《自動控制原理》課件Ch7-Nonlinear control system

第七章非線性控制系統(tǒng)7.1非線性系統(tǒng)的基本概念7.2非線性系統(tǒng)的特性7.3非線性特性的描述函數(shù)7.4描述函數(shù)分析法7.5相平面分析法7.1非線性系統(tǒng)的基本概念數(shù)學(xué)：微積分，矩陣論，傅里葉分析，復(fù)變函數(shù)…物理：牛頓定律，胡克定律，歐姆定律…線性（Linearity）:疊加性（Additivity）：f(x+y)=f(x)+f(y).齊次性（Homogeneity）:f(αx)=αf(x)forallα.1.從線性到非線性狹義上，線性就代表一條直線.廣義線性龍生龍，鳳生鳳，老鼠生兒打地洞。線性思維使秦復(fù)愛六國之人，則遞三世可至萬世而為君，誰得而族滅也？—杜牧我們學(xué)English考四六級。每天記10個單詞，10天100個，1年3650個……歷朝歷代，有多少帝王想把權(quán)力，財富傳種接代，盡管他們的智商不低，但是所采用的是典型的線性思維。黑山呦白云湫，河水呦向西流，人無三代的富呦，清官的不到呦頭。——賈平凹《高老莊》7.1非線性系統(tǒng)的基本概念1.從線性到非線性7.1非線性系統(tǒng)的基本概念非本質(zhì)非線性：

①忽略小非線性。放大器的飽和、摩擦；

②函數(shù)光滑、導(dǎo)數(shù)連續(xù)的非線性特性雖然較明顯，但可進行微偏線性化處理。

如果一個系統(tǒng)包含至少一個非線性元件或環(huán)節(jié),則此系統(tǒng)即為非線性系統(tǒng)（NLS）。1.從線性到非線性由于控制元件或多或少地帶有非線性特性，所以嚴(yán)格地說,實際的自動控制系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)。1）飽和非線性（如運算放大器，人們的學(xué)習(xí)效率等）7.1非線性系統(tǒng)的基本概念2.典型非線性特性優(yōu)點：減小超調(diào)；缺點：降低快速性。2）死區(qū)非線性

如：水表、電表，肌肉的電特性；影響：1）它可能使系統(tǒng)不穩(wěn)定或者產(chǎn)生自振蕩；2）可在控制系統(tǒng)中人為引入死區(qū)特性，使系統(tǒng)具有抗干擾能力。穩(wěn)定判據(jù)→臨界穩(wěn)定3）滯環(huán)（磁滯、齒隙）非線性特點：非單值函數(shù)，負(fù)載系統(tǒng)運動變化劇烈。滯環(huán)特性會使系統(tǒng)的相角裕度減?。ǖ刃г鲆嫣儯?動態(tài)性能惡化,甚至產(chǎn)生自持振蕩（能量積蓄）。4）繼電非線性繼電器非線性會使系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩，甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，并且使穩(wěn)態(tài)誤差加大。5）正弦非線性6）組合非線性非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性微分方程；但至今為止非線性微分方程沒有成熟的解法；常用的三種工程近似方法：●描述函數(shù)法：頻率響應(yīng)法的擴展●相平面法：適用于一、二階系統(tǒng)，準(zhǔn)確、嚴(yán)格●計算機求解（數(shù)值）方法：NDE，有效方法7.1非線性系統(tǒng)的基本概念3.非線性系統(tǒng)的分析方法1.線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別（P198）1）疊加原理不適用于非線性系統(tǒng)。2）初始條件與輸入量對非線性系統(tǒng)的影響。

非線性系統(tǒng)可能會出現(xiàn)某一初始條件下的響應(yīng)過程為單調(diào)衰減，而在另一初始條件下則為衰減振蕩，如圖所示。

如果某線性系統(tǒng)在某初始條件下的響應(yīng)過程為衰減振蕩，則其在任何輸入信號及初始條件下該系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)均為衰減振蕩形式。tx(t)07.2非線性系統(tǒng)的特性（P198）非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和暫態(tài)響應(yīng)與系統(tǒng)的初始條件密切相關(guān)?！纠糠蔷€性系統(tǒng)Note：非線性系統(tǒng)不存在整個系統(tǒng)是否穩(wěn)定的籠統(tǒng)概念，必須針對具體的運動狀態(tài)討論穩(wěn)定性。3）頻率畸變當(dāng)非線性系統(tǒng)輸入的信號為正弦時，其輸出將不再是正弦信號，而包含有各種諧波分量，發(fā)生頻率畸變。

4）非線性系統(tǒng)中各串聯(lián)環(huán)節(jié)的次序不可互換線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)2.極限環(huán)（自持振蕩）

非線性系統(tǒng)在沒有周期性外作用時,在擾動作用下產(chǎn)生振幅和頻率都固定的振蕩。該振蕩過程物理上可實現(xiàn)并可保持,通常被稱為自持（激）振蕩或自振。3.頻率和振幅的依賴性杜芬方程（Duffingequation）k’=-10k’=10周期逐漸變短周期逐漸變長4.跳躍諧振

某些非線性系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)中,系統(tǒng)輸入的頻率稍有變化，輸出的幅值就發(fā)生跳躍。

原因：具有不穩(wěn)定的平衡點。典型非線性特性；非線性系統(tǒng)有不同于線性系統(tǒng)的特性：

疊加原理不再適用；

穩(wěn)定性復(fù)雜，初始條件對系統(tǒng)的影響；

頻率畸變；環(huán)節(jié)次序不可更換；振幅對頻率的依賴關(guān)系；自持振蕩（極限環(huán)）；跳躍諧振；內(nèi)容小結(jié)7.3非線性特性的描述函數(shù)非線性控制系統(tǒng)的典型框圖為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，為輸入信號的幅值，為頻率。為線性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。1.傅里葉級數(shù)（FourierSeries）其中：讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅立葉(1768–1830)思想：周期函數(shù)=一系列正弦函數(shù)的組合。1、傅里葉級數(shù)（FourierSeries）展開后更復(fù)雜了？思想：周期函數(shù)=一系列正弦函數(shù)的組合。2.描述函數(shù)的定義設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號為則輸出信號x(t)必為一非正弦周期變化信號。定義：非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為穩(wěn)態(tài)輸出的基波分量與正弦輸入的相量（phasor）之比，記為式中，為輸入信號的幅值，為輸出信號基波的幅值，為初相位。上式表明，描述函數(shù)是輸入信號的幅值A(chǔ)和振幅w的復(fù)變函數(shù)，但若非線性元件中不含儲能元件，它僅是輸入幅值A(chǔ)的函數(shù)，可以簡記為：N(A)

。2.描述函數(shù)的定義

描述函數(shù)是非線性環(huán)節(jié)的“頻率特性”，是非線性特性的諧波線性化（區(qū)別于微偏線性化）。經(jīng)過線性化的輸出信號與輸入信號同頻率，只是在幅值和相位上有差異。3.典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)

1)理想繼電非線性0xxe00twtweAMMMM輸入輸出為方波基波繼電特性的描述函數(shù)：物理意義：輸出的基波幅值增益為，相移為零。繼電器為典型的非線性部件，但是輸入正弦信號與輸出基波之間的傳輸關(guān)系為線性。（諧波線性化）3.典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)

1)理想繼電非線性3.典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)

1)理想繼電非線性死區(qū)特性的描述函數(shù)為：

3.典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)

2)死區(qū)非線性飽和特性的描述函數(shù)為3.典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)

3)飽和非線性滯環(huán)非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為

其中3.典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)

4)間隙（滯環(huán)）非線性P215，表7-17.4描述函數(shù)分析法1.非線性系統(tǒng)（NLS）的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)即對最小相位系統(tǒng)，LS的穩(wěn)定性取決于曲線是否包圍點：【包圍；穿過；不包圍】非線性系統(tǒng)的閉環(huán)“傳遞函數(shù)”：閉環(huán)“特征方程”：負(fù)倒幅相特性（曲線）即有向（A增大）曲線LS的(-1,j0)點→

NLS的負(fù)倒幅相特性曲線判斷線性環(huán)節(jié)的奈氏曲線是否包圍？三種情況：①包圍：NLS閉環(huán)后不穩(wěn)定；②不包圍：NLS閉環(huán)后穩(wěn)定（離得越遠(yuǎn)，越穩(wěn)定）③相交：NLS閉環(huán)后不穩(wěn)定，出現(xiàn)自持振蕩（極限環(huán)）不穩(wěn)定

穩(wěn)定

自持振蕩將LS的奈氏判據(jù)推廣，得到NLS的“奈氏判據(jù)”：負(fù)倒幅相特性（曲線）自持振蕩的振幅和頻率自持振蕩的振幅為在交點處的A值，頻率為在交點處的w值。略證如下：基波分量：2.自持振蕩（極限環(huán)）的穩(wěn)定性分析M1：不穩(wěn)定的自持振蕩，M2：穩(wěn)定的自持振蕩。結(jié)論：Ａ增大時，負(fù)倒幅相特性曲線進入穩(wěn)定區(qū)域，則為穩(wěn)定的自持振蕩（極限環(huán)）。Note：①不論NLS出現(xiàn)穩(wěn)定的自持振蕩還是不穩(wěn)定的自持振蕩，系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的；②若與相切，則該NLS有可能出現(xiàn)自持振蕩（也許不出現(xiàn)），此時稱臨界狀態(tài)。★自持振蕩振幅和頻率的求法。自持振蕩的振幅為在交點處的A值，頻率為在交點處的w值?！纠?-P218】已知：要求：（1）非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)；（2）系統(tǒng)閉環(huán)后是否穩(wěn)定；（3）是否存在極限環(huán)；若有，判斷其穩(wěn)定性；（4）若存在穩(wěn)定的極限環(huán)，求其振幅和頻率。解：（1）繼電環(huán)節(jié)的輸出基波【例1-P218】已知：【例2-P222】已知：要求：（1）畫出線性環(huán)節(jié)當(dāng)K0=2時的幅相特性曲線；（2）NL環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，繪制當(dāng)時非線性環(huán)節(jié)的負(fù)倒特性曲線。（3）當(dāng)K0由0→+∞變化時，討論該NLS的穩(wěn)定性，是否存在自持振蕩？若存在穩(wěn)定的自持振蕩，求其振幅和頻率。7.5相平面(phaseplane)分析法1.相平面和相軌跡的基本概念考慮二階系統(tǒng)：1.相平面和相軌跡的基本概念由于和都是時間t

的函數(shù)，因此當(dāng)t取特定值時，在-平面上對應(yīng)一個點。當(dāng)t連續(xù)變化時，將在-平面上留下一條軌跡——相軌跡。式中和是和的函數(shù)。7.5相平面(phaseplane)分析法例：欠阻尼二階系統(tǒng)響應(yīng)的相平面描述。（二階系統(tǒng)的相軌跡）1）解析法

當(dāng)系統(tǒng)相軌跡方程比較簡單或易于分段線性化時,可使用解析法求出相軌跡方程的解,再繪制相軌跡。2.相軌跡的繪制方法是直接解出和對t的表達式，消去t得到和的關(guān)系，繪制到相平面中即可。（時域法）熟悉例：系統(tǒng)方程為，求相軌跡方程。

得：――橢圓方程解：【例】含有理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)如圖所示，試?yán)L制其相軌跡。

解:線性部分輸入輸出關(guān)系為:非線性部分輸入輸出關(guān)系為：

因為

r(t)c(t)y(t)M-M故該系統(tǒng)的相軌跡方程為

對所得相軌跡方程進行分離變量積分，得式中A1,A2為積分常數(shù),由初始條件求得。

可在相平面上作出r=1,M=1時系統(tǒng)的相軌跡如圖所示。直線c=1

將相平面分為兩個區(qū)域,它們分別對應(yīng)于上述兩個方程式；每個區(qū)域內(nèi)的相軌跡都是一族拋物線。2）等傾線法

當(dāng)系統(tǒng)相軌跡方程不易用解析法求解時,可使用等傾線法繪制系統(tǒng)的相軌跡。非線性系統(tǒng)：上式可變換為：各條相軌跡與該曲線交點的斜率相等,且等于

。等傾線方程其中是相軌跡的斜率,令,

為一常量,則有“軌跡本自由、此處受約束”采用等傾線法繪制相軌跡的步驟：（1）繪制相平面坐標(biāo)系，縱橫坐標(biāo)比例尺相同；（2）對于給定斜率

,求解等傾線方程,得到一條等傾線；（3）繪制相軌跡的切線方向場(斜率為的小短線)；（4）給定不同的

值,繪制更多的等傾線和方向場；（5）由給定的初始條件出發(fā),沿各條等傾線所決定相軌跡的切線方向,依次畫出系統(tǒng)相軌跡?！纠烤€性二階系統(tǒng)的運動方程為試用等傾線法繪制系統(tǒng)的相軌跡。解:1）求解等傾線方程：即

當(dāng)時，此為等傾線方程，相軌跡以斜率

穿越等傾線。2）繪制等傾線和切線方向場。3）根據(jù)相軌跡的切線方向場，繪制相軌跡。3）數(shù)值方法※

采用計算機軟件求解微分方程及相軌跡。r(t)c(t)y(t)M-M3）數(shù)值方法※

采用計算機軟件求解微分方程及相軌跡。3）數(shù)值方法※

采用計算機軟件求解微分方程及相軌跡。1）除奇點外，相軌跡上每一個點都有確定的斜率二階系統(tǒng)或表示為等號兩邊同時除以得令則3.相軌跡的性質(zhì)(P230)該式稱為相軌跡方程，相軌跡上每一點的斜率都滿足該方程。2）相軌跡正交于軸

軸上所有點，總為0，這些點上相軌跡斜率為∞，表示相軌跡與該軸正交。

相平面的上半平面相軌跡向右運動，相平面的下半平面相軌跡向左運動。3）相軌跡的運動方向確定3.相軌跡的性質(zhì)(P230)4）相軌跡的奇點（平衡點）3.相軌跡的性質(zhì)(P230)

線性二階系統(tǒng)在奇點附近的運動狀態(tài)實質(zhì)上主要取決于其對應(yīng)特征方程兩個極點的分布情況和形式。

滿足的點稱為相軌跡的奇點。該點處相軌跡的斜率為一個不確定值，因此有無數(shù)多條相軌跡以不同斜率離開或匯入該點。系統(tǒng)不再運動，處于平衡狀態(tài)。在橫軸上典型二階系統(tǒng)的奇點特性及其相平面圖

(P231)a)穩(wěn)定節(jié)點b)不穩(wěn)定節(jié)點c)鞍點d)穩(wěn)定焦點e)不穩(wěn)定焦點f)中心點5）極限環(huán)（limitcycle）在相平面圖上表現(xiàn)為一個孤立的封閉的相軌跡，其他軌跡都趨向或者離開這個相軌跡，這個相軌跡稱為極限環(huán)。極限環(huán)在系統(tǒng)運動狀態(tài)上表現(xiàn)為自持振蕩。穩(wěn)定極限環(huán)的相平面圖及時域特性

不穩(wěn)定極限環(huán)的相平面圖及時域特性

Vanderpol方程5）極限環(huán)（limitcycle）半穩(wěn)定極限環(huán)相平面圖的兩種情況半穩(wěn)定極限環(huán)的時域特性相平面法（一二階系統(tǒng)）解析法等傾線法（手工求解）數(shù)值方法（計算機求解）相平面法的適用范圍：二階非線性特性可以表示為分段的線性特性，則適宜用相平面法進行研究；相軌跡的繪制：（1）非線性特性的每一線性段對應(yīng)著一個線性微分方程；（2）這個線性微分方程適用于在相平面上一個對應(yīng)區(qū)域；（3）用解析法或等傾線法求得每一個區(qū)域的相軌跡族；（4）將各個區(qū)域的相軌跡族拼接在一起,就得到整個系統(tǒng)的相平面圖。4.線性控制系統(tǒng)的相平面分析(P234)

根據(jù)相軌跡分析系統(tǒng)性能：（1）繪制相軌跡；（一般為誤差相軌跡?。?）根據(jù)給定的初始條件,在相平面上確定相軌跡的起點；（3