2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）重難點(diǎn)06 相交線與平行線的5種模型（三線八角、鉛筆頭、鋸齒型、翹腳、三角板拼接型）（原卷版）

重難點(diǎn)突破06相交線與平行線的5種模型（三線八角、鉛筆頭、鋸齒型、翹腳、三角板拼接模型）目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01三線八角模型題型02鉛筆頭模型題型03鋸齒型模型題型04翹腳模型題型05三角板拼接模型題型01三線八角模型模型介紹：三條直線相交組成八個(gè)角，去討論它們之間的關(guān)系.已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）直線AB、CD被直線EF所截，且AB與CD不平行1）同位角有4組，如：∠1與∠5、∠2與∠6、∠3與∠7、∠4與∠8；2）內(nèi)錯(cuò)角有2組，如：∠3與∠5、∠6與∠8；3）同旁內(nèi)角有2組，如：∠3與∠6、∠4與∠5；4）對(duì)頂角有4組，如：∠1與∠3、∠2與∠4、∠5與∠7、∠6與∠8.直線AB、CD被直線EF所截，且AB∥CD1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8；2）內(nèi)錯(cuò)角相等：∠3=∠5、∠6=∠8；3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°；4）對(duì)頂角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8.【快速判斷同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角】【針對(duì)訓(xùn)練】例1（2018·廣東廣州·中考真題）如圖，直線AD，BE被直線BF和AC所截，則∠1的同位角和∠5的內(nèi)錯(cuò)角分別是（）A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4變式1（2021·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，下列兩個(gè)角是同旁內(nèi)角的是（

）A．∠1與∠2 B．∠1與∠3 C．∠1與∠4 D．∠2與∠4變式2（2021·廣西百色·統(tǒng)考中考真題）如圖，與∠1是內(nèi)錯(cuò)角的是（

）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5例2（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB∥CD,BC∥EF．若A．120° B．122° C．132° D．148°變式1（2022·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知AB∥CD，點(diǎn)E在線段AD上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合），連接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，則∠A＝（A．10° B．20° C．30° D．40°變式2（2022·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線m∥n，∠1=100°，∠2=30°，則∠3=（A．70° B．110° C．130° D．150°變式3（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線m∥n，AC⊥BC于點(diǎn)C，∠1＝30°，則∠2的度數(shù)為（）A．140° B．130° C．120° D．110°題型02鉛筆頭模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）證明方法AB∥DE∠B+∠C+∠E=360°遇拐點(diǎn)做平行線（方法不唯一）AB∥DE∠B+∠M+∠N+∠E=540°a∥b∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）=180°×（拐點(diǎn)數(shù)+1）【針對(duì)訓(xùn)練】例3如圖，已知：AB∥CD，求證：變式1如圖，如果AB∥CD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝°．變式2問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，思路點(diǎn)撥：小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可分別求出∠APE、∠小麗的思路是：如圖3，連接AC，通過平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識(shí)可求出∠APC小芳的思路是：如圖4，延長AP交DC的延長線于E，通過平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識(shí)可求出∠APC問題解決：請(qǐng)從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計(jì)算，你求得的∠APC的度數(shù)為°問題遷移：（1）如圖5，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫出∠CPD、∠α、變式3如圖，已知AB∥CD．（1）如圖1所示，∠1+∠2＝；（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝；并寫出求解過程．（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝．變式4（1）如圖1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接寫出結(jié)果）（2）如圖2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接寫出結(jié)果）（3）如圖3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接寫出結(jié)果）（4）如圖4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接寫出結(jié)果）題型03鋸齒型模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）證明方法AB∥DE∠B+∠E=∠C遇拐點(diǎn)做平行線（方法不唯一）AB∥DE∠B+∠M+∠E=∠C+∠Na∥b所有朝左角之和等于所有朝右角的和【針對(duì)訓(xùn)練】例4（2020·湖南·中考真題）如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．35° D．5°變式1（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）下面是解答一道幾何題時(shí)兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．已知：如圖，AB∥求證：∠方法一證明：如圖，過點(diǎn)E作MN∥方法二證明：如圖，延長AE，交CD于點(diǎn)F．變式2（2023·甘肅隴南·校考一模）如圖，直線AB∥CD，∠EFG-∠變式3問題情境：如圖1，已知AB∥CD，∠APC=108°．求

經(jīng)過思考，小敏的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，根據(jù)平行線有關(guān)性質(zhì)，可得∠PAB問題遷移：如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，∠ADP=∠α(1)當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPD、∠α、(2)如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫出∠CPD、∠α、(3)問題拓展：如圖4，MA1∥NAn，變式4．如圖1，四邊形為一張長方形紙片．（1）如圖2，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（），則__________°．（2）如圖3，將長方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（），則__________°．（3）如圖4，將長方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（），則___________°．（4）根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個(gè)角，那么這個(gè)角的和是____________°．變式5（1）如圖1，AM∥CN，求證：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；（2）如圖2，若平行線AM與CN間有n個(gè)點(diǎn)，根據(jù)（1）中的結(jié)論寫出你的猜想并證明．題型04翹腳模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）證明方法AB∥DE∠1=∠2+∠3遇拐點(diǎn)做平行線（方法不唯一）AB∥DE∠1+∠3-∠2=180°【針對(duì)訓(xùn)練】例5（2023·重慶大渡口·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在數(shù)學(xué)課上老師提出了如下問題：如圖，∠B=160°，當(dāng)∠A與∠小明認(rèn)為∠D-∠A=20°時(shí)BC∥解：用直尺和圓規(guī)，在DA的右側(cè)找一點(diǎn)M，使∠DAM∵∠DAM∴①_____________∵∠∴∠BAM=②_________∵∠B∴∠B+∠BAM∴④_____________∴BC∥所以滿足的關(guān)系為：當(dāng)∠D-∠A變式1（2023·云南·校考一模）如圖，AB∥CD，∠A=30°，∠C=70°，則變式2（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，如果AB∥EF，EF∥CD，則∠1，∠2，∠3的關(guān)系式．變式3①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線EF，點(diǎn)在直線上，則．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)變式4．①如圖1，ABCD，則∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如圖2，ABCD，則∠E＝∠A＋∠C；③如圖3，ABCD，則∠A＋∠E－∠1＝180°；④如圖4，ABCD，則∠A＝∠C＋∠P．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④變式5．已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PD．（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為．（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數(shù)．題型05三角板拼接模型【解題方法】通過一副三角板我們能拼出以下特殊角，如：60°、75°、90°，依據(jù)平行線的性質(zhì)，我們可以得到同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角之間的關(guān)系，從而求出對(duì)應(yīng)角度數(shù)..【針對(duì)訓(xùn)練】例6（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）將一副三角板如圖所示放置，斜邊平行，則∠1的度數(shù)為（

）

A．5° B．10° C．15° D．20°變式1（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）將一副直角三角板如圖放置，已知∠E=60°，∠C=45°，EF∥變式2（2021·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點(diǎn)F在AC上，其中∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠EFD=90°，∠DEFA．15° B．30° C．45° D．60°變式3（2021·貴州黔西·中考真題）將一副三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上，則∠1的度數(shù)為（）A．95° B．100° C．105° D．110°變式4（2022·山東