖所示.根據(jù)散點圖判斷,可用①y=menx與②y=px2+q作為年個人所得稅收入y關于時間代號x的回歸方程,經(jīng)過數(shù)據(jù)運算和處理,得到如下數(shù)據(jù).以下計算過程中四舍五入保留兩位小數(shù).(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù),分別求出①②中y關于x的經(jīng)驗回歸方程.(2)已知2018年個人所得稅收入為13.87千億元,用2018年的數(shù)據(jù)驗證(1)中所得兩個經(jīng)驗回歸方程,哪個更適宜作為y關于時間代號x的回歸方程?(3)你還能從統(tǒng)計學哪些角度來進一步確認哪個經(jīng)驗回歸方程更適宜?(只需敘述,不必計算)解

(1)對于①,由y=menx,等式兩邊取自然對數(shù)得ln

y=nx+ln

m,設z=ln

y,r=ln

m,(3)從統(tǒng)計學分析,這里從5組數(shù)據(jù)建立經(jīng)驗回歸方程,數(shù)據(jù)較少,故應增加數(shù)據(jù)建立方程,再分析變換后的線性方程,根據(jù)殘差及決定系數(shù)R2來檢驗擬合效果.規(guī)律方法非線性經(jīng)驗回歸方程的求法(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)作出散點圖(或題目中已知散點圖).(2)根據(jù)散點圖,選擇恰當?shù)臄M合函數(shù).(3)作恰當變換,將其轉(zhuǎn)化成線性函數(shù),求經(jīng)驗回歸方程.(4)在(3)的基礎上通過相應變換,即可得非線性經(jīng)驗回歸方程.對點演練x1234567y611213466101196某公交公司近期推出支付方式A和支付方式B掃碼支付乘車活動,活動設置了一段時間的推廣期,由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大,吸引越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次,x表示活動推出的天數(shù),y表示每天使用掃碼支付的人次(計十人次為1個單位,例如y=6表示60人次),統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示.根據(jù)以上數(shù)據(jù),繪制了散點圖.(1)根據(jù)散點圖判斷,在推廣期內(nèi),y=a+bx與y=c·dx(c,d均為大于零的常數(shù)),哪一個適宜作為掃碼支付的人次y關于活動推出天數(shù)x的經(jīng)驗回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結果及表中的數(shù)據(jù),建立y與x的經(jīng)驗回歸方程,并預測活動推出第8天使用掃碼支付的人次.(3)推廣期結束后,車隊對乘客的支付方式進行統(tǒng)計,結果如下表所示支付方式現(xiàn)金乘車卡掃碼比例10%60%30%某公交公司車隊為緩解周邊居民出行壓力,以90萬元的單價購進了一批新車,根據(jù)以往的經(jīng)驗可知,每輛車每個月的運營成本約為0.66萬元.已知該線路公交車票價為2元,使用現(xiàn)金支付的乘客無優(yōu)惠,使用乘車卡支付的乘客享受8折優(yōu)惠,掃碼支付的乘客隨機優(yōu)惠.根據(jù)統(tǒng)計結果得知,使用掃碼支付9折優(yōu)惠.預計該車隊每輛車每個月有2萬人次乘車,根據(jù)所給數(shù)據(jù)以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率,在不考慮其他因素的條件下,按照上述收費標準,請你估計這批車輛需要幾年(結果取整數(shù)年)才能盈利?參考數(shù)據(jù):解

(1)根據(jù)散點圖判斷,在推廣期內(nèi),y=c·dx(c,d均為大于零的常數(shù)),適宜作為掃碼支付的人次y關于活動推出天數(shù)x的經(jīng)驗回歸方程類型.(2)根據(jù)(1)的判斷結果y=c·dx,兩邊取對數(shù)得:lg

y=lg

c+x·lg

d,其中l(wèi)gy=0.54+0.25x,y=100.54+0.25x=3.47×100.25x.當x=8時,y=100.54+0.25×8=3.47×102=347,活動推出第8天使用掃碼支付的人次為3470.(3)設一名乘客一次乘車的費用為ξ元,由題意知ξ所有的可能取值為1.4,1.6,1.8,2,E(ξ)=1.4×0.05+1.6×0.7+1.8×0.15+2×0.