2023-2024學年北京海淀高三（上）期中數(shù)學試卷（含答案）

2023北京海淀高三（上）期中

數(shù)學

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.已知集合、={?。?}1={1,2},則ADB=（）

A.(-oo,2)B.(-oo,2]C.{1}D.{152}

2

2.若復數(shù)z滿足z?i=---，則z=()

1+i

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0,+8）上單調遞增的是（）

A.y=lnrB.y=x3C.^=|tanx|D.y=2W

4.已知向量a1滿足a=（2』）,a-8=（—l,2）,則ab=（）

A.—5B.0C.5D.7

5.設等差數(shù)列{%}的前?項和為s?,且§5=15,則〃2.%的最大值為（）

9

A.—B.3C.9D.36

4

3

6.設a=k>g46,〃=log23,c=/,則()

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a

7.“sin6+tan。＞0”是"0為第一或第三象限角”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.在_A8C中，sinB=sin2A,c=2a,則()

A.NB為直角B.為鈍角C.NC為直角D.NC為鈍角

9.古典吉他的示意圖如圖所示.4,8分別是上弦枕、下弦枕，4（i=l,2,,19）是第i品絲.記生為4

X-L

與4T的距離，4為Aj與4的距離，且滿足勾=i,i=l,2,…，19,其中XL為弦長（4與B的

距離），M為大于1的常數(shù)，并規(guī)定4=0.則（）

V

A.數(shù)列4,。2,，，“19是等差數(shù)列，且公差為-'M14,

B.數(shù)列q,《，，％9是等比數(shù)列，且公比為-----

M

2M-1

C.數(shù)列右,乙，，49是等比數(shù)列，且公比為——

M

D.數(shù)列，49是等差數(shù)列，且公差為

M-

10.在等腰直角三角形ABC中，4B=2,M為斜邊的中點，以“為圓心，M4為半徑作公，點P在

線段上，點。在衣上，則的取值范圍是()

A.[0,V10]B.[0,2+V2]C.[2-V2,V10]D.12—0,2+也]

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)〃x)=lg(x+l)+，的定義域是.

12.在平面直角坐標系X。)，中，角a以Ox為始邊，終邊經過點P(l,—2),則tan2a=.

13.已知非零向量a=x,+e2),b=G+ye2，其中弓,弓是一組不共線的向量.能使得a與匕的方向相反

的一組實數(shù)的值為x=,丁=.

14.已知函數(shù)/(x)=2sin(&x+0)的部分圖象如圖所示.

①函數(shù)/(%)的最小正周期為

②將函數(shù)的圖象向右平移（>0）個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象.若函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，貝打

的最小值是.

15.已知函數(shù)=給出下列四個結論：

[x+2ax.x>a

①當a=0時，/（x）的最小值為0；

②當時，/（x）存在最小值；

③/（%）的零點個數(shù)為g（。），則函數(shù)g（。）的值域為｛0,1,2,3｝；

④當。21時，對任意不/eR,/（xJ+/（X2）N2/（七三）.

其中所有正確結論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知無窮等比數(shù)列｛4｝的各項均為整數(shù)，其前"項和為工嗎=3,4+%=10.

（1）求｛4｝的通項公式；

（2）證明：對VZeN*,3晶,2S&M，1+2這三個數(shù)成等差數(shù)列.

17.已知函數(shù)/（x）=2cosx-cos（x+e）（M<^）,從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作

為己知，使函數(shù)/（X）存在.

條件①：=

TT

條件②：函數(shù)/（X）在區(qū)間0,-上是增函數(shù)；

條件③：

注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.

（1）求。的值；

1T

（2）求/（X）在區(qū)間-5,0上的最大值和最小值.

18.已知曲線C:y=4—無2與x軸交于不同的兩點A3（點A在點8的左側），點尸?,0）在線段A3上

（不與端點重合），過點P作x軸的垂線交曲線C于點Q.

（1）若△APQ為等腰直角三角形，求△APQ的面積；

(2)記△APQ的面積為S(r),求S(。的最大值.

19.某景區(qū)有一人工湖，湖面有兩點，湖邊架有直線型棧道co,長為50m,如圖所示.現(xiàn)要測是

A,8兩點之間的距離，工作人員分別在C,。兩點進行測量，在C點測得NA8=45。，ZBCD=30°；

在0點測得乙4。3=135°,/5。。=12()°.(A,8,C,。在同一平面內)

(1)求A8兩點之間的距離;

(2)判斷直線CO與直線是否垂直，并說明理由.

20.己知函數(shù)〃尤)=*鬢，且/⑴4/⑷染.

(1)求。力的值；

(2)求/(尤)的單調區(qū)間；

(3)設實數(shù)加滿足：存在ZwR,使直線丫=辰+機是曲線y=/(x)的切線，且丘+加2/(力對

xe[0,4s)恒成立，求機的最大值.

21.設無窮數(shù)列｛%｝的前“項和為",乩｝為單調遞增的無窮正整數(shù)數(shù)列，記A“=S褊-％,(〃=1,2,…),

定義。=｛/eN*%—S/0次=/+1"+2,,｝.

⑴若aa=〃,*=〃2(〃=1,2,),寫出4，42的值；

(1

(2)若a“=——(”=1,2,),求C；

、2)

1,x>0,

⑶設sgn(x)=<0,x=0,求證：對任意的無窮數(shù)列｛a“｝,存在數(shù)列使得｛sgn(A,)｝為常數(shù)歹ij.

-1,x<0.

參考答案

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.【答案】B

【分析】根據(jù)并集的運算即可求解.

【詳解】A集合包含所有小于2的實數(shù)，8包含1和2兩個元素，所以Au8={x|x<2},

故選：B.

2.【答案】A

【分析】根據(jù)復數(shù)除法和乘法運算法則計算.

2122(TT)=2(-l-i)-

【詳解(-l+i)(-l-i)-1+1

故選：A.

3.【答案】D

【分析】A選項，y=定義域不關于原點對稱，不是偶函數(shù)；B選項，/（x）=%3為奇函數(shù)；C選項,

根據(jù)8（兀）=8（2兀）=0得到C不滿足在區(qū)間（0,+8）上單調遞增；D選項，判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在

（0,+8）上單調遞增.

【詳解】A選項，y=hl丫的定義域為（0,+8）,定義域不關于原點對稱，故不是偶函數(shù)，A錯誤；

B選項，f（x）=d的定義域為R,且/（_%）=__?=_/（￡）,故/（x）=d為奇函數(shù)，B錯誤;

C選項,設g（x）=kanx|,因為g（jr）=|tan兀|=0,g（2兀）=|tan27tl=0,

故丁=卜刎在（0,+8）上不單調遞增，c錯誤；

D選項，〃（%）=2兇的定義域為區(qū)，且〃（一%）=2問=2兇=〃（刀），故〃（x）=2兇為偶函數(shù)，

又當x>0時，網力=2"在（0,+8）上單調遞增，故滿足要求，D正確.

故選：D

4.【答案】C

【分析】先求出》="一（。一。）=（3,-1）,進而利用向量數(shù)量積公式求出答案.

【詳解】因為a=（2,l）,a—6=（—1,2）,所以。=“一（。一4=（2,1）—（一1,2）=（3,—1）,

故am=(2,l>(3,_l)=2x3—l=5.

故選：C

5.【答案】C

【分析】先求得小的關系式，然后利用基本不等式求得正確答案.

【詳解】設等差數(shù)列｛q｝的公差為"，則S5=5G+1（W=15,6+22=3,

Z\2

也即%=3,所以2以=d=9，

I2,

當且僅當4=4=3時等號成立.

故選：C

6.【答案】D

【分析】首先將這三個數(shù)化為同底的對數(shù)，再根據(jù)單調性比較大小.

【詳解】a=log46=log,V6-b=log23=log2>/9,

32/-

c=—=log22=log2A/8，

因為y=log2X是增函數(shù)，yje<yfs<49<

所以“<c<b.

故選:D

7.【答案】C

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關系化簡，根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號，結合充分條件、必要條件即可得解.

【詳解】因為sine+tane=1m°（c°s,+l）>。時,則tan8>0,

cos。

所以。為第一或第三象限角，

反之，當。為第一或第三象限角時，tan0>0,所以sine+tan6>0,

綜上，“sin6+tan。>0”是"。為第一或第三象限角''的充分必要條件，

故選：C

8.【答案】C

【分析】由正弦定理邊化角得COSA=2,結合余弦定理和。=2?；?，可求出A,B,C.

2a

、b

【詳解】由sin8=sin2A=2sinAcosA,即Z?=2acosA,cosA=一,

2a

1

又c=2。，所以cosA=b———b+4/-/=~^~，化簡得。=百0,

2hc2h-2a2a

則Q:〃：c=1:G:2，故在中，A=t，3=g,C=],

故選：C

9【答案】B

【分析】根據(jù)項與前〃項和的關系結合條件可得。卬=-----%，根據(jù)等比數(shù)列的概念進而判斷AB,結合

M

條件可得4I=XL—X/上一，進而判斷CD.

-L"IM]

［詳解］因為q=EL—LT,j=i,2,.,19,4=0,

M

X

所以q=號fci

iM

X「Li_XL-L1=一(『Li)_2L

所以4*1=

MM~M~M

aM

即a=a,.一一=-----q,又M為大于1的常數(shù),

,M+11MM'

ci,.M—\M-1

所以:；=，即數(shù)列4a2，嗎9是等比數(shù)列，且公比為下一，故A錯誤，B正確;

由上可知卬=*M-l尸X-L

，又a尸二~~^,i=l,2,』9,

MIM

"M-li-lM-P

所以4|，A

l—l?XLFXLF

M-l

1-

LM

所以「=—2,3,』9不是常數(shù)，故C錯誤;

M-\

M

所以乙―4i=x/絲4]—x/"二?|"=2,3,,19,不是常數(shù)，故D錯誤.

，1-1\M）L\M）

故選：B.

10.【答案】A

【分析】根據(jù)向量的坐標運算即可得|AP+M。卜J（a+正cos"+'近+0sin6『，進而將

J(a+0cos6)+(-0+0sin9)可看作是點。（夜cos。,夜sin。）到點網-必旬的距離，即可

求解.

【詳解】以M為圓心，以MA,例C為尤,丁軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

由于AB=AC=2,所以3C=20,3M=CM=血,

由于點。在AC，不妨設Q（&cos。,sin。），0G0,1-

A（0,血），尸（a,0）,其中一血?“《血,

AP+MQ=(4,-0)+(后cos仇V2sin0=(a+gcos4-夜+V2sin6),

所以JAP+M。卜+V2cos+(-V2+V2sin6^，

J(a+Ocos("+丘sin可看作是AC上的點Q(&cos6,0sin6)到點R(—a,亞)的距

離，

由于點R(~a,y/2)在線段y=-后＜J5)上運動，

故當點E(-”,、歷)運動到點￡卜血,0)時，此時距離最大，為

CE=dCF2+EF2=?可+(2⑸=M，

當點網-a,碼運動到點A(0,⑹時，此時距離最小為0,

綜上可知：卜尸+/。，［(),而］,

故選：A

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.【答案】(-1，0)50，+8)

【詳解】要使函數(shù)/(x)=lg(x+l)+g有意義，貝上x+1>0

-0，解得X>-W。，所以函數(shù)

y(x)=lg(x+l)+-的定義域是(-l,o)u(o,+a))，故答案為(-l,o)u(o,+(x).

4

12.【答案】一

3

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及二倍角公式即得.

【詳解】由三角函數(shù)的定義可知tana=-2,

2tana_-44

所以tan2a=

1-tan2a1-43

4

故答案為：一.

3

13.【答案】①.-1(不唯一)②.1

【分析】設a=，仇幾<0)，則有xex+xe2=4q+Aye2,列出方程組求解即可.

【詳解】解：設a=/l〃(/l<()),

則有x,+02)=+ye2),

即xet+xe2=Aet+Aye2,

x=A

所以《，，所以X=D(X<0),解得x<O,y=l,

x=Ay

取x=-l,y=l.

故答案為：-1(不唯一)，1

14.【答案】—②.g

28

【分析】空1：可由圖像直接讀出半個周期，進而可得周期大??；空2：通過周期大小和函數(shù)上的點(0,1),

可求出/(x)的解析式，再平移得到g(x),然后根據(jù)奇偶性求參即可.

【詳解】空1：由圖可知一7=三一0=」,即T=」

2442

.,2兀37t4

空2：—=—t1n=

323

則/(x)=2sin(gx+*),又過點(0,1),

所以/(0)=2sin夕=1,即sin夕=；,

又(0,1)在原圖增區(qū)間上，所以可取9=^+2版次wZ,

6

所以/(1)=2sin'工+弓+2%兀］=2$m(31+.),&eZ,

47C(4兀4)

向右平移f(f>0)個單位可得g(x)=/(xT)=2sin-(x-t)+-=2sin-x+---t,

_3oJ\3637

jr4

又g(x)為奇函數(shù)，所以-----f=E,左eZ,

63

即1=工一人.羽，氏eZ,

84

又f>0,

-_,,7T

所以4nin

O

故答案為：y；f.

15.【答案】①③

【分析】利用函數(shù)的單調性及最值可判斷①②，根據(jù)零點定義結合條件分類討論可判斷③，利用特值可判

斷④.

2\x<Q

【詳解】對①，當a=0時，=<

x2,x>0

當x<0時，0<2'<1，當xNO時，x2>0,

綜上，/(x)的最小值為0,①正確;

2"+Q,X<Q

對②，u<—〃尤)=,

3X1+2or,x>a

當工<。時，

當工之。時，若。<0,X2+2ax>a2-2a2=-a2；若。WaW；,x2+2ax>a2+2a2=3a2，

如。=一;時，/(無)>—3,函數(shù)不存在最小值，②錯誤；

對③，當a<0時，2、+a=()最多一個解，

y=J+2ax=0得％=0或%=-2a，

如°=一1時，/(尤)=〈，，由2*-1=0可得x=0(舍去),

''X2-2X,X>-1

由丁一2%=0得x=0或x=2,故此時/(x)兩個零點，即g(a)=2；

Lx11

12——n，x<——oi

如。=——時，〃X)=〈;，由2*-：=0可得%=—1,

22、12

x—x,x2—

2

由d—x=0得x=0或x=l，故此時三個零點，即g(a)=3；

[2X%<0

當々=0時，f(x]=<5，由2"=0可得xw0，

[x,x>0

由/=0得1=0,故此時/(%)一個零點，即g(a)=l；

“、12”+〃,1〈。

當Q〉o時，f(x)=<?時，2"+a>0，2'+4=0無解,

時，X2+lax>0，工2+2狽=。無解,

此時，(力沒有零點，即g(a)=o

綜上，g(a)的值域為{0,1,2,3},故③正確；

2"+4%<4

對④，當a與時，如a=4時，f(x)=\,',

[X2+8X,X>4

"3)=12,/4)=48,45)=65,此時〃3)+/(5)=77<2,f(4)=96,故④錯誤.

故答案為：①③

【點睛】方法點睛：函數(shù)零點的求解與判斷方法：

(1)直接求零令/(力=0,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點.

(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[。,可上是連續(xù)不斷的曲線，且還必須

結合函數(shù)的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.

(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同

的值，就有幾個不同的零點.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.【答案】16.3”T17.證明見解析

【分析】(1)設出公比，代入已知條件，解方程即可；

(2)按照等差數(shù)列的定義，作差即可證明.

【詳解】(1)設公比為夕，由題意有4+%=&+。應=10

q

代入4=3得3/—1。4+3=0,故q或3

又各項均為整數(shù)，故4=3

于是。"=々'3"2=3"!

1-3”3"-1

(2)由(1)得1

1-32

3*+i-13*-11+3川

所以2sHi—3&=2-^—一3?丁

2

3-2—11+3A+1

SJI+2_2S&+]-------------2?

222

所以2sA「3S.=兀2-2S^=空■?

所以3SQ2SN，S*+2是以匕工二為公差的等差數(shù)歹!].

2

17.【答案】(1)選擇見解析；答案見解析

（2）答案見解析

【分析】（1）根據(jù)題意先把函數(shù)/（x）進行化簡，然后根據(jù)所選的條件，去利用三角函數(shù)輔助角公式，三

角函數(shù)單調遞增區(qū)間而分別計算并判斷是否使函數(shù)/（X）存在，從而求解;

（2）根據(jù)（1）中選的不同條件下得出不同的函數(shù)/（尤）的解析式，然后求出在區(qū)間一5,0上的最大值

和最小值.

【小問1詳解】

由題意得：/(x)=2COSJC-cos(x+^)=2cos[cosxcos。一sinxsin(p\

=2cos(pcos2x-2sinecosxsinx=coscp(cos2x+l)-sin(psin2x

=cos(pcos2x-sin0sin2x+coscp-cos(2%—°)+cos(p

COS/COS當2K［一仙謖吟與OS。一冬in°=cos"升711,

當選條件①：

33

I兀|兀兀ULI、I兀兀571

又因為一，所以K一所以——<—，

222636

“I兀TTTT

所以cos[e+§=1時，即得：夕+§=0,即9=—

當選條件②:

/(x)=2cosx?cos(x+°)=cos(2x一夕)+cos°

從而得：當2k1-7142》一。42版,左€2時，/（x）單調遞增,

化簡得：當也一■|+}14也+多02時，“X）單調遞增,

又因為函數(shù)/（x）在區(qū)間0。上是增函數(shù),

kn--+—<0

9?TT

所以得：,,keZ,解之得：-2far+—<0<-2E+兀次EZ,

E+32

24

當％=0時，得兀，與已知條件時<>|矛盾，故條件②不能使函數(shù)八無）存在.

故：若選條件②，⑴不存在.

當選條件③：

[g),/(x)=2co&x?cos(x+o)=cos(2x一6+cos°,

由VxeR,/(x)之/

得當x時，COS（2X-^9）=COS-=-1,又因為Ml〈色,

3\3）2

47rjr

所以得,一8=兀，得0=".

33

【小問2詳解】

當選條件①：

由（1）知：（p=q,則得：/（x）=cos（2x+?+g,

又因為xe--,0,所以2》+弓€，

2333」

當選條件③：

由（1）知：0=三，則得：/（x）=cos（2x-1J+；,

又因為xe￡,0,所以2x一梟一年,4

所以當x=0時，/（可有最大值/⑼=」+人；

22

II

所以當*=一二時,+-C0S(-7t)+—=

32\)22

9

18.【答案】(1)

2

128

(2)—

27

【分析】（1）求得AB,P,Q的坐標，從而求得三角形AP。的面積.

（2）先求得三角形APQ面積的表達式，然后利用導數(shù)求得面積的最大值.

【小問1詳解】

依題意,AP±PQ,所以|AP|=|尸Q],

由尸（右0）,得式/,4一產）,

則1一（一2）=4-巴解得"1或"—2（舍去），則尸（1,0）,。（1,3）,

19

所以SAP0=—x3x3=—.

APQ22

【小問2詳解】

由PQ,O），得Q（f,4-2）,

則S（r）=gx?+2）x（4—戶）=—/+2f+8（—2<r<2）,

5，（。=_|產_力+2=3產,4/+4

3產+4L4_（f+2）（3-2）

------------------------------------------------------------------------------------------------------------f

22

所以s（f）在區(qū)間12,g［上y（r）>O,S（f）單調遞增，

在區(qū)間（1,2）上S'?）<0,S（，）單調遞減，

所以S。）的最大值是S（g）=Jx（g+2）（4-［）=Jxgx￡=等.

19.【答案】（1）50V5m

（2）直線CO與直線AB不垂直，理由詳見解析.

【分析】（1）先求得AD,BD,利用余弦定理求得AB.

（2）先求得AC,BC,然后根據(jù)向量法進行判斷.

【小問1詳解】

依題意，Z4cD=45。，/BCD=30°,^ADB=135°,ZBDC=120°,

所以ZADC=360°-135。-120。=105°,ZCAD=180。一45?！?05。=30°,

ZCBD=180°-120°-30°=30°=/BCD,所以8。=8=50,

在三角形ACD中，由正弦定理得上2-=-,AD=5072,

sin45°sin30°sin30°

在三角形ABD中，由余弦定理得AB=J5O2+（50>/2）2-2x50x505/2xcos135°=506m.

【小問2詳解】

在三角形BCD中,由余弦定理得BC=V502+502-2x50x50xcosl20°=50百，

sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin450=好乎一，

ACCDAC50100

在三角形ACO中，由正弦定理得sinl050-sin30°'#+&一丁一,

~~4~2

AC=25（6+0）,

直線CD與直線不垂直，理由如下：

CDAB^CD（CB-CA^^CDCB-CDCA

=50X50A/3XCOS30。-50X25（V^+V^）XCOS45°

=2500-1250^^0,

所以直線CO與直線AB不垂直.

20.【答案】（1）a=0,b=3

（2）增區(qū)間（0,1）,減區(qū)間（1,+8）

⑶-

4

【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程組，從而求得。力.

（2）利用導數(shù)求得“力的單調區(qū)間.

（3）結合/（力的圖象、切線以及不等式恒成立求得優(yōu)的最大值.

【小問1詳解】

J\）Ih4

依題意，:+c，解得a=0力=3.

r/八2+a2

，（）―16+廠歷

【小問2詳解】

由（1）得/（力=^^@20），/（。）=。，

當x＞0時,r（力=

所以/（X）在區(qū)間（0,1）上r（x）＞OJ（x）單調遞增，

在區(qū)間（L+OO）上/'（尤）＜0J（x）單調遞減.

【小問3詳解】

由（2）得r（i）=o,/（i）=；,

所以y=的圖象在x=l處的切線方程為y=；,此時〃?=；.

同時，/（力皿'=/（1）=；,因此去+加2^在％e[°，+°0）時恒成立，

3（l+x）1-x

直線y=履+〃?是曲線y=/（x）的切線，則k=2G'7T-，

結合圖象可知，當《＜0時，履不恒成立.

當人=（）時，"?=；，恒成立.

當人＞0時，〃2＜,，因此mW,，所以的最大值為

444

y