2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個(gè)專題 524個(gè)題型專題46 直線與平面垂直-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練（原卷版）

專題46直線與平面垂直題型一對(duì)判定定理和性質(zhì)定理的理解【例1】下列說(shuō)法正確的有________(填序號(hào))．①垂直于同一條直線的兩條直線平行；②如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個(gè)平面垂直；③如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線與這個(gè)平面垂直；④若l與平面α不垂直，則平面α內(nèi)一定沒(méi)有直線與l垂直．【變式1-1】下面四個(gè)命題：①過(guò)一點(diǎn)和一條直線垂直的直線有且只有一條；②過(guò)一點(diǎn)和一個(gè)平面垂直的直線有且只有一條；③過(guò)一點(diǎn)和一條直線垂直的平面有且只有一個(gè)；④過(guò)一點(diǎn)和一個(gè)平面垂直的平面有且只有一個(gè)．其中正確的是()A．①④B．②③C．①②D．③④【變式1-2】若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于()A．平面OABB．平面OACC．平面OBCD．平面ABC【變式1-3】如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊．能保證該直線與平面垂直的是________(填序號(hào))．題型二線面垂直的判斷【例2】如果直線與平面滿足，，，，那么必有（）A.且B.且C.且D.和【變式2-1】設(shè)，為兩個(gè)不同的平面，，為兩條不同的直線，則下列判斷正確的是()A.若，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，，則【變式2-2】直線a⊥直線b，a⊥平面β，則b與β的位置關(guān)系是()A．b⊥βB．b∥βC．b?βD．b?β或b∥β【變式2-3】下列命題①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b?α))?a⊥b；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a∥b))?b⊥α；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b∥α))?a⊥b;④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥b,a⊥b,b?α,c?α))?a⊥α；⑤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊥b))?b⊥α；⑥eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥a))?b∥α．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．3B．4C．5D．6【變式2-4】如圖已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥面ABCD，則圖中共有直角三角形的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4題型三線面垂直的證明【方法小結(jié)】利用線面垂直的判定定理證明線面垂直的步驟：（1）在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線，使它和這條直線垂直；（2）確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；（3）根據(jù)判定定理得出結(jié)論?！纠?】在正方體中ABCD－A1B1C1D1中，P為DD1的中點(diǎn)，O為底面ABCD的中心．求證：B1O⊥平面PAC．【變式3-1】如圖，在四面體A-BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，且EF＝eq\r(2).求證：BD⊥平面ACD.【變式3-2】如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，N為垂足．（1）求證：AN⊥平面PBM.（2）若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.【變式3-3】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，A1在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D是B1C1的中點(diǎn)．證明：A1D⊥平面A1BC；【變式3-4】如圖所示，已知P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA、PB、PC兩兩垂直，H是△ABC的垂心．求證：PH⊥平面ABC．【變式3-5】如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2eq\r(3)，BC＝6.求證：BD⊥平面PAC．題型四線面垂直證明線線垂直【方法小結(jié)】若已知一條直線和某個(gè)平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行，可考慮利用線面垂直的性質(zhì)定理，證明另一條直線和這個(gè)平面垂直，證明時(shí)注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關(guān)性質(zhì)；【例4】如圖，已知正方體A1C.（1）求證：A1C⊥B1D1.（2）M，N分別為B1D1與C1D上的點(diǎn)，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C.【變式4-1】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC.求證：MN∥AD1【變式4-2】如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，EF與以異面直線AC,A1D都垂直相交，求證：EF//BD1.【變式4-3】如圖，在四棱錐P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，點(diǎn)E為棱PB的中點(diǎn)，PB＝PD.求證：PC⊥BD；題型五線面垂直證明線線平行【例5】如圖在△ABC中，∠B＝90°，SA⊥平面ABC，點(diǎn)A在SB和SC上的射影分別是N、M，求證：MN⊥SC．【變式5-1】如圖，正四棱錐S－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)是底面邊長(zhǎng)的eq\r(2)倍，O為底面對(duì)角線的交點(diǎn)，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)．（1）求證：AC⊥SD；（2）F為SD的中點(diǎn)，若SD⊥平面PAC，求證：BF∥平面PAC．【變式5-2】如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，且∠DAB＝60°.側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.（1）若G為AD的中點(diǎn)，求證：BG⊥平面PAD；（2）求證：AD⊥PB.【變式5-3】如圖所示，四邊形ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過(guò)A且垂直于SC的平面分別交SB、SC、SD于E、F、G.求證：AE⊥SB.【變式5-4】如圖，